2015-2016年浙江省杭州市上城区源清中学高一(上)数学期末试卷及答案PDF
浙江省高一上册期末数学试卷
基础课程教学资料高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）= 7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=2．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=2；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=+1．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=log a=f（x）=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为：+1．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x0=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2，∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，∴S=2S=sinθ，△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=2；当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min=1．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；综上可得：g（a）=0。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2016-2017学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷含参考答案
2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3.00分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3.00分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3.00分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3.00分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3.00分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3.00分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3.00分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3.00分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3.00分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3.00分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3.00分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3.00分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x ﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3.00分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3.00分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M ∪N=，∁U M=．16．（3.00分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3.00分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4.00分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4.00分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4.00分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10.00分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12.00分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．23．（12.00分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13.00分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3.00分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选：C．2．（3.00分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】由sinα的值及α为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3.00分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3.00分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【分析】求出函数的定义域，判断连续性，求得f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，可得函数零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3.00分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D．6．（3.00分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，判断函数图象的上升与下降即可得出答案．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C．7．（3.00分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【分析】由已知得f（5）=f（3）=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3.00分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A．9．（3.00分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【分析】根据函数奇偶性和周期性的定义分别进行证明即可．【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D．10．（3.00分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】利用诱导公式、正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选：B．11．（3.00分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】先根据诱导公式将函数化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3.00分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3.00分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x ﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据定义作出函数f（x）的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得x E=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x E﹣x C=﹣=，故选：B．14．（3.00分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【分析】对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f（x），x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，a＞0，可得函数u（x）在x∈[1，4]单调递min减，u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．对a分类讨论即可得出．【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f （x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=u（4）=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣a，则f（x）max=a﹣4≥0．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，4﹣a+1﹣4a=5﹣5a＜0，则f（x）max=4a﹣1．③＜a≤1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，4﹣a+1﹣4a=5﹣5a≥0，则f（x）max=4﹣a．④时，4﹣a＞1﹣4a＞0，则f（x）max=4﹣a．综上①②③④可得：m≤0．∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]．故选：A．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3.00分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M ∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【分析】直接根据并集补集的定义计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3.00分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【分析】利用有理数指数幂、对数的性质、运算法则求解．