山东省青岛第五十八中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc
山东省青岛第五十八中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc
山东省青岛第五十八中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc保密★启用前2016—2017学年第一学期期中模块考试高数学试卷2016．11第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分）1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．423π+B ．443π+ B ．C ．44π+ D ．24π+2．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ）A ．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B ．梯形的直观图可能不是梯形C ．正方形的直观图为平行四边形D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形 3．直线互相垂直，则的值为（ ）A ．B.C ．D ．4．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.B.6πC.5πD. 8π5．直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（ ）A.B. C.D. 6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,AA C D 的中点，G 是侧面11BCC B 的中心，则空间四边形AEFG 在正方体的六个面上的射影图）（21,21-）（1,1-）（0,0）（1,1-PPBPA +xy -=PBA 、yx632=-+y x 211-2-a 230y +=1x ay ++=FD 1C 1B 1A 1GEDCBA形面积的最大值是（ ）A ．14B ．38C ．12D ．58 7．过点(0,1)的直线与圆224xy +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B． C ．3 D．8．下列说法错误的是（ ）A ．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则l 一定垂直于平面v 9．若满足, 则直线过定点（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆心，一条直径的两个端点恰好在)21,61(-)21,61(-)61,21(-)61,21(03=++n y mx 012=-+n m nm ,(2,3)-第II 卷（非选择题） 二、填空题（共4题，每题5分） 13． 如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊥PA ⊙O ，C 为圆周上一点，若cm AB 5=，cmAC 2=，则B 点到平面PAC 的距离为 。
数学---山东省青岛第五十八中学2017届高三上学期期中考试试题(文)
山东省青岛第五十八中学2017届 高三上学期期中考试试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知i 1i 1ia b +=+，则b a +为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．1i -2. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（ ） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( )A ．191622=-y x B ． 191622=-x y C ．116922=-y x D ．116922=-x y 4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 6. 下列选项中为函数412sin )62cos()(--=x x x f π的对称中心为( ) A ．)0,12(πB ．)41,3(-π C ．)0,3(πD ．)0,247(π7. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=∙，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81 B ．[]1,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） 9. 集合)}1(log ,3{2++=a a A ，},1{b B =，B A =则=b ________．10. 从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为 ．11. 已知函数)(x f 为偶函数，且)0(,1)(2>-=x xx x f ，则=-')1(f ． 12. 如右图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的 体积为______．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //，点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ，则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是 __________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）某企业生产A 、B 两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：生产产品A 和B 每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A 。
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A . 2B . 6C . 3D . 22. （1分）若直线kx-y-2=0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .3. （1分）正四面体（四个面都为正三角形）ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°4. （1分） (2016高三上·洛宁期中) 一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （1分）若a,b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A . 若a、b与α所成的角相等，则a bB . 若α⊥β，mα，则m⊥βC . 若a⊥α，aβ，则α⊥βD . 若aα，bβ，则a b6. （1分）椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）.A . 75°B . 60°C . 45°D . 30°7. （1分）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若，则8. （1分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=19. （1分） (2017高二上·海淀期中) 如图，四面体的三条棱，，两两垂直，，，为四面体外一点，给出下列命题．①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形；②不存在点，使四面体是正三棱锥；③存在点，使与垂直并且相等；④存在无数个点，使点在四面体的外接球面上．其中真命题的序号是（）．A . ①②B . ②③C . ③D . ③④10. （1分）(2017·兰州模拟) 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . （9+ ）πB . （9+2 ）πC . （10+ ）πD . （10+2 ）π11. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（4，0），B（6，8），C（2，4），则R的取值范围是（）A .B . [4，10]C .D .12. （1分）已知直线l、m、n与平面α、β，则下列叙述错误的是（）A . 若m∥l，n∥l，则m∥nB . 若m⊥α，m∥β，则α⊥βC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球表面积为________．14. （1分） (2016高三上·湖北期中) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．15. （1分） (2016高三上·闵行期中) 已知函数f（x）= 若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围为________16. （1分） (2016高二上·自贡期中) 直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （1分）已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：（1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；（2） BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．18. （2分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1 ， y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．19. （1分） (2016高二下·金堂开学考) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．20. （2分） (2016高二上·温州期中) 如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点．（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；（Ⅱ）求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值．21. （2分） (2016高一下·武邑期中) 已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．22. （3分） (2018高二上·铜梁月考) 如图，在三棱锥P-ABC中，且底面，D是PC的中点，已知 ,AB=2，AC= ,PA=2.（1）求三棱锥P-ABC的体积（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值。
