2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案
2020版高考数学一轮复习 11.2概率精品学案 新人教版
2020版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布11.2 概率【高考新动向】 一、随机事件的概率 1．考纲点击（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别； （2）了解两个互斥事件的概率加法公式。
2．热点提示（1）多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查；（2）互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。
二、古典概型 1．考纲点击（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2．热点提示（1）古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率； （2）出题形式多样，各种题型均有可能出现。
三、几何概型 1．考纲点击（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； （2）了解几何概型的意义。
2．热点提示（1）以几何概型的定义和公式为依据，重在掌握常见的两种几何度量——长度、面积； （2）主要考查几何概型的理解和概率的求法，多以选择题和填空题的形式出现。
【考纲全景透析】 一、随机事件的概率 1．事件（1）在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件； （2）在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件；（3）在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件。
2．概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数An 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率；（3）对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频繁()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率P （A ），因此可以用频率()n f A 来估计概率P （A ）。
2020届高三数学一轮复习 《概率》学案
《随机事件的概率与古典概型》学案最新考纲1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式． 知 识 梳 理1． 事件的分类: 必然事件，不可能事件，随机事件 2．频率和概率： 34．古典概型（1）古典概型的两个特点 （2）古典概型的概率公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．基础自测：1．（2018新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72、在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ）A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.493．（2019山西联考）从集合{}1,3,5,7,9A =和集合{}2,4,6,8B =中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（ ） A ．13 B ．15 C ．25 D ．310考点一 随机事件的频率与概率【例1】（2018郑州质检）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求()P A的估计值；（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()P B的估计值；（3）求续保人本年度的平均保费估计值．考点二互斥事件、对立事件的概率【例2】 (2018中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③【变式2】.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球考点三古典概型【例3】（2018新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．118【例4】一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．【变式3】(2018深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．13 D ．16【变式4】(2019洛阳质检)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________．课后巩固1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件D.以上都不对2.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56B.23C.12D.133.(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石B.169石C.338石D.1 365石4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个.5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.6.(2016·北京西城区模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( ) A.112B.512C.712D.567.连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512B.712C.13D.128.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.9.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答). 10.先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率； (2)求事件A 、B 同时发生的概率.11.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率.第75课 几何概型班级：高三（ ）班 姓名： 成绩：最新考纲1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．知 识 梳 理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积 ，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 ①无限性每次试验的基本事件个数是 的． ②等可能性每个事件发生的概率是 的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．基础自测：1．（2018贵阳一中）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710 B ．58 C ．38 D ．3102．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．π8 D ．π43、(2018济南模拟)如图，长方体1111ABCD A B C D -中，有一动 点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥1A A BD -内的 概率为________．考点一 与长度（角度）有关的几何概型D 1A 1C 1D CB AB 1【例1-1】(2017广州二模)在区间[1,5]-上随机取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率是（ ） A ．23 B ．21 C ．38 D ．13【例1-2】（2018襄阳联考）在Rt ABC ∆中，60B ∠=过直角顶点A 在BAC ∠内随机作射线AD ，交斜边BC 于点D ，则BD BA >的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D【变式1】．（2017深圳二模）设实数(0,1)a ∈，则函数22()(21)1f x x a x a =-+++有零点的概率为（ ） A ．34 B ．23 C ．13 D ．14考点二 与面积有关的几何概型 【例2-1】（2018株洲质检）在面积为1的等边三角形ABC 内任取一点P ，使三角形ABP ∆，ACP ∆，BCP ∆的面积都小于12的概率为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．14【例2-2】（2016山西八校）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．425 B ．825 C ．2425 D ．1625【变式2】．在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.考点三 与体积有关的几何概型【例3】.(2016·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________.【变式3】．（2018南昌模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）课后巩固：1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.233.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.454. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π85.