Fast Fourier Transform(快速傅立叶变换)
matlab 快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。
而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。
1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。
FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。
这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。
fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。
在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。
3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。
通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。
这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。
4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。
在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。
通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。
5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。
FFT-快速傅里叶变换
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
注：亲测，这个版本无法运行，作者删改了重要内容[1] 请参考源码（2）
//快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
快速傅里叶算法
快速傅里叶算法快速傅里叶算法（Fast Fourier Transform，FFT）是一种十分高效的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）算法。
它的效率在各种场合中被证明为远好于传统的DFT算法，占用的计算时间也更少。
这种算法在数字信号处理、音频压缩、图像处理、数据压缩、地震勘探、分子建模、遥感等领域中都可以发挥重要的作用。
因此，了解和掌握FFT算法对于科学计算和数据分析是非常有意义的。
傅里叶分析的基本概念傅里叶分析是一种将一个周期或非周期信号分解为若干个基本频率的信号的方法。
在这个过程中，一个连续的时间信号被分成一系列所谓的正弦波或余弦波。
这种方法适用于信号的处理，让人们能够理解事物如何被组成，以便更好地观察和控制这些信号。
在数字信号处理中，一个离散时间信号的傅里叶变换（DFT）是周期为N的复数序列，其中每一个元素都是一个基本频率的振幅，这里的基本频率是可以在一定周期内重复的赫兹频率。
然而，传统的DFT算法的计算量却是N^2（二次方级别），这对于大型数字信号的处理过程会带来巨大的计算负担。
FFT的发明在1965年，Caltech的物理学家J. W. Cooley和John Tukey发明了一个绝妙的数字信号算法——快速傅里叶变换算法。
这种算法利用对称性和重复性来减小计算量，使得N个点进行DFT只需要O(NlogN)的计算量。
由于它的速度比传统DFT快了许多，这种算法被称为“快速傅里叶变换”，简称FFT。
FFT算法原理FFT算法基于一个经典的数学定理，即“将一个长度为N的序列进行N次简单DFT变换，可以得到一个长度为N 的DFT变换”。
这个定理告诉我们，DFT可以通过分别对长度为N的较短序列进行DFT来实现。
由此可以看出，FFT算法的基本原理就是把一个大的DFT变换分解成许多个小的DFT变换，再利用其对称性和重复性来减少计算量。
FFT算法流程和优化FFT算法的基本流程分为两个阶段：分解和合并。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
FFT 及其Python实现方法
FFT 及其Python实现方法FFT 及其Python实现方法快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是一种高效的计算傅里叶变换的算法，广泛应用于信号处理、图像处理、数字滤波等领域。
本文将介绍FFT 的原理及其在Python中的实现方法，以帮助读者更好地理解和应用FFT算法。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换方法，通过将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的和来描述信号的频谱特性。
傅里叶变换的公式为：其中，X(k)表示频域的系数，x(n)表示时域的信号，N表示信号的长度。
二、FFT算法原理FFT算法是一种高效的计算傅里叶变换的算法，其基本思想是将一个N点的DFT（离散傅里叶变换）分解成多个较小规模DFT的和，从而降低计算复杂度。
FFT算法的核心是蝶形运算，通过将原始序列分成两部分，分别进行计算后再合并，从而实现快速的傅里叶变换。
三、Python库介绍在Python中，我们可以使用NumPy库来实现FFT。
NumPy是一个科学计算的基础库，提供了丰富的数学函数和数组操作工具，可以方便地进行FFT 计算。
四、FFT的Python实现步骤导入必要的库在使用NumPy实现FFT之前，我们需要导入相应的库，并加载我们要处理的信号。
以下是导入库和加载信号的示例代码：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 加载示例信号t = np.arange(0, 1, 0.01)signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.random.randn(len(t))进行FFT计算在Python中，我们可以使用NumPy库中的numpy.fft.fft函数来实现FFT 计算。
以下是一个进行FFT计算的示例代码：# 进行FFT计算fft_result = np.fft.fft(signal)使用np.fft.fft函数，我们将信号作为输入，得到其FFT计算的结果。
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(fast Fourier transform), 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
快速傅里叶变换数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m），即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。
当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N 点的DFT变换。
这样变换以后，总的运算次数就变成N+2*(N/2）^2=N+N^2/2。
继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。
而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N 点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。
基本思想编辑FFT的基本思想是把原始的N点序列，依次分解成一系列的短序列。
充分利用DFT计算式中指数因子所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算和简化结构的目的。
此后，在这思想基础上又开发了高基和分裂基等快速算法，随着数字技术的高速发展，1976年出现建立在数论和多项式理论基础上的维诺格勒傅里叶变换算法(WFTA）和素因子傅里叶变换算法。
它们的共同特点是，当N是素数时，可以将DFT算转化为求循环卷积，从而更进一步减少乘法次数，提高速度。
fft(x,n)实例解释
FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的算法。
在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
下面通过一个简单的实例来解释FFT（x，n）的计算过程。
假设我们有一个长度为8的离散信号x，其值为：x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]我们希望计算该信号的离散傅里叶变换，并求得其频率分量。
首先，我们需要确定信号的长度n和采样频率。
在这个例子中，n=8，采样频率为1。
接下来，我们将信号x分成两个长度相等的子序列：x_even和x_odd。
这两个子序列分别包含偶数下标和奇数下标的元素。
在本例中，x_even = [1, 3, 5, 7]，x_odd = [2, 4, 6, 8]。
然后，我们分别对这两个子序列进行FFT计算。
对于x_even，其DFT为：X_even(k) = FFT([1, 3, 5, 7]) = [10 + 0j, -2 + 2j, -2 + 0j, -2 - 2j]对于x_odd，其DFT为：X_odd(k) = FFT([2, 4, 6, 8]) = [-2 + 0j, -2 - 2j, -2 + 2j, 10 + 0j]最后，我们将这两个子序列的DFT结果合并起来，得到原始信号x的DFT：X(k) = X_even(k) + X_odd(k) = [10 + 0j, -2 + 2j, -2 + 0j, -2 - 2j] + [-2 + 0j, -2 - 2j, -2 + 2j, 10 + 0j] = [8 + 0j, -4 + 4j, -4 + 0j, -4 - 4j]至此，我们已经完成了FFT（x，n）的计算过程。
从结果可以看出，原始信号x的频率分量分别为8Hz、4Hz、4Hz和-4Hz。
这些频率分量可以用于信号分析、滤波等应用。
fft 快速傅里叶变换 (fast fourier transform)
FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。
FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。
傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。
但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。
三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。
FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。
1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。
蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。
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State Key Laboratory of Mechanical System & Vibration
Shanghai Jiao Tong University
The Fast Fourier Transform (FFT)
The FFT is one of the truly great computational developments of this [20th] century. century It has changed the face of science and engineering so much that it is not an exaggeration to say that life as we know it would be very different without the FFT. -Charles van Loan
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Fast Fourier Transform: Brief History
Carl Friedrich Gauss (1805, 1866). Analyzed periodic motion of asteroid Ceres. Runge‐König (1924). Laid theoretical groundwork. Danielson‐Lanczos (1942). Efficient algorithm. Cooley‐Tukey (named after J.W. Cooley and John Tukey , 1965). Monitoring nuclear tests in Soviet Union and tracking submarines submarines. Rediscovered and popularized FFT.
X ( j)e jt d,
2f
The signal x(t) must be not a periodic signal.
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Dirichlet conditions
However, if a CT periodic signal x(t) = x(t+nT) satisfies Dirichlet conditions, it can be re-written re written into a Fourier series
0 0 X (0) ( ) W W 4 4 X (1) 0 1 W W 4 4 X (2) W40 W42 0 3 X (3) W W 4 4
W40 W42 W44 W46
( ) W40 x(0) 3 W4 x(1) W46 x(2) 9 W4 x(3)
Then, Th FT of f this thi signal i l exists, i t defined d fi d as
X ( j) x(t )e jt dt
Its inverse transform is defined as
1 x(tLeabharlann ) 2 Unnecessary computation, e.g. W40 1, W42 1。 nk n(k N ) nk W W W Periodicity of N : N N
k Properties of WN
W e
k N
j
2 k N
Therefore nk (n N )k W W 1. Periodic N N
W
n(k N ) N
2 2 cos( k ) j sin( k ) N N
j Im 6 WN
5 WN 7 WN
2 Conjugate 2. C j t (WNnk ) WN( N n ) k Symmetry WNn ( N k ) 3. Symmetric W N 4. 5.
More Specifically
Expressing the equation in terms of operations on real numbers, numbers
Each complex multiplication → 4 real multiplication and 2 real additions; Each complex addition → 2 real additions. Therefore, Th f each h direct di t computation t ti of f X[k] →4N real l multiplications and (4N-2) real additions. Finally, the DFT → 4N2 real multiplications and State Key Laboratory of Mechanical System & Vibration N(4N-2) real additions. 9
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Theory
Discrete Fourier Transform
N 1 For each value of DFT: nk N complex multiplications X ( K ) x(n) WN n 0 N-1 complex additions N 1 1 nK x ( n) j 2 nk X ( K ) W nk N N Where： W e N K 0 N
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Computational Cost
The DFT can be rewritten as
00 01 WN X (0) WN X( 10 11 (1) ) WN WN ( N 1)0 ( N 1)1 X ( N 1) W W N N
DFT/IDFT can be implemented by using the same hardware; It requires N2 complex multiplications and N(N-1) complex additions.
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Importance not fully realized until advent of digital computers.
6
6
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Fast Fourier Transform: Brief History
W
N 2 N
(k N ) 2
4 WN
0 Re WN
W Nk
N 2 N
W
3 N
2 WN
1 WN
W
1
N 8
2n n WN WN 2
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Ways of Decreasing Computation Cost
Besides the multiplications and additions, the digital computation of the DFT also requires provision for storing and accessing the coefficients WNkn
Efficient algorithm for calculating the Discrete Fourier Transform Presented by J.W Cooley and J.W. Tukey in paper “An algorithm g f for the machine calculation of f complex Fourier Series”, Mathematics Compuation, Vol 19, , 1965, , pg. pg 297‐301
The amount of computation ↔ Computation time
proportional to N2
The number of arithmetic operation required to compute the DFT by direct method becomes very large for large values of N.
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Fourier Transform of CT signal
Suppose x(t) is a continuous time signal and satisfies
x(t ) dt
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Fourier Transform
In 1822 Fourier presented his work on heat flow. In this work he claims that any function of a , whether continuous or discontinuous, , can variable, be expanded in a series of sines of multiples of the variable. variable Though this result is not correct, Fourier's observation that some discontinuous functions are the t e su sum o of infinite te se series es was as a b breakthrough. ea t oug