2022-2023学年山东省青岛第五十八中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系211k a =-+即可求解【详解】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝，211x a -+211a -+所以斜率k ＝，即tan α＝，所以－1≤tan α<0，211a -+211a -+解得≤α<π，即倾斜角的取值范围是.34π3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ）31y x =-22:1C x my -=A ．B ．9C ．D ．31913【答案】A【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方22:1C x my -==x ±31y x =-程为，故3y x =±19m =故选：A3．已知点A （1，2）在圆C ：外，则实数m 的取值范围为（ ）22220x y mx y ++-+=A ．B ．()()3,22,--+∞ ()()3,23,--⋃+∞C ．D ．()2,-+∞()3,-+∞【答案】A【分析】由表示圆可得，点A （1，2）在圆C 外可得22220x y mx y ++-+=22(2)420m +--⨯>，求解即可22122220m ++-⨯+>【详解】由题意，表示圆22220x y mx y ++-+=故，即或22(2)420m +--⨯>m>22m <-点A （1，2）在圆C ：外22220x y mx y ++-+=故，即22122220m ++-⨯+>3m >-故实数m 的取值范围为或m>232m -<<-即()()3,22,m --∞∈+ 故选：A4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，13把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A BC D 【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则，13,4,,222A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，整理为，:AB 142312422x y --=---702x y -+=原点O=故选：B5．直线的一个方向向量为，点为直线外一点，点为直线上一l m =()3,0,1P -l ()0,0,0O l 点，则点到直线的距离为（ ）P l A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出，再结合已知条件利用距离公式求解即可.(3,0,1)OP =-【详解】因为直线的一个方向向量为，，l m = (3,0,1)OP =-所以点到直线的距离为Pl，3==故选：C6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ）221x y +=(,1)a A ．B ．(-⋃(-C ．D ．(1,0)(0,1)- (1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，22()(1)4x a y -+-=221x y +=2121-<<+进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，(,1)a 22()(1)4x a y -+-=所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，22()(1)4x a y -+-=221x y +=即两圆相交，故，2121-<<+解得或，0a -<<0a <<所以实数a 的取值范围为，(-⋃故选：A ．7．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 2c )y x c =+C 的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于（ ）12212MF F MF F ∠=∠A B C D 1-1-【答案】A【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定)y x c =+1260MF F ∠=︒2130MF F ∠=︒21MF MF ⊥义得到，由勾股定理列出方程，求出离心率.)11MF a =(3a=【详解】因为，)y x c =+12tan MF F ∠=所以，所以，则，1260MF F ∠=︒2130MF F ∠=︒21MF MF ⊥设，则，1MF x =21tan 60MF MF =︒=由椭圆的定义可知：，即，212MF MF a +=2x a =解得：，)1x a =所以，)11MF a =(3a=由勾股定理得：，2221212MF MF F F +=故，)(22222134a a c +=解得：.224c a =-1c a ==-故选：A8．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线P 221:1169x y C -=Q ()222:51C x y -+=R 上，则的最大值是（ ）()223:51C x y ++=PQ PR-A ．B ．C ．D ．9101112【答案】B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得1C 的最大值.PQ PR-【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，1C 4a =3b =5c =1C记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，()15,0F -()25,0F PQ PR-P 1C 所以，.()21211122210PQ PR PF PF PF PF a -≤+--=-+=+=故选：B.二、多选题9．已知双曲线，（ ）22:121x y W m m -=++A ．(2,1)m ∈--B ．若的顶点坐标为，则W (0,3m =-C ．的焦点坐标为W ()1,0±D ．若，则的渐近线方程为0m =W 0x =【答案】BD【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A 错误，然()()210m m ++>后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B 正确，再然后分为、两种情况，依次1m >-2m <-求出，即可判断出C 错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.2c 【详解】A 项：因为方程表示双曲线，22121x y m m -=++所以，解得或，A 错误；()()210m m ++>1m >-2m <-B 项：因为的顶点坐标为，W (0,所以，解得，B 正确；21m --=3m =-C 项：当时，，1m >-()()22123c m m m =+++=+当时，，C 错误；2m <-()()22123c m m m =-+-+=--D 项：当时，双曲线的标准方程为，0m =W 2212x y -=则渐近线方程为，D 正确，0x =故选：BD.10．已知直线与圆交于，两点，则（ ）:cos sin 1l x y αα+=22:6O x y +=A B A ．线段的长度为定值B ．圆上总有4个点到的距离为2AB O l C ．线段的中点轨迹方程为 D ．直线的倾斜角为AB 221x y +=l 2πα+【答案】AC【分析】对于A ，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；AB对于B ，由于圆心到直线的距离为1，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C ，由选项A 可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，AB (0,0)O 从而可得结论；对于D ，当时，设直线的倾斜角为，则，即，0α≠θ1tan tan θα-=tan tan()2πθα=+而当时，直线的倾斜角，2πα>2πθα≠+【详解】对于A ，因为圆心到直线的距离，所以(0,0)O :cos sin 1l x y αα+=1d =，所以A 正确；AB ==对于B ，由于圆心到直线的距离为上只有21d ==O 个点到的距离为2，所以B 错误；l对于C ，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距1d ==AB (0,0)O 离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以CAB (0,0)O 221x y +=正确；对于D ，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；0α=cos 1,sin 0αα==1x =2π2πα+当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则0α≠cos sin 1x y αα+=cos 1sin tan k ααα=-=-θ，即，当时，直线的倾斜角，而当时，1tan tan θα-=tan tan()2πθα=+02πα<<2πθα=+2πα>直线的倾斜角，所以D 错误，2πθα≠+故选：AC11．如图，已知正方体的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，的中点，以下1111ABCD A B C D -11B C 说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为1B ．平面EFGC EFG -1A C ⊥C ．平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 11//A D 【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断C EFG -BCD 选项的正确性.【详解】A 选项，，111132211121241122222CEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=所以，A 选项正确.132132C EFG G CEF V V --==⨯⨯=建立如图所示空间直角坐标系，，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ,()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2A C A D EF EG =--=-==，所以，110,0A C EG A C EF ⋅=⋅= 11,A C EG A C EF ⊥⊥由于平面，所以平面，B 选项正确.,,EG EF E EG EF ⋂=⊂FEG 1AC ⊥EFG 平面的一个法向量为，EFG ()12,2,2A C =--，所以与平面不平行，C 选项错误.11140A D A C ⋅=≠11A D EFG 平面的法向量为，ABCD ()0,0,1n =设平面于平面的夹角为，EFG ABCD θ则，D 选项错误.cos θ=故选：AB12．已知双曲线C ：的左焦点为F ．过点F 的直线交C 的左支于M 、N 两点，直()22210x y a a -=>线l ：为C 的一条渐近线，则下列说法正确的有（ ）20x y -=A ．B ．直线l 上存在点Q ，使得2a=5QF =C ．的最小值为1D ．点M 到直线：距离的最小值为MNl '220220x y --=2022【答案】ABC【分析】A.根据渐近线公式，即可求解；B.首先求点到直线的距离，与F l 5C.分直线的斜率存在和不存在两种情况，求弦长，并结合函数关系求最小值；l MND.利用直线与，双曲线的位置关系，即可判断选项.l 'l 【详解】对于A 选项，直线l ：为的一条渐近线，故，故，故A 正确；20x y -=C 112a ==2a 对于B 选项，由A 可知，，则，点到直线的距离2,1ab ==c =()F F 20x y -=，所以直线上存在点Q，使得，故B正确；15d<l 5QF =对于C 选项当过点的直线斜率不存在时，方程为或，此时，F x =12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12MF MN ==当过点的直线斜率存在时，设方程为，F (y k x =故联立方程得，(22==14y k x x y ⎧⎪⎨⎪-⎩()2222241400k x x k ----=设，因为过点的直线交的左支于两点，()()1122,,,M x y N x y F C ,M N 所以，解得或，()()()12212222222+204=>014140Δ=+41420+4>0x x k x x k k k k ⎧⎪⎪⎪--⎪⎨-⎪-≠⎪⎪--⎪⎩12k >12k <-221441k k =+=⨯-，()222144541541k k k +=⨯=+--+因为或，所以，，，，即，12k >12k <-2514k +>()2540,41k -∈+241541k >-+1MN >因为过点的直线斜率不存在时，，F =1MN 综上，的最小值为1，故C 正确；MN对于D 选项，直线和的渐近线平行，且与的左支不相交，故上的点到直线的距离没l 'C l 'C C M l '有最小值，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．已知，若直线与直线平行，则m ＝__．R m ∈1:10l mx y ++=2:9230l x my m +++=【答案】3【分析】根据两直线平行，得到方程，计算求得m 值．【详解】由题意得：，且，290m -=()2390mm +-≠解得：m ＝3，故答案为：3．14．过点且与圆相切的直线的方程是______．