《空间中平行关系的简单应用》教案)
2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)
利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。
注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。
（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。
⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。
2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。
（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ， 的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。
《平移与平行》案例研讨数学教案设计
《平移与平行》案例研讨數學教案設計标题：《平移与平行》案例研讨数学教案设计一、教学目标：1. 学生能理解并掌握平移和平行的基本概念。
2. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提升空间思维能力。
3. 通过小组合作和讨论，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
二、教学内容：1. 平移的定义和性质2. 平行线的定义和性质3. 平移和平行的关系三、教学过程：（一）导入新课教师通过展示一些平移和平行的实际例子（如滑动门、电梯、火车轨道等），引导学生思考这些现象背后的数学原理，从而引入新课。
（二）讲解新知1. 平移：教师解释平移的概念，然后通过演示动画或者实物模型让学生直观地理解平移的特性。
同时，鼓励学生自己动手制作平移模型，提高他们的动手操作能力。
2. 平行线：教师讲解平行线的定义和性质，并通过实例进行说明。
然后，引导学生观察生活中的平行线现象，使他们更好地理解和应用平行线的知识。
（三）实践操作组织学生进行分组活动，让他们利用平移和平行的知识解决一些实际问题。
例如，设计一个滑动门的运动轨迹，或者规划一条公路的路线等。
（四）总结反馈在课程结束时，教师对本节课的主要知识点进行总结，强调平移和平行的重要性。
然后，邀请几位学生分享他们在课堂上的学习体验和收获，以促进师生之间的交流和互动。
四、教学评估：通过观察学生在课堂上的表现和参与程度，以及他们完成实践活动的情况，来评估他们对平移和平行的理解和掌握程度。
此外，还可以通过小测验或作业的形式，进一步检查他们的学习效果。
五、教学反思：在教学结束后，教师要对自己的教学方法和效果进行反思，找出存在的问题和不足，以便在以后的教学中改进。
同时，也要关注学生的学习反馈，了解他们的需求和困惑，为以后的教学提供参考。
以上就是《平移与平行》案例研讨数学教案的设计，希望对你有所帮助。
学案33 空间中的平行关系(文理)
空间中的平行关系一、 学习目标：理解空间直线、平面位置关系的定义；认识和理解空间中平行关系的有关性质与判定定理能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
二、知识梳理：1、证明线线平行的方法：①定义 ②平行公理 。
③线面平行性质定理 ④面面平行性质定理2、证明线面平行的方法：①定义 ___________________。
②判定定理 ____ 。
③面面平行性质定理 。
3、证明面面平行的方法①定义 ____________________________。
②判定定理 ____________或4、等角定理：_____________________________________________________________。
四、基础训练：1、下列命题中，真命题的个数是：①过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行。
②过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行。
③如果平面α∥平面β，平面β∥平面γ,则有α∥γ④分别在两个平行平面内的两条直线平行。
⑤如果直线a 平行于直线b ，则a 平行于经过b 的任何平面。
⑥如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。
⑦过直线外一点，可以做无数个平面与这条直线平行。
⑧如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行A 、3B 、4C 、5D 、62、在四面体ABCD 中，AC=BD,E,F,G,H 分别为棱AB,BC,CD,DA 的中点。
