浙江省杭州市高一上学期期末数学试卷
浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．C ．D ．sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.sin α=cos α=【详解】解：由三角函数的定义可知，，sin αcos 0α=>故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)yx xααα===≠2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若，而不能推出，0,1a b ==-b >201a b=<=b >2a b >当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >，b >所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.2124162S =⨯⨯=故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．B ．C ．D ．0.5v t =()20.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．20222022-【答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，(2)(0)0f f =-=.(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）()ay x b x c =--A ．，，B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =C ．，，D ．，，a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为()ay x b x c =--{},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>ay x x c=-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，0,0b c >=()ay x b x =-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=因为，所以，即，2=233=23332log 2log 33<=23<a因为，即，，4=2310=232lg 4lg103<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<b 故选：B【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数，若关于的方程（）有三个不()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2123222f x f x f x +++A ． B ．C ．D ．42()22a +2a +【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实()f x t =()()202f x a f x ++=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由123,,x x x ()22220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222tt =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩令，则有两个不等的实数根，，()f x t =()22220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++， ()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++. ()2224244a a =+--+=故选：A二、多选题9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=A ．B 1ab ≤≤C ．D ．222a b +≥212a b+>【答案】ACD【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故D 正确； 312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC【分析】是周期为的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +ma()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.n ()f x π,()g x【详解】设周期为周期为，，()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +ma 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af xb af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单π2=ωπ2ϕ=()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；22T ∴=4T =2π4ω=π2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π2ϕ=-选项B 错误；对于C ，综上或者，()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.12．设函数若存在，使得()()4,,f x x t g x x=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，则t 的值可能是（ ）121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】BCD【分析】根据题意可得，令112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在使得*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4y x x=+(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.13a =-y =【详解】由幂函数，可得，解得，即3y x αα=-31α-=13a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3cos π25θ+=tan θ=【答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；()3cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++解得或，tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．【答案】##37.5752【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，110m 120m 所以，解得，12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩55,65A k ==因为每转一圈，所以，， 30min 2π30T ω==15πω=当时，，所以，所以可取，0=t 10h =sin 1ϕ=-π2ϕ=-所以，ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当时，5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +【答案】[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，1a ≤-()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤12a ≥-同理，当，在上递减，1a ≥()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--12a ≤当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤由此得，的取值范围是.a b +[当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=故答案为:[四、解答题 17．已知.sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，(1)求的值;tan α(2)若，求角.()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.【详解】（1）解：因为，sin cos 3sin cos αααα+=-所以，解得；tan 13tan 1αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，tan 2α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， 22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩解得， sin αα==又，所以，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因()sin αβ-=()cos αβ-==则 ()sin sin βααβ=--==⎡⎤⎣⎦所以.4πβ=18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以，{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数，其中常数．()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间12()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由题设，将函数的图象向左平移个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦要使最小，则，b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，即的最小值为． 30143π6x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，30100x <<， ()180029040f x x x=+->即，2659000x x -+>解得或，20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，（2）当时，030x <≤； ()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-当时，30100x <<； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴； ()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；032.5x <<()g x 当时，单调递增；32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由得； []1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；2a =121x x ==-当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32a >若是原方程的解，当且仅当，即，2x 2110a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。
2023届浙江省杭州市示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
解得： ，
即函数 的单调递减区间为： ， ；
Ⅱ 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，
得 ，
又 ，即 ，
由 ， ，
得： ， ，
由诱导公式可得 ，
所以 ，
所以 ，
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换，涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题，属于中档题
17．（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ， 是第四象限角， ， ，求 .
18．已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值
19．求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，且当 ， 时， ，求 的值
【详解】由题知， ，
则 恒成立，即 ， ，
又定义域应关于原点对称，则 ，解得 ，
因此 ， ，易知函数 单增，
故 等价于
即 ，解得
故答案为：
14、23
【解析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设， ， ，
所以 ， .
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
【详解】解： ，
弧长 cm
故选：D
2、B
【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ ， 是4的倍数”的否定为“ ， 不是4的倍数”
故选：B
3、A
【解析】显然这个问题需要求交集.
【详解】对于： ， ；
对于： ， ；
故答案为：A.