()1,2221x y +=【答案】或1x =3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率:1l x =存在时，设斜率为k ，可得直线l 的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可1d r =求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点，()1,2所以直线，:1l x =此时圆心到直线的距离为1=r ，(0,0)1x =此时直线与圆相切，满足题意；:1l x =221x y +=当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以，即，:l 2(1)y k x -=-20kx y k --+=因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，1d r =34k =所以直线l 的方程为.3450x y -+=综上：直线的方程为或1x =3450x y -+=故答案为：或1x =3450x y -+=15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆1l()0kx y k R +=∈2l 220x ky k -+-=A B 上的动点，则的最大值为___________.()()22232x y +++=AB【答案】5+【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，1l ()0kx y k R +=∈(0,0)O 2l 220x ky k -+-=(2,2)C 且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使12l l ⊥A OC D AB D A 最大，结合圆的性质即可求解AB【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点1l ()0kx y k R +=∈(0,0)O 2l 220x ky k -+-=，且，(2,2)C 12l l ⊥所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，A OC D 22:(1)(1)2D x y -+-=要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一AB22:(1)(1)2D x y -+-=A ()()22232x y +++=点，使最大，B AB，5=所以的最大值为AB5+故答案为：5+16．如图，棱长为2的正方体中，点E 是棱的中点，点P 在侧面内，1111ABCD A B C D -1CC 11ABB A 若垂直于，则的面积的最小值为____________．1D P 1A E PBC【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出的坐标，由可推出P 点11D P A E，11D P A E ⊥ 轨迹，确定P 点在何处时的面积取到最小值，由此可求得答案.PBC 【详解】以A 为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图所示：1,,AB AD AA ,,x y z则，11(22102),(),(0,0,22)E D A ，，，，设 ，则 ， ，(0,)P a b ，1(,2,2)D P a b =-- 1(2,2,1)A E =-由 ,可得，故, 即,11D P A E ⊥11D P A E ⊥ 112420D P A E a b ⋅=--+=22b a =-取的中点N ，连结，则P 点轨迹为线段，AB 1B N 1B N过B 作,垂足为Q ,由于BQ BN ⊥1121BB BN B N ==∴==，，则BQ ==又平面,平面 ，故 ，BC ⊥11ABB A BQ ⊂11ABB A BC BQ ⊥当P 点位于Q 点位置时，由于 ,此时的面积最小，2BC =PBC即的面积最小值为，PBC 122QBC S =⨯=四、解答题17．已知直线过点和，直线：．1l()30A -，()34B ，l 10x y --=(1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．1ll 2l 2l (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.m B ()5,0C m 2m 【答案】(1)32110x y --=(2)或．=3x 34250x y +-=【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程.1l l 1ll 2l （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程.m C m m 【详解】（1）直线的方程为，即，1l 034033y x -+=-+2360x y -+=取直线上的一点，设关于直线的对称点为，1l()30A -,()30A -,:10l x y --=(),a b 则，解得.013301022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩1,4a b ==-由解得，102360x y x y --=⎧⎨-+=⎩9,8x y ==所以直线过点和点，2l ()1,4-()9,8所以直线的方程为，即.2l 894819y x --=---32110x y --=（2）直线斜率不存在时，可得，m 3x =点与直线的距离为，符合题意.()5,0C 3x =2当直线斜率存在时，设直线斜率为，m k 故可得直线的方程为，m ()43y k x -=-即，340kx y k --+=因为点到直线的距离为，()5,0C m 2，2=解得，34k =-故可得直线的方程为，即，m 3334044x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭34250x y +-=综上所述，直线的方程为：或．m =3x 34250x y +-=18．已知，是椭圆M ：的左右焦点．1F 2F 2212x y +=(1)若C 是椭圆上一点，求的最小值；12CF CF ⋅(2)直线与椭圆M 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．椭圆M 上存在点P 使得四边形OAPB y x m =+为平行四边形，求m 的值．【答案】(1)的最小值为012CF CF ⋅(2)m =【分析】(1)先由椭圆求出焦点坐标，再设点P ，然后写出的坐标表达式，根据椭圆的范围12CF CF ⋅ 即可求出最小值(2)先设A ，B 两点坐标，然后联立直线和椭圆方程，写出判别式求出m 的取值范围，再利用韦达定理，得出中点坐标，进而求出P 点坐标，然后代入椭圆方程即可求解【详解】（1）由椭圆方程，可得，，设，则2212x y +=1(1,0)F -2(1,0)F (,)C x y ，，1(1,)CF x y =--- 2(1,)CF x y =--所以，将原椭圆方程变形并代入，得，22121CF CF x y ⋅=+-2212x y =-222121122x x CF CF x ⋅=+--=又由椭圆的几何性质可得，[x ∈所以当时，的最小值为0.0x =12CF CF ⋅（2）设，，联立，得，11(,)A x y 22(,)B x y 2212y x m xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=判别式，解得222Δ(4)12(22)8240m m m =--=-+>m <<，1243m x x +=-，又四边形OAPB 为平行四边形，121223my y x m x m +=+++=A ，B 两点中点和O ，P 两点中点重合，即A ，B 两点中点坐标为，1212(,)22x x y y ++2(,)33m m -推出P 点坐标，又因为P 点在椭圆上，，解得，42(,33m m -∴224()23()123m m -+=(m =∴m =19．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，-P ABC 2AC =4BC =PAC △D AB ，.AC PD ⊥90PCB ∠=︒（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.BC ⊥PAC PD PBC 【答案】（1）证明见解析；（2）与平面PD PBC 【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面AC O ,OD OP OP AC ⊥AC PD ⊥AC ⊥，得到，再证明，然后证明平面；POD AC OD ⊥AC BC ⊥BC ⊥PAC （2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.O PBC PD【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，AC O ,OD OP PAC △OP AC ⊥又平面，所以平面，又平面，所以,,,AC PD PD OP P PD OP ⊥=⊂ POD AC ⊥POD OD ⊂POD ，AC OD ⊥因为∥，所以，又平面，所以平面OD BC AC BC ⊥,,,PC BC PC AC C PC AC ⊥=⊂ PAC BC ⊥；PAC （2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如O OA OD OP 、、,,x y z 图示，则，所以，()()()(1,0,0,0,2,0,1,4,0,C D B P --(()(,0,4,0,0,2,CP CB PD ===设平面的法向量为，则，取，PBC (),,m x y z = 040m CP x m CB y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x=)1m =- 设与平面所成角为，则.与平面所成角的PD PBCθsin m PD m PDθ⋅==⋅PD ∴PBC20．在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，，，P ABCD -//CD AB 90ABC ∠=︒，平面平面ABCD ，，E 为PA中点.224AB BC CD ===PAD ⊥2PA PD ==(1)求证：平面PBC ；//ED(2)已知平面PAD 与平面PBC 的交线为，在上是否存在点N ，使二面角的正弦值为l l P DC N --PN 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在点，N PN 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明；（2）根据线面平行的性质定理可证，则直线的方向向量可以是，建系，利用空间向量//ED l l DE处理二面角问题.【详解】（1）取的中点，连接，PB F ,EF FC ∵分别为的中点，则且，,E F ,PA PB //EF AB 1=2EF AB又∵且，//CD AB 12CD AB =∴且，则为平行四边形，∴，//EF CD =EF CD CDEF //ED CF 平面PBC ，平面PBC ，ED ⊄CF ⊂∴平面PBC ；//ED （2）由题意可得：AD BD ==则，即，222AD BD AB +=AD BD ⊥取的中点，连接，AD M PM ∵，则，=PA PD PM AD ⊥平面平面ABCD ，平面平面，平面PAD ⊥PAD ⋂=ABCD AD PM ⊂PAD ，∴平面ABCD ，PM ⊥以为坐标原点建立空间直角坐标系，则可得：D ()()()()0,0,0,0,,,,D A B C P E ，，(),DP DC ==设平面的法向量，则有，PCD (),,n a b c ==0==0n DP n DC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ 令，则，即，=1a 1,1b c ==-()1,1,1n =-由（1）可得：平面PBC ，//ED 平面PAD ，平面平面，ED ⊂PAD ⋂=PBC l ∴，则直线的方向向量可以是，//ED ll DE = 设，则，PN DE λ=N ⎫⎪⎪⎭，(),DN DC ⎫==⎪⎪⎭设平面的法向量，则有，DCN (),,m x y z==+=0==0m DN x z m DC ⎧⎫⎫⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎭⎭⎪⋅⎩令，则，即2x λ=+()2,32y z λλ=+=-+()()2,2,32m λλλ=++-+∵二面角的余弦值的绝对值为，则P DC N --P DC N --13，1cos ,3n m n m n m ⋅===解得或，1λ=-32λ=-当时，，此时，32λ=-PN ⎛= ⎝ PN当，，则PN 1λ=-PN ⎛= ⎝ 21．