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317 D.4176.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.7.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.8.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796 B.532C.16D.7489.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.10.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.第76课 离散型随机变量及其分布列班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知 识 梳 理1．离散型随机变量⑴离散型随机变量的分布列随机变量X 可能取的值为12,,,n x x x ，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．⑵离散型随机变量的性质①i p ≥_____________ ； ②121nin i pp p p ==+++=∑_____．2．两点分布 3．超几何分布在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：()P X k ==,0,1,2,,k n k M N MnNC C k m C --=，（其中min{,}m M n =，*,,,N n N M N n M ≤≤∈），则称分布列为超几何分布列．基础自测：1.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.1122.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.233.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为___ _.考点一 离散型随机变量分布列的性质 【例1】 设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1【训练1】 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P 考点二 离散型随机变量的分布列【例2】若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列.考点三 超几何分布【例3】 (2015·天津卷节选)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.课后巩固：1随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，则a 值为( ) A.1110B.155C.110D.552.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)3.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________. 4、 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.5、PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.6.(2016·西安调研)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求随机变量X的分布列.第77课二项分布及正态分布班级：高三（）班姓名：成绩：最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.知识梳理1.条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立. 3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝.(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.4.正态分布(1)正态分布的定义：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).＝⎠⎛a(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为；②曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.基础自测：1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310B.13C.38D.292.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3123.(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( ) A.0.6 B.0.4C.0.3D.0.2考点一 条件概率【例1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12【变式1】如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.考点二 相互独立事件的概率【例2】 (2016·唐山质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.考点三 独立重复试验与二项分布【例3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.考点四 正态分布及应用(2)(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%课后巩固：1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.(2016·济南模拟)设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.383.设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B.45 C.3132 D.124.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.5、(2016·威海模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 56、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求事件“X≥2”的概率.7、(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.第78课 离散型随机变量的均值与方差班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 .(2)方差： 称D (X )＝ 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝ (2)D (aX ＋b )＝ (a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝ (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ ，D (X )＝诊 断 自 测 1.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B.4C.－1D.12.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A.5B.8C.10D.163.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.考点一 离散型随机变量的均值与方差【例1】 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率.考点二 与二项分布有关的均值、方差【例2】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【训练2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).考点三期望与方差在决策中的应用【例3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？课后巩固：1.(2015·茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.2B.2或12C.12D.12.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A.1＋a ，4B.1＋a ，4＋aC.1，4D.1，4＋a3.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.14、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望).。
统计与概率复习课教案
统计与概率复习课教案一、课程和目标1.1 课程统计与概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和不确定性。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，如掷骰子、抽签、样本调查等，统计与概率能够帮助我们理解和分析这些事件，并从中得到有意义的。
1.2 课程目标本节复习课的主要目标是回顾统计与概率的基本概念和方法，并帮助学生巩固已学知识，为下一阶段的学习打下坚实的基础。
通过本节课的复习，学生将能够：- 理解概率的基本概念和性质； - 掌握常见的概率计算方法； - 复习统计学中的基本概念和统计量的计算方法。