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3.00分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【分析】根据正切函数的周期公式以及正切函数的性质进行求解即可．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4.00分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【分析】令h（x）=f（x）g（x），根据h（x）的奇偶性和函数图象得出不等式的解．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4.00分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1．【分析】依题意，通过分类讨论，得到时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程即可得到答案．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4.00分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为16．【分析】令t=f（x），由g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，进而得到答案．【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10.00分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【分析】（1）根据，求出函数的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12.00分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．【分析】（1）直接求解函数的周期，利用函数的对称性，列出方程求解φ，然后利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）转化求解函数的值域，利用对数的运算法则，化简求解即可．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12.00分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【分析】（1）由频率分布图能求出阴影部分的面积，表示汽车在4小时内行驶的路程．（2）由这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，结合频率分布直方图能求出汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并能作出图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13.00分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【分析】（1）方法一：化简分段函数，分段求解方程的根即可，方法二：当a=﹣1时，利用f（x）=1化简求解即可．（2）化简分段函数，通过当x≥a时，当x＜a时，求出函数的零点，推出，构造函数，利用函数的单调性，求解即可．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。
浙江省杭州市高一上期末数学试卷有答案-名师版
2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）x+x﹣3的零点所在的区间是（）4．（3分）函数f（x）=log3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x 3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=logx+x﹣3的零点所在的区间是（）3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f （x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即xC =或xG=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得xE=，由图象知若f （x ）在区间[m ，n]上的值域为[，]，则区间[m ，n]长度的最大值为x E ﹣x C =﹣=， 故选：B ．14．（3分）设函数f （x ）=|﹣ax|，若对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1，4]，使得f （x 0）≥m ⇔m ≤f （x ）max ，x ∈[1，4]．令u （x ）=﹣ax ，∵a ＞0，∴函数u （x ）在x ∈[1，4]单调递减， ∴u （x ）max =u （1）=4﹣a ，u （x ）min =1﹣4a ．①a ≥4时，0≥4﹣a ＞1﹣4a ，则f （x ）max =4a ﹣1≥15．②4＞a ＞1时，4﹣a ＞0＞1﹣4a ，则f （x ）max ={4﹣a ，4a ﹣1}max ＞3． ③a ≤1时，4﹣a ＞1﹣4a ≥0，则f （x ）max =4﹣a ≥3． 综上①②③可得：m ≤3．∴实数m 的取值范围为（﹣∞，3]． 故选：D ．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁UM={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h （x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln （x+a ）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A ， 即满足时，（ax+2）•ln（x+a ）≤0对x ∈（﹣a ，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f （x ）=x+，g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）]的值为 16 ． 【解答】解：∵令t=f （x ），则y=g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a=t 2﹣at+2a ， ∵g （x ）=f 2（x ）﹣af （x ）+2a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 故t 2﹣at+2a=0有两个根t 1，t 2，且t 1+t 2=a ，t 1t 2=2a ，且f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）恰两两相等，为t 2﹣at+2a=0的两根， 不妨令f （x 1）=f （x 2）=t 1，f （x 3）=f （x 4）=t 2，则[2﹣f （x 1）]•[2﹣f （x 2）]•[2﹣f （x 3）]•[2﹣f （x 4）] =（2﹣t 1）•（2﹣t 1）•（2﹣t 2）•（2﹣t 2）=[（2﹣t 1）•（2﹣t 2）]2=[4﹣2（t 1+t 2）+t 1t 2]2=16． 故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（ 2分）。
【精品】2015年浙江省杭州市重点中学联考高一上学期期末数学试卷
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4.00分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜2} 2．（4.00分）cos（﹣2040°）=（）A．B．C．D．3．（4.00分）若sinα=﹣，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）4．（4.00分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数5．（4.00分）已知a=（），b=log6，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（4.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的图象，只需将g（x）=sin（ωx）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．（4.00分）已知函数f（x）=，则y=f[f（x）]﹣4的零点为（）A．B．C．D．8．（4.00分）函数f（x）=log 2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．9．（4.00分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；②函数f（x）的值域为[0，]；③若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[，]；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④10．（4.00分）若函数f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．16 B．14 C．15 D．18二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4.00分）求值：+（﹣）0++=．12．（4.00分）函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为_．13．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．14．（4.00分）已知α是第二象限角，sinα=，则cos（π﹣α）=．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．16．（4.00分）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．17．（4.00分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为．三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若ϕ⊊B⊊A，求实数a，b的值．19．（12.00分）（1）已知tanθ=2，求的值；（2）已知﹣＜x＜，sinx+cosx=，求tanx的值．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，（1）求A的值；（2）求函数f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间．21．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1．（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[﹣2，0]上的最大值．