重积分3
三重积分的质心计算问题
三重积分的质心计算问题计算质心是求解物体重心位置的一种方法，它是将物体的每一个小块的质量与位置的乘积求和后，除以物体总质量的结果。
三重积分是数学中一个用于计算空间体积、密度以及其他物理量的重要工具，因此它也常常被用来计算三维物体的质心位置。
在本文中，我们将探讨如何使用三重积分来计算三维物体的质心，并给出一些实用的例子。
一、三维物体的质心定义重心是物体的质量均匀分布时的平衡点，也就是质心位置。
三维物体的质心，可以用下式表示：$$\bar{x}=\frac{\int\int\int xdV}{\int\int\int dV}$$$$\bar{y}=\frac{\int\int\int ydV}{\int\int\int dV}$$$$\bar{z}=\frac{\int\int\int zdV}{\int\int\int dV}$$这里，$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$表示质心的坐标，$dV$表示物体的微小体积元，$\int\int\int xdV$、$\int\int\int ydV$、$\int\int\int zdV$分别表示物体在$x$、$y$、$z$三个方向上的质心位置。
同时，$\int\int\int dV$表示物体的总体积。
因此，计算三维物体的质心，需要求出物体的总体积以及在三个方向上的一重积分，也就是在每个方向上微小体积元的加权平均值。
二、三重积分计算质心的例子下面，我们将通过两个例子来演示如何使用三重积分计算三维物体的质心。
例一：计算球体的质心位置假设有一个半径为$R$的球体，且密度均匀。
此时，球的质心位置可以通过下列公式来计算：$$\bar{x}=\frac{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^3\sin\th eta\cos\phi drd\thetad\phi}{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^2\sin\thetadrd\theta d\phi}$$$$\bar{y}=\frac{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^3\sin\th eta\sin\phi drd\thetad\phi}{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^2\sin\thetadrd\theta d\phi}$$$$\bar{z}=\frac{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^3\cos\th eta drd\thetad\phi}{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}r^2\sin\thetadrd\theta d\phi}$$其中，$r$表示球心到某一点的距离，$\theta$表示该点与$z$轴的夹角，$\phi$表示该点在$x$-$y$平面上的方位角。
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念与计算
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是在三维空间中对一些实数函数进行积分的计算方法。
它是二重积分的推广，用于求解更复杂的三维问题。
三重积分的计算方法有多种，包括直接计算、柱坐标法、球坐标法和证明法等。
直接计算是最基本的三重积分计算方法。
它将三维空间划分成许多小的立方体或长方体，然后对每个小的体积元素进行积分。
具体步骤如下：1.将被积函数表示为三个独立变量的函数，例如f(x,y,z)。
2.选择一个合适的坐标系，将空间划分成小的体积元素。
通常可以选择笛卡尔坐标系。
3.将整个积分区域划分成小的体积元素，每个体积元素由三个坐标轴上的小区间组合而成。
4.对每个体积元素，计算被积函数在该体积元素上的积分，并将所有体积元素上的积分值加起来。
直接计算方法的优点是直观易懂，适用于简单的积分问题。
但对于复杂的积分区域和被积函数，可能会导致计算量大、步骤繁琐的问题。
柱坐标法是一种使用柱坐标系进行积分计算的方法。
它适用于具有旋转对称性的问题，例如旋转体的体积计算。
柱坐标法的具体步骤如下：1.将被积函数表示为柱坐标系下的函数，即f(ρ,θ,z)。
2.选择合适的积分区域，并确定要积分的极坐标范围。
3. 将柱坐标系下的积分元素表示为dV=ρ dρ dθ dz。
4.将被积函数表示为柱坐标系下的函数，并进行对应的积分计算。
柱坐标法通过利用旋转对称性简化了积分计算，适用于旋转体的体积、质心等相关问题。
球坐标法是一种使用球坐标系进行积分计算的方法。
它适用于具有球对称性的问题，例如球体的体积计算。
球坐标法的具体步骤如下：1.将被积函数表示为球坐标系下的函数，即f(r,θ,φ)。
2.选择合适的积分区域，并确定要积分的球坐标范围。
3. 将球坐标系下的积分元素表示为dV=r^2sinφdr dθ dφ。
4.将被积函数表示为球坐标系下的函数，并进行对应的积分计算。
球坐标法通过利用球对称性简化了积分计算，适用于球体的体积、质心等相关问题。
除了上述方法外，还有一种称作证明法的三重积分计算方法。
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分的几种计算方法
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
*