则四边形EFGH 的形状是______________.3、已知,//αl 点P l m m P //,,∈∈α,则m 与α的位置关系是 _______________.五、合作、探究、展示：(一）定理、性质的应用例1 、如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.求证：MN ∥平面AA 1C 1.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、 C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.（二）平行与垂直的结合例2、（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．变式训练：一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M .N 分别为111A B B C 、的中点）.(1)求证：MN ∥平面11ACC A(2)求证：MN ⊥1A BC 平面【感悟提升】六、课堂检测：、1. 已知直线M a ⊆, 甲：平面M ∥平面N ，乙：a ∥平面N ，则甲是乙的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、不充分不必要条件2.若平面α//平面β，点B β∈,则在β内过点B 的所有直线中（ ）（A ）不一定存在与α平行的直线 (B)只有两条与α 平行的直线(C)存在无数多条与α平行的直线 (D) 存在唯一一条与α 平行的直3、已知m,n 是两条不重合的直线， ,,αβγ为三个两两不重合的平面，给出下列命题，其中正确的命题是（ ）①若m//β,n//β且m ⊂ α,n ⊂α则α//β ②若α β=n,m//n,则m//α,m//β ③若m ⊥α,m//β则α⊥β ④若α//β，且 γα=m, γβ=n,则m//n（A ）①③ (B) ①④ (C) ②④ (D) ③④七．体验高考1、（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（ ）/A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.(2012四川)、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 a 三视图 aa 1C 1A B C N1B MA八、课后作业1、下列命题中正确的是（ ）（A ）一直线与一平面平行，它就和这个平面内任一直线平行(B)平行于同一平面的两直线平行(C)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面(D)平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行2、在下列命题中正确命题的个数是（ ）①若直线a 平行于平面α，直线b ⊂α，则a//b ②如果点P 是直线a 上的动点，且P ∉平面α，那么a//α ③一条直线和一个平面内的无数条直线都异面，则这条直线和这个平面平行 ④过平面α外一点可做无数条直线和平面α平行（A ）0 (B)1 (C)2 (D)33、已知α，β表示两个平面，m,n 表示两条直线，则使α//β的一个条件是（ ）（A ）m ⊂ α,n ⊂β且m//n (B) m ⊂ α,n ⊂β且m//β,n//α(C)m ⊥α,n ⊥β且m//n (D)m// α,n// β且m//n4、对于直线m,n 和平面α，下列命题中的真命题是（ ）（A ）如果m ⊂α，n ⊄α,m,n 是异面直线，那么n//α(B) 如果m ⊂α，n ⊄α,m,n 是异面直线，那么n 与α相交(C) 如果m ⊂α，n//α,m,n 共面，那么m//n(D) 如果m//α，n//α,m,n 共面，那么m//n5、如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中， 60=∠ABC ，PA=AC=a,PB=PD=a 2,点E 是PD 的中点。
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、教学目标1、知识与技能（1）通过实例，掌握判定两条直线平行的方法.（2）由平行公理及其他基本性质推出定理，并掌握定理的应用. （3）会应用公理4和定理解决一些简单问题. 2、过程与方法小组合作、讨论交流、比较归纳，培养学生的空间想象能力和推理论证能力. 3、情感、态度与价值观培养大胆质疑、合作共赢的学习态度，激发学习数学的兴趣和应用意识.二、教学重点难点教学重点：角平移的性质.教学难点：由平行公理及其他基本性质推出定理，并掌握定理的应用.三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流讨论，概括 （2）多媒体、实物投影仪四、课内探究（一）创设情景 导入新课空间中两条直线的位置关系有哪几种？这其中的平行关系就是我们这节课要学习的内容-----平行直线.（二）合作探究 形成结论探究一： 基本性质4的内容是什么？注意哪些问题？试举例说明.探究二：我们知道，初中几何中，两直线平行同位角相等，如图，此处的同位角相当于在同一平面里我们把BAC ∠沿着直线l 平移到了111B AC ∠，所以角的大小不改变。
现在我把BAC ∠平移到空间为111B AC ∠，观察平移过程中ABC ∠特点会有何改变？两角大小关系怎样？猜想会得出怎样的结论？（三）推理论证 理解定理已知 BAC ∠和111B AC ∠的边1111,AB A B AC AC ，且射线AB 与11A B 同向，射线AC 与11A C 同向.人生要不断追求美德和知识。