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4.00分）设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵M={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}N={x|1＜x＜3}∵阴影部分表示集合（C u N）∩M，∴阴影部分表示的集合是（1，2）．故选：C．2．（4.00分）cos（﹣2040°）=（）A．B．C．D．【解答】解：原式=cos2040°=cos（6×360°﹣120°）=cos120°=﹣，故选：B．3．（4.00分）若sinα=﹣，cosα=，则下列各点在角α终边上的是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【解答】解：由题意得sinα=﹣，cosα=，因为sinα=，cosα=，所以r=5k，x=3k，y=﹣4k，（k＞0）所以在角α终边上的点是（3k，﹣4k），当k=1时，此点的坐标是（3，﹣4），故选：B．4．（4.00分）函数f（x）=x+sinx，x∈R（）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【解答】解：函数f（x）=x+sinx的定义域为R，f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则f（x）为奇函数．故选：A．5．（4.00分）已知a=（），b=log6，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）=，b=log6＜0，c=＞=，∴c＞a＞b．故选：B．6．（4.00分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分函数图象如图所示，为了得到函数f（x）的图象，只需将g（x）=sin（ωx）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，×=，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C．7．（4.00分）已知函数f（x）=，则y=f[f（x）]﹣4的零点为（）A．B．C．D．【解答】解：y=f[f（x）]﹣4的零点即方程f[f（x）]﹣4=0的根，故3f（x）+1=4；解得，f（x）=1；当x∈[﹣2，0]时，sin（﹣πx）=1，故x=﹣；故选：D．8．（4.00分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）=log2（2x﹣1），由于y=log2t为增函数，t=2x﹣1为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）=log2（1﹣2x），由于y=log2t为增函数，t=1﹣2x为减函数，故函数f（x）在（﹣∞，0））为减函数，且t=1﹣2x为的值域为（0，1）故f（x）＜0，故选：A．9．（4.00分）已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论，其中所有正确的结论的序号是（）①直线x=3是函数g（x）的一条对称轴；②函数f（x）的值域为[0，]；③若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[，]；④对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：对于①，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2，由g（3）=﹣acosπ﹣2a+2=2﹣a，取得最大值，故①对；对于②，当0时，f（x）=﹣x∈[0，]；当≤1时，f（x）=═2[（x+2）+]﹣8而＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（，3]，双钩型函数h（z）=2（z+）﹣8在z∈（，3]上单调递增，∴h（）=﹣8=，h（z）max=h（3）=，∴当x∈（，1）时，f（x）的值域为（，]；∴函数f（x）的值域为[0，]，故②对；对于③，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则0≤2﹣3a≤或0≤2﹣a≤，解得≤a≤或≤a≤，由于＜，∴[，]∪[，]=[，]．故③对；对于④，g（x）=asin（x+）﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2（a＞0），∵0≤x≤1，∴0≤x≤，∵y=cosx在[0，]上单调递减，∴y=﹣cosx在[0，]上单调递增，又a＞0，∴g（x）=﹣acos x﹣2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，由g（x）=﹣acos x﹣2a+2（a＞0）知，当0≤x≤1时，0≤x≤，≤cos x≤1，又a＞0，∴﹣a≤﹣acos x≤﹣，∴2﹣3a≤﹣acos x﹣2a+2≤2﹣a．不妨令a=10，g（x）∈（﹣28，﹣23），而f（x）的值域为[0，]，显然f（x）≠g（x），故④错．故选：B．10．（4.00分）若函数f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A．16 B．14 C．15 D．18【解答】解：∵f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的图象关于直线x=2对称，∴f（1）=f（3），f（﹣1）=f（5），即，解得m=﹣8，m=15，即f（x）=（x2﹣8x+15）（1﹣x2）=x4+8x3﹣14x2﹣8x+15，则f′（x）=﹣4x3+24x2﹣28x﹣8=﹣4（x﹣2）（x2﹣4x﹣1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+或x=2﹣，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+或x＜2﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得2﹣＜x＜2或x＞2+，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+或2﹣时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值则f（2+）=16，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．（4.00分）求值：+（﹣）0++=﹣6．【解答】解：原式=﹣8+1+lg2+lg5=﹣7+1=﹣6．12．（4.00分）函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为_（﹣2，1] ．【解答】解：由，解得：﹣2＜x≤1．∴函数f（x）=lg（x+2）+的定义域为（﹣2，1]．故答案为：（﹣2，1]．13．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π14．（4.00分）已知α是第二象限角，sinα=，则cos（π﹣α）=．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=．故答案为：．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x ＞} ．【解答】解：依题意：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，直接构造函数f（x）=x2，问题转化为解不等式（x﹣1）2＜x2，解之得：，所以不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．另解：依题意：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，由于f（x﹣1）＜f（x），即所以不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为；故答案为：{x|x＞}．16．（4.00分）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．【解答】解：由题意知，y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1，设t=cosx，则函数y=﹣t2+2t+1=﹣（t﹣1）2+2，令﹣（t﹣1）2+2=﹣，解得t=﹣或t=，∵cosx≤1，∴t=﹣，即cosx=﹣，x=+2kπ或﹣+2kπ（k∈Z），在坐标系中画出函数y=cosx的图象：由图和x∈[﹣，θ]知，θ∈时，函数的最小值为﹣，故答案为：．17．（4.00分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：设f（a）=a（2b﹣3）﹣b，由于任意的实数a≤﹣1，恒有a•2b﹣b﹣3a≥0成立，则2b﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立，则有b＜log23，且3﹣b﹣2b≥0，由b+2b≤3，又g（x）=x+2x在R上递增，且g（1）=3，则g（b）≤g（1），解得b≤1．又b＜log23，则有b≤1．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：共4大题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18．（12.00分）已知集合A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，（1）若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求a，b的值；（2）若ϕ⊊B⊊A，求实数a，b的值．【解答】解：（1）A={3，5}；若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，则：B={2，3}；∴；∴a=5，b=﹣6；（2）若∅⊊B⊊A，则：B={3}，或B={5}；∴，或；∴，或．19．（12.00分）（1）已知tanθ=2，求的值；（2）已知﹣＜x＜，sinx+cosx=，求tanx的值．【解答】解：（1）∵tanθ=2，∴原式===﹣1；（2）∵sinx+cosx=，∴（sinx+cosx）2=，即2sinxcosx=﹣＜0，∵﹣＜x＜，∴sinx＜0，cosx＞0，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∴sinx﹣cosx=﹣，∴sinx=﹣，cosx=，∴tanx=﹣．20．（14.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，（1）求A的值；（2）求函数f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间．【解答】解：（1）由T=π=，∴w=2，∴f（x）=Asin（2x+），∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f max（x）=A=4…（7分）（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+），∵﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，又∵x∈[﹣π，0]，故f（x）的增区间是…（12分）（其他方法请酌情给分）21．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1．（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[﹣2，0]上的最大值．【解答】解：（1）∵x2﹣1≥λ（x+1），x∈R恒成立，∴x2﹣λx﹣λ﹣1≥0，x∈R恒成立，∴△=λ2+4λ+4≤0，∴λ=﹣2…（5分）（2）∵①当﹣2≤x ≤﹣1时，，（ⅰ）当λ≤﹣3时，h max =h （﹣1）=0；（ⅱ）当λ＞﹣3时，h max =h （﹣2）=λ+3； ②当﹣1＜x ≤0时，，（ⅰ）当λ≤﹣2时，h （x ）＜h （﹣1）=0；（ⅱ）当λ≥0时，h max =h （0）=λ+1； （ⅲ）当﹣2＜λ＜0时，h max =+λ+1，综上：①当λ≤﹣3时，h max =0；②当λ＞﹣3时，h max =λ+3．…（9分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