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，，过点A ，B 且与直线 相切．AB 4=M 20x +=（1）若A 在直线上，求的半径；0x y +=M （2）求点M 的轨迹方程．【答案】（1）2或6；（2）.24y x =【分析】（1）设的方程为，在，根据又M 222()()x a y a R -+-=Rt OMB 24R +=与相切，得到，联立方程组，即可求解；M 2x =-2a R +=（2）设点M 的坐标为，得到，根据与直线相切，得到()x y ，222||||OM OA MA +=M 20x +=，化简，即可求解.2MA x =+22224x x y +=++【详解】（1）因为过点A ，B 且A 在直线上，M 0x y +=所以点M 在线段AB 的中垂线上，0x y -=设的方程为：，M 222()()(0)x a y a R R -+-=>则圆心到直线的距离(),M a a 0x y += d 又由，所以在中，，AB 4=Rt OMB 2221()2d AB R +=24R +=又因为与相切，可得，M 2x =-2a R+=联立可得或，所以的半径为2或6.02a R =⎧⎨=⎩46a R =⎧⎨=⎩M （2）因为线段AB 为的一条弦，所以圆心M 在线段AB 的中垂线上，M 设点M 的坐标为，则，()x y ，222||||OM OA MA +=因为与直线相切，所以，M 20x +=2MA x =+所以，所以的轨迹.222222||||4x OM OA x y +=+=++M 24y x =22．椭圆E：＋＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0).22x a 22y b （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，Q (1，0).22142x y +=【分析】（1）由顶点得，结合离心率求得，然后可求得，得椭圆方程；a cb （2）存在点Q (m ，0)满足题意，题意说明直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入求得参数，得定点．1212,x x x x +120k k +=m 【详解】（1）由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝，得c 22c a =由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2.∴所求椭圆的方程为；22142x y +=（2）若存在点Q (m ，0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°，则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由，22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以＞0.∆即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜.16设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，221621k k +2232421k k -+y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，令k 1＋k 2＝＋＝0，11y x m -22y x m -(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0，，2222324162(4)802121k k m m k k -⨯-+⨯+=++化简得，＝0，28(1)21m k -+所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1，0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1122(,),(,)x y x y （需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求1212,x x x x +1212,y y y y +得定点坐标．。
2023-2024学年山东省青岛五十八中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛五十八中高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．直线x +√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．抛物线y =−12x 2的焦点到准线的距离为（ ） A ．12B ．14C ．2D ．13．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若圆E ：x 2+y 2＝4与圆F ：x 2+（y ﹣a ）2＝1仅有一条公切线，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．±1C ．±3D ．15．若双曲线焦点的坐标为（5，0），（﹣5，0），渐近线方程为y =±43x ，则双曲线的方程是（ ） A ．y 29−x 216=1 B ．x 29−y 216=1C ．y 29−x 23=1D ．x 29−y 23=16．设λ∈R ，则“直线3x +（λ﹣1）y ＝1与直线λx +（1﹣λ）y ＝2平行”是“λ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长（ ） A ．10B ．√85C ．2√2D ．√618．已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→=−2，且△PF 1F 2的面积为√3，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．直线l 过点A （1，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（ ）A ．3B ．0C ．13D ．110．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ⊥MNB ．直线AB 的方程为x +2y +3＝0C ．线段AB 的长为√14D ．M 到直线AB 的距离与N 到直线AB 的距离之比为1：5 11．已知椭圆C ：x 22+y 2m 2=1的焦点分别为F 1（0，2），F 2（0，﹣2）．设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P(12，12)为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．m 2＝4B ．椭圆C 的离心率为√63C ．直线l 的方程为3x +y ﹣2＝0D ．△F 2MN 的周长为4√612．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，AA 1=√6，D 为BC 中点，点E 在直线AC 上，点F 在直线C 1D 上，则（ ） A ．AD ⊥BC 1 B ．A 1B ∥平面ADC 1C ．异面直线AB 1与C 1D 所成角的余弦值为57D ．线段EF 长度的最小值为√63三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点P （2，3），点Q 是直线上l ：3x +4y +2＝0的动点，则|PQ |的最小值为 ．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0，直线l 过P （3，4）．若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，写出满足上面条件的一条直线l 的方程 ．15．把正方形ABCD 沿对角线AC 折成π3的二面角，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则∠EOF 的余弦值为 ．16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ ．四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l 经过点P （2，1），且与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若满足_____．（1）求直线l 的一般式方程；（2）已知点M （﹣3，1），Q 为直线l 上一动点，求|MQ |+|OQ |最小值．试从①直线l 的方向向量为v →=(−2，1)；②直线l 经过2x +3y ﹣8＝0与x ﹣y ﹣4＝0的交点；③△AOB 的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答．注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分．18．（12分）正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AA 1＝8，E 为CC 1中点，O 1为下底面正方形的中心．求：（1）点O 1到直线BE 的距离； （2）点O 1到平面ABE 的距离．19．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F （2，0），且C 的一条渐近线恰好与直线x ﹣y +1＝0垂直． （1）求C 的方程；（2）直线l ：x ＝my +1与C 的右支交于A ，B 两点，点D 在C 上，且AD ⊥x 轴．求证：直线BD 过点F ．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点（1，32）．（1）求C 的方程；（2）已知A ，B 是C 的左右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交C 于点M ，N ，直线AM 与直线x ＝4，交于点P ，记P A ，PF ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1+k 2k 3，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AB ＝2，PA =PD =√5，E 为BC 的中点．（1）证明：AD ⊥PE ．（2）若二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角为2π3，G 是线段PC 上的一个动点，求直线DG 与平面P AB 所成角的最大值．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点（1，p），直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线y＝﹣x交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点Q（2，0）作QH⊥l，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得|HT|为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年山东省青岛五十八中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．直线x +√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6解：∵直线x +√3y −1=0的斜率等于−√33，设直线x +√3y −1=0的倾斜角为θ，则tan θ=−√33，0≤θ＜π，解得 θ=5π6， 故选：D ．2．抛物线y =−12x 2的焦点到准线的距离为（ ） A ．12B ．14C ．2D ．1解：抛物线的方程y =−12x 2化为标准式得x 2＝﹣2y ，则抛物线的焦点到准线的距离为1． 故选：D ．3．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），a →，b →，c →三向量共面，∴可设c →=ma →+nb →，即（1，3，λ）＝（2m ﹣n ，﹣m +4n ，3m ﹣2n ）， ∴{2m −n =1−m +4n =33m −2n =λ，解得m ＝1，n ＝1，λ＝1． ∴实数λ等于1． 故选：A ．