-------但丁FE C G DBH A 求证： 111C A B BAC ∠=∠.探究三、空间四边形的定义中应注意的问题是什么？如何画出一个空间四边形？（四）典例剖析 应用定理例1、已知如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 . 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 小结：有效训练：在长方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F 分别是AB , BC 的中点， 求证：11//C A EF .例2、如图，已知E 、F 是正方体1111A B C D A B C D-的棱AD 和AB 上的中点. 求证： 111B D A AEF ∠=∠.小结：（五）自主整理 知识层面C 1B 1A 1C A FE D 1D C 1B 1A 1CBAFE D 1C 1B 1A 1DCB A思想方法层面（六）当堂检测1.下列结论正确的是（ ）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交2.如果11//A O OA , 11//B O OB ,那么AOB ∠与111AO B ∠ ( ) A . 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 以上答案都不对3.若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ ） A. 空间四边形 B. 菱形 C .正方形 D. 梯形4.（2008东莞模拟）已知a 、b 是异面直线，直线a c //，那么c 与b （ ） A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线课后反思：【巩固学案】一、作业反馈课本41..2..2P A B二、深化提高A 组时间：15分钟 满分：30分 姓名：_________ 记分：________ 个人目标：□优秀（27ˊ）□良好（22ˊ）□合格（18ˊ）（1）下面三个命题, 其中正确的个数是（ ） ①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 一个也不正确（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面（3）如图，空间四边形ABCD 中，若G 、H 分别是AD 、CD 上的点，且12AH CG HD GD ==,判断四边形EFGH 的形状.（4）在一块长方体形状木块的面AC 上有一点P ，过点画一条直线和棱11C D 平行，说明应该怎么画.D 1C 1A 1CBAFECGDBHAB 组时间：15分钟 满分：30分 姓名：_________ 记分：________ 个人目标：□优秀（27ˊ）□良好（22ˊ）□合格（18ˊ）（1）判断题：①a ∥b c ⊥a => c ⊥b （ ） ②a ⊥c b ⊥c => a ⊥b （ ） ⑵在空间四边形ABCD 中，EFGH 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC BD a +=，AC BD b = ,则22EF FG += ______________（3）如图，已知E 、F 是正方体的棱AD 和11A D 上的中点. 求证：11BEC B FC ∠=∠（4）过正方形1111ABCD A B C D -的三个顶点1A 、1C 、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与11A D 的位置关系怎样？。
7.2 空间中的平行关系
7.2空间中的平行关系教学设计(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标：1、知识与技能目标：通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。
2、过程与方法目标：通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。
3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。
二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。
难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。
三、教学方法：引导式教学法四、学情分析：1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。
五、教学过程：（一）考纲要求：（1）以空间直线、平面位置关系的定义为出发点认识和理解空间中的平行关系；（2）理解直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理与性质定理；（3）能用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