浙江省杭州市2015_2016学年高一下期末数学试卷附答案解析
2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．cos150°的值等于（）A．B．C．D．4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]5．若3x=2.则x=（）A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．6．设向量=（x.1）.=（1.y）.若•=0.则（）A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =7．设x0为方程2x+x=8的解．若x∈（n.n+1）（n∈N*）.则n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象.只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣111．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=loga（﹣x）的图象可能是（）A．B． C．D．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．314．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= ；∁R（A）= ．17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为.单调递减区间为．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0.b.c∈R）.若f（1+x）=f（1﹣x）.f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t的值；如果不存在.请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题.每小题3分.共45分.在每个小题给出的四个选项中.只有一个符合题目要求的.1．设集合M={0.1.2}.则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意.集合M中含有三个元素0.1.2．∴A选项1∈M.正确；B选项2∉M.错误；C选项3∈M.错误.D选项{0}∈M.错误；故选：A．2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】不等关系与不等式．【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}.∴m＞0..因此.解得m=1．故选：C．3．cos150°的值等于（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°.利用诱导公式cos=﹣cosα化简后.再根据特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos150°=cos=﹣cos30°=﹣．故选D4．函数f（x）=ln的定义域是（）A．（﹣1.1） B．[﹣1.1] C．[﹣1.1） D．（﹣1.1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式.解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0.解得：﹣1＜x＜1.故函数的定义域是（﹣1.1）.故选：A ．5．若3x =2.则x=（ ）A ．lg3﹣1g2B ．lg2﹣1g3C ．D ．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由 3x =2.根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32.再利用换底公式化为．【解答】解：∵3x =2.由指数式与对数式的互化关系可得 x=log 32=.故选D ．6．设向量=（x.1）.=（1.y ）.若•=0.则（ ）A ．||＞||B ．||＜||C ．||=||D ． = 【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．【解答】解：∵向量=（x.1）.=（1.y ）.•=0.∴•=x+y=0.∴||=.||=.∴||=||.故选：C ．7．设x 0为方程2x +x=8的解．若x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.则n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.由f （2）＜0.f （3）＞0.可得x 0∈（2.3）．再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n 的值．【解答】解：∵x 0为方程2x +x=8的解.∴+x 0﹣8=0．令f （x ）=2x +x ﹣8=0.∵f （2）=﹣2＜0.f （3）=3＞0.∴x 0∈（2.3）． 再根据x 0∈（n.n+1）（n ∈N *）.可得n=2. 故选：B ．8．要得到函数f （x ）=2sin （2x ﹣）的图象.只需将函数g （x ）=2sin （2x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换.左加右减可得答案．【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）].∴g（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣++）]=2sin[2（x﹣+）]=f（x+）.∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位.得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．故选：C．9．已知向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.则向量.的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式.求出两个向量的数量积.利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为向量.满足||=4.||=3.且（2﹣3）•（2+）=61.所以4.即64﹣27﹣4=61.所以=﹣6.所以cosθ=.所以θ=120°；故选：C．10．当时.函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1.最小值是﹣1 B．最大值是1.最小值是﹣C．最大值是2.最小值是﹣2 D．最大值是2.最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形.提出2变为符合两角和的正弦公式形式.根据自变量的范围求出括号内角的范围.根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）.∵.∴f（x）∈[﹣1.2].故选D11．若a＞0且a≠1.则函数y=a x与y=log（﹣x）的图象可能是（）aA．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递减.y=a x 【解答】解：当a＞1时.由y=loga单调递增.当0＜a＜1时.由y=log（﹣x）可知函数的定义域为x＜0.且函数单调递增.y=a x单调递减.a故选：B．12．设G是△ABC的重心.a.b.c分别是角A.B.C所对的边.若a+b+c=.则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心. =﹣×. =. = .又a+b+c=.∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=.∴a﹣b=a﹣c=b﹣c.∴a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0.]恒成立.则实数a的最大值是（）A．2 B．C．2 D．3【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx.不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立.得.利用分离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx.∵x∈（0.].∴t∈（0.1].则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0.1]恒成立.即在t∈（0.1]恒成立.∴a≤3．故选：D．14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+.8] B．[2+.+∞） C．[2.+∞） D．[2+.4]【考点】函数的值域．【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1.1].并设.两边平方.根据x的范围即可求出.且得出.从而得出.求导.根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增.从而得出y的范围.即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1.1]；设.则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1.