二、教学内容和方式2.1 教学内容本节复习课的教学内容主要包括以下几个方面： 1. 概率的基本概念 - 样本空间和事件 - 概率的定义和性质2.概率计算方法–独立事件的概率计算–互斥事件的概率计算–条件概率和乘法定理–加法定理和全概率定理3.统计学基本概念和统计量的计算方法–总体和样本的概念–样本均值和样本方差的计算–正态分布的基本性质和应用2.2 教学方式本节复习课采用以下教学方式： - 板书讲解：通过板书解释概念和公式，并结合示例进行说明。
- 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，以促进学生的思考和理解。
- 练习和讲解：设置一些练习题供学生练习，再进行讲解和答疑。
3.1 热身活动（5分钟）•引导学生回顾统计与概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。
3.2 概率的基本概念（10分钟）•板书讲解样本空间和事件的概念，并举例说明。
•解释概率的定义和性质，引导学生理解概率的基本含义。
3.3 概率计算方法（25分钟）•板书讲解独立事件的概率计算和互斥事件的概率计算方法。
•解释条件概率和乘法定理的概念，引导学生掌握计算方法。
•板书讲解加法定理和全概率定理的概念和计算方法。
3.4 统计学基本概念和统计量的计算方法（25分钟）•板书讲解总体和样本的概念，引导学生理解抽样的过程。
•解释样本均值和样本方差的计算方法，帮助学生掌握统计量的计算方法。
概率与统计复习教案
概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。
2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。
2. 概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。
3. 统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。
4. 数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。
5. 概率与统计在实际应用中的例子。
三、教学方法1. 讲授法：讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际应用中的例子，引导学生运用概率与统计解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。
4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教学PPT：制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。
2. 案例材料：收集实际应用中的概率与统计例子。
3. 作业题目：准备课后作业，涵盖本节课的主要内容。
五、教学过程1. 导入：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。
2. 讲解概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。
3. 讲解概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。
4. 案例分析：分析实际应用中的例子，让学生体会概率与统计在生活中的应用。
5. 讲解统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。
6. 讲解数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。
7. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。
8. 课堂练习：布置课后作业，巩固所学知识。
9. 总结：对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意重点知识点。
10. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评估他们的团队协作能力和问题解决能力。
3. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估他们对课堂所学知识的掌握程度。
2020高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第1讲 概率学案 文
第1讲 概 率[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．热点一 古典概型 古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.例1 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有 {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.思维升华 求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m . (4)计算事件A 的概率P (A )＝m n.跟踪演练1 (2018·北京朝阳区模拟)今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．(1)求每个家庭中签的概率；(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808.①求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；②求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率．解(1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭中签的概率P＝620＝310.(2)①该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数x＝2702＋2703＋2803＋2804＋2806＋28086＝2771.②将这6套房编号，记第27层2套房分别为X，Y，第28层4套房分别为a，b，c，d，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种．其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P＝715. 热点二几何概型1．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．例2 (1)(2018·北京朝阳区模拟)若在集合{x|－2<x≤3}中随机取一个元素m，则“log2m 大于1”的概率为( )A.45B.110C.15D.910答案 C解析 若log 2m >1，可以求得m >2，在集合{}x |－2<x ≤3中随机取大于2的数，满足条件的取值所对应的几何度量就是区间[]2，3的长度，为3－2＝1，而在集合{}x |－2<x ≤3中随机取一个数所对应的几何度量是区间[－2,3]的长度，为3－(－2)＝5，所以对应事件的概率为P ＝15.(2)(2018·衡水调研)甲、乙两人各自在400 m 长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m 的概率是( ) A.18 B.1136 C.1564 D.14 答案 C解析 设甲、乙两人跑的路程分别为x m ，y m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤400，0≤y ≤400，表示的区域为如图所示的正方形OABC ，面积为160 000 m 2，相距不超过50 m ，满足|x －y |≤50，表示的区域如图阴影部分所示，面积为160 000－12×()400－50×()400－50×2＝37 500(m 2)，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m 的概率为P ＝37 500160 000＝1564.思维升华 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．跟踪演练2 (1)(2018·安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日～2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为n 个，圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A.32n 5πN B.32n πN C.8n πN D.5πn32N答案 C解析 设奥运五环所占的面积为S 1，矩形的面积为S ＝8×5＝40. 由在长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为n 个， 根据面积比的几何概型概率公式得S 1S ＝n N，则S 1＝n NS ＝40n N，单独五个环的面积为S 3＝5π×12＝5π，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P ＝40nN 5π＝8nπN.(2)(2018·延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是________． 答案 16解析 由题意知这是一个几何概型， ∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻， ∴事件总数包含的时间长度是30， 又新闻时长均为5分钟，∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P ＝16.热点三 互斥事件与对立事件1．事件A ，B 互斥，那么事件A ∪B 发生(即A ，B 中至少有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在一次试验中，对立事件A 和B 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (B )＝1－P (A )． 例3 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员在一次射击中： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 之间彼此互斥．