设计意图：明确考纲要求，做到心中有数；（二）知识梳理：1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理2.(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化设计意图：使学生更明确本节课的主题----三个平行的关系；通过知识点的复习与梳理，为学生构建完整的知识体系；（三）考点分层突破考点一与线、面平行相关命题的判定例1.(多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A.若m∥α，m∥β，则α∥β B.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m⊥α，n⊥α，则m∥nD.若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交答案CD解析对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误.对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，所以B错误.对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确.对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确.练习(多选题)(2021·潍坊调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A.AD1∥BC1B.平面AB1D1∥平面BDC1C.AD1∥DC1D.AD1∥平面BDC1答案ABD解析如图，因为AB//C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形.故AD1∥BC1，从而A正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而B正确；由图易知AD1与DC1异面，故C错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故D正确.设计意图：让学生学习到以下2点： 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.考点二线面平行、面面平行的判定定理与性质定理例2.（辽宁卷）如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．证法1：中位线法证法2 平行四边形法证法3：构造平行平面法设计意图：既让学生及时巩固了本节重点知识，又让学生明白，同一问题可以由不同方法去解决，体现一题多解.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线.利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形.例3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥GH.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点.又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A∥平面BMD.因为平面P AHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以P A∥GH.设计意图在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.练习(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.设计意图：本题带有探索性，该题会引领学生去探索。
“整章一单元一课时”的教学设计及反思(续)--以人教B版第十一章第3单元“空间中的平行关系”为例
f标.教材t 中学数学教学参考（上旬)2021年第2期“整章一单元一课时”的教学设计及反思（续)—以人教B版第十一章第3单元“空间中的平行关系”为例单元解读、课时设计、教学反思：夏繁军（首都师范大学附属中学）整章分析：张鹤（北京市海淀区教师进修学校）文章编号：1002-2171(2021)2-0009-043课时教学设计(怎样教，怎样学)本单元新授课需5个课时，具体课时分配如下:表4本单元课时安排课时顺序内容第1课时11.3.1平行直线与异面直线第2,3课时11.3.2直线与平面平行第4,5课时11.3. 3平面与平面平行下面以“平面与平面平行（第1课时）”为例介绍。
3.1教学内容平面与平面平行(第1课时)[5]。
3.2教学目标（服务于单元目标）(1)借助直观感知、操作确认，归纳出平面与平面 平行的判定定理，会用符号语言、图形语言、文字语言 表示定理;在此过程中，感悟从整体到局部，从一般到-----------------------------♦--1---f—--1--*--1代数系统(C A S)解决数列问题，既减少了运算量，又获得了解决问题的明确步骤；而借助金融计算器，则既可以验算结果，又可以加深学生对问题的实际背景 的理解。
综上所述，本章通过回顾数列的发展历史、了解 数列在今日数学中的地位和作用，以及它与高中数学 课程中核心内容的联系，确定了数列在高中数学阶段 的教育价值。
在此基础上，通过类比研究函数的基本 框架和路径，搭建了数列内容的研究框架；通过构建 合理的情境、设计系列学习活动，创设了 “获得数列的 概念一研究数列的性质一应用数列知识解决问题”的完整学习过程；通过甄选数学史素材，丰富了数列的 文化内涵；通过融入信息技术，为学生提供了自主学 习的多种手段。
通过本章的学习，学生不仅能够掌握特殊的研究方法。
(2)会用反证法证明平面与平面平行的判定定 理，理解反证法的原因和逻辑；会用判定定理证明几 何问题；在此过程中发展逻辑推理能力和空间想象 能力。
苏教版四年级上册数学《认识平行线》(教案)
课题认识平行线第 8课时月日教学目标知识与技能过程与方法情感、态度与价值观识记：认识两条直线的平行关系和平行线。
使学生经历从现实空间抽象出平行线的过程,能应用平行线的认识进行简单判断，体会抽象和简单的演绎，进一步积累图形的学习活动经验。