4．若圆E ：x 2+y 2＝4与圆F ：x 2+（y ﹣a ）2＝1仅有一条公切线，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．±1C ．±3D ．1解：∵圆E ：x 2+y 2＝4与圆F ：x 2+（y ﹣a ）2＝1仅有一条公切线， 故两圆内切，∴|EF |＝|a |＝2﹣1＝1， 解得a ＝±1． 故选：B ．5．若双曲线焦点的坐标为（5，0），（﹣5，0），渐近线方程为y =±43x ，则双曲线的方程是（ ） A ．y 29−x 216=1 B ．x 29−y 216=1C ．y 29−x 23=1D ．x 29−y 23=1解：双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5， 故可设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，则双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ，又渐近线方程为y =±43x ， 所以ba=43，c 2＝b 2+a 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29−y 216=1．故选：B ．6．设λ∈R ，则“直线3x +（λ﹣1）y ＝1与直线λx +（1﹣λ）y ＝2平行”是“λ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线3x +（λ﹣1）y ＝1与直线λx +（1﹣λ）y ﹣2＝0平行，则{3(1−λ)=λ(λ−1)3×(−2)≠λ，解得λ＝1或λ＝﹣3，故“直线3x +（λ﹣1）y ＝1与直线λx +（1﹣λ）y ＝2平行”是“λ＝1”的必要不充分条件． 故选：B ．7．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长（ ） A ．10B ．√85C ．2√2D ．√61解：如下图，AC ′→=AB →+AD →+AA′→，则|AC′→|=√(AB →+AD →+AA′→)2， 所以|AC′→|=√AB →2+AD →2+AA′→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA′→+2AD →⋅AA′→， 又AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°， 所以|AC′→|=√16+9+25+0+20+15=√85． 故选：B ．8．已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→=−2，且△PF 1F 2的面积为√3，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，∠F 1PF 2＝θ，θ∈[0，π]， 则根据题意可得：{mncosθ=−212mnsinθ=√3，∴tan θ=sinθcosθ=2√3−2=−√3，又θ∈[0，π]， ∴θ=2π3，∴cos θ=−12，∴mn ＝4，又m +n ＝2a ≥2√mn =4，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立， ∴a ≥2． 故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．直线l 过点A （1，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（ ） A ．3B ．0C ．13D ．1解：由题意，直线l 过点A （1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 当直线l 的截距为0时，显然满足题意，l ：y ＝2x ；当直线l 的截距不为0时，设横、纵截距分别为a ，b ，则直线方程为：xa+y b=1，∴{1a +2b =1|a|=|b|，解得：b ＝1或3，∴直线l 的纵截距可取0，1，3． 故选：ABD ．10．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ⊥MNB ．直线AB 的方程为x +2y +3＝0C ．线段AB 的长为√14D ．M 到直线AB 的距离与N 到直线AB 的距离之比为1：5解：因为圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，所以圆心M ，N 所在直线垂直平分两圆的公共弦，所以AB ⊥MN ，所以A 正确；圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0方程相减得到x +y +3＝0，所以直线AB 的方程为x +y +3＝0，故B 错误；由M ：x 2+y 2+4x ＝0，化简可得（x +2）2+y 2＝4，所以圆M 的圆心为M （﹣2，0），半径为2，圆心M 到直线AB 的距离为d =2=√22，所以|AB|=2√22−(22)2=√14，故C 正确； 由圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0，化简可得x 2+（y ﹣2）2＝16，所以圆N 的圆心为N （0，2），半径为4，圆心N 到直线AB 的距离为d 1=|2+3|2=5√22，所以dd 1=√225√22=15，所以D 正确．故选：ACD ． 11．已知椭圆C ：x 22+y 2m 2=1的焦点分别为F 1（0，2），F 2（0，﹣2）．设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P(12，12)为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．m 2＝4B ．椭圆C 的离心率为√63C ．直线l 的方程为3x +y ﹣2＝0D ．△F 2MN 的周长为4√6解：由焦点坐标可得m 2﹣2＝22，可得m 2＝6，所以A 不正确； 即椭圆的方程为：y 26+x 22=1，所以离心率e =c a =√1−26=√63，所以B 正确； 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由P （12，12）为MN 的中点可得：y 1+y 22=12，x 1+x 22=12，即x 1+x 2＝y 1+y 2＝1，将M ，N 的坐标代入椭圆的方程：{y 126+x 122=1y 226+x 222=1，作差整理可得y 1−y 2x 1−x 2=−3•x 1+x 2y 1+y 2=−3， 所以直线l 的方程为y −12=−3（x −12），整理可得3x +y ﹣2＝0，所以C 正确；D 中，直线3x +y ﹣2＝0过（0，2），即直线过上焦点F 1，所以△F 2MN 的周长为4a ＝4√6，所以D 正确． 故选：BCD ．12．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，AA 1=√6，D 为BC 中点，点E 在直线AC 上，点F 在直线C 1D 上，则（ ） A ．AD ⊥BC 1 B ．A 1B ∥平面ADC 1C ．异面直线AB 1与C 1D 所成角的余弦值为57D ．线段EF 长度的最小值为√63解：在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，如图，以D 为原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 平行于CC 1的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB ＝2，AA 1=√6，则A(√3，0，0)，B （0，1，0），C （0，﹣1，0），D （0，0，0），A 1(√3，0，√6)，B 1(0，1，√6)，C 1(0，−1，√6)，∴C 1B →=(0，2，−√6)，DA →=(√3，0，0)，则DA →⋅C 1B →=√3×0+2×0+(−√6)×0=0，∴AD ⊥BC 1，故A 正确；∴A 1B →=(−√3，1，−√6)，DA →=(√3，0，0)，DC 1→=(0，−1，√6)， 设n →=(x ，y ，z)为平面ADC 1的法向量，则{n →⋅DA →=√3x =0n →⋅DC 1→=−y +√6z =0，令z ＝1，则平面ADC 1的法向量n →=(0，√6，1)，∵n →⋅A 1B →=0，即n →⊥A 1B →，又A 1B ⊄平面ADC 1， ∴A 1B ∥平面ADC 1，故B 正确；异面直线AB 1与C 1D 所成角为θ，AB 1→=(−√3，1，√6)，C 1D →=(0，1，−√6)， cosθ=|AB 1→⋅C 1D →||AB 1→|⋅|C 1D →|=10×7=√7014，异面直线AB 1与C 1D 所成角的余弦值为√7014，故C 错误；AC →=(−√3，−1，0)，DC 1→=(0，−1，√6)，DC →=(0，−1，0)，设向量m →=(x 1，y 1，z 1)， {m →⋅DC 1→=−y +√6z =0m →⋅AC →=−√3x −y =0， 令z ＝1，则m →=(−√2，√6，1)，线段EF 长度的最小值为d =|m →⋅DC →||m →|=|0−√6+0|2+6+1=√63，故D 正确．故选：ABD ．三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点P （2，3），点Q 是直线上l ：3x +4y +2＝0的动点，则|PQ |的最小值为 4 ． 解：|PQ |的最小值即为点P 到直线l 的距离， 故|PQ |的最小值为√32+42=4．故答案为：4．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0，直线l 过P （3，4）．若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，写出满足上面条件的一条直线l 的方程 x ＝3（写出x ＝3或15x ﹣8y ﹣13＝0中的一个即可） ． 解：圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0的圆心为（2，0），半径为r ＝2，当直线l 无斜率时，此时l ：x ＝3，圆心（2，0）到l ：x ＝3的距离为1， 由|AB|=2√3，r ＝2可知圆心到直线的距离为√r 2−(AB 2)2=1， 故l ：x ＝3满足要求，当直线l 有斜率时，设直线方程为y ＝k （x ﹣3）+4，故圆心到直线的距离为√r 2−(AB 2)2=1=|−k+4|√1+k ，解得k =158，所以直线方程为15x ﹣8y ﹣13＝0，故满足题意的直线有：15x ﹣8y ﹣13＝0和x ＝3，故答案为：x ＝3（写出x ＝3或15x ﹣8y ﹣13＝0中的一个即可）．15．把正方形ABCD 沿对角线AC 折成π3的二面角，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则∠EOF 的余弦值为 −14 ． 解：设正方形的边长为2， ∵O 是原正方形ABCD 的中心， ∴O 是AC ，BD 的中点，故折叠后O 是AC 的中点，OB ＝OD =√2， 且OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，∴∠DOB 为二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠DOB =π3，∵OB ∩OD ＝D ，∴AC ⊥平面DOB ，过O 在平面DOB 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，Oz 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则O （0，0，0），A （√2，0，0），C （−√2，0，0，0），B （0，√2，0），D （0，√22，√62）， ∴F （√22，√24，√64），E （−√22，√22，0），∴OE →=（−√22，√22，0），OF →=（√22，√24，√64），∴cos ＜OE →，OF →＞=−12+14√12+12×√12+18+616=−14，∴∠EOF 的余弦值为−14． 故答案为：−14．16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ π2．