4.1.2 成比例线段 (二)
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4.1.2成比例线段
三、课堂小结：
比例的性质
a c m 1.等比性质: 如果 （ b d n 0）， b d n a c m a 那么 b d n b
2.要运用方程的思想来认识比例式，设出未知数，列 出比例式，化为方程求解.
2a+5b–c 的值. 3a–2b+c
解： 设 a=2k, b=5k,
c=6k,
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 ∴ = = . 2 3a–2b+c 6k–10k+6k
目标2： 理解并掌握等比性质
练习：
目标3： 理解比例的基本性质
（1） （2） （3） （4）
a c b d a c b d a c b d a c b d
第四章
4.1
第2课时
图形的相似
成比例线段
等比的性质及其应用
学习目标：
1、理解并掌握比例的基本性质， 2、能够运用比例的性质进行简单的计算和应用。
一、温故知新(5分钟)
比例的基本性质
a c 如果 b d ，那么 ad = bc.
a c 如果 ad = bc(a、b、c、d都不等于0)，那么 b d
四、作业布置：
名师测控P66的第1至8题
二、新课讲授(25分钟)
A D
H E
G F
B
已知：
AB BC CD AD 2 HE EF FG HG
C
你能求出
AB BC CD AD ? 2 HE EF FG HG
的值吗？由此你能得出什么结论？
等比性质：
目标1： 掌握设比值法 例1.已知 a:b:c =2：5：6， 求
4.1比例线段(2)
C
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
九年级上册数学 4.1线段的比和比例的基本性质
（2）已知线段a、b、c满足关式
a b
b c
，
且b＝5，那么ac＝__2_5___．
如果线段a、b、c满足关式
ab bc
，
那么b是a、c的比例中项，且b2=ac.
• 2、反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d
四个数成比例，即 a c 吗 ？
bd
由ad=bc,得出
ac bd
是有条件的,
1、如果a,b,c,d四个数成比例，即 a c ， bd
那么ad=bc吗？
由等式的基本性质：
在 a c 两边同乘以bd，得ad＝bc.
bd
两外项之积＝两内项之积。 交叉相乘积相等
(1)a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 ， b = 2 ，c = 9 ，则d 的长____6_____.
即a,b,c,d都不等于0
解： a, b, c, d都不等于0，
两边同时除以bd得：
ad bc bd bd
整理得：a c bd
两边同时除以dc得到
的比例式是什么？a b cd
d c或d b ba ca 或b d或b a
ac dc 或c d或c a
ab db
1.如果2x=5y，那么
n
CD
五边形 ABCDE与五边 形A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段 A’B’的比是多少？
◎这个比值刻画了两个五边形大小关系
注： 1、线段的比要统一单位长度。 2、线段的比是一个正数，无单位
已知线段a=30cm，b=60cm，c=0. 15m ，d=30cm. (1)求线段a与线段b的比； (2)求线段c与线段d的比；
4_1成比例线段(二)教学设计
第四章图形的相似1．成比例线段（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了很多现实生活中的情境，理解了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。
也学会了使用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决相关比的问题的方法。
在这个基础上，进一步来学习成比例线段的相关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活，用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和水平。
难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生理解线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的水平。
学生经历使用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的水平。
（二）水平目标：经历使用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
4.1.2成比例线段2
AB BC CD AD AB HE EF FG HG HE
a c e 探究新知 ( 2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b a c e k ，则 解：设
a kb, c kd , e kf a c e kb kd kf k (b d f ) k bd f bd f bd f ace a bd f b
3(2a c 5e) 18 2 2a c 5e 12
2014.10
下课了!
作业： 习题4.2
2014.10
练习已知 6a=4b=3c 且a b c 3求2a b c的值。
2014.10
4、如图，已知每个小方格的边长均为1，求 AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与△EDC 的周长比。
活动二：方法点拨 应用新知 a c e 2 例2：已知 ， b d f 3
AB BC CA 解：∵ DE EF FD AB BC CA DE EF FD 3 4 3 4
A
D
B
C F
3( DE EF FD) 4( AB BC CA) 4 E DE EF FD ( AB BC CA) 3
又∵△ABC的周长为18cm,即AB+BC+CA=18
a c m a 那么 . b d n b
例题解析：
a 2 ab a-b 1、已知 , 求 与 ； b 3 b b
a 2 解:∵ b 3 ab 2 3 5 b 3 3 a-b 2 3 1 b 3 3
北师大版九年级数学上册4.1.2成比例线段课件
结束语
学习数学要多做习题，边做边思索。先 知其然，然后知其所以然。
——苏步青
当堂检测
7
1. 已 知 a=3， 那 么 a+b__4____
b4
b
2. 已知△ABC和△A′B′C′，
且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝
. 24厘米
ac
2
3.已知
(b+d≠0)，则
bd
＝（
温馨提示
上课前，请同学们准备好纸和笔！
第1节 4.1成比例线段（2）
复习回顾
1、什么是比例线段？ 2、比例的基本性质 3.（1）若a、c、d、b成比例线段，则比例
式为____________,比例内项______， 比例外项_____；等积式为_______. (2)判断下列四条线段a、b、c、d是否成比例线段 a4,b6,c5,d1;0 a12 ,b8,c1,5d10 .
4厘米 1厘米
新课引入
3厘米 2厘米
边长之比：4︰3 周长之比：4︰3
边长之比：1︰2 周长之比：1︰2
正n边形呢？
2
1
厘 米
厘 米2厘米Biblioteka 周长之比：2︰14厘米
A
D
HG
B
CE F
如图，已知
AB BC CD AD 2 HEEFFGHG
,你能求出
ABBCCDAD HEEFFGHG
的值吗？
ABBCCDAD HEEFFGHG＝
2HE 2EF 2FG 2HG＝ 2(HE EFFG HG ) HE EF FG HG HE EFFG HG
＝2
探究等比性质 已知a，b，c，d，e，f六个数.
