4.1 成比例线段(2)
4.1比例线段(2)
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
4.1线段的比(2)
a c ，那么 b d
反之，如果 ad=bc（a，
b，c，d 都不为0），那么
a c b d
知识拓展
思考：
由 ad=bc ,你还能 得到什么比例式？
例题
欣赏
ab cd 解 : (2). 成立.理由是 : b d a c 由 b d ab a b a 1 b b b b cd c d c 1 d d d d 因此 a c 1 1 b d ab cd 即 b d
q n p n C. B. m p m q
m p D. n q
选做题
小结
探究 & 学习
☞
AB BE 已知 : 如图, , AD EF AB 10cm, AD 2cm, BC 7.2cm, E是BC 中点,
拓展知识 我能行
B F E
求 : EF , BF 的长 ? D 解 : E是BC 中点, C A 1 BE BC 3.6, BF BE EF 2 AB BE 3.6 0.72 2.88(cm). 又 , AD EF 10 3.6 即 , 你真棒 2 EF 3.6 2 EF 0.72;
合比性质(或合分比性质):
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d
当堂训练
主动学习 才是快乐的
1.已知a、b、c、d是成比例线段,且a=4cm,
6cm b=6cm,d=9cm,则c=____
x 2.如果2 x 5 y.那么 y
m p A. q n
3.把mn pq写成比例式.写错的是 D
线段的比(2)
回顾 &am呢?
a∶b = m∶n 或a
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为 m ,n .那么两条线段的比
九年级数学 第四章 图形的相似 1成比例线段第2课时 等比性质作业
8．(2018·宁夏)已知ba＝23，则aa－＋22bb的值是_－__12__. 9．已知 x∶y∶z＝4∶5∶7，则23xx＋－32yy－＋2zz＝__1_. 10．已知35xx－＋2yy＝12，则xx＋ －yy＝_－__13_1_.
第九页，共十五页。
11．(教材 P80 例 2 变式)如图，AADB＝AACE＝BDCE＝65，
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
No 第四章 图形(túxíng)的相似。则a＋2＝3m，b＝4m，c＋5＝6m，。∴a＝3m－2，b＝4m，c＝6m－
5.。∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)＝21，。即20m＝40，解得m＝2，。等边
Image
12/7/2021
第十五页，共十五页。
解：令a＋3 2＝b4＝c＋6 5＝m，
则a＋2＝3m，b＝4m，c＋5＝6m， ∴a＝3m－2，b＝4m，c＝6m－5. ∵2a－b＋3c＝21， ∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)＝21， 即20m＝40，解得m＝2， ∴a＝3m－2＝4，b＝4m＝8，c＝6m－5＝7. ∴a∶b∶c＝4∶8∶7
第十三页，共十五页。
解：(1)设a＋3 4＝b＋2 3＝c＋4 8＝k， 得 a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8. ∵a＋b＋c＝12，∴3k－4＋2k－3＋4k－8＝12， 解得 k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4 (2)∵32＋42＝52，即 b2＋c2＝a2， ∴△ABC 是直角三角形， ∴S△ABC＝12×3×4＝6
且△ABC 与△ADE 周长差为 4，求△ABC 与△ADE 的周长．
解：∵AADB＝AACE＝BDCE＝65，BDCE＝65. 又 C△ABC－C△ADE＝4， ∴C△ABC＝24，C△ADE＝20
浙教版九年级上数学4.1比例线段(2)含答案
浙教版九年级上数学4.1比例线段（2）含答案求线段的比要注意统一长度单位，特别在地图问题中单位的转换是易错点．1.C 是线段AB 上的一点，且AC ∶CB=2∶3，那么AB ∶BC 等于(B).A.2∶3B.5∶3C.3∶2D.3∶52.在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm ，则两地的实际距离是(C).A.30kmB.300kmC.3000kmD.30000km3.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是(C).A.2，5，10，25B.4，7，4，7C.2, 21,21，4 D. 2,5,25，52 4.给出下列各组线段，其中成比例线段是(D).A.a=2cm ，b=4cm ，c=6cm ，d=8cmB.a=21cm ，b=41cm ，c=61cm ，d=81cm C.a=2cm ，b=3cm ，c=10cm ，d=25cmD.a=2cm ，b=5cm ，c=23cm ，d=15cm5.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105km ，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A).A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度6.已知线段a=2cm ，b=（2-1）cm ，c=（2-2）cm ，则线段a ，b ，c 的第四比例项是2423 cm ．7.C 是线段AB 上一点，BC=2AC ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，那么MN ∶BC= 43 ． （第8题）8.