解：不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，双曲线的方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0)，因为椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2， 所以|F 1F 2|＝2c ，不妨设P 是两条曲线第一象限的一个交点， 此时|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ， 可得|PF 1|＝a +m ，|PF 2|＝a ﹣m ，在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=(a+m)2+(a−m)2−4c 22(a+m)(a−m)=a 2+m 2−2c 2a 2−m 2，因为1e 12+1e 22=2，所以1(c a )2+1(cm )2=2，整理得a 2+m 2c 2=2，即a 2+m 2＝2c 2， 所以cos ∠F 1PF 2＝0， 因为0＜∠F 1PF 2＜π， 则∠F 1PF =π2． 故答案为：π2．四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l 经过点P （2，1），且与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若满足_____．（1）求直线l 的一般式方程；（2）已知点M （﹣3，1），Q 为直线l 上一动点，求|MQ |+|OQ |最小值．试从①直线l 的方向向量为v →=(−2，1)；②直线l 经过2x +3y ﹣8＝0与x ﹣y ﹣4＝0的交点；③△AOB 的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答．注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分．（1）解：若选①，由直线l 的方向向量为v →=(−2，1)得，直线l 的斜率为−12， 所以直线l 的方程为y −1=−12(x −2)， 所以直线l 的一般式方程为x +2y ﹣4＝0．若选②，直线l 经过2x +3y ﹣8＝0与x ﹣y ﹣4＝0的交点， 联立{2x +3y −8=0x −y −4=0，解得x ＝4，y ＝0，所以交点坐标为（4，0）， 直线l 的斜率为1−02−4=−12，所以直线l 的方程为y −1=−12(x −2)， 所以直线l 的一般式方程为x +2y ﹣4＝0．若选③，由题意设直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）（k ＜0）， 则A(2−1k ，0)，B(0，1−2k)，则S △ABC =12|1−2k||2−1k |=4，解得k =−12，所以直线l 的一般式方程为x +2y ﹣4＝0．（2）解：设点M （﹣3，1）关于直线l 的对称点为M '（a ，b ），由题意得，{a−32+2×b+12−4=0−12×b−1a+3=−1，解得a ＝﹣1，b ＝5， 所以M '（﹣1，5），|MQ|+|OQ|的最小值为|M′O|=√26．18．（12分）正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AA 1＝8，E 为CC 1中点，O 1为下底面正方形的中心．求：（1）点O 1到直线BE 的距离； （2）点O 1到平面ABE 的距离．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，O 1（2，2，0），B （4，4，8），E （0，4，4），A （4，0，8）， EB →=(4，0，4)，O 1B →=(2，2，8)，EA →=(4，−4，4)， 所以O 1到直线BE 的距离为：√(O 1B →)2−(O 1B →⋅EB→|EB →|)2=√4+4+64−(8+3216+16)2=√22．（2）由（1）得EB →=(4，0，4)，O 1B →=(2，2，8)，EA →=(4，−4，4) 设平面ABE 的法向量为n →=（a ，b ，c ），由{n →⋅EB →=4a +4c =0n →⋅EA →=4a −4b +4c =0，可取b ＝0，a ＝1，则c ＝﹣1， 可得n →=(1，0，−1)，所以点O 1到平面ABE 的距离为|O 1B →⋅n →|n →||=1+1=3√2．19．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F （2，0），且C 的一条渐近线恰好与直线x ﹣y +1＝0垂直． （1）求C 的方程；（2）直线l ：x ＝my +1与C 的右支交于A ，B 两点，点D 在C 上，且AD ⊥x 轴．求证：直线BD 过点F ．解：（1）已知双曲线C 的右焦点为F （2，0），且C 的一条渐近线恰好与直线x ﹣y +1＝0垂直， 所以{a 2+b 2=22b a =1，解得a 2＝b 2＝2， 所以双曲线C 的方程为x 22−y 22=1；（2）证明：易知直线l 的斜率存在且不为0，所以m ≠0， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 因为点D 在C 上，且AD ⊥x 轴， 所以D （x 1，﹣y 1），由（1）知双曲线C 的渐近线为y ＝±x ， 又直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点， 所以1|m|＞1，可得0＜|m |＜1，联立{x =my +1x 22−y 22=1，消去x 并整理得（m 2﹣1）y 2+2my ﹣1＝0，此时Δ＝4m 2+4（m 2﹣1）＝4（2m 2﹣1）＞0，解得√22＜|m |＜1，由韦达定理得y 1+y 2=−2m m 2−1，y 1y 2=−1m 2−1， 所以y 1+y 2＝2my 1y 2， 因为F （2，0），所以FB →=(x 2−2，y 2)，FD →=(x 1−2，−y 1)，则（x 1﹣2）y 2+（x 2﹣2）y 1＝（my 1﹣1）y 2+（my 2﹣1）y 1＝2my 1y 2﹣（y 1+y 2）＝0， 可得FB →∥FD →，因为FB →，FD →有公共点F ， 所以B ，F ，D 三点共线， 故直线BD 过点F ． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点（1，32）．（1）求C 的方程；（2）已知A ，B 是C 的左右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交C 于点M ，N ，直线AM 与直线x ＝4，交于点P ，记P A ，PF ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1+k 2k 3，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．解：（1）由离心率e =c a =√1−b 2a2=12，可得3a 2＝4b 2，设椭圆的方程为x 24t 2+y 23t 2=1，将（1，32）代入椭圆的方程可得：14t 2+34t 2=1，可得t 2＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0），右焦点F （1，0）， 由题意设直线MN 的方程为x ＝my +1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my +13x 2+4y 2=12，整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0， 显然Δ＞0，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 可得1y 1+1y 2=23m ，可得1y 2=23m ，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2（x +2），令x ＝4，可得y P =6y 1x 1+2，即P （4，6y 1x 1+2）， 可得k 1=y 1x 1+2，k 2=6y 1x 1+24−1=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2−2，所以k 1+k 2=3y 1x 1+2， 所以k 1+k 2k 3=3y 1x 1+2y 2x 2−2=3y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=3y 1(my 2−1)y 2(my 1+3)=3m−3y 2m+3y 1=3m−3⋅(23m−1y 1)m+3y 1=1，可得k 1+k 2k 3为定值1．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AB ＝2，PA =PD =√5，E 为BC 的中点．（1）证明：AD ⊥PE ．（2）若二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角为2π3，G 是线段PC 上的一个动点，求直线DG 与平面P AB 所成角的最大值．（1）证明：如图，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ， ∵底面ABCD 是正方形，P A ＝PD ，∴AD ⊥EF ，AD ⊥PF ， ∵EF ∩PF ＝F ，EF ，PF ⊂平面PEF ，∴AD ⊥平面PEF ， 又∵PE ⊂平面PEF ，∴AD ⊥PE ；（2）解：由（1）可知，二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角为∠PFE =2π3， 过点P 作PO 垂直于直线EF ，垂足为O ， ∵AD ⊥平面PEF ，PO ⊂平面PEF ，∴PO ⊥AD ，∵AD ∩EF ＝F ，AD ，EF ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OE ，OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得∠PFO =π3，PF ＝2，OF ＝1，PO =√3，则P(0，0，√3)，A （1，1，0），B （1，3，0），C （﹣1，3，0），D （﹣1，1，0），所以PA →=(1，1，−√3)，AB →=(0，2，0)，DP →=(1，−1，√3)，PC →=(−1，3，−√3)， 设平面P AB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅PA →=x +y −√3z =0n →⋅AB →=2y =0，取z ＝1，得平面P AB 的一个法向量为n →=(√3，0，1)，设PG →=λPC →=(−λ，3λ，−√3λ)，λ∈[0，1]， 则DG →=DP →+PG →=(1−λ，3λ−1，√3−√3λ)， 设直线DG 与平面P AB 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈DG →，n →〉|=|DG →⋅n→|DG →||n →||=√3(1−λ)√(1−λ)+(3λ−1)+3(1−λ)=√3(1−λ)√(3λ−1)+4(1−λ)，令t ＝1﹣λ，则t ∈[0，1]，sin θ=3(1−λ)√(3λ−1)2+4(1−λ)2=√3√t 213t 2−12t+4，当t ＝0时，sin θ＝0，θ＝0；当t ≠0时，sin θ=√3×√t 213t 2−12t+4=√3×√14(1t −32)2+4，当1t =32，即t =23，λ=13时，sin θ取得最大值为√32，此时θ=π3；所以直线DG 与平面P AB 所成角的最大值为π3．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，p ），直线l 与该抛物线C 相交于M ，N 两点，过点M 作x 轴的垂线，与直线y ＝﹣x 交于点G ，点M 关于点G 的对称点为P ，且O ，N ，P 三点共线． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点Q （2，0）作QH ⊥l ，垂足为H （不与点Q 重合），是否存在定点T ，使得|HT |为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，p ），所以p 2＝2p ，所以p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设点M(y 14，y 1)，N(y 24，y 2)，联立{x =y 124y =−x，得G （y 124，−y 124）， 又因为点M 关于点G 的对称点为P ，所以点P(y 24，−y 22−y 1)由O ，N ，P 三点共线，可得k ON ＝k OP ，即−y 122−y 1y 124=y 2y 224，化简得2（y 1+y 2）+y 1y 2＝0，设直线l 的方程为x ＝my +n ，联立{x =my +ny 2=4x ，消去x ，得y 2﹣4my ﹣4n ＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4n ，代入2（y 1+y 2）+y 1y 2＝0，可得8m ﹣4n ＝0，可得n ＝2m ， 所以直线l 的方程：x ＝my +n ，即x ＝my +2m ，则x ＝m （y +2）， 所以直线l 过定点E （0，﹣2），所以点H 的轨迹是以EQ 为直径的圆（除去E ，Q 两点），圆心为 （1，﹣1），半径为√2， 所以存在定点T （1，﹣1），使得|HT |为定值，该定值为√2．。
