第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案

得 ＭＱ 一 １ ２ ３ ９ ９ ９ ９ ． ６ ｃ ｍ≈ １ ２ ． ４ ｋ ｎ ｉ ．
答： 飞机距地 面的高度约 为 １ ２ ． ４ ｋ ｎ． ｉ
２ ． （ 满分 １ ４ 分） 某工程 队共 有 ６ ０ ０ 人， 要建造一
段５ ０ ０ ０米 的高速公 路 ， 工 程需 要 把 ６ ０ ０人分 成 两 组， 一组 的任务是 完成一段 ２ ０ ０ ０米 的软土 地带 ， 另
３ ０ ０ ０÷ （ ６ ０ ０～ ｚ），
解为 知 ≈ ３ １ ５ ． ８ ．
ｆ ５ — ０ Ｘ — ２ ０ ０ ０ ， ｚ∈（ ｏ ， ３ １ ５ ． ８ ）
Ｉ Ｚ
近似 地 垂 直 于 地 面． 根 据 已 知 数
据， 因为飞机在 ９ Ｏ分钟内飞行 ９ ３ ０ ｋ ｍ（ 即９ ３ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｃ ｍ） ， 可算 出飞行 的平均速度 为 １ ０ ３ ３ ３ ３ ３ ｃ ｍ／分 钟 ， 再 根据假设 ， 可得右 图 ， 在 ＡＭＥ Ｆ
短？
喜欢 看电视 剧的青年人 的集合 ， Ｂ为喜欢 看早 期 电 视 节 目的青年人 的集合 ， Ｃ为喜欢 周末 看电视 节 目
的青 年人 的集合 ， 用韦恩 （ Ｖ ｅ ｎ ｎ ）图表示 上Βιβλιοθήκη 集 合 ， 将集合 Ａ涂上 阴影
中调查数据看得下 图，
解 设在软土地带工作 的人数为 ｚ ， 则在硬 土 地带工作 的人数为 ６ ０ ０ 一ｚ ， 在软土 地带筑 路时间为 厂 （ ｚ ）＝ ５ ０ ｘ ２ ０ ０ ０÷ ｚ； 在硬 土 地带 筑 路 时 间 为
第４ ６卷
第５ 期
由点 Ｐ和点 Ｐ 及 点 Ｑ 和点 的对称 性知 ， Ｑ 一 Ｌｔ ０ ３— ８ ，
解 设北京 至南京 的 飞行是 匀速 的 ， 并且乘 客俯 瞰地 面的视线
厂 （ ｚ ） 在（ Ｏ ， ６ ０ ０ ） 上 是 减 函数 ； ｇ （ ｚ ） 在（ Ｏ ， ６ ０ ０ ） 上是增函数．
求厂 （ ｚ ）一 ｇ （ ｚ ） 的解 ， 即５ Ｏ Ｘ ２ ０ ０ ０ ÷ｚ＝ ３ ０ Ｘ
６ ７ ） 一２ ８元 ．
“ 喜欢在周末看 电视 的青年人的集合” 记为 Ｑ 贝 Ｕ 有 Ｐ— Ｍ —Ａ， Ｑ— Ｍ —Ｃ
由于 Ｍ 一（ Ａ Ｕ Ｂ Ｕ Ｃ）一 （ Ｍ —Ａ）Ｎ （ Ｍ —Ｂ）
ｎ（ Ｍ—Ｃ ），可知 （ Ｍ一（ Ａ Ｕ Ｂ Ｕ Ｃ ） ） 一 １ ３ ，
这位朋友 在 为第一 位 顾 客垫 付 １ ５ ８元 买上 衣 时， 他得 到 了 ３ ０ ０元 的购 物券 ， 相 当 于用 １ ５ ８元 以 １ ５ ８ ／ ３ ０ ０＝ ５ ２ ． ６ ７ 折买到 了 ３ ０ ０ 元 的券 ．
Ａ）Ｎ （ Ｍ — Ｂ）ｎ （ Ｍ — Ｃ） ）＝ １ ３
是只 比应该的折扣价多花 了 ３ 元钱． 请你分析 ， 这位
朋友收入的 ２ ８ 元钱是 怎样挣来 的？
根据 图得 到答案 ： 不喜欢 看 电视 剧 的青年 人数
为１ ２ ＋１ ３ ＋４ ＋１ １ （ 人） ， 即４ ０ 人； 喜欢在周末看 电