；∴2≤t2≤4；∴.且.设y=f（x）；∴；∴.令y′=0得..或0；∴在上单调递增；∴时.y取最小值.t=2时.y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．15．若直角△ABC内接于单位圆O.M是圆O内的一点.若||=.则|++|的最大值是（）A． +1 B． +2 C． +1 D． +2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点.于是++=2+=3+.所以当和同向时.模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC.∵直角△ABC内接于单位圆O.∴O是AC的中点.∴|++|=|2+|=|3+|.∴当和同向时.|3+|取得最大值|3|+||=+1．故选：C．二、填空题：本大题共8个小题.每小题6分.共36分.（A）= （0.1）．16．若集合A={x|x2﹣x≥0}.则A= （﹣∞.0]∪[1.+∞）；∁R【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A.根据全集R求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0.解得：x≤0或x≥1.即A=（﹣∞.0]∪[1.+∞）.A=（0.1）.则∁R故答案为：（﹣∞.0]∪[1.+∞）；（0.1）17．若10x=2.10y=3.则103x﹣y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：∵10x=2.10y=3.∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=.故答案为：18．若扇形的半径为π.圆心角为120°.则该扇形的弧长等于；面积等于π3．【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】利用扇形的弧长公式.面积公式即可直接计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l.扇形的面积为S.∵圆心角大小为α=（rad）.半径为r=π.∴则l=rα==.扇形的面积为S=××π=π3．故答案为：.π3．19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π.单调递减区间为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式.由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：由题意得.f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=.∴最小正周期T==π.由得..∴函数f（x）的单调递减区间是.故答案为：π；．20．设α、β∈（0.π）.sin（α+β）=.tan=.则tanα=.tanβ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由tan的值.利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1.确定出α的范围.进而sinα与cosα的值.再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围.利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值.所求式子的角β=α+β﹣α.利用两角和与差的余弦函数公式化简后.将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=.α∈（0.π）.∴tanα==＞1.∴α∈（.）.∴cosα==.sinα==.∵sin（α+β）=＜.∴α+β∈（.π）.∴cos（α+β）=﹣.则cosβ=co s[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣.∴sin=.tan=﹣．故答案为：.﹣．21．在矩形ABCD中.AB=2AD=2.若P为DC上的动点.则•﹣的最小值为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系.求出各向量的坐标.代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数.利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点.以AB.AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（0.0）.B（2.0）.C（2.1）.设P（a.1）（0≤a≤2）．=（﹣a.﹣1）.=（2﹣a.﹣1）.=（0.1）.∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时.•﹣取得最小值1．故答案为：1．22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值.从而求出a的范围即可．【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x.y均成立.∴2a≤lg（x2+100）﹣siny.令z=lg（x2+100）﹣siny.则z≥lg100﹣1=9.∴2a≤9.解得：a≤2则实数a的取值范围为（﹣∞.2）．23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限.则实数a的取值范围为（﹣.0）．【考点】函数的图象．【分析】讨论当x＞0.和x＜0时.函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况.利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣1.+∞）.设g（x）=x2﹣ax+2a.若﹣1＜x＜0.ln（x+1）＜0.此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三.即此时.即.此时﹣＜a＜0.当x=0时.f（0）=0.此时函数图象过原点.当x＞0时.ln（x+1）＞0.此时要求g（x）经过一四象限.即x＞0时.x2﹣ax+2a＜0.有解.即a（x﹣2）＜x2有解.当x=2时.不等式等价为0＜4.成立.当0＜x＜2时.a＞.∵此时＜0.∴此时a＜0.当x＞2时.不等式等价为a＜.∵==（x﹣2）++4≥4+2=4+2×2=4+4=8.∴若a＜有解.则a＞8.即当x＞0时.a＜0或a＞8.综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣.0）.故答案为：（﹣.0）．三、解答题：本大题共2小题.共719分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24．在△ABC中.||=c.||=b．（Ⅰ）若b=3.c=5.sinA=.求||；（Ⅱ）若||=2.与的夹角为.则当||取到最大值时.求△ABC外接圆的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出cosA.利用余弦定理得出a；（2）利用正弦定理得出外接圆半径.从而得出外接圆的面积．【解答】解：（1）在△ABC中.∵sinA=.∴cosA=．由余弦定理得：||2=a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9+25±18．∴a 2=16或52．∴||=4或2．（2）由题意可知A=.a=2．由正弦定理得.∴R=．∴△ABC 的外接圆的面积S==．25．设函数f （x ）=x 2+bx+c （a ≠0.b.c ∈R ）.若f （1+x ）=f （1﹣x ）.f （x ）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.从左到右依次为A.B.C.D.是否存在实数t.使得线段|AB|.|BC|.|CD|能构成锐角三角形.如果存在.求出t 的值；如果不存在.请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b 的值.根据函数的最小值求出c 的值.从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|.|CB|.得到不等式（2+）＜.解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f （1+x ）=f （1﹣x ）.∴函数的对称轴是x=1.即﹣=1.解得：b=﹣2；∵f （x ）的最小值是﹣1.∴=﹣1.解得：c=0.∴f （x ）=x 2﹣2x ；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）|与y=t 相交于4个不同交点.则0＜t ＜1.易知x A =1﹣.x B =1﹣.x C =1+.x D =1+.∴|AB|﹣|CD|=﹣.|CB|=2.∴线段|AB|.|BC|.|CD|能构成等腰锐角三角形.∴|BC|≤|AB|.即2＜（﹣）.即（2+）＜•.解得：＜t ＜1．2016年8月26日。
20152016学年浙江杭州高级中学高一上分班考试数学试题解析版
2015-2016学年浙江杭州高级中学高一（上）分班考试数学试题一、选择题1．下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -=B ．单项式2x -的系数是-1C ．使式子2x +有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式211a a -+的值等于0，则1a =± 【答案】B【解析】试题分析：A 中，22232a b a b a b -=，故A 错；B 中，单项式2x -的系数是1-，正确；C 中，使式子2+x 有意义的x x 的取值范围是2x ≥-，故C 错；D 中，若分式112+-a a 的值等于0，则21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故D 错，故选B ．【考点】1、同类项；2、单项式；3、分式；4、二次根式．【知识点睛】求函数自变量的取值范围，一般有以下几种情况：（1）当函数解析式为整式时，取全体实数；（2）当函数解析式为分式时，要保证分母不为0；（3）当函数解析式为二次根式时，要保证被开方数是非负数；（4）当函数解析式为复合式时，自变量的取值要同时满足多个条件．2．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D【解析】试题分析：A中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；B中艺术字是轴对称图形，不是中心对称图形；C中艺术字不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D中艺术字是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形．3．