第四章第三节两角和与差、二倍角公式1

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4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式

αsin αsin
γγ＝1t－antαan＋αttaannγγ.
时作业
报
所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，
告
二
即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.
第4章第3节
第20页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
告
二
∴ sin αcos β＋cos αsin β＝－12，
∴ sin(α＋β)＝－12.
第4章第3节
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
Ⅱ.两角和与差公式的逆用
一
3．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为
课时
作
________．
业
报
告二
[答案] 1
所以β＝90°－(α＋γ)，
第4章第3节
第19页
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报告一
故tan β＝tan[90°－(α＋γ)]＝csoins[[9900°°－－αα＋＋γγ]]＝csoinsαα＋＋γγ＝
课
cos αcos γ－sin sin αcos γ＋cos
二
β)．
第4章第3节
第29页
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三角形中的常见变形
报告一
报告二
课时作业
第4章第3节
第30页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报告
Ⅲ.辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)的应用

高考数学全程一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式课件

＝ .故选C.
2
2
cos α
2
题型二公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(
1
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
1
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
8
3
2
2
C．cos 15°－sin 15°＝
2
tan48°+tan 72°
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos
1+cos 2α
________．
2
1
1−cos 2α
sin
2α
α＝________
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
sin αcos β－cos αsin β
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
sin αcos β＋cos αsin β
2sin αcos α
2cos2α－1
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2 tan α
2α＝________．
1−tan2 α
(3)公式T2α：tan

5.两角和与差、二倍角公式

5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是（） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。

两角和与差及二倍角的三角函数公式

两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。

2.两角差公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。

3.二倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) sin(2A) = 2sin(A)cos(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。

这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。

它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。

例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 * 30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。

此外，这些公式也有一些相关的推论：1.三角函数的积和商：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/22.三角函数的平方：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2。

必修四数学第3讲教师版两角和与差的三角函数公式

课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________．解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式扫一扫进入精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α，所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________．解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。

3.3两角和与差及倍角公式(一)

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sin )(cos sin )(1 tan tan ) ____1___． 2 2 2 2 2 6.给出下列四个命题：
5.化简： (cos

①存在这样的，，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ②不存在无穷多个，，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ③对于任意的，，都有 cos( ) cos cos sin sin ； ④不存在这样的，，使得 cos( ) cos cos sin sin ．其中假命题的序号有______②_______．【范例解析】

2

2
2

1 解法一：原式= sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (2 cos 2 1)(2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (4 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 1 (sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2 2 1 1 sin 2 cos 2 ． 2 2 分析二：从“名”入手，同化余弦式． 1 解法二：原式= sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) 2 1 1 cos 2 cos 2 2 2 分析三：从“形”入手，平方和关系． 1 解法三：原式= (sin sin cos cos ) 2 2sin sin cos cos cos 2 cos 2 2 1 1 cos 2 ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 1 cos 2 ( ) cos(2 2 ) 2 1 1 1 [cos 2( ) 1] cos(2 2 ) 2 2 2 分析四：从幂入手，降次扩角． 1 1 1 解法四：原式= (1 cos 2 )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )(1 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 2 2

两角和与差公式

两角和与差公式
“两角和与差公式”，指的是一种用来求解两个角度之和或差的公式，又称为角和差公式。

它是在三角函数理论中比较重要的一部分，也是数学中最常用的公式之一。

两角和与差公式的概念来源于三角函数的一般性公式：sin(A+B) = sin A * cos B + cos A * sin B。

此外，任何夹角的和与差可以用相应的三角函数表示，因此可以用上述公式求出两个角度之和或差。

除了sin(A+B) = sin A * cos B + cos A * sin B，还有cos(A+B) = cos A * cos B - sin A * sin B和
tan(A+B) = (tan A + tan B)/(1-tan A * tan B)。

首先，我们来看一下cos(A+B) = cos A * cos B - sin A * sin B，其中A、B都是夹角，那么这个公式就是说，当两个角度A、B相加时，新的夹角的余弦值等于A、B 夹角的余弦值相乘再减去A、B夹角的正弦值相乘的结果。

同样的，tan(A+B) = (tan A + tan B)/(1-tan A * tan B)，其中A、B都是夹角，那么这个公式就是说，当两个角度A、B相加时，新的夹角的正切值等于A、B夹角的正切值相加再除以1减去A、B夹角的正切值相乘的结果。

总之，两角和与差公式是根据三角函数的一般性公式得出的，它能够方便快捷地求出两个角度之和或差，是数
学中最常用的公式之一，也是三角函数理论中比较重要的一部分。

两角和与差及二倍角三角函数公式

解。
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三角形的边长和角度关系，可以求出第三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利用海伦公式结合两角和与差的三角函数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值，可以判断三角形的形状（锐角、直角或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个角的二倍角的三角函数表达式化简为单角的三角函数表达式，这在解决一些特定问题时非常有用，如求某些特殊角的三角函数值或证明某些恒等式。
公式在三角恒等式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在三角恒等式的证明中扮演着重要角色。通过使用这些公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，从而更容易地证明恒等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式，将两角和与差的三角函数表达式转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将二倍角的三角函数表达式转化为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质