解 粗看起来 “ 买 一百 ， 返一 百 ” 相 当 于打五 折． 实际上并 非如 此 ， 因为 商场 的商 品很 少被 定价 为整百元． 如果商 品的价格是 ｍ： １ ０ ０ ｎ ＋ｎ （ 元） ， 其 中ｎ ≥１ 为整数 ， ０ ≤ａ ＜１ ０ ０ ， 则 加上返 券 ， 顾 客实 际所得到 的折扣应该是
ＡＢ为舷 窗 的宽 度 ， 于是
ＡＭＡＢ的高 ， ＭＱ是 ＡＭＥ Ｆ的高 ，
为乘 Ｅ Ｑ
人到硬 土地带 工作 时 ， 可以使全队筑路工 期最短．
客 的眼睛与舷 窗的距离 ， Ｅ Ｆ为飞机在 １ 分钟 内飞行
的地 面 距 离 ． 有 ： 卿 ＝ １ ０ ３ ３ ３ ３ ３
１ ０ ０ ｎ＋ ａ 、 ２ ０ ０ ｎ＋ ａ ／ ，
当商品的定价不是 整百元的时 候 ， ａ＞ ０ ， 这 时顾客
所得 到的是少 于五折 的折扣 ．
２ １ ，， ｚ （ Ａ Ｎ Ｃ）一 ８ ，
（ Ｃ）一 ３１ ， （ Ｂ）一 ３ ６， （ Ａ）一 ４ ０， （ （ Ｍ —
故知 ｚ 。 是 （ ｚ ）的最小值点． 但３ １ ５ ． ８ 不是整数 ， 于 是计算 ｔ （ ３ １ ５ ） 和ｔ （ ３ １ ６ ） ， 其 中较 小数 为所求． 经计
算， ｔ （ ３ １ ５ ）一 ３ １ ７ ． ４ ６ ， ｔ （ ３ １ ６ ）＝ ３ １ ６ ． ９ ０ ． Ｆ 于是可知 ： 当安排 ３ １ ６人 到软土地 带工作 ， ２ ８ ４
目的青年人 的集合 ， 并记 （ ｘ） 为集 合 ｘ内元 素（ 人 数 ）的个数． 则上述调查 的结果可 以记 为
（ Ａ ｎ Ｂ ｎ Ｃ）一 ３ ，ｎ （ Ｂ Ｎ Ｃ）： ＝ ＝ １ ４ ， （ Ａ Ｎ Ｂ）
一
１ ０ ０ ｎ＋ ａ １ ０ ０ ｎ＋ ａ＋ １ ０ ０ ｎ
全 队筑路所需 时间为 ：
， 、
ｆ 厂 （ ｚ ） ， 当厂 （ ｚ ） ≥ｇ （ ｚ ） Ｉ ｇ （ ｚ ） ， 当ｇ （ ｚ ） ＞厂 （ ｚ ）
空后 ， 一位 乘客 从飞机 的 舷窗俯 看地 面 的景 物 ， 他 发现地面上的物体大约要用 １ 分钟 的时 间从舷 窗中 移过． 已知飞机舷窗的宽度 为 ２ ５ ｃ ｉ － ｎ ， 乘 客看 地面 时 眼睛与舷窗 的视线距 离为 ３ ０ ａ ｍ ． 请你 根据这 些信 息估算 出飞机距地 面的高度 ？
Ｄ
４ ． （ 满分 １ ８ 分 ）节 日里 某 商场 打折促 销． 宣 布 全场商品用 Ｒ ＭＢ每买 １ ０ ０ 元商 品 ， 就返给顾客 １ ０ ０ 元 购物券． 一 顾客 看中 了一件上 衣 ， 标价 是 ３ ５ ０ 元， 她想买又犹豫 ， 价格虽然较 高 ， 但若返 ３ ０ ０ 元 的购物
ｍ ｍ ＋ １ ０ ０ ｎ
０ ． ５
视节 目的青年人数 为 １ ４ ＋１ ８ ＋４ ＋１ ３ （ 人） ， 即４ ９ 人．
解法二 设 Ｍ 为被调查 的青年人 的集合 ， Ａ为
喜欢看 电视剧的青年 人 的集 合 ， Ｂ为 喜欢看 早期 电
视节 目的青 年人 的集 合 ， Ｃ为喜欢 在 平 日看 电视节