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）【答案】A【解析】试题分析：该正方形纸片对折三次后共有8层，中心处剪掉一下等腰直角三角形，展开后纸片中心缺失的角度为︒⨯=︒，排除C、D；剪切线AB不平行于纸片边缘，则展开后458360也一定不平行于纸片边缘，排除B，故选A．【考点】图形的轴对称．4．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”.某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,20，对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10C ．中位数是17D ．方差是443 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知平均数为101510171856012+++++=，众数是10，中位数是1517162+=，方差为22222144[2(1015)(1515)(1715)(1815)(2015)]63-+-+-+-+-=，故A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【考点】数据的收集和处理5．如图，,,A B C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''AC B ∆，则'tan B 的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．24【答案】B 【解析】试题分析：过C 点作CD AB ⊥，垂足为D ，则根据旋转性质可知，B B ∠'=∠．在Rt BCD ∆中，1tan 3CD B BD ==t ，所以1tan tan 3B B '==，故选B ．【考点】1、旋转的性质；2、锐角三角函数的定义．6．如图是自行车骑车训练场地的一部分，半圆O 的直径100AB =，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止，设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 及t 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设运动员C 的速度为v ，则运动了t 的路程为vt ，设BOC α∠=，当C 运动到M 时，因为50180vt απ⋅==518πα，所以185vt απ=，在直角三角形中，因为50sin 50sin 185vt d πα==，所以在运动员到M 点之前，其d 及t 的关系并不是一次函数，同理可得，运动员从M 点到A 点的过程中，其d 及t 的关系也不是一次函数，只有C 符合题意，故选C ．【考点】函数图象．【方法点睛】根据几何动点问题判断出函数图象的题目，一般解题思路为：设时间为t ，找出因变量及t 之间存在的函数关系式，并用含t 的式子表示出来，再找相对应的函数图象，需要注意是否需要对自变量的取值范围进行分类讨论．7．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-+及x 轴、y 轴分别交于,A B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线(0) ky kx=≠上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：作CE y⊥轴于点E，交双曲线于点G，作DF x⊥轴于点F，在33y x=-+中，令0x=，得3y=，即(0,3)B．令0y=，得1x=，即(1,0)A，所以31OB OA==，．因为90BAD∠=︒，所以90BAO DAF∠+∠=︒，又因为Rt ABO∆中，90BAO OBA∠+∠=︒，所以DAF OBA∠=∠．在OAB∆和FDA∆中，DAF OBABOA AFDAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以OAB FDA∆∆≌．同理可证得，OAB FDA BEC∆∆∆≌≌，所以3AF OB EC===，1DF OA BE===，故(4,1)D，(3,4)C，代入kyx=得4k=，则函数的解析式是4yx=，所以4OE=，则C的纵坐标是4，把4y=代入4yx=得1x=，即G的坐标是(1,4)，所以2CG=，所以2a=，故选B．【考点】1、正方形的性质；2、反比例函数；3、全等三角形的判定及性质；4、待定系数法求函数的解析式．【方法点睛】（1）由于反比例函数的表达式kyx=中只有一个未知数k，因此只需已知一组对应值就可以求出其解析式；（2）用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．8．如图，分别过点(,0)(1,2,,)iP i i n=作x轴的垂线，交212y x=的图象于点iA，交直线12y x=-于点i B，则1122111n nA B A B A B+++的值为（）A．21nn+B．2 C．2(1)n n+D．21n+【答案】A【解析】试题分析：由题意，得2111()(1)222i iA B x x x x=--=+，所以12112()(1)1i iA B x x x x==-++，所以1122111n nA B A B A B+++＝11111122(1)2(1)223111nn n n n-+-++-=-=+++，故选A．【考点】1、二次函数的图象；2、裂项求和法；3、规律探究．二、填空题9．如图，AB AC=，120BAC∠=︒，AB的垂直平分线交BC于点D，那么ADC ∠= ．【答案】60︒【解析】试题分析：因为AB AC =，120BAC ∠=︒，所以30B C ∠=∠=︒．因为AB 的垂直平分线交BC 于点D ，所以DB DA =，所以30BAD B ∠=∠=︒，所以60BAD B ADC ∠+∠=∠=︒．【考点】1、线段垂直平分线的性质；2、等腰三角形的性质；3、三角形内角及外角和定理．10．对实数,a b 定义新运算“”如下：,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，如3*23=，(5)*22=210x x +-=的两根为12,x x ，则12*x x = ． 51- 【解析】试题分析：因为方程210x x +-=的根为2114(1)152x -±-⨯--==，又因为,*,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，所以1251*x x -=． 【考点】1、一元二次方程的解法；2、新定义．【方法点睛】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②24b ac =；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）【答案】①④【解析】试题分析：由图象知0a >，0c <，=12b a-，即20a b +=，所以0b <，所以0abc >，故①正确；因为二次函数图象及x 轴有两个交点，所以240b ac ∆=->，即24b ac >，故②错；因为原点O 及对称轴的对应点为(20)，，所以2x =时，0y <，即420a b c ++<，故③错；因为当1x =-时，0y >，所以0a b c -+>，把2b a =-代入得30a c +>，故④正确，故填①④．【考点】二次函数图象及系数的关系．【技巧点睛】利用图象判断解析式中,,a b c 的正负及它们之间的关系：(1)开口方向判断a 的正负；(2) 及y 轴交点位置判断c 的正负；(3) 对称轴位置判断b 的正负 (左同右异）；(4) 及x 轴交点个数判断24b ac -的正负；(5) 图象上特殊点的位置判断一些函数值正负；(6) 对称轴判断2a b +和2a b -的正负．12．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c 在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1,3a b ==，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为 .【答案】255，21【解析】试题分析：（1）第一次，13137c =⨯++=；第二次，373731c =⨯++=；第三次，317731c =⨯++＝255；（2）第一次，(1)(1)1c pq q p p q =++=++-；第二次，[(1)(1)11](1)1c p q p =++-++-＝2(1)(1)1p q ++-；第三次，2[(1)(1)11][(1)(1)11]1c p q p q =++-+++-+-＝32(1)(1)1p q ++-；第四次，53(1)(1)1c p q =++-；第五次，85(1)(1)1c p q =++-；第六次，138(1)(1)1c p q =++-，所以13821m n +=+=．【考点】推理及证明．三、解答题13．（1）先化简，再求值：222()111a a a a a ++÷+--，其中1a =. （2）已知关于,x y 的二元一次方程2231x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解满足x y <，求m 的取值范围.【答案】（1）原式31a =+，2；（2）17m <-． 【解析】试题分析：（1）首先利用平方差公式将21a -进行因式分解，然后通分化简，最后代值求值；（2）首先通过解二元一次方程组用m 表示出x ，然后根据x y <求出m 的取值范围．试题解析：（1）原式2212(1)(2)1()1(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a +--++-=+⨯=⨯++-+-31a =+．当21a =-时，原式322211==-+． （2）解二元一次方程组2231x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩，得1727x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∵x y <，∴1277m -<-，∴17m <-，所以n 的取值范围是17m <-．【考点】1、因式分解；2、分式的运算；3、二元一次方程组的解法；4、不等式的解法．14．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价，评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图.根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补全统计直方图；（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行，在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率.【答案】（1）030,144；（2）2P=．5【解析】试题分析：（1）首先根据用3－4小时的人数所占比例，求出总人数，然后根据总人数求出2－3小时的人数，从而求出圆心角度数；（2）根据题意列出所有等可能事件，找出两人分在一组的可能情况，从而求出概率．