山东省青岛市第58中学2016_2017学年高二化学上学期期中试题
2016—2017学年第一学期期中模块考试高二化学试卷2016．11可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Ag 108第Ⅰ卷（选择题，共45分）1．已知反应X+Y=M+N为吸热反应，对这个反应的下列说法中正确的是（）A．X的能量一定低于M的，Y的能量一定低于N的B．因为该反应为吸热反应，故一定要加热反应才能进行C．破坏反应物中的化学键所吸收的能量小于形成生成物中化学键所放出的能量D．X和Y的总能量一定低于M和N的总能量2．常温下，已知：4Al(s)＋3O2(g)===2Al2O3(s)；ΔH14Fe(s)＋3O2(g)===2Fe2O3(s)；ΔH2下面关于ΔH1、ΔH2的比较正确的是( )A．ΔH1>ΔH2 B．ΔH1<ΔH2 C．ΔH1＝ΔH2 D．无法计算3．用右图装置研究电化学原理，下列分析中错误的是（）4．将盛有NH4HCO3粉末的小烧杯放入盛有少量醋酸的大烧杯中，然后向小烧杯中加入盐酸，反应剧烈，醋酸逐渐凝固。
由此可见（）A．NH4HCO3和盐酸的反应是放热反应B ．NH 4HCO 3和盐酸的反应是吸热反应C ．反应物的总能量高于生成物的总能量D ．反应的热化学方程式为：NH 4HCO 3+HCl==NH 4Cl+CO 2↑+H 2O ΔH = +Q kJ/mol 5．图中烧杯中盛的是天然水，铁腐蚀的速率由快到慢的顺序是()A ．⑤>②>①>③>④B ．③>②>①>⑤>④C ．⑤>②>③>④>①D ．③>④>⑤>②>①6．下表中，对陈述 I 、II 的正确性及两者间有无因果关系的判断都正确的是（ ） 可以制取更多的氢气对7．如图所示，杠杆A 、B 两端分别挂有体积相同、质量相等的空心铜球和空心铁球，调节杠杆并使其在水中保持平衡，小心地向水槽中滴入CuSO 4 浓溶液。
山东省青岛市高二上学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·孟津期末) 若p：φ= +kπ，k∈Z，q：f（x）=sin（ωx+φ）（ω≠0）是偶函数，则p是q的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2017高二下·湖北期中) 下列说法错误的是（）A . 若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题B . 已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0C . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件3. （2分）(2017·河南模拟) 已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A . 1B . =1C . =1D . =14. （2分）椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点，四边形OMPN的周长为，则△PF1F2的周长是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·延边月考) 已知为坐标原点，椭圆方程为，斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为中点，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知命题“在△ 中，若，则”，则在命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .8. （2分）过点（0，1）引x2+y2－4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（）.A .B .C .D .9. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）已知等比数列的首项公比，则（）A . 50B . 35C . 55D . 4612. （2分） (2019高二上·南通月考) 过点的直线与椭圆交于两点，若则直线的斜率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．14. （1分）已知直线y=x+m被椭圆4x2+y2=1截得的弦长为，则m的值为________．15. （1分）(2020·湖南模拟) 已知向量满足，若，则的最小值为________.16. （1分） (2017高一上·惠州期末) 已知单位向量，的夹角为，那么| |=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知p若对任意x＞﹣1，不等式≥a恒成立，q：方程ax2﹣ax+1=0有实数解．若p且q 为假，p或q为真，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高二下·长沙期末) 已知动点G(x,y)满足（1）求动点G的轨迹C的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点 ,且线段中点恰好为Q.求的面积；19. （10分） (2019高二上·南通月考) 已知椭圆C： 1（a＞b＞0）经过点（，1），F（0，1）是C的一个焦点，过F点的动直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程（2）是否存在定点M（异于点F），对任意的动直线l都有kMA+kMB＝0，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．20. （10分） (2019高三上·上海月考) 已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.（1）求圆的方程；（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.21. （10分）(2019·浙江模拟) 已知椭圆左顶点为，为原点，，是直线上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点（1）若，求的面积的最小值；（2）若，，三点共线，求实数的值.22. （10分） (2016高二上·淮南期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥侧面BB1CC1 ．（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷
山东省青岛市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2015高二上·承德期末) 已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称，则直线l的方程是（）A . 2x+y﹣8=0B . 3x﹣2y+1=0C . x+2y﹣5=0D . 3x+2y﹣7=02. （1分）已知圆O:，直线l过点P（1，1）,且与直线OP垂直，则直线l的方程为（）A .B .C .D .3. （1分）在正方体中，异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .4. （1分）(2017·泉州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（）A .B . 3πC . 8πD . 12π5. （1分）下列命题中正确的是（）A . 若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直B . 若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行C . 若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直D . 若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行6. （1分）(2017·温州模拟) 在四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则（）A . θ的最大值为60°B . θ的最小值为60°C . θ的最大值为30°D . θ的最小值为30°7. （1分） (2016高三上·宁波期末) 已知平面α与平面β交于直线l，且直线a⊂α，直线b⊂β，则下列命题错误的是（）A . 若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB . 若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC . 若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD . 若a⊥l，b⊥l，则α⊥β8. （1分） (2017高一下·钦州港期末) 圆心在直线2x﹣3y﹣1=0上的圆与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，则圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=2B . （x+2）2+（y﹣1）2=2C . （x﹣1）2+（y﹣2）2=2D . （x﹣2）2+（y﹣1）2=29. （1分）直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A .B .C .D .10. （1分）(2017·成都模拟) 四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （1分）若圆的方程为 (为参数)，直线的方程为(为参数)，则直线与圆的位置关系是（）A . 相交过圆心B . 相交但不过圆心C . 相切D . 相离12. （1分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，底面三角形A1B1C1是正三角形，E 是BC中点，则下列叙述正确的是（）A . CC1与B1E是异面直线B . AC⊥平面ABB1A1C . AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D . A1C1∥平面AB1E二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·株洲模拟) 已知点在同一个球的球面上，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为________．14. （1分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是________15. （1分） (2017高一上·沛县月考) 若函数在上递增，在上递减，则＝________.16. （1分） (2016高三上·杭州期中) 已知曲线C1：（x﹣1）2+y2=1与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，则曲线C2恒过定点________；若曲线C1与曲线C2有4个不同的交点，则实数m的取值范围是________三、解答题 (共6题；共11分)17. （1分）过点P（2，1）作直线l分别与x，y轴正半轴交于A、B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．18. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程．（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）且满足 + =，求直线l的方程．