(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件概率的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C ，由于事件C 与事件B 互为对立事件，故P (C )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．跟踪演练3 (1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是( ) A ．1个白球2个红球 B ．2个白球1个红球 C ．3个都是红球 D ．至少有一个红球 答案 C解析 事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，说明有白球，白球的个数可能是1或2，事件“1个白球、2个红球”，“2个白球、1个红球”，“至少有一个红球”与A 都能同时发生，既不互斥，也不对立．(2)现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.23 答案 D解析 甲抽取一张卡片获胜的概率为12；甲抽取两张卡片获胜的概率为12×13×1＝16，所以甲获胜的概率为12＋16＝23.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.2．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； (2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； (3)乙盒中红球不多于丙盒中红球； (4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多． 答案 (2)解析 取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故(2)正确．4．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.押题预测1．将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.12 B.56 C.34 D.23押题依据 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高．古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点． 答案 B解析 将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数(m ，n )的所有事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．由题意可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为3036＝56.2．已知集合M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N )”的概率是( ) A.15 B.14 C.16 D.12押题依据 与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大． 答案 A解析 因为M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }＝(－1,4)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以“x ∈(M ∩N )”的概率是2－14－(－1)＝15.3．在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率P 为( ) A.164 B.116 C.18 D.14押题依据 与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下． 答案 D解析 由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率P ＝4282＝14.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7答案 B解析 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.2．(2018·安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18 mm ，小米同学为了计算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A.486π5mm 2B.243π10 mm 2C.243π5mm 2D.243π20mm 2答案 B解析 由古典概型概率公式， 得落在装饰狗的身体上的概率为150500，由几何概型概率公式，得落在装饰狗的身体上的概率为Sπ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822，所以S π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝150500，所以S ＝243π10mm 2.3．(2018·全国Ⅲ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3答案 D解析 设2名男同学为a ，b,3名女同学为A ，B ，C ，从中选出两人的情形有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女同学的情形有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310＝0.3.4．(2018·大庆质检)在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23，现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A ．1－38B.1－32C.32D ．1－32答案 D解析 ∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为23， ∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为2 3.设“勾”为x ，“股”为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧xy 2＝23，x 2＋y 2＝16，解得x 2＝4或x 2＝12. ∵x <y ，∴x 2＝4，即x ＝2， ∴y ＝23，∴小正方形的边长为y －x ＝23－2，∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为P ＝(23－2)216＝1－32. 5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X ，Y ，X ，Y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤X ≤4，0≤Y ≤4，如图所示．两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒，即|X －Y |≤2，表示的区域如图阴影部分所示，所以所求的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 6．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为________． 答案 16解析 由题意可知，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率P ＝1060＝16.7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 答案 56解析 由题意可知，基本事件共有36个，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个． 故所求概率为P ＝3036＝56.8．(2018·咸阳模拟)一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是________． 答案π6解析 设正方体的棱长为2a ，其体积V 1＝()2a 3＝8a 3， 内切球直径为2a ，故半径R ＝a ， 其体积V 2＝43πR 3＝43πa 3，利用几何概型概率公式并结合题意可知，这只蚊子安全飞行的概率是P ＝V 2V 1＝43πa 38a 3＝π6.9．(2018·天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以事件M 发生的概率P (M )＝521.10．(2018·北京海淀区模拟)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩(单位：分)．记录的数据如下：(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (2)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x 1，s 21，考核成绩的平均数和方差分别为x 2，s 22，试比较x 1与x 2，s 21与s 22的大小．(只需写出结论) 解 (1)这10名学生的考核成绩(单位：分)分别为 93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91.其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人． 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是610＝35.所以从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. (2)设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由(1)知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含(1号，5号)、(1号，7号)、(1号，8号)、(1号，9号)、(1号，10号)、(5号，7号)、(5号，8号)、(5号，9号)、(5号，10号)、(7号，8号)、(7号，9号)、(7号，10号)、(8号，9号)、(8号，10号)、(9号，10号)，共15个基本事件，而事件A 包含(1号，8号)、(1号，10号)、(8号，10号)，共3个基本事件， 所以P (A )＝315＝15.