试题解析：（1）620%30÷=，----÷⨯=÷⨯=，(303762)30360123026144答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144；故答案为：030,144；补全统计图如图所示：（2）根据题意列表如下：设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，小红12345小花1（2,1） （3,1） （4,1） （5,1） 2（1,2） （3,2） （4,2） （5,2） 3（1,3） （2,3） （4,3） （5,3） 4（1,4） （2,4） （3,4） （5,4） 5 （1,5） （2,5） （3,5） （4,5）记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A ，∴82()205P A ==. 【考点】1、统计图；2、等可能事件的概率．【方法点睛】对于随机事件的概率问题，常用方法有列举法、列表法、树状图等．一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 中包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为()A m P A n=包含的基本事件的＝基本事件的个数总数． 15．已知，如图，AB 是圆O 的直径，点C 为圆O 上一点，OF BC ⊥于点F ，交圆O 于点E ，AE 及BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且ODB AEC ∠=∠.（1）求证：BD 是圆O 的切线；（2）求证：2CE EH EA =⋅；（3）若圆O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）152． 【解析】试题分析：（1）首先根据OF BC ⊥及直角三角形的概念结合圆周角定理推出90ODB DBF ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理得到90OBD ∠=︒，从而使问题得证；（2）连接AC ，然后利用周角定理推出CEH AEC ∆∆，从而根据相似三角形的性质使问题得证；（3）连接BE ，然后根据三角形函数和勾股定理求出Rt ABE ∆的各个边长，再由等腰三角形的性质推出BE CE =，从而由（2）中的结论可求出EH ，进而用勾股定理求解即可．试题解析：（1）证明：∵ODB AEC ∠=∠，AEC ABC ∠=∠，∴ODB ABC ∠=∠，∵OF BC ⊥，∴90BFD ∠=，∴90ODB DBF ∠+∠=，∴90ABC DBF ∠+∠=，即90OBD ∠=，∴BD OB ⊥，∴BD 是圆O 的切线．（2）证明：连接AC ，如图1所示：∵OF BC ⊥，∴弧BE =弧CE ，∴CAE ECB ∠=∠，∵CEA HEC ∠=∠，∴CEH ∆∽AEC ∆，∴CE EA EH CE=，∴2CE EH EA =⋅. （3）连接BE ，如图2所示，∵AB 是圆O 的直径，∴90AEB ∠=．∵圆O 的半径为5，3sin 5BAE ∠=， ∴310,sin 1065AB BE AB BAE ==⋅∠=⨯=， ∴22221068EA AB BE =--=．∵弧BE =弧CE ，∴6BE CE ==，∵2CE EH EA =⋅，∴26982EH ==． 在Rt BEH ∆中，22229156()22BH BE EH =+=+=. 【考点】1、切线的性质；2、直径的性质；3、勾股定理；4、相似三角形的判定及性质．16．大学毕业生小王相应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月多卖20件，为获得更大的利润，现将饰品售价调整为60x +（元/件）（0x >即售价上涨，0x <即售价下降），每月饰品销售为y （件），月利润为w （元）.（1）直接写出y 及x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？【答案】（1）30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩；（2）当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）销售价格控制在55元到70元之间才能使每月利润不少于6000元．【解析】试题分析：（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案． 试题解析：（1）由题意可得，30010,03030020,200x x y x x -≤≤⎧=⎨--≤<⎩．（2）由题意可得：(20)(30010),030(20)(30020),200x x x w x x x +-≤≤⎧=⎨+--≤<⎩， 化简得：22101006000,030201006000,200x x x w x x x ⎧-++≤≤=⎨--+-≤<⎩， 即2210(5)6250,030520()6125,2002x x w x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-++-≤<⎪⎩， 由题意可知x 应取整数，故当2x =-或3x =-时，61256250w <<， 故当销售价格为66元时，利润最大，最大利润为6250元.（3）由题意6000w ≥，如图，令6000w =，即2600010(5)6250x =--+，25600020()61252x =-++，解得：15x=-，20x=，310x=，510x-≤≤，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．【考点】二次函数的应用．【方法点睛】利用二次函数解决实际问题的解题步骤为：（1）分析题意，把实际问题转化为数学问题；（2）根据已知列出适当的二次函数的解析式（并注意自变量的取值范围）；（3）根据二次函数的解析式解决具体的实际问题在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值．17．如图，把两个全等的Rt AOB∆和Rt COD∆分别置于平面直角坐标系中，使直角边,OB OD在x轴上，已知点(1,2)A，过,A C两点的直线分别交x轴、y轴于点,E F. 抛物线2y ax bx c=++经过,,O A C三点.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB ∆沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不及点C 重合），AOB ∆在平移的过程中及COD ∆重叠部分的面积记为S ，试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）23722y x x =-+；（2）21(,)33P ；（3）38．【解析】试题分析：（1）由抛物线经过点,,O A C 即可根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）首先分别作过点,P M 分别作梯形ABPM 的高，将问题转化为''A B M P y y y y -=-，然后设出点,P M 的坐标，由此通过建立方程求得点P 的坐标；（3）作EK OD ⊥于k ，设点'A 移动的水平距离为m ，由此得到线段,OG GB '的长度，从而通过解直角三角形得到S 关于m 的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求得结果．试题解析：（1）将(1,2),(0,0),(2,1)A O C 分别代入2y ax bx c =++， 得20421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：37,,022a b c =-==，所以23722y x x =-+. （2）如图1，过点,P M 分别作梯形ABPM 的高'',PP MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么''AM BP =因此，''A B M P y y y y -=-， 直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+. 解方程23712()222x x x --+=，得122,23x x ==， 2x =的几何意义是P 及C 重合，此时梯形不存在，所以21(,)33P .（3）如图2，AOB ∆及COD ∆重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK OD ⊥于k ，设点'A 移动的水平距离为m ，那么1OG m =+，'GB m =， 在Rt OFG ∆中，11(1)22FG OG m ==+，所以21(1)4OFG S m ∆=+.在'Rt A HG ∆中，'2AG m =-，所以'111(2)1222HG AG m m ==-=-， 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=，在Rt OEK ∆中，2OK EK =；在Rt EHK ∆中，2EK HK =；所以4OK HK =. 因此4432332OK OH m m ==⨯=，所以12EK OK m ==， 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=. 于是222213111113(1)()44224228OFG OEH S S S m m m m m ∆∆=-=+-=-++=--+， 因为01m <<，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38. 【考点】1、二次函数的图象及性质；2、直线及抛物线的位置关系．【方法点睛】若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x 、y 的对应数值时，可选用2()0y ax bx c a =++≠求解．因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，所以将已知三点的坐标分别代入2()0、、的值，y ax bx c a=++≠构成三元一次方程组，解方程组得a b c即可求二次函数解析式．。
源清中学2015学年第一学期期末考试高一年级数学试卷