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π π 化简：化简： 2sin(4－x)＋ 6cos( 4－x)．＋．
1 π 3 π 解：原式＝2 2[ sin( －x)＋ cos( －x)] 原式＝＋ 2 4 4 2 π π π π x)＋＝2 2[cos sin( －x)＋sin cos( －x)] 3 4 3 4 π π ＝2 2sin( －x＋ ) ＋ 4 3 7π ＝2 2sin( －x)．． 12
cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθ·cos(θ－φ)＋sinθ·sin(θ－φ) ＝－－＝－＋－ 5 3 10 2 5 10 2 ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 . 3 10 当 cos(θ－φ)＝－ 10 时，－＝－ cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθ·cos(θ－φ)＋sinθ·sin(θ－φ) ＝－－＝－＋－ 5 3 10 2 5 10 2 ＝－ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝－ 10 <0. π ∵φ∈(0，2 )，不合题意，舍去． ∈ ，，不合题意，舍去． 2 ∴cosφ 的值等于 2 .
π 4 (2)∵0<α< ，sinα＝， ∵ ＝5 2 3 ∴cosα＝ . ＝ 5 π 又 0<α< 2<β<π，， ∴0<β－α<π. － 2 π 由 cos(β－α)＝，得 0<β－α< . －＝－ 10 2 98 7 2 ∴sin(β－α)＝－＝＝， 10 10
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α] ＝－＋＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα －＋－ 2 4 7 2 3 ＝ 10 ×5＋ 10 ×5 25 2 2 ＝ 50 ＝ 2 . π 3 由 <β<π 得 β＝ π. ＝ 2 4 2 3 (或求 cosβ＝－，得 β＝ π) 或求＝－＝ 2 4
考点二
三角函数的给值求值
的三个内角，已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角， OM ＝(sinB＋、、 1 cosB，cosC)， ON ＝(sinC，sinB－cosB)， OM · ON ＝－ . ，， 5 (1)求 tan2A 的值；求的值； 2cos －3sinA－1 2 (2)求的值．求的值． π 2sin(A＋ ) ( 4
1． (2010·福建高考计算 sin43°cos13°－ cos43°sin13°的结果等于．福建高考)计算福建高考－的结果等于 ( A. 1 2 B. 3 3 )
2 C. 2
3 D. 2
解析：解析：sin43°cos13°－cos43°sin13° － 1 ＝sin(43°－13°)＝sin30°＝2. －＝＝
π 解：(1)∵0<α< ， ) 2 若将条件改为 1 π 1 cosα＝＝ 7 “0<β<α< ，cosα＝，cos ＝ 2 7 4 3 (α－β) － . ∴sinα＝＝ 7 13 如何求解？＝14”，如何求解？ π π (2)由0<β<α< ，得0<α－β< . ) － 2 2 13 又∵cos(α－β)＝， ( － ) 14
x x x x 2x )(sin －cos ) (2sin cos ＋2cos )( 2 2 2 2 2 (2)f(x)＝＝ x 4cos2 2 x x x x cos (sin2 －cos2 ) －cos ·cosx 2 2 2 2 ＝＝ x x |cos | |cos | 2 2 x π 因为 0<x<π，所以 0<2< 2，， x 所以 cos2>0，，＝－cosx 所以 f(x)＝－＝－ π π 1 ＝－cos ＝－ . ∴f( )＝－＝－ 3 3 2
[自主解答Leabharlann 自主解答] 自主解答(1)∵sin50°(1＋ 3tan10°) ∵ ＋
cos10°＋ 3sin10° ＋＝sin50°· cos10° 2sin40° ＝sin50°· cos10° ＝1，， cos80° 1－cos20°＝sin10° 2sin210°＝ 2sin210°. －＝＝ sin50°(1＋ 3tan10°)－cos20° 1－cos20° ( ＋ ) － ∴ ＝＝ 2. 2sin210° cos80° 1－cos20° －
(
)
解析：解析：sin(α＋β)sin(α－β) ＋－＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＋－＝sin2αcos2β－cos2αsin2β －＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β) －－－＝－a. ＝cos2β－cos2α＝－－＝－答案：答案：C