(3)x 1＝x 2，s 21>s 22.B 组 能力提高11．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意有P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0,1]上的均匀随机数y i (i ∈N *,1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( ) A.35(e －1) B.25(e －1) C.35(e ＋1) D.25(e ＋1) 答案 A解析 由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35.∵矩形区域的面积为e －1，∴曲边三角形面积的近似值为35(e －1)．13．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________． 答案512解析 由题意得，连掷两次骰子分别得到点数m ，n ， 所组成的向量(m ，n )的个数为36，由于向量(m ，n )与向量(1，－1)的夹角θ为锐角， 所以(m ，n )·(1，－1)>0， 即m >n ，满足题意的情况如下： 当m ＝2时，n ＝1；当m ＝3时，n ＝1,2； 当m ＝4时，n ＝1,2,3； 当m ＝5时，n ＝1,2,3,4；当m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5，共15种， 故所求事件的概率为1536＝512.14．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的34，男生喜欢看该节目的占男生总人数的13.随后，该小组采用分层抽样的方法从这n 份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人．(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率； (2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n 至少为多少． 参考数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a ，b ，c ，不喜欢看该节目的为d ，e ，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种， ∴P ＝310，即这两人都喜欢看该节目的概率为310.(2)∵进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为35n ，不喜欢看该节目的总人数为25n .设这次调查问卷中女生总人数为a ，男生总人数为b ，a ，b ∈N *，则由题意可得2×2列联表如下：解得a ＝1625n ，b ＝925n ，∴正整数n 是25的倍数，设n ＝25k ，k ∈N *，则34a ＝12k ，14a ＝4k ，13b ＝3k ，23b ＝6k ，则K 2＝25k (12k ·6k －3k ·4k )216k ·9k ·15k ·10k ＝256k . 由题意得256k ≥6.635，解得k ≥1.59，∵k ∈N *，∴k min ＝2，故n min ＝50.。
2020年高考数学二轮复习 10 概率与统计讲学案 理.doc
回扣10 概率与统计1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；②互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n(x 1＋x 2＋…x n )；④方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质(ⅰ)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(ⅱ)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .③期望的性质(ⅰ)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (ⅱ)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； (ⅲ)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).⑤方差的性质(ⅰ)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(ⅱ)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； (ⅲ)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k. ⑧条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．(3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． (4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A．62,62.5 B．65,62C ．65,63.5D ．65,65答案 D解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C解析 同时投掷两枚硬币一次，在A 中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A 中两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，，则所选5名学生的学号可能是( )A ．1,2,3,4,5B ．5,26,27,38,49C ．2,4,6,8,10D ．5,15,25,35,45 答案 D解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为505＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( ) A ．0.95 B ．0.05C ．0.47D ．0.48 答案 D解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为4848＋47＋5＝0.48.6．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12 答案 A解析 在圆上其他位置任取一点B ，设圆的半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23·2πR ，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P ＝23·2πR 2πR ＝23.故选A.7．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A.13B.23 C.710 D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数有7种，故所求概率P ＝710.8．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.18B.38C.14D.78 答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38，故选B.9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 答案 B解析 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．10．设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 539 答案 B解析 由题意知，P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.11．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e2 解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 由e x＝e ，得x ＝1，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.12．样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．答案 680解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1⇒x ＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1 000×0.68＝680.13．已知x ，y 的取值如表所示.从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 2.6解析 根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的期望E (η)＞74，则p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2；(3)求这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数所占的百分比． 解 (1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人． 由题意可知，抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34， 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)，得x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)由(2)，得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的共有23人， 所占的百分比为2336×100%≈63.89%.16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响．(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和期望． 解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P ＝C 12·13·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6，则P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·13·232＝1681，所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.。