源清中学2015学年第一学期期末考试高一年级数学试卷命题人：陈成开 审核人：胡锐说明：本试卷共100分，考试时间90分钟，本次考试不得使用计算器．请考生将所有题目都做在答题卷上．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．解α的终边过点()43P -,，则cos α的值为（ ）A ．45 B ．35- C ．4 D ．-32．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{}a φ∈B ．{}a a ∉C ．{}b a b ⊆,D ．{}{}a a b ⊆,3．函数()()lg 21x f x =-的定义域为（ ） A ．()0+∞,B ．[)0+∞,C ．[)1+∞,D ．()01,4．下列函数中既是奇函数，又在区间()01,上是增函数的为（ ） A ．y x =B ．sin y x =C ．1y x x=+D ．3y x =-5．已知2log 0.3a =，0.52b =，0.3x c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．如图所示，函数13y x =的图像大致为（ ）D.C.A.7．函数()33log f x x x =-+的零点所在的区间是（ ） A ．()01,B ．()12,C ．()23,D ．()34,8．如图，是函数()()12sin y f x x ωϕ==+和()()11sin y g x x ωϕ==+在一个周期上的图像，为了得到()y f x =的图像，只要将()y g x =的图像上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．向左平移π2个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D ．向左平移π2个单位长度，再把所得点的横纵标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 9．若α、ππ22β⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，且sin sin 0ααββ->，则下面结论正确的是（ ）A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>10．如图，函数2log 4y x =图像上的两点A ，B 和2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，点B 的坐标为()p q ,，则242p ⨯=（）2x 24xA ．12B ．C ．6D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知幂函数()y f x =的图像过点(3,，则()9f =__________． 12．设()23log 020x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩,,≤，则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________． 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时()x f x c a =+，若()f x 在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是__________．14．函数ππ2cos 2062y x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭,的值域是__________． 15．已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f =__________．三、解答题（共5大题，共50分）16．（满分8分）已知集合{}23A x a x a =+≤≤，{}11x B x x =<->或 （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若A B R = ，求a 的取值范围． 17．（满分10分）已知函数()()()sin 300πf x A x A ϕϕ=+><<,，在π12x =时取得最大值4． （Ⅰ）求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若2π123125f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α．18．（满分10分）已知函数()21ax bf x x+=+是定义在()11-,上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 在()11-,上的单调性； 19．（满分10分）设函数()()sin sin cos f x x x x =+ （Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）若函数()f x 在[]0a ,上的值域为0⎡⎢⎣⎦,．求实数a 的取值范围．20．（满分12分）已知函数()23f x x a =+，()()21g x ax a R =+∈（1）若函数()f x 在()02,上无零点，试讨论函数()y g x =在()02,上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-，若对任意的()01x ∈-,，恒有()1F x <成立，求实数a 的取值范围．。
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2015-2016 学年浙江省杭州市上城区源清中学高一（上） 期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求） 1． （3.00 分）解 α 的终边过点 P（4，﹣3） ，则 cosα 的值为（ A． B． C．4 D．﹣3 ）
8． （3.00 分）如图，是函数 y=f（x）=sin（ω1x+φ1）和 y=g（x）=sin（ω2x+φ2） 在一个周期上的图象，为了得到 y=f（x）的图象，只要将 y=g（x）的图象上所有 的点（ ）
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A．12 B．
C．6
D．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11． （4.00 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点 = ．
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（Ⅱ）若函数 f（x）在[0，a]上的值域为[0，
20． （12.00 分）已知函数 f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1（a∈R） （1）若函数 f（x）在（0，2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上无零点，研究函数 y=|g（x）|在（0，2）上的 单调性； （2）设 F（x）=f（x）﹣g（x） ，若对任意的 x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1 成立， 求实数 a 的取值范围．
三、解答题（共 5 大题，共 50 分） 16． （8.00 分）已知集合 A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1 或 x＞1} （Ⅰ）若 a=0，求 A∩B； （Ⅱ）若 A∪B=R，求 a 的取值范围． 17． （10.00 分）已知函数 f（x）=Asin（3x+φ） （A＞0，0＜φ＜π） ，在 得最大值 4． （Ⅰ）求 f（x）的单调增区间； （Ⅱ）若 18． （10.00 分） 已知函数 （1）确定函数 f（x）的解析式； （2）判断并证明 f（x）在（﹣1，1）的单调性． 19． （10.00 分）设函数 f（x）=sinx（sinx+cosx） ． （Ⅰ）求 f（ ）的值； ]，求实数 a 的取值范围． ，求 sinα． 是定义在 （﹣1， 1） 上的奇函数， 且 ． 时取
5． （3.00 分）已知 a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则 a、b、c 的大小关系是（ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 6． （3.00 分）如图所示，函数 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D． ）
7． （3.00 分）函数 f（x）=x﹣3+log3x 的零点所在的区间是（ A． （0，1） B． （1，3） C． （﹣∞，0） D． （3，+∞）
A．向左平移 变 B．向左平移 变 C．向左平移 变 D．向左平移 变
个单位长度．再把所得点的横坐标伸长到原来的 2 倍．纵坐标不
个单位长度．再把所得点的横坐标缩短到原来的 倍．纵坐标不
个单位长度．再把所得点的横坐标伸长到原来的 2 倍．纵坐标不
个单位长度．再把所得点的横坐标缩短到原来的 倍．纵坐标不
9． （3.00 分）若 α、β∈[﹣ 是（ A．α＞β ）
，
]，且 αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的
B．α+β＞0 C．α＜β
D．α2＞β2
10． （3.00 分）如图，函数 y=log24x 图象上的两点 A，B 和 y=log2x 上的点 C，线 段 AC 平行于 y 轴，三角形 ABC 为正三角形时，点 B 的坐标为（p，q） ，则 p2× 2q=（ ）
3． （3.00 分）函数 f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为（
12． （4.00 分）设
，则
的值为
．
13． （4.00 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时 f（x）=ex+a， 若 f（x）在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是 14． （4.00 分）函数 ． 的值域是 ．
15． （4.00 分）已知 f（x）是定义在 R 上的增函数，且对于任意 x∈R，都有 f[f （x）﹣2x]=3，则 f（3）= ．
2． （3.00 分）下列四个关系式中，正确的是（ A．∅∈{a} B．a∉{a，b}
C．b⊆ {a，b} D．{a}⊆ {a，b} ）
3． （3.00 分）函数 f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为（
A． （0，+∞） B．[0，+∞） C．[1，+∞） D． （0，1） 4． （3.00 分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上是增函数的为（ A．y=lnx B．y=3x C．y=sinx D．y=x2 ） ）
【解答】解：∵α 的终边经过点 P（4，﹣3） ， ∴r=5， 则 cosα= = ， 故选：A．
2． （3.00 分）下列四个关系式中，正确的是（ A．∅∈{a} B．a∉{a，b}
）
C．b⊆ {a，b} D．{a}⊆ {a，b}
【解答】解：对于 A：∅∈{a}，空集是任何非集合的真子集，符合用“⊆ 或⊊”， ∴A 不对． 对于 B：元素与集合的关系是属于或者不属于，二者必选其一．a∈{a，b}，∴B 不对． 对于 C：b 与{a，b}是集合与元素之间的关系，符号用“∈”，∴C 不对． 对于 D：{a}⊆ {a，b}是集合与集合的关系，是子集关系．∴D 对． 故选：D．
2015-2016 学年浙江省杭州市上城区源清中学高一（上）期末数 学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求） 1． （3.00 分）解 α 的终边过点 P（4，﹣3） ，则 cosα 的值为（ A． B． C．4 D．﹣3 ） ）