高中数学选修4-1 1.2《平行线分线段成比例定理》第二课时和《相似三角形的判定与性质
2013-8-21
判定定理2
预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3
2013-8-21
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
2013-8-21
小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
AE 1 (1)如果 ， 求证：3EF BC 2 AD EB 2 AE 2 (2)如果 ， 求证：5EF 2 BC 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论， 即如果 ， 那么可以得到 EB n 2013-8-21 什么结论。
2013-8-21
复习
1、平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2013-8-21
2、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
2013-8-21
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
2013-8-21
E
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 1 1 BC, FD CA, DE AB 2 2 2
A F E D C
பைடு நூலகம்
EF FD DE 1 BC CA AB 2
判定定理2
预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3
2013-8-21
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
2013-8-21
小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
AE 1 (1)如果 ， 求证：3EF BC 2 AD EB 2 AE 2 (2)如果 ， 求证：5EF 2 BC 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论， 即如果 ， 那么可以得到 EB n 2013-8-21 什么结论。
2013-8-21
复习
1、平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2013-8-21
2、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
2013-8-21
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
2013-8-21
E
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 1 1 BC, FD CA, DE AB 2 2 2
A F E D C
பைடு நூலகம்
EF FD DE 1 BC CA AB 2
4.1.2 成比例线段 (二)上课课件
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
4、如图，已知每个小方格的边长均为1，求 AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与
△EDC的周长比。
bc ac ab 5.已知： k , 求k的值. a b c
探索： 当a b c 0时，k _______
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
比例基本性质
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
• 第四章 图形的相似 • 第1节 成比例线段（二）
B a c A C1 O C b A
B
C
温故知新 1、成比例线段定义
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
探究新知
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
巩固提高：
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
x y 17 x 1、若 , 则 _____ y 9 y a 1 3a b 2、若 , 则 的值为 ____ b 4 2b
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：由题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k(k≠0)，则：
(1)x＋y2y＝2k＋3k6k＝83. (2)2x＋33xy－5z＝2×2k＋33××23kk－5×4k＝－76.
1、你有什么感想、收获…？段（二）
温故知新
1、成比例线段定义 2、比例的基本性质
3、若 3m = 2n ，你可以得到
呢？
的值吗？
探究新知
(1)、如图已知
，你能求出
的值吗？如果
,那么
有怎
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
探究新知
(2) 如图，
例4 如果
x
y
z
0
234
那么 x y z ___9____ x yz
10.已知a5＝b6＝7c≠0，则a－c b的值为( B )
1 A.7
B.－71
C．2
1 D.2
6.【3例4】已知a2＝b3＝5c，且a＋b＋c≠0，则2aa＋＋3bb＋－c2c＝ __1_0__.
小结：设比值为k.
11.若2a＝3b＝4c，且 a＋b－c＝2，则 a－b＋c 的值为( D ) D
的值相等吗？
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
比例基本性质
例题解析：
随堂练习
中考题型例析：
题型一：合、等比性质应用
例1 若
a
2
，则
b3
a 2 ab 5
例2 若
bc
ac
ab
k
a
b
c
则k=___2_或_-_1__
题型二：比例性质的应用
例3 a 2b 9 已知 2a b 5 ,则a:b=__1_9_:_1_3__
A．3
B.4
C．5
D.6
7.【例5】已知x∶y∶z＝3∶5∶7，求xx＋－yy－＋zz的值．
解：由题意，设x＝3k，y＝5k，z＝7k(k≠0)，
则xx＋－yy－＋zz＝33kk－＋55kk＋－77kk＝5kk＝15.
★12.已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求下列式子的值： (1)x＋y2y； (2)2x＋33xy－5z.
(1)x＋y2y＝2k＋3k6k＝83. (2)2x＋33xy－5z＝2×2k＋33××23kk－5×4k＝－76.
1、你有什么感想、收获…？段（二）
温故知新
1、成比例线段定义 2、比例的基本性质
3、若 3m = 2n ，你可以得到
呢？
的值吗？
探究新知
(1)、如图已知
，你能求出
的值吗？如果
,那么
有怎
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
探究新知
(2) 如图，
例4 如果
x
y
z
0
234
那么 x y z ___9____ x yz
10.已知a5＝b6＝7c≠0，则a－c b的值为( B )
1 A.7
B.－71
C．2
1 D.2
6.【3例4】已知a2＝b3＝5c，且a＋b＋c≠0，则2aa＋＋3bb＋－c2c＝ __1_0__.
小结：设比值为k.
11.若2a＝3b＝4c，且 a＋b－c＝2，则 a－b＋c 的值为( D ) D
的值相等吗？
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知 已知，a，b，c，d，e，f六个数。
比例基本性质
例题解析：
随堂练习
中考题型例析：
题型一：合、等比性质应用
例1 若
a
2
，则
b3
a 2 ab 5
例2 若
bc
ac
ab
k
a
b
c
则k=___2_或_-_1__
题型二：比例性质的应用
例3 a 2b 9 已知 2a b 5 ,则a:b=__1_9_:_1_3__
A．3
B.4
C．5
D.6
7.【例5】已知x∶y∶z＝3∶5∶7，求xx＋－yy－＋zz的值．
解：由题意，设x＝3k，y＝5k，z＝7k(k≠0)，
则xx＋－yy－＋zz＝33kk－＋55kk＋－77kk＝5kk＝15.
★12.已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求下列式子的值： (1)x＋y2y； (2)2x＋33xy－5z.