高考数学知识模块复习指导学案——概率与统计【III】人教版
高考数学知识模块复习指导系列学案——概率与统计【III】9．统计学中有哪些基本概念?数理统计的研究对象也是随机现象．概率论是从对随机现象的大量观察中提出随机现象的数学模型，然后再研究数学模型的性质和特点，由此来阐述随机现象的统计规律性；而数理统计则是从对随机现象的观测所得资料出发，用概率论的理论来研究随机现象．比如对随机现象的数学模型中某些参数进行估计，或者检验随机现象的数学模型是否得当，然后在此基础上对随机现象的性质和特点作出推断．现在介绍一些数理统计中的基本概念．在数理统计中，我们最关心研究对象的某项数量指标．我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体．每个个体是一个实数．例如，某工厂生产的灯泡寿命的全体是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男学生的身高的全体是一个总体，每个男学生的身高是一个个体．总体按照其包含的个体总数分为有限总体和无限总体．例如，某工厂10月份生产的灯泡寿命所成的总体中，个体的总数就是10月份生产的灯泡数，这是一个有限总体．而这个工厂生产的所有灯泡寿命所成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命．当有限总体所包含的个体的总数很大时，可以近似地将它看成是无限总体．例如，我们来考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所成的总体．我们知道灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在1000小时～1300小时的占灯泡总数的85%．落在1300小时～1800小时的占灯泡总数的5%等等．即灯泡寿命的取值有一定的分布．一般，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标Ｘ，它的取值在客观上有一定的分布，X 是一个随机变量．我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究．据此，Ｘ的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征．要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的．例如，要研究灯泡寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得试验的所有结果，这批灯泡也全部被烧毁了．因此我们只能从整批灯泡中抽取一些灯泡做寿命试验，并记录结果，然后根据这些数据来推断整批灯泡的寿命情况．又如，对于像啤酒瓶盖橡皮垫片这种产品，尽管只要通过简单的测量就能确定它是否合格，而且试验又不是破坏性的，然而，由于垫片的产量为数甚多，逐一测验要花费大量人力和时间，因此，我们仍然只能抽取少量垫片进行测量，并根据所得数据估计整批垫片的合格率．一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得数据来推断总体的质，这些被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本．所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X 进行一次观察(即进行一次试验)，并记录其结果．我们在相同的条件下对总体X 进行n 次重复的、独立的观察．将n 次观察的结果按试验的次序记为.X ,,X ,X n 21 由于n 21X ,,X ,X 是对随机变量X 观察的结果，且各次观察的结果是在相同条件下独立进行的，所以有理由认为n 21X ,,X ,X 是相互独立的，且都是与X 具有相同分布的随机变量．这样得到的n 21X ,,X ,X 称为来自总体X 的一个简单随机样本，n 称为这个样本的样本容量．当n 次观察一经完成，我们对这组随机变量n 21X ,,X ,X 就得到一组观察值,x ,,x ,x n 21 它是一组实数，称为样本值．对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单随机样本，但放回抽样应用起来不方便，当个体的总数N 比要得到的样本容量n 大得多时，(—般当N ≥10·n 时)，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理．综上所述，我们给出以下的定义．定义：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若n 21X ,,X ,X 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称n 21X ,,X ,X 为从分布函数F(或总体X)得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本．它们的观察值n 21x ,,x ,x 称为样本值，又称为X 的n 个独立的观察值．10．什么是频数表和频数分布?假定某个数学班的学生的身高(单位：厘米)如下：164 173 168 168 176 170 162 167 171 169168 160 165 168 166 168 167 171 166 172用这种形式给出的数据难以说明什么问题．如果把它们加以整理，就比较容易说明问题了．例如，我们可以按照递增和递降的顺序来排列身高，这叫做排序．于是我们很容易看出：160是最小身高，176是最大身高，身高为168或低于168的约占半数，所测量的最大值和最小值之差称为极差．下面是按递增顺序对身高的排序：160 166 168 168 171162 166 168 169 172164 167 168 170 173165 167 168 171 176整理数据的—个更为有用的方法是频数表，它给出了每一类的频数．如下表所示：表1-22另外，常用的还有点频数图．点频数图是—种表示数据在极差范围内是怎样散布的图形，本例中我们看到身高似乎集中在168左右．如图1—4所示：频数表和点频数图都用来表示数据的分布或频数分布．需要注意的是，频数分布是一个函数，即每个观察值与它的频数相对应．这样，—个频数可以用表示一个函数的三种方式的任何—种来表示：用表、用图或用一个规则(有时是解析式)．在描述数据时，通常用表(频数表)或图(例如点频数图等)．可是，为了描述一种理论频数分布，有时必须要说明给出函数的规则．有时，把数据整理成另一种分布──所谓的累积频数分布图──是方便易行的，如图1-5所示：这种分布图给出了每一观察值与不大于该观察值的频数之间的关系，从图形上看，累积频数分布用一种累积图来表示．横轴上的数表示身高，纵轴左边的数表示累积频数．而右边的数表示累计频数的百分比．于是，每一个纵坐标给出了少于或等于相应横坐标上身高的频数或百分数，从上面的累积图显然看出，身高少于或等于167厘米的频数是8，百分比是40%．累积图上纵坐标为P，百分数的点所对应的横坐标叫做P百分位数．例如，90百分位数是172．这意味着90%的人的身高小于或等于172厘米．50百分位数称为中位数，25百分位数称为下四分位数，而75百分位数称为上四分位数．11．如何对大量的原始数据进行数据分组?当碰到大量原始数据时，把这些数据按适当的区间分组是方便的．为了便于计数，希望所选择的每个区间的中点是诸如5或10的倍数．一般区间数应不少于10个而不多于25个．区间的边界值通常应比原始数据中出现的小数位数多一位，以便使得每一个数据仅包含在一个区间之内．假定下面的数据是有50个高中学生的一个班在某次数学测验中所得到的分数：88 74 67 49 69 38 86 77 66 75 94 67 78 69 84 50 3958 79 70 90 79 97 75 98 77 64 69 82 71 65 68 84 7358 78 75 89 91 62 72 62 74 81 79 81 86 78 90 81乍一看这些分数就知道，最低分为38，最高分为98．于是，如我们要把数据分组，使区间中点为5的整倍数，可分为13个区间，它满足大于10小于25的条件．为了保证每个数据仅被包含在一个区间内，区间的边界确定到小数点后一位．这就得出下面的数学测验得分的分组频数表．表1-23为了从图形上说明分组数据的频数分布，我们用频数直方图来代替点频数图．直方图是一种条线图，其中每一个矩形的底表示一个区间，高表示在给定的区间内观测数据的个数．上述数学测验得分分组直方图如图1—6所示：对未分组的数据作出的累积图给出了累积分布．对分组数据，我们叫做累积折线，也叫尖顶图．这个图的作法是：折线上的点的横坐标取所在区间的右边界，纵坐标取相应的累积频数，然后把所确定的点用线段连接起来，横坐标为第一个区间的左边界、纵坐标为零的点，也包括在累积折线内．如图1-7所示：这样，对于累积折线上的任何一点，纵坐标给出了少于或等于横坐标的观察数据的数目．从前面给出的数学测验的累积折线图上可以看到，少于或等于91分的大约为45人．像在累积图上一样，也可用同样的方法在累积折线上决定百分位数．例如，在上图中可以读出，中位数为76；25百分位数是67；75百分位数是82．前面的问题介绍了频数表和频数分布．这个问题中又介绍了如何对数据进行分组，让我们来看一道例题说明前面这些图表的作法．