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
(2) 化为一个二重积分和一个定积分
z z2
z
z2 0
x
D(z) y
f (x, y, z)dxdydz
z2[ f
z1 D( z)
(x,
y,
z)dxdy]dz
z2 dz
z1
f
(x, y, z)dxdy
D(z)
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
z
Dyz
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
【精品】三重积分
【精品】三重积分三重积分是微积分中的一种运算方式，用于解决三维空间某个区域内的函数值的平均、体积、质心等问题。
三重积分在物理学、工程学、计算机科学等众多领域具有重要应用。
一、三重积分的定义三重积分表示对三维区域内的函数进行积分，即将三维区域分成许多小体积，每个小体积内函数值近似相等，然后对每个小体积进行积分，再将所有小体积的积分值相加，得到整个区域内函数的积分值。
三重积分的一般形式如下：$$\iiint_Df(x, y, z)dxdydz$$其中，$D$表示三维空间内的区域，$f(x, y, z)$表示被积函数，$dxdydz$表示小体积$dV=dxdydz$。
1.直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算通常采用“分块法”或“交错积分法”。
以分块法为例，假设积分区域为$D$，它被$xOy$平面和某表面$z=z_1(x,y)$,$z=z_2(x,y)$,$z=z_3(x,y)$等分成了若干小块，这个区域的三重积分可表示为：$$\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\sum_{i=1}^n\int_{x_i}^{x_{i+1}}\int_{y_i}^{y_{i+1}}\ int_{z_i(x,y)}^{z_{i+1}(x,y)}f(x,y,z)dxdydz$$其中，$n$为把积分区域分成$n$个小块，$(x_i,y_i,z_i)$和$(x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1})$为第$i$个小块的相邻两个顶点，每个小块内$f(x,y,z)$近似相等。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以利用角度和半径的关系，将三重积分转化为二重积分的形式。
以球坐标系为例，它是一个三维坐标系，以球心为原点。
球坐标系中的三个坐标分别是：半径$r$，极角$\theta$，和方位角$\varphi$。
球坐标系下的三重积分可以表示为：$$\iiint_Gf(x,y,z)dxdydz=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}f(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)r^2\sin\theta drd\thetad\varphi$$1.体积三重积分可以计算三维空间内任意形状的体积。
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同济老姚高数笔记(小兵整理)
2
第 10.3 节 三重积分
四.直角坐标下的计算 1.投影法(坐标面投影法,先一后二) 设 x, y , z : z1 x, y z z2 x, y , x, y Dxy 为 XY-型区域,则有
4 x
2
1
1 x
2
4 x2
x 2 y 2 1
dxdy
3x 2 4 y2
f x, y, z dz dx
1
1 x 2
dy
3 x2 4 y 2
f x, y , z dz .
例.求 I zdv ,其中 由 x 1 , y 1 , z x 2 y 2 和坐标面围成.
注.可以认为 f x, y, z 为密度,从质量的角度来理解:一捆细棒. 注.根据 Dxy 的形状,可以再将 f x, y , z dv 化为三次积分,例如:
设 由 z 3 x 2 4 y 2 与 z 4 x 2 围成,则 f x, y , z dv
例.求 I ax by cz dv ,其中 : z x 2 y 2 z 2 2 z .
解. I c zdv c zdv c zdv c dv c dv c .
1 2 1 2
z 2
解. I dydz
D yz
0
y sin z dx dz dy z 0 0
z
2
z
z 2
0
y sin z 1 dx ; z 4 2
z
或者, I dxdz
Dxz 0
y sin z dy dx z 0
2
x 2
0
dz
例.求 I x 2 y 2 dv ,其中 由 z x 2 2 y 2 , z 2 x 2 围成.
2 x z x2 2 y2 2 2 解. x y 1 ,故 I dxdy x 2 y 2 dz 2 z 2 x x 2 y 2 1 x2 2 y 2
0
y sin z 1 dy . z 4 2
注.此题不能向 xOy 面投影,因为对 z 无法积分. 2.截面法(坐标轴投影法,先二后一) 设 x, y, z : z1 z z2 , x, y Dz ,则有
z2 z2 f x, y , z dv f x, y , z dxdy dz dz f x, y , z dxdy . z1 z1 Dz Dz
性质 5(估值定理). min f x, y, z dv max ;
性质 6(积分中值定理).设 f x, y , z 在 上连续,则 , , , 使得 f , ,
1 f x, y, z dv ,称为 f x, y , z 在 上的平均值.