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，且l1∥l2 ，则m=（）A .B .C . 3D . -32. （2分）函数的定义域为（）A . {x|1＜x≤4}B . {x|1＜x≤4，且x≠2}C . {x|1≤x≤4，且x≠2}D . {x|x≥4}3. （2分） (2016高一上·舟山期末) 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A . α内的所有直线都与a异面B . α内的直线都与a相交C . α内不存在与a平行的直线D . 直线a与平面α有公共点4. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A .B . 2C .D . 35. （2分）已知实数a=ln（lnπ），b=lnπ，c=2lnπ ，则a，b，c的大小关系为（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜a＜cD . c＜a＜b6. （2分） (2016高二上·温州期中) 函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，fn+1（x）=f（fn（x）），已知函数g（x）=fm（x）﹣x有8个零点，则m的值为（）A . 8B . 4C . 3D . 27. （2分）函数y=lg（x2﹣2x+a）的值域不可能是（）A . （﹣∞，0]B . [0，+∞）C . [1，+∞）D . R8. （2分）三个数大小的顺序是（）A .B .C .D .9. （2分）已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A . 15πB .C .D . 6π10. （2分）(2017·陆川模拟) 如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 8B .C . 16D . 3211. （2分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x＞0），则{x|f（x﹣1）＞0}等于（）A . {x|x＞3}B . {x|﹣1＜x＜1}C . {x|﹣1＜x＜1或x＞3}D . {x|x＜﹣1}12. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A . 2B . 4C . 5D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知集合A={x| ∈N* ，x∈Z}，用列举法表示为________．14. （1分） (2018高二下·定远期末) 已知幂函数，若，则的取值范围为________．15. （1分）过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.16. （1分） (2018高一下·唐山期末) 公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列，则数列的前7项和为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·杭州期中) 已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18. （10分） (2016高一上·叶县期中) 化简求值：（1）（7+4 ）﹣81 +32 ﹣2×（） + ×（4 ）﹣1（2）（log62）2+（log63）2+3log62×（log6 ﹣ log62）．19. （5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．20. （5分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（2，1），C（1，0）．（Ⅰ）判定三角形ABC形状；（Ⅱ）求过点A且在x轴和在y轴上截距互为倒数的直线方程；（Ⅲ）已知l是过点A的直线，点C到直线l的距离为2，求直线l的方程．21. （15分） (2018高三下·滨海模拟) 如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面 .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.22. （5分） (2017高一下·正定期中) 已知函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、。
2022-2023学年浙江省杭州地区数学高一上期末达标检测试题含解析
A.甲比乙的极差大 B.乙的中位数是 18 C.甲的平均数比乙的大 D.乙的众数是 21
时，
.则
（）
A.2
B.1
C.-1
D.-2
9． sin2 75 cos2 75 的值是 ( )
A. 1
B. 3
2
2
C. 1 2
D. 3 2
10．若 tan 3， tan 5，则 tan 的值为 ( )
A. 1 8
B. 4 7
1
C.
D. 1
2
7
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断 A；找出乙中间的两位数即可判断 B；分 别求出甲、乙的平均数判断 C；观察乙中数据即可判断 D；
【详解】对于 A，由茎叶图可知，甲的极差为 37 8 29 ，乙的极差为 23 9 14 ，故 A 正确；
对于 B，乙中间两位数为18,19 ，故中位数为 18 19 18.5 ，故 B 错误； 2
对于 C，甲的平均数为 8 12 13 20 22 24 25 26 27 37 21.4 ， 10
乙的平均数为 9 1113 14 18 19 20 21 21 23 16.9 ，故 C 正确； 10
杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷(共五套)
2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ）A ．20B ．40C ．60D ．807．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂= 故选：B2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b <<+故选：C.6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立，而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b aa b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立；综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x ()g x 的零点个数为2． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)(sin 2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++222(3)1(3)1(3)⨯--+-==+-． 14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--； （2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=，又02πβ<<，∴3πβ=.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k Z ∈.（2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x x a aa a ----=⋅+⋅++，整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x x f x -==-++，由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>，又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数，所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈，整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-， 综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.函数的单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ．6．已知，，则等于（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan αA.B. 或C.或 D.7．设sin 5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35± B ．35C ．35D ．以上都不对10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为34-34-43-344335()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<___________．14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的单调递增区间. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式；（2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5【答案】A 【解析】2(3)3359351f =--=--=，1(1)121f =-=-，即()3(1)1f f f ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3x x<，即23log log x x <，B 正确；13x =时，13112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错； 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误． 故选：B ．4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，15()cos 215xxf x x -=-⋅+， 15()cos(2)15x xf x x ---∴-=-⋅-=+51cos 2()51x x x f x --⋅=-+，则函数()f x 为奇函数，排除AC ；又33152cos 03315f ππππ-⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭+，排除B. 故选：D. 5.