路， 并给出具体作 图步骤 ； （ ３ ） 上述两条最 短路 的长度 恒 等吗 ？ 如果 不恒 等， 试给 出它们相等 的条件 ， 并 指出何时 （ １ ）中画 出 的路其长度小 于（ ２ ）中路 的长度 ． 解 （ １ ） 作 图步骤是 ： ① 作点 Ｐ关 于直线 Ｒ Ｏ的对称点 Ｐ ， 点 Ｑ关于 直线 Ｓ ９的对称点 Ｑ ； ② 连接 Ｐ 与Ｑ ， 设线段 Ｐ Ｑ和Ｒ Ｏ、 印 的交点
维普资讯
５ ８
数 学通报
２ ０ ０ ７年
第４ ６卷
第５ 期
第 十届北京高 中数学 知识应用竞赛 决赛试 题及参考答案
１ ．（ 满分 １ ４分） 北京与南京地 面距 离大约 ９ ３ ０ ｋ ｎ． ｉ 民航飞机飞行 的空 中时间大约 ９ Ｏ分钟． 飞机升
券， 相当于打 了 ３ ５ ０ ／ ６ ５ ０— ５ ４ 折， 还是挺合算的 ；
转而又想 ， 我没有别的需求 ， 得到 的 ３ ０ ０ 元 购物券做
什么用呢？ 这时她 的一 位 朋友说 ： “ ３ ５ ０ 元 打五 四折
是１ ８ ９ 元， 如果你打算买这件上衣 ， 你 出五五折 的价
钱１ ９ ２ 元， 另１ ５ ８元钱 由我补 上 ， ３ ０ ０ 元 的购物券归
将所要求的“ 不喜欢看 电视 剧 的青年 人 的集合 ”记
为Ｐ，
后来用购物券 为后面 的顾 客买裤子 时 ， 又将这
３ ０ ０元券 以 １ ８ ６ ／ ３ ０ ０： ６ ２ 的折扣 换 回了现金 ， 从 而挣 到 了 两 次 折 扣相 差 的部 分 ３ ０ ０× （ ６ ２— ５ ２ ．
我． ” 这位顾 客欣然 同意 了． 之后 ， 这 位朋友 又 帮另
维普资讯
６ ０ 分 别为 Ａ、 Ｂ； ③ 连接 Ｐ与 Ａ， Ｂ与 Ｑ；
折线 Ｐ Ａ Ｂ Ｑ 是点 Ｐ 到河 Ｒ ０再到河 Ｓ Ｏ， 然后 到点 Ｑ的
数 学通报
２ ０ ０ ７年
，
３ ．（ 满分 １ ８ 分） 电视 台在暑假进行 了一次青年
人 收视 电视节 目偏好 的调查． 得 到的数据 如下 ：
他们 当中 ３ 人喜 欢在平 日（ 非周末 ） 看 早期 的
电视剧 ， １ ４ 人喜欢在平 日看早 期 的电视节 目， ２ １ 人 喜欢 看早期的电视剧 ， ８ 人喜欢 在平 日看 电视剧 ， ３ １ 人喜欢在平 日看电视节 目， ３ ６ 人喜欢看早期 的 电视 节 目， ４ Ｏ人喜欢看电视剧 ， １ ３ 人喜欢 在周末 看 近期 的电视节 目， 但不是 电视剧．
又 知 （ Ａ Ｕ Ｂ Ｕ Ｃ ）＝ （ Ｃ ） ＋ （ Ｂ ） ＋ （ Ａ） 一
ｎ （ Ｂ Ｎ Ｃ） 一ｎ （ Ａ Ｎ Ｂ） 一ｎ （ Ａ Ｎ Ｃ） ＋ｎ （ Ａ Ｎ Ｂ Ｎ Ｃ）
一 ４ ０＋ ３ ６＋ ３ １— １ ４— ２ １— ８＋ ３— ６ ７
第 ５期
数 学通 报
５ ９
外两个人 各买 了一条标 价为 １ ５ ０ 元 的裤子． 加 上返 券， 裤子相 当于打 了六折 （ ９ ０元 ） ． 他 提 出每人按 六
二折付给他 ９ ３元 ， 由他 帮忙把这两 条裤子买下 ． 两
人高兴地 同意 了 ， 这位朋友拿到 １ ８ ６ 元， 在收银台使 用他手 中已有 的 ３ ０ ０元 的购 物券为裤子 付 了款． 上 述过程使他获得 ２ ８ 元． 而买衣裤 的三位顾 客每人都
， 将集合 Ｂ涂上 阴影