4.若 关于 x , y 具有轮换对称性,即当 x, y, z 时, y, x, z , 则 f x, y , z dv f y, x, z dv ,特别地, f x dv f y dv .
0 0
2 2
0
0
2 2
8
8 2 2
或者, I 5
2 2 8
x2 y2 4
dxdy x y dz 5
2 2 4 8
4 x 2 y 2 16
dxdy
x2 y2 2
x
2
y 2 dz
5 d d 2 dz 5 d d 2 dz 1680 .
0 0 2 0 2
2 2
同济老姚高数笔记(小兵整理)3 Nhomakorabea第 10.3 节 三重积分
例.求 I
x 2 dv x y
2 2
,其中 由 z 1 , z x 2 y 2 , z
1
1 2 x y 2 围成. 2
1 解. I dxdy 2 x 2 1 y 2 4
第 10.3 节 三重积分
第 10.3 节 三重积分 一.定义 设 f x, y , z 为有界闭区域 上有界函数,将 任意分成 n 小块 vi , 直径为 i ,作和 f i ,i , i vi , i ,i , i vi ,其中 vi 表示体积,
1 x 2 y 1
解. I dxdy
Dxy
1 x 2
1 x 2 y
1
1 x 2
0
xdz dx dy
0 0
0
xdz dx
0
1 x 1 x 2 y dy 48 .
0
例.求 I x 3 y 2 dv ,其中 : x 2 y 2 2 z , 2 z 8 .
1 1
例.求 I x y z dv ,其中 : x 2 2 y 12 z 2 1 . 解. I xdv ydv x 2 2 dv y 1 1 dv 3 dv 4 .
5.若 关于 y , z 具有轮换对称性,则 f y dv f z dv .
6.若 关于 x , z 具有轮换对称性,则 f x dv f z dv .
7.若 关于 x , y , z 具有轮换对称性(不变性),即当 x, y, z 时, 它的所有轮换 x, y, z ,则 f x dv f y dv f z dv .
性质 3. 1 dv ,一般地, k dv k ;
性质 4.设 上 f x, y, z g x, y , z ,则 f x, y , z dv g x, y, z dv ;
推论. f x, y , z dv f x, y, z dv .
x2 y2
1
1
x2 y2
解. I
0 x 1,0 y 1
dxdy
0
zdz dx dy
0 0
0
2 1 14 zdz dx x 2 y 2 dy . 20 0 45
1
1
例.求 I zdv ,其中 由 x 2 y z 1 和三个坐标面围成.
2
x2 y2
x2 y2
1 x y dz dxdy 2 1 x2 1 y2 4
2 2 2
1
x2 y 2
x 2 y 2 dz
1 1 2 1 1 2 2 7 d d dz d d dz . 2 0 2 0 12 0 1 2 2
i 1 n
若在无限细分 的过程中,随着 max i 0 ,该和总是趋向于
1 i n
同一常数 I ,它只依赖于 f x, y, z 和 ,则称 f x, y, z 在 上可积, 并记 I f x, y , z dv ,称为 f x, y , z 在 上的三重积分.
8
2 2
解. I 5
2 4
x 2 y 2 16 8 2
dxdy
x2 y 2 2
x
2
y dz 5
2 2 2
x2 y2 4
dxdy
x2 y 2 2
x
2
y 2 dz
5 d d dz 5 d d 2 dz 1680 ;
f x, y , z dv .
z 0
2.若 关于 yOz 面(前后)对称,则当 f x, y , z 关于 x 为奇函数时,
f x, y , z dv . f x, y, z dv 0 ;为偶函数时, f x, y, z dv 2
2
x2 y 2 2 1
1 x y dz 2 dxdy 2 x2 y 1
2 2 1
1
x2 y2
x 2 y 2 dz
1 2
2
1 d d dz 2 0 0
2
2
1
d d dz 12 ;
0 0
7
1 或者, I dxdy 2 x 2 y 2 1 1
z2 x , y z2 x , y f x, y , z dv f x, y , z dz dxdy dxdy f x, y , z dz . Dxy Dxy z1 x , y z1 x , y
注.平均值的物理意义即平均密度.
同济老姚高数笔记(小兵整理)
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第 10.3 节 三重积分
三.对称性 1.若 关于 xOy 面(上下)对称,则当 f x, y , z 关于 z 为奇函数时,
f x, y, z dv 0 ;为偶函数时, f x, y, z dv 2
x 0
3.若 关于 xOz 面(左右)对称,则当 f x, y , z 关于 y 为奇函数时,