在某地图册上，连结甲、乙、丙三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示.如果飞机从丙直飞甲的距离约为1290km ，那么飞机从丙绕道乙再到甲的空中飞行距离约是 3870 km ．9.如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F.找出图中的一组比例线段，并说明理由．（第9题）【答案】∵S ABCD =BC ·AE=CD ·AF ，∴CD BC =AEAF . （第10题）10.如图所示，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°．（1）求ACAB 的值． （2）求AB ∶AC ∶BC.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，∵∠B=30°，∴AD=21AB,BD=3AD.在Rt △ADC 中，∵∠C=45°，∴AD=22AC,CD=AD.∴21AB=22AC.∴AC AB =2. (2)∵AB=2AD ，AC=2AD ，BD=3AD ，CD=AD ，∴BC=BD+CD=（3+1）AD.∴AB ∶AC ∶BC=2∶2∶（3+1）.11.已知甲、乙两幅地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20000，如果甲图上A ，B 两地的距离与乙图上C ，D 两地的距离恰好相等，那么A ，B 两地的实际距离与C ，D 两地的实际距离之比为(C).A.5∶2B.2∶5C.1∶4D.4∶112.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是(C).（第12题）A.19.4B.19.5C.19.6D.19.713.如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于(A).（第13题） A. 2∶1 B.1∶2 C. 3∶1 D.1∶314.已知AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的三等分点，则BC AC = 3或33 ． 15.李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作，在第一次操作后，原线段AB 上的41，43均变成21，21变成1.那么在线段AB 上的点中（点A ，B 除外），在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是 1 ．（第15题）16.如图所示，C 是线段AB 上的点，D 是AB 延长线上的点，且AD ∶BD=3∶2，AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，求AD 的长．（第16题）【答案】∵AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，∴AB=6.∵AD ∶BD=3∶2，∴AB ∶AD=1∶3.∴AD=18.17.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2.（1）求下列各线段的比：BC CD ，CF EF ，ABBF . （2）指出AB ，BC ，CF ，CD ，EF ，BF 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5.∴BC CD =5.63=136，CF EF =5.43=32，AB BF =32. (2)成比例线段有CF EF =ABBF (答案不唯一).18.【娄底】若在比例尺为1∶6700000的地图上量得我国南北的图上距离是82.09cm ，则我国南北的实际距离大约是 5500 km （结果精确到1km ）.19.已知点P 在线段AB 上，且AP ∶BP=2∶3，则AB ∶PB= 5∶3 .20.在线段AB 上存在一点C ，满足AC ∶CB=CB ∶AB=k ．（1）求k 的值．（2）如果三条线段a ，b ，c 满足a ∶b=b ∶c=k ，这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．（第20题）【答案】(1)设AB=x,则CB=kx,AC=k 2x.∵AC+BC=AB ，∴k 2x+kx=x.∴k=251±-. ∵k ＞0，∴k=215-.(2)不能.理由如下：∵a ∶b=b ∶c=k ，∴b=kc=215-c,a=kb=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2152c=253- c.∴a+b=c.∴线段a ，b ，c 不能构成三角形.。
《比例线段(2)》精品教案
4．1比例线段(二)1．了解两条线段的比和比例线段的概念．2．能根据条件写出比例线段；会运用比例线段解决简单的实际问题．3．通过实际问题的解决，培养学生运用数学的意识．重点：比例线段的概念及比例性质的运用．难点：课本例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点．一、新课导入复习引入1．比例的基本性质是__ab＝cd⇔ad＝bc__．2．由ad＝bc可推出哪些比例式__ab＝cd，ac＝bd，ba＝dc，bd＝ac，____ca＝db，cd＝ab，db＝ca，dc＝ba.__3．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女学生加入进来，此时女生与男生的人数比为5∶3，求原来各有多少男生和女生【解】设原来有男生3x人，女生2x人，则(2x＋6)∶3x＝5∶315x＝6x＋18解得x＝2所以3x＝6，2x＝4∴原来有6名男同学和4名女同学．说明：引入一个实际问题，引起学生们的关注，让学生去解决感兴趣的问题，为下一个枯燥的几何问题做好铺垫．