19. （1分）如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP= ，（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．20. （2分） (2016高二下·新余期末) 如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．21. （2分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ，∠BAA1=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）若AB=CB=2，，求三棱锥C1﹣A1B1C的体积．22. （3分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.（1）求证： ||平面；（2）四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共11分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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保密★启用前2016—2017学年第一学期期中模块考试高数学试卷2016．11第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分） 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．423π+B ．443π+ B ．C ．44π+ D ．24π+2．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（ ） A ．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B ．梯形的直观图可能不是梯形 C ．正方形的直观图为平行四边形 D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形 3．直线的值为（ ）A ． B. C ． D ．4．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）B. 6πC. 5πD. 8π211-2-a 10x ay ++=5．直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（ ）A.B.C.D.6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,AA C D 的中点，G 是侧面11BCC B 的中心，则空间四边形AEFG 在正方体的六个面上的射影图形面积的最大值是（ ）A ．14 B ．38 C ．12 D ．587．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B． C ．3 D． 8．下列说法错误的是（ ）A ．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ= ，则l 一定垂直于平面v 9．若满足, 则直线过定点 （ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．)21,61(-)21,61(-)61,21(-)61,21(03=++n y mx 012=-+n m nm ,9π8π4ππ22460x y x y +-+=22460x y x y +--=224680x y x y +-+-=224680x y x y +-++=(2,3)-）（21,21-）（1,1-）（0,0）（1,1-PPB PA +xy -=PBA 、yx 0632=-+y x FD 1C 1B 1A 1GEDCBA12．如图在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 中点，则下列命题正确的是（ ）A ．//BE 面PAD ，且直线BE 到面PADB ．//BE 面PAD ，且直线BE 到面PAD距离为3C ．BE 不平行于面PAD ，且BE 与平面PAD 所成角大于030 D ．BE 不平行于面PAD ，且BE 与平面PAD 所成角小于030二、填空题（共4题，每题5分）13． 如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊥PA ⊙O ，C 为圆周上一点，若cm AB 5=，cm AC 2=，则B 点到平面PAC 的距离为 。
14．若直线经过圆的圆心，则的最小值是15．已知线段AB,CD 分别在两条异面直线上,M,N 分别是线段AB,CD 的中点,则MN 错误！未找到引用源。
(AC+BD)(填“>”“<”或“=”).220(0,0)ax by a b -+=>>ba 11+222410x y x y ++-+=16．对于四面体ABCD ，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
三解答题（共6题，共70分）17．（本题10分）已知直线l 被两直线1:460l x y ++=和2:3560l x y --=截得线段的中点为(0,0)P ，求直线l 的方程．18．（本题12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠= ,BE BC =,F 为CE 的中点，求证：（1）AE ∥平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．BADCFE19．（本题12分）已知ABC ∆的顶点(31)A -，,过点B 的内角平分线所在直线方程是4100x y -+=，过点C 的中线所在直线的方程是610590x y +-=（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程；20．（本题12分）如图平行四边形中，，为边的中点，沿将折起使得平面平面.（1）求四棱锥的体积；（2）求折后直线与平面所成的角的正弦.21．（本题12分）直线l 通过点A 、B 两点．（1）直线l l 的方程； （2）求OB OA +的最小值； （3）求PB PA ⋅的最小值．22．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3ABC π∠=,PA ABCD ⊥底面, 2PA AB ==,M 为PA 的中点，N 为BC 的中点（1）证明：直线MN PCD平面‖；AMC AB C ADMB -ABMD BMC ⊥CBM ∆BM CDM060,22DAB AB AD ∠===ABCD（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离.数学参考答案1．A 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．D 13．cm 21 14．4 15．< 16．①②④． 解答题 17．16y x =-. 解：设所求直线l 与两直线12,l l 分别交于1122(,),(,)A x y B x y ，则11220,0x y x y +=+=且， 4分又因为点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12,l l 上，则得11224603560x y x y ++=⎧⎨--=⎩，即11114603560x y x y ++=⎧⎨-+-=⎩解得113623623x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所求直线l 即为直线AP ，所以16y x =-为所求． 10分 18．解：（1）设AC BD G = ,连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵F 是EC 中点．∴在△ACE 中，FG ∥AE ， …………2分 ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………………6分 （2） 平面ABCD ⊥平面ABE ,BC AB ⊥,平面ABCD 平面ABE AB = BC ∴⊥平面ABE ,又AE ⊂ 平面,ABE BC AE ∴⊥,又AE BE ⊥ ，BC BE B = ,AE ∴⊥平面,BCE AE BF ∴⊥,……………………10分 在BCE △中，,BE CB F =为CE 的中点， BF CE ∴⊥,AE CE E = BF ∴⊥平面ACE ，又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．……………………………14分19．（1）（10,5）；（2）29650x y +-= 试题解析：（1）设(,)B x y ，则AB 中点31(,)22x y +-， 由31610590224100x y x y +-⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得105x y =⎧⎨=⎩，故(10,5)B ． 6分 （2）设点A 关于直线4100x y -+=的对称点为(,)A x y '，则31410022143x y y x +-⎧-⋅+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，得17x y =⎧⎨=⎩，即(1,7)A '，直线BC 经过点A '和点B ，故直线BC 的方程29650x y +-=． 12分20．（1）；（2）．（1）由已知有是正三角形，取的中点，则，又平面平面于，则CO ⊥平面ABMD，且2CO =. 易求得∴1338-==C ABDM V . （2）易知AM MB ⊥，而平面ABMD ⊥平面BMC 于MB ，则AM ⊥平面CMB ，所以平面AMC ⊥平面BMC 于MC ，由CBM ∆是等边三角形，取CM 的中点E ，连BE ，则，∴BE ⊥平面AMC ，连EA ，则BAE ∠是直线AB 与平面AMC所成的角，2sin 2BE BAE AB ∠===21．（1）063=-+y x试题解析：（1）设直线方程为131116 2.62x y ab a b a b a b +=∴+==∴== ，此时方程为126x y+=即 063=-+y xBE CM ⊥ABMD S =梯形MBABMDBMC ⊥CO MB ⊥O MB CMB ∆4383（2）设直线方程为1311x y a b a b+=∴+= ()13344b a OA OB a b a b a b a b ⎛⎫∴+=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭()()()()()()()2222222981193119118111PA PB a b a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=-+-+=-++=+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦1836≥+=，当且仅当4a =时等号成立PA PB ∴⋅的最小值为622． （1）取PB 中点Q ，连接QN QM ,MQ CD MQ CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖ ,NQ PC MNQ PCD∴ 平面平面‖‖,MN PCD ∴平面‖;解法二：取PD 中点Q ，连接QC QM ,12MQ CN MQ CN AD ∴ ，又MQ=CN=‖AD,AD ‖‖M Q ,MN PCD,CQ PCD N C ∴⊄⊂又平面平面‖,MN PCD ∴平面‖;...................4分（2）CD ‖AB,M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 23ABC AC CD AD π∠=∴=== ,P MA AC,MA AD ⊥⊥⊥∵A 平面ABCD ，∴又52,1==∴===MD MC AD AC MA552cos 2222=⋅⋅-+=∠∴=CD MD MC CD MD MDC CD所以 AB 与MD 所成角余弦为55...............8分（3）P AB ∵平面∴‖CD,点A 和点B 到平面PCD 的距离相等 取CD 的中点E ,连结E,PE A ，过A 作PE AH ⊥,垂足为HE 3ABC AC CD AD A CD π∠=∴==∴⊥P PA CD,CD PAE CD PA ⊥⊥∴⊥∴⊥∵A 平面ABCD ，∴平面PCD AH AH CD PAE ⊥∴⊥∴⊥∴平面CDAH ∴即为点B 到平面PCD 的距离，7212PA AE PA AH AE PA ,3AE 2,PA 22=+⨯=∴⊥==AE (12)。