例下面是30个灯泡的寿命(单位：小时)870 840 920 950 960 810 830 860900 800 940 920 850 840 880 810950 840 830 910 970 930 870 930900 980 910 930 970 880试作出这组数据的总频数图和累积图．另外把这些数据按区间795—815，815—835，835—855，…，975—995分组．作出其频数表、直方图和累积折线．思路启迪为了作出点频数图和累积图，我们先做出这组数据的频数表如下所示：表1-24有了上面的频数表，我们很容易作出点频数图和累积图．规范解法根据所给数据的频数表我们可以作出点频数图和累积图如下所示：按给定的分组可得频数表、直方图和累积折线分别如下：区间区间中点频数频数百分比累积频数累积频数百分比795－815 805 3 10 3 10815－835 825 2 6.7 5 16.7835－855 845 4 13.3 9 30855－875 965 3 10 12 40875－895 885 2 6.7 14 46.7895－915 905 4 13.3 18 60915－935 925 5 16.7 23 76.7935－955 945 3 10 26 86.7955－975 965 3 10 29 96.7975－995 985 1 3.3 30 100表1-2512．如何度量给定数据组的中心趋势和离散程度？资本家和工会公开辩论工人的工资，工会报告说，工人每年拿到的工资平均只有3000元，而资本家却说工人的年平均工资为7300元，到底谁的话更可信呢?在作出判断之前，我们先来看一下用来计算上述结果的工人工资数：3000，3000，3000，3500，4000，4500，6000，6000，15000和25000，在所有这些工资中，哪一层次的最普遍呢?也就是说，在上面所列的工资中，工人拿哪一种工资的人最多?在数据集合中，我们称出现最多的数字为“众数”．在上面给出的集合中，众数是3000．用以代替所考虑的最常出现的工资数，我们把所有工人的工资放在—起求平均数，这样得到的是这组数据的平均数，一般用“x ”表示．即：对给定的数据n 21x ，x ,x ，有下列公式()n 21x x x n1x +++=．按公式可以计算我们给定的工资集合的平均数7300x =元．那么7300元是不是对工人平均工资的合理的估计呢?有时，用来估计数据集合的中心趋势的另一个数是中位数．把一组数据按从小到大的顺序排列．然后取中间的一个数，它就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数就取中间两个数的平均数．那么上述工资数据的中位数是多少呢?易得这组数据的中位数是4250，那么在3000，4250，7300这三个数中，哪一个看上去是平均工资的最好估计呢?上面讲的众数、平均数和中位数可统称为平均．一般情况下，如果有人告诉你某一数据集合的平均是某个数，而没告诉你它是一个什么样的平均，则这个信息就没有太大的作用．一般来说，即使告诉了你别人用了哪种平均方法，掌握更多的资料比只知道平均更为有价值．例如，除了知道平均数为7300元以外，我们又知道它由10个人的工资所平均，这样的话，工资总数为73000元．当然，工资总数并不能告诉你工资是如何分配的，这对工会来说似乎是最重要的问题，如果有一份工资为50000元，(例如经理的工资)，那么分给其他9个人的工资就不会太多．换一种情况，如果最高工资为8000元，那么大多数雇员一定会得到7000元左右的工资．这样，很清楚，如果与平均工资一起报出最高和最低工资，我们就能对上述两种说法有比较公正的看法了．如果不是告诉读者最高和最低工资，而是给出了最高和最低工资之差(称为极差)，对于精明的读者，仍然能找到许多有用的信息．例如，如果10份工资的平均数是7300元，极差是22000元，我们就能断定最高工资至少是22000元，更可能是24000元或25000元，因为最少的工资几乎可以肯定会是2000元或多一些．因此有如果10个人的平均工资是7300元，总工资应为73000元．如果一个人的工资大约是24000元，那么其他9个人的总工资应为49000元，9人的平均工资约为5444元．一个数据集合的极差是这组数据离散程度的度量，可是，极差仅仅依赖于数据两端的值．它没有给出关于这两个端点间数据离散程度的任何信息．对一个数据集来说，任何一个数据i x 对平均数x 的离差为.x x i -使用前面关于工资的数据(它的平均数为7300元)，我们计算3000对于平均数的离差：.430073003000x x i -=-=-再计算15000对于平均数的离差：.7700730015000x x i =-=-注意到3000对于x 的离差为负．而15000对于x 的离差为正．计算其余的每一工资数对于x 的离差有：表1-26由上表可知，所有工资数对于x 的离差之和为0．事实上，任何一组数据对平均数的离差之和总是0．因此，不能用对平均数的离差来描述这组数据的离散程度．因为对平均数离差的总和没有给出关于这一数据集合的离散程度的任何信息．可是，我们可以考查对平均数离差的绝对值，由于一个数的绝对值不会是负数，并且除非对所有的i x 有0x x i =-，否则对平均数的离差的绝对值之和就不会是0．就上述工资的数据来计算这个和，我们得到40900，这个和也不是关于数据离散程度的满意的度量，因此我们用测量数据的个数去除40900，得到4090这个值称为平均离差，它常用来度量数据的离散性．虽然数据的平均离差能对数据的离散性进行可靠、合理的度量，但在更高级的数学处理中，绝对值的运算常常会带来一些问题(尤其对大量数据而言)．因此，我们常采用所谓标准差来作为离散性的度量．经过上面的叙述可以知道，之所以使用绝对值函数，主要考虑到它是正的，也就是说，我们只需要考虑绝对值的大小．具有同样性质的另一种函数是将离差平方．这种作法构成了下面标准差概念的基础．定义：已知n 21x ,,x ,x 是一组观测值．x 是这组观测数据的平均数，则该组数据的标准差为：()()().nx x x x x x2n 2221-++-+-=σ 标准差的平方与标准差本身是一样方便的，标准差的平方()()()[]2n 22212xx x x x x n1-++-+-⋅=σ 称为方差．关于上面工资数据的离差和离差的平方如下表：表1-27一个用以简化计算标准差的等价公式是：().x x x x n122n 2221-+++=σ 为了推导这个公式，我们来考查方差的公式：()()()[],x x x x x x nn 2222121-++-+-=σ将和式中每一个二项式平方后得到：[], x x x 2x x x x 2x x x x 2x n12n 2n 222221212+-+++-++-=σ 整理后得到：()[]()2n212n 22212n212n 22212x nx x x x 2x x x n 1 x n x x x x 2x x x n1++++⋅-+++=++++-++-=σ ()(),x x x x n1x x 2x x x n122n 2221222n 2221-+++=+-+++=在上式两端取平方根就得到().x x x x n122n 2221-+++=σ 因为上面的公式和关于标准差的原公式是等价的，所以如果觉得哪个方便就用哪个．例如计算3，5，8，13的标准差，用所推导的公式计算如下：().x x x x n122n 2221-+++=σ ()().8.31622716841426742916964259414138531385341222222≈=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=而运用原公式，我们计算如下：()()()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-+-=σ222222222n 2221423434941741 4291342984295429341 x x x x x x n18.31652998128941≈⎪⎭⎫⎝⎛+++=。
2020届一轮复习人教B版概率学案
《概率》全章节复习与巩固【学习目标】1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用.4.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.6.了解正态分布的有关概念. 【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,等表示。
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=13．如果随机变量X 的分布列为称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。
要点二、超几何分布在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =，其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N *≤≤∈，，，，，称分布列为超几何分布列。
离散型随机变量X 服从超几何分布。