二、新知学习(一)比一比两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．如图所示，设线段OC＝2，OC′＝4，则线段OC与OC′的比就是2∶4＝12，记为OCOC′＝12.由图，从△ABC到△A′B′C′是一个相似变换，可得ABA′B′＝12，BCB′C′＝12，所以ABA′B′＝BCB′C′.注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长度单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．(3)表示方式与用数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.(二)议一议什么是比例线段一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．例如，上图中，AB，A′B′，BC，B′C是比例线段．(三)做一做1．如图所示，BCAB＝，BC AC ＝． 2．已知线段a ，b ，c ，若a 2＝b 3＝c5，且3a －2b ＋5c ＝25，求a ，b ，c 的值．【解】设a 2＝b 3＝c5＝k(k≠0)．则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k ，∵3a －2b ＋5c ＝25， ∴6k －6k ＋25k ＝25. 解得k ＝1.∴a ＝2，b ＝3，c ＝5.说明：通过比一比、议一议、做一做，加深对比例及比例线段的理解，从而提高学生的认知水平．三、新知应用【例1】已知线段a ＝30 mm ，b ＝2 cm ，c ＝45 cm ，d ＝12 mm ，试判断a ，b ，c ，d 是否成比例线段．【分析】判断四条线段是否成比例线段，先要把四条线段的长度单位化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二与第三和第四线段的数量比，如果比相等，那么这四条线段成比例，否则不成比例．【解】取mm 作单位，则b ＝20mm ，c ＝8mm ，按从小到大的顺序为c ，d ，b ，a. ∵c ∶d ＝8∶12＝2∶3， b ∶a ＝20∶30＝2∶3， ∴c ∶d ＝b∶a.即四条线段a ，b ，c ，d 成比例线段．说明：判断四条线段(或数)是否成比例，在同一单位下，除了直接计算a∶b 和c∶d 进行判断外，还可以计算ad 和bc ，利用ad ＝bc ⇔a b ＝cd进行判断．【例2】如图，在△ABC 中，AD ，CE 是△ABC 上的高线，找出图中的一组比例线段，并说明理由．【分析】(1)根据比例的基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知道联系起来 (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式 根据所得的等式可以写出怎样的比例式 【解】AD AB ＝CEBC .理由如下：∵S △ABC ＝12AB·CE＝12BC·AD，∴AB·CE＝BC·AD，∴AD AB ＝CEBC. 说明：利用面积是比例线段中得到等积式的常用方法之一． 四、巩固新知 尝试完成下面各题．1．下列各组线段，能成比例线段的是( B ) A ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm B ．3 cm ，6 cm ，4 dm ，8 mm C ．3 cm ，9 cm ， dm ，6 cm D ．2 cm ，5 cm ， dm ，8 cm2．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长度．解：设d＝x cm，则有ab＝cd，即32＝6x.∴3x＝12.解得x＝4.∴d＝4 cm.3．如图，在平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，找出图中一组比例线段，并说明理由．解：∵BC·AE＝S▱ABCD ＝CD·AF，∴BCCD＝AFAE.4．有两组线段，每组分别有4条，长度如下：(1)a＝8 cm，b＝cm，c＝dm，d＝10 cm.(2)a＝16 mm，b＝8 mm，c＝5 mm，d＝10 mm.请判断它们是否成比例线段，试说明理由．解：(1)b＝ cm，c＝ dm＝6 cm，a＝8 cm，d＝10 cm. ∵bd＝，ca＝48，bd≠ca，∴这四条线段不成比例．(2)c＝5 mm，b＝8 mm，d＝10 mm，a＝16 mm.∵ac＝80，bd＝80，∴ac＝bd，即ab＝dc，∴这四条线段成比例．五、课堂小结1．两条线段的比及比例线段的概念．2．方程思想的体现．3．比例线段的实际问题中的应用．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。
4.1 成比例线段 (二)
第1节 成比例线段（二）
温故知新
1、线段的比及比例尺
2、成比例线段
3、比例的性质
例1：
如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按 照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩 旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸
AE AD 布的长与宽的比相同，即 ,那么a AD AB
练习：如图，已知每个小方格的边长均为1， 求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比。
1、你有什么感想、收获…？ 2、你有什么发现、探索…？
的值应当是多少？
问题解决 如图，将一张矩形纸片沿它 的长边对折（EF为折痕），得到 两个全等的小矩形。如果小矩形 长边与短边的比等于原来矩形长
边与短边的比，那么原来矩形的
长边与短边的比是多少?
