三角形相似 复习
相似三角形专题复习
考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是a mb n=，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足a cb d=或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形性质和判定复习
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
相似三角形复习
相似三角形复习关键信息项：1、相似三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质：＿___________________________2、相似三角形的判定方法方法：＿___________________________示例：＿___________________________3、相似三角形的应用应用场景：＿___________________________解题思路：＿___________________________11 相似三角形的定义相似三角形是指三角分别相等，三边成比例的两个三角形。
两个三角形相似用符号“∽”表示。
111 相似比相似三角形对应边的比称为相似比。
相似比为 1 时，两个三角形全等。
112 相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
12 相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
121 直角三角形相似的判定1、一个锐角相等的两个直角三角形相似。
2、两条直角边成比例的两个直角三角形相似。
3、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
122 判定方法示例例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC ∽三角形 A'B'C'。
又比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C' 且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
13 相似三角形的应用131 应用场景1、测量物体的高度，如测量旗杆、大树等的高度。
相似三角形判定复习(一)
A E
C
二、证明题： 证明题： 1.D为 ABC中AB边上一点 边上一点， 1.D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. A 2=AD AB. 求证： 求证：AC =AD·AB. 2.△ABC中 BAC是直角 是直角， 2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC BC的直线 边中点M而垂直于斜边BC的直线 CA的延长线于 的延长线于E AB于D,连 交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. 求证： 求证：① △ MAD ∽△ MEA B ② AM2=MD · ME D 如图，AB∥CD，AO=OB， 3. 如图，AB∥CD，AO=OB， E DF=FB，DF交AC于 DF=FB，DF交AC于E， 求证： 求证：ED2=EO · EC. A
复习（ 复习（一）
一、相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：
A'
定理1 两角对应相等，两三角形相似。 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 ∠A' ∠A= ∠A ⇒△ABC∽△A'B'C' B' ABC∽△ B C C' ∠B' ∠B= ∠B A 定理2 两组边的比相等且夹角相等， 定理2：两组边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。 两三角形相似。 AB BC = ABC∽△ B C A 'B ' B ' C ' ⇒ △ABC∽△A'B'C' ∠B' ∠B= ∠B B C 定理3 三组边的比相等，两三角形相似。 定理3：三组边的比相等，两三角形相似。
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC D ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC B △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
第二十四章-相似三角形-复习ppt课件
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形期末复习
2 : 3
2 : 3
4 : 9
2、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
D
A
B
C
5
3
三,相似三角形的应用
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274， 求金字塔的高度OB。
即
a b b c
= ，
(或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
2
ac
b
=
即：
一.比例线段
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
∴ =
AD AE
AC AB
∴ AD·AB＝AE·AC
作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AD·EF＝AE·EC
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∵E是BC中点，FC= BC
∴
∴
∴△ADE∽△ECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
（1）对应角相等,对应边成比例 （2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比 （3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方
------万州德澳中学初三数学备课组
相似三角形复习1
A D B M C
D
C O
2. 如图，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO ·EC.
E A B
F
△ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA
E
② AM2=MD ·ME
证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD A D 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° B C ∠E+ ∠ADE= 90° M ∠BDM= ∠ADE ② ∵ △MAD∽ △MEA ∴∠B=∠E AM ME ∴∠MAD= ∠E ∴ MD AM 又 ∵ ∠DMA= ∠AME 2 即AM =MD· ME ∴△MAD∽ △MEA
AC BC BC BD
b 时，即当
BD
１ 时， B
D
a 2 b2 BD
2 2
时，
△ABC∽ △BDC， ∴ BD b a b
答：略.
a
将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假 设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似 （不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来. A 解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA １ 2 E C （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA ） B D G
1.平行线分线段成比例定理及推论 对应高,中线,角平分线 的比等于相似比 对应周长的比等于相似比
相 似 三 角 形
2．性质
面积比等于相似比的平方
1.平行
3．判定
2.AA 3.SAS 4.SSS
相似三角形的复习
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等； 、相似三角形的对应角相等； 2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、 、相似三角形的对应线段（ 中线、 角平分线）成比例，且等于相似比； 角平分线）成比例，且等于相似比； 3、相似三角形的周长比等于相似比； 、相似三角形的周长比等于相似比； 4、相似三角形的面积比=（相似比）2 、相似三角形的面积比 （相似比） 5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直 、 角三角形和原三角形相似。 角三角形和原三角形相似。
AB CD EF
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， ；（2）请找出S 之间的关系式， 由；（ ）请找出 △ABD，S△BED和S△BDC之间的关系式，并 给出证明。 给出证明。 A A E C E C
B
F
D
B
F
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤： 三角形相似证线段成比例的一般步骤： 证线段成比例的一般步骤 1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 、 角形； 角形； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 2、再找这两个三角形相似所需要的条件； 3、如这两个三角形不相似，则采用其它办 、如这两个三角形不相似， 中间比代换等 如找中间比代换等）； 法（如找中间比代换等）； （注意：当无法用三角形相似来证明线段成 注意： 比例时，可试着用引平行线的方法。） 引平行线的方法 比例时，可试着用引平行线的方法。）
F
1、如图 ABCD中，G是BC延长线上的一点， 、 延长线上的一点， 中 是 延长线上的一点 AG与BD交于点 ，与DC交于 点，则图中相似的 与 交于点E， 交于F点 交于点 交于 三角形共有（ 三角形共有（D ）对。 A
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三角形相似 复习
教学目的：提高学生对三角形相似判定定理的认识及应用能力。
教学重点：三角形相似判定定理的认识及应用 教学难点：三角形相似判定与性质综合应用。
教学内容：
一复习知识要点：
1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形
2、相似三角形的判定定理及其推论
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似 3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似 4.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比. 5。
三角形的中位线定理：平行于第三边且等于第三边的 一半.6 梯形中位线：等于上、下底和的一半且平行于底边。
7图形的变换与坐标 二例题讲解：
例2. D 为△ABC 中AB 边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD ·AB
2如图在4×4的正方形方格中，△
ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上（1）填空：∠ABC=_____,BC=_______． 2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？
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