要点三、独立性1.条件概率的概念设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(|)P B A 表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案第1讲概率与统计1. (2019·石家庄检测)甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图所示，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是()(第1题)A. 21，22.5B. 23，22.5C. 21，22D. 23，222. (2019·厦门一模)如图所示是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是()(第2题)A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份3. (2019·南昌一模)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率等于__________．4. (2019·深圳二模)某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如图所示的频率分布直方图. 若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为________．(第4题)5. (2019·芜湖三模)19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够像圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形．这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示．现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______________．（第5题）6. (2019·南昌一模)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000 h．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图所示的频率分布直方图．某商家因原店面重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年. 新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装. 已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600 h，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．(用频率估计概率)(1) 根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2) 根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3) 若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯？请说明理由．(第6题)7. (2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：74≈8.602.8. (2019·青岛二模)鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征．某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鲤”和“中华彩鲤”杂交育种实验，研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育．为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据(单位：cm)如下：(1) 根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为8.3 cm，它能否被选为种鱼？请说明理由；(2) 通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为5.1 cm，中华彩鲤样本数据平均值为4.875 cm，求所有样本数据的平均值；(3) 如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率．9. (2019·洛阳一模)某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在170～175 cm的男生有16人．(第9题(1)) （第9题（2））(1) 试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？(2) 根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”？(3) 在上述100名学生中，从身高在175～185 cm之间的男生和身高在170～175 cm之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2 人中恰好有一名女生的概率．参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.参考数据：10. (2019·安庆期末)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：g)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1) 估计这组数据的平均数；(2) 现按分层抽样的方法从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；(3) 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总计，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250 g的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250 g的芒果以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．(第10题)第2讲统计案例1. (2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()A. 38件B. 40件C. 46件D. 58件2. (2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.59，a^＝y－b^ x，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为()A. 2.555万元B. 1.945万元C. 1.915万元D. 1.795万元3. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：A. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”4. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：则y关于t的回归方程是____________．附：回归方程y^＝b^t＋a^，b^＝∑i＝1nt i y i－nt y∑i＝1nt2i－nt2，a^＝y－b^t .5. (2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上（含25周岁）组25周岁以下组,(第5题))(1) 根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3) 规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？6. (2019·临汾期末)如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(第6题)注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y 与t相关性的强弱；(2) 建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．7. (2019·广州一模)某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数、客户性别等进行统计，整理得到下表．(1) 根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2) 从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3) 将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关．8. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出，广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：(1) 若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2) 若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3) 已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x.根据(2)的结果，求当广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值．参考公式：回归直线y^＝a^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －nx y∑i ＝1nx 2i －nx2＝∑i ＝1n（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2，a ^＝y －b ^ x ．参考数据： 5 ≈2.24.9. (2019·益阳二模)房价收入比，是指住房价格与城市居民家庭年收入之比．幸福是人们对生活满意程度的一种主观感受．幸福指数是衡量人们这种感受具体程度的主观指标数．幸福指数由若干指标综合而成．下表是10所城市的“房价收入比”和“幸福指数”．(1) 填写以下列联表，并计算有没有85%的把握认为幸福指数高(大于89)低与房价收入比高(大于1.7)低有关；(2) 已知城市宜居指数y ＝幸福指数房价收入比，x 表示房价收入比的排名序号，建立y 关于x 的线性回归方程，并估算排名11的城市的宜居指数．参考公式和数据：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.P(K 2≥k),0.15,0.10,0.05,0.025,0.010,0.005,0.001k,2.072,2.706,3.841,5.024,6.635,7.879,10.828回归直线y ^＝b ^x＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －nx y∑i ＝1nx 2i －nx2＝∑i ＝1n（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2，a ^＝y －b ^x ，x y ≈300.96，∑i ＝110xi y i ≈3 411.60，∑i ＝110x 2i＝385，y ≈54.72.。