例2：
aBC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
北师大数学九上课件4.1成比例线段(2)
b
c
d
d
,
你认为这个结论正确吗？为什么？
由 a c k 得 a kb, c kd bd
ab b
kb b b
(k
1)b b
k
1
cd d
k
d
d
(k
1)d d
k 1
a
b
b
c
d
d
你能证明吗a ？b b
c
d
d
a
b
b
c
d
e f
a b
a b
c d
e f
设 a c e k 得 a kb, c kd, e kf bd f
a c e kb kd kf k(b d f ) k
bd f bd f
bd f
ace a bd f b
e f
m n
(b
d
n 0)
。a b
c d
m n
a b
2、合比性质：
如果，那么a 。 c bd
ab cd bd
合作交流
ⅰ、已知：如图，在矩形ABCD和矩形HEFG中，
A
D
H
G
B
C
E
F
AB HE
BC EF
CD FG
AD HG
2,
你能求出
AB BC CD AD HE EF FG HG
的值吗？由此你能得出什么结论？
4.1 成比例线段 第二课时 导学案
丹东市第二十四中学 4.1 成比例线段 第二课时主备：李春贺 副备：曹玉辉 孙芬 审核： 2014年9月2日 一、 学习准备：1．已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = . 2．若=y x 3，则=x y ； =y x 2 ；=-y yx 23．已知345c b a ==，则=+--+cb ac b a 32 . 二、学习目标：1.、知道比例的基本性质，能进行证明和运用. 2、知道合分比性质，能进行证明。
. 3、知道等比性质，能进行证明。
4、能简单运用比例的三个性质解决问题。
三、自学提示： （一）合作探究：1.通过自主探究，归纳总结出比例的基本性质，完成目标一。
（1）思考 ：1：若a,b,c,d 四个数满足d cb a =, 那么ad =bc 吗？与同伴交流.根据等式的基本性质，两边同时乘以（ ）,得ad=bc,（2）思考 2：若ad =bc (a,b,c,d 都不为0），那么d cb a =吗？根据等式的基本性质，两边同时除以（ ）,得dcb a =. 比例的基本性质：【练一练】1、若3a=5b,那么a ∶b=_________. 2、a ∶b=4:7，那么_________. 2、通过小组合作探究，归纳总结出合比性质，完成目标二。
（1）如图，已知d c b a ==3,则b b a +=ddc +吗？（2）如果dcb a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？归纳：如果d cb a =，那么 . 这是比例的合分比性质 练习：已知b a =23，则=+b b a ，bba -= .3. 通过师生合作探究，归纳总结出等比性质，完成目标三。
（1）如果d c b a ==…=nm =k （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ =k 成立吗？你能写出推理过程吗？因此， ，这是比例的等比性质 （2）练习：如果f ed c b a ===2，求fd be c a ++++的值 四、学习小结： 五、夯实基础： 1、填空 （1）若=y x 25 则=x y ；=-y y x ； =+y y x 2 ；（2）已知23=a b 则=+b a b ；=-ba b 2 . 2、已知：d c b a ==fe=5（b +d +f ≠0） （1）fd be c a +-+- （2）f b ea 55--3、如图，已知23===DE BC AE AC AD AB ,且△ABC 的周长为36cm ，求△ADE 的周长六、能力提升：已知a ，b ，c 都是不等于零的实数，且k cba b c a a c b =+=+=+，求k 的值布置作业： 【评价反思】。
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6/11
已知 a，b，c，d，e，f 六个数。
a c e (b d f 0) b d f ace a kb kd kf k ? b d f bb d f a c e a kb, c kd , e kf k b d f
7/11
6，
则a
_____ 15 9 ， b _____ 12 ，c _____
a b c k 3 4 5
a 3k , b 4k , c 5k
3k 4k 5k 6 k 3
5/11
AB BC CD AD 2 k HE EF FG HG AB BC CD AD ? 2 k HE EF FG HG
，则
2 : 3 (5 x) : x
3 x ___________
2 5 x 3 x
2 x 3(5 x)
3/11
2 1 2、已知 a b
2a b ______ 5 ，则 a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 2b
4b b 2b b
4/11
3、若 a : 3 b : 4 c : 5 ，且 a b c
第四章 图形的相似
1、理解并掌握比例的性质及其简单应用。 2、通过问题情境，培养从数学的角度发现问题、 提出问题、解决问题的能力。
比例的性质及其简单应用。
2/11
1、若
x : 6 (5 x) : 2 ，则
15 2 x ___________
x 5 x 6 2
若
2 x 6(5 x)
a c ab cd 如果 ，则 。 b d b d
11/11
8/11
AB BC CA 3 , 在△ABC和△DEF中，已知 DE EF FD 4
且△ABC的周长为 18 cm，求△DEF的周长。 AB BC CA 3 解：∵ DE EF FD 4 AB BC CA AB 3 DE EF FD DE 4
答：△DEF的周长为24cm。
a c m (b d n 0) b d n a c m a kb kd kn ? k b d n b b d n a c e k b d f
a kb, c kd , , e kf
4( AB BC CA) 3( DE EF FD) 4 18 3( DE EF FD) DE EF FD 24
9/11
如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB，
DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC
与△EDC的周长比。
10/11
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d