解：(1)∵a⊥b，∴sinθ－2cosθ＝0， ∵ ⊥ ，－＝， 2 5 π 5 又∵θ∈(0， )，∴sinθ＝ ∈ ，，＝，cosθ＝ . ＝ 2 5 5 10 (2)∵sin(θ－φ)＝ ∵ －＝， 10 3 10 3 10 ∴cos(θ－φ)＝ 10 或－ 10 . －＝ 3 10 当 cos(θ－φ)＝－＝时， 10
3 4．(2010·全国卷Ⅰ)已知 α 是第二象限的角，sinα＝，则 tan2α 全国卷Ⅰ ．全国卷已知是第二象限的角，＝ 5 ＝________.
3 解析：为第二象限角解析：∵α 为第二象限角，sinα＝5 ＝ 4 ∴cosα＝－5 ＝－ sinα 3 ∴tanα＝cosα＝－4 ＝ 3 2×(－ ) × 4 2tanα 24 ∴tan2α＝＝＝＝－ 7 . 9 1－tan2α － 1－－ 16 24 答案：答案：－ 7
答案：答案： A
2．计算 1－2sin222.5°的结果等于．－的结果等于 1 2 A. B. 2 2 3 3 C. D. 3 2
2 解析：－解析：1－2sin 22.5°＝cos45°＝ 2 . ＝＝
2
(
)
答案：答案： B
3．如果 cos2α－cos2β＝a，则 sin(α＋β)sin(α－β)等于．－＝，＋－等于 a A．－．－2 C．－．－a ．－ a B. 2 D．a ．
b b sinφ＝ 2 ＝，即 tanφ＝a，只要掌握辅助角 φ 为特殊角的情况＝ a ＋b2 π π 即可．即可．如 sinα±cosα＝ 2sin(α±4 )，sinα± 3cosα＝2sin(α±3 )， 3 ＝，＝， π sinα±cosα＝2sin(α± )等．＝ 6等
2sinαcosα cos2α－sin2α － 2cos2α－1 － 1－2sin2α －
π ，－2)与＝，互相垂直，已知向量 a＝(sinθ，－与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中 θ∈(0，2)．＝，－互相垂直 ∈ ，． (1)求 sinθ 和 cosθ 的值；求的值； 10 π (2)若 sin(θ－φ)＝若的值．－＝ 10 ，0<φ<2，求 cosφ 的值．
2A
[自主解答自主解答] 自主解答
(1)∵ OM · ON ＝ (sinB＋ cosB)sinC＋ cosC(sinB－ ∵ ＋＋－
1 cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，＝＋－＋＝－5 1 ∴sinA＋cosA＝－5，＋＝－ 24 两边平方并整理得：两边平方并整理得：2sinAcosA＝－25，＝－ 24 π ∵－25<0，∴A∈(2，π)，， ∈ ， ①
5．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________. ． ° ° ° ° 解析：解析：sin163°sin223°＋sin253°sin313° ° ° ° ° ＝sin163°sin223°＋sin(163°＋90°)sin(223°＋90°) ° ° ° ° ° ° ＝sin163°sin223°＋cos163°cos223° ° ° ° ° ＝cos(163°－223°) ° ° 1 ＝cos60°＝ . ° 2
π π 1 5 3 已知 0<α<2，2<β<π，且 cosα＝7，sinβ＝ 14 ，求 β－α 的值．，＝＝－的值．
π π 解：因为 0<α<2，2 <β<π，所以 0<β－α<π，，－， 5 3 1 又 cosα＝7，sinβ＝ 14 ，＝＝ 4 3 11 sinα＝ cosβ＝－所以 sinα＝ 7 ，cosβ＝－14， 1 π 所以 cos(β－α)＝，所以 β－α＝ . －＝－＝ 2 3
tanα＋tanβ ＋； 1－tanα·tanβ －
.
tanα－tanβ － tan(α－β)＝－＝ 1＋tanα·tanβ ＋
π (α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ＋，k∈Z 且分母均不为 0) ，，＋，－＋ ∈ 2
(4)辅助角公式辅助角公式对于公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)，＋＝＋，其中 cosφ＝＝ a 2 2， a ＋b
2tanα kπ π π ≠ ＋且 α≠kπ＋ ) ≠ ＋ 2 (α≠ 2 4 2 1－tan α －
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、 (1)sin2α＝＝；
3．半角公式． α (1)sin ＝± 2 α (2)cos ＝± 2 α (3)tan ＝± 2 1－cosα －； 2 1＋cosα ＋； 2 1－cosα － 1－cosα － sinα . ＝＝ sinα 1＋cosα 1＋cosα ＋＋
7 ∴sinA－cosA＝ 1－2sinAcosA＝5 －＝－＝ 3 4 联立①② ①②得联立①②得：sinA＝5，cosA＝－5，＝＝－ 3 ∴tanA＝－4，＝－ 3 －2 2tanA 24 . ∴tan2A＝＝＝ 9 ＝－ 7 1－tan2A － 1－－16