使学生主动参与学习活动，体验几何与图形知识与现实世界的联系，产生对图形学习的兴趣。
理解：平行线间距离的特点。
简单运用：会判断两条直线的平行关系，能用自己的方法画出互相平行的直线。
复杂运用：挑战性目标利用平行线的关系解决实际问题。
教学重点认识直线互相平行的位置关系。
教学难点独立画出平行线。
教学过程关注差异（侧重策略的运用）一、预学查异。
1、画相交直线。
要求：学生在作业本上画出两条相交的直线，教师板书画出相交直线。
提问：你觉得会有不相交的直线吗？看看相交的直线，再想想两条不相交的直线是什么样的？2、引入新课谈话：不相交的直线是什么样的？在生活里哪些地方有不相交的直线的关系呢？我们一起来看看。
二、初学适异。
观察比较，认识平行1、出示例9情境图。
引导：哪些可以看作是直线？大家指一指。
大面积及时反馈与调节教学的策略：各层次学生都说说自己的想法，教师及时全面了解学生的知识准备情况。
画图：根据这三幅图，可以画出三组直线。
（呈现相应的三组直线）比较：这三组直线哪些是相交的，哪些不是相交的？（无限长）追问：第二、第三组直线的位置关系有什么特点？（两条直线不相交，板书画出两条不相交的直线）揭示：这两条不相交的直线，是两条直线位置的另一种关系。
像这样不相交的两条直线，我们就说它互相平行，（板书：不相交的两条直线——互相平行）这时一条直线就是另一条直线的平行线。
（板书：一条直线是另一条直线的平行线）追问：你是怎么理解相互平行的？同桌讨论。
如果把这两条直线分别用字母a、b表示，（板书：a、b）这两条直线是什么位置关系，其中直线a是直线b的什么？直线b对直线a怎样说？谁来试着说说看？指出：从上面可以看出，两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行；在一组互相平行的直线中，其中一条直线是另一条直线的平行线。
空间中的平行关系 教案
1．【解析】取 的中点 ，连接 、 ．
四边形 是平行四边形，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
2．【解析】连接 延长交 于 ，连接 ．
在平行四边形 中，易证 ．
而 平面 ， PG⊂平面 ，
平面 ．
3．【解析】过 作 交 于 ，连接 ，
又 ， ，
平面 平面 ．
又 平面 ，
平面 ．
4．【解析】 平面 平面 ，
2．【解析】证明：取 的中点 ，连结 ；
分别为 的中点
面 ， 面
面 面
面 ．
在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．
（4）平行于同一个平面的两个平面平行． ．
两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”．用符号表示是： ， ，则 ．
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”．用符号表示是： ， =， ，则 ．
1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系．
2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化．
3．注意下面的转化关系：
4．直线和平面相互平行
证明方法： 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直．
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《空间中平行关系的简单应用》
教学目标
1． 知识与技能目标：通过一类问题——“线面平行的判定”的解决，掌握空间中两直
线平行、直线与平面平行以及平面与平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用相关定理解决问题，实现三种平行关系的相互转化。
2． 过程与方法目标：在空间图形中通过构造各种线线平行关系，实现空间平行关系的
转化，准确书写逻辑思维过程，进一步培养学生的空间想象能力和几何论证能力； 3. 情感、态度与价值观：通过作图、构造，培养学生对空间图形的直觉思维；通过
断地推理论证，使学生不断由感性认识上升到理性认识；通过三种平行关系的相互转化，形成由简单位置关系认识复杂位置关系的数学意识，并体会普遍联系的哲学内涵和思想，体会获得知识的愉悦和提高能力后的成就感，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
一． 教学重点与难点
1． 教学重点：准确理解线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理的条件
和结论，能应用他们之间的关系分析解决问题；
2． 教学难点：由于刚学完平行关系公理化体系，学生不清楚为何需要如此特殊构造平
面图形转化空间平行为平面内的线线平行关系.
二． 教学方法与教学过程 1． 教学方法：（1）以对话交流为主的课堂模式，引导学生逐步挖掘知识应用的本质；
（2）引导学生关注几何推理条件的充分性和完备性，养成严谨的逻辑思
维习惯；引导学生发散思维，一题多解，多解归一，养成反思总结提高的数学思维习惯。
（3）突出学生主体性，关注学生思维过程的形成和发展，提高分析问题
和解决问题的能力.
2．教学手段:引导——对话——提炼 四、教学过程
例1 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 为BD 中点，点M 为B 1C 中点.
设问1：请大家按照条件做出图，并连接MN ，观察MN 与平面ABB 1A 1的位置关系是什么？ 设问2：如果MN ∥平面ABB 1A 1，你能证明吗？
设问3：如果没有思路，那么想想证明线面平行的理论依据有哪些？ 线面平行的判定定理，面面平行的性质定理；
设问4：如果用线面平行的判定定理，则要找面内一条直线与MN 平行，
由M 、N 分别为1B C 、BD 中点的条件，你想到方法了吗？能写出证明过程吗？
设问5：如果用到方法1（连接1AB ，AC ），那么为什么要这么连，方法的实质是什么？ C A
C 1
A 1
实质是通过构造特殊三角形1AB C ，由三角形中位线性质在面内找线线平行关系去证明；
设问6：以MN 为中位线的三角形我们可以构造无数个，为什么要选择三角形1AB C 呢？ 逆向思维，如果MN 与平面ABB 1A 1 平行，要在面内找一条线与MN 平行，可以通过线面平
行的性质定理——过MN 作一个平面与面11A ABB 相交，
MN 与在面内的交线平行，刚才方法中选用的平面有什么特点呢？由公理2推论1可知一条直线与该直线外一点确定一个平面，这个特殊的点选用的是——正方形11A ABB 的顶点1B ，实际上三角形1AB C 是我们所作平面与正方体的截面图形；
设问7：如果用到方法2（取AB 中点E ，取1B C 中点F ，连接EF ，NE ，MF ），那么为什么要这么连，方法的实质是什么？
实质是通过构造平行四边形NEFM ，由平行四边形性质在面内找线线平行关系去证明；
设问8：以MN 为边的平行四边形在空间中我们可以构造无数个，为什么要选择四边形
NEFM 呢，它有什么特点？
由公理2推论2可知两条平行线确定一个平面，我们选择正方形11A ABB 边
AB 中点E ，边1B C 中点F ，由中位线性质推出的平行四边形NEFM ，实际是平行线带来的截面的一部分；
设问9：如果用到方法3（取取BC 中点E ，连接NE ，M
E ），那么为什么要这么连，方法的实质是什么？
实质是通过构造中位线，构造相交直线平行得面面平行， 进一步得线面平行； 11C
A
C 1
A 1
C
A
C 1
A 1
C A
C 1
A 1
读它呢？
要得到面面平行，可以过点MN作与面
11
ABB A平行平面去探究，此时交边BC中点E，三角形NME可以理解为所作平面与正方体截面的一部分；
归纳：1.虽然用了三种不同的方法证明线面平行，但不管哪个方向要明确证明线面的切入点都是先找线线平行；
2.常见的构造线线的平面图形虽有三角形中位线和平行四边形等，但这类图形构造的实质可以从构造平面的角度去思考.
思考：若将条件中“点N为BD中点，点M为B1C中点”改为“动点N，M分别在BD和1B C 上，且CM＝DN，结论还成立吗？它和例1的关系是什么？回家请继续研究.
说明：由线段的比例关系保持不变，平行关系的结论仍然成立，与例1是一般与特殊的关系. 例2.如图，空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD 上的点，其中四边形EFGH为平行四边形.
设问1：请大家通过观察，猜想有哪些空间中的平行关系？
线线：EH∥FG∥BD，EF∥HG
线面：BD∥面EFGH
设问2：你能证明BD∥面EFGH吗？
设问3：如果直接找线线平行没有思路，想想平行四边中EH∥FG，它能给你带来灵感吗？设问4：由FG∥面ABD，又能带来线线平行吗？依据是什么？
线面平行的性质定理
设问5：能到结论了吗？你能写出证明过程吗？
设问6：若四边形改为以EH和FG为上下底边的梯形能否证明出结论？
设问7：结论不变的本质是什么？
因为线线平行关系的实质没有发生任何改变，即EH∥FG∥BD.
设问8：若改条件为“空间四边形被一平面截得四边形为EFGH，还有EH∥FG∥BD
吗？
设问9：为什么这样构造图形一定会有这样的结论？揭示了什么实质？
3个平面两两相交，相交直线的平行关系保持不变
总结：通过本节课的学习，我们初步掌握了平行关系公理化体系在线面平行关系判定的应用，
H
G
F
E
D
C
B
A
C
B
了解了构造线线平行常用方法和构造原理，就空间平行公理化体系而言，它们关系如下：
线∥线
线∥面 面∥面 作业：
如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点N ，M 分别在
BD 和1B C 上，且CM ＝DN . 求证：MN ∥平面ABB 1A 1.
C A
C 1
A 1。