函数的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增， 故选：A6．已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或D.【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，，∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：． 故选：A ． 7．设sin5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞20x ->2x <2t x =-2t x =-(,2)-∞12log y t =(0,)+∞12()log (2)f x x =-(,2)-∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan α34-34-43-3443352παπ<<1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα=-<sin 0α<cos 0α>22sin cos 1αα+=221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭4cos 5α=35-143sin 555α=-=-3tan 4α=-A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c a b <<. 故选：C.8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即. 本题选择C 选项.9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对【答案】A()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<【解析】α在第二象限内，sin 0α∴>，cos 0α<， 由225sinsin 240αα+-=得：()()25sin 24sin 10αα-+=，解得：24sin 25α=，7cos 25α∴==-，即272cos 1225α-=-，29cos 225α∴=， α在第二象限内，2α∴为第一或第三象限角，3cos25α∴=±. 故选：A .10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】函数()()()()221sin 1sin 2cos cos 2cos cos 11f x x x x x x x =-++=+=+-，()()()()22cos 2cos cos 2cos x x f x f x x x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，①正确； 令cos t x =在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，()()22211y f t t t t ==+=+-在[]1,1t ∈-上递增，根据复合函数单调性可知()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，②正确；()()211y f t t ==+-，[]1,1t ∈-，则1t =-时，最小值为-1，1t =时，最大值为3，④正确；令()()2110f t t =+-=得0t =或2t =-（舍去），即cos 0t x ==，则2()2x k k Z ππ=+∈，()f x 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数()()3,0,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34 725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725.15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ；图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入，得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】 【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====， 所以66612log 2log 3log (23)1a b +=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：1.17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤≤综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a【答案】（1）；（2）． 【解析】对于命题，所以，解得， 对于命题因为，所以解得， （1）当时，因为和均为真命题，所以，解得，故的取值范围为； （2）因为是的充分不必要条件，所以 ，即，解得，故的取值范围为.结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和. 【解析】（1）当时，，，[2,3)[2,)+∞:p 1<20log (1)1x ≤-<23x ≤<:q 2221x x a -<-22210x x a -+-<11a x a -<<+2a =:13q x -<<p q 2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩23x ≤<x [2,3)p q [2,3)(1,1)a a -+1213a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥a [2,)+∞p q q p p q p q p q p q p q q p ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π4⎡⎤-⎣⎦70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦583,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 332x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.令，，解得，，函数的单调递增区间为. 又，故所求单调递增区间为和. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，函数，令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，可得， 因为，可得，所以， ()[f x ∴∈-()f x 12π4sin 31212f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()4sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭32222122k x k πππππ-+-+k ∈Z 5474183183k k xππππ-++k ∈Z ∴()g x 5474,()183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z [0,2]x π70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈410()2sin cos 2f x x x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222,232k x k k ππ-+π≤+≤+π∈Z 5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈()035f x =0π3sin 235x 0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式； （2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）是定义在上的奇函数，且当时，，，解得，当时，. 则当时，，， ，. （2）由（1）知，当时，， 可化为， 整理得.令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数. ，又关于x 的方程在上有解，故实数m 的取值范围是.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00cos 2cos sin 2sin 3333x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43xxf x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23xxf x m --=⋅+[2,1]--11()34x x f x =-[3,0)x ∈-17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅00(0)4310f a a ∴=+⋅=+=1a =-[0,3]x ∈()43xxf x =-[3,0)x ∈-(0,3]x -∈11()43()43x x x x f x f x --∴-=-=-=-11()34x xf x ∴=-[3,0)x ∈-[2,1]x ∈--11()34x xf x =-1()23x x f x m --∴=⋅+1112334x xx xm ---=⋅+12223xxm ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x [2,1]--17()52g x ∴-≤≤-1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0． 【解析】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等式可得：或；当时，不等式可化为，显然恒成立，所以解集为； 当时，解不等式可得：或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当或时，是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以；当时，． 综上，的最小值为0．2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =()()f x g x ≥()22240x a x a +--≥()()220x x a +-≥1a <-2x a ≤2x ≥-1a =-()220x +≥R 1a >-2x -≤2x a ≥1a <-(][),22,a -∞⋃-+∞1a =-R 1a >-(][),22,a -∞-⋃+∞()(][)()22,,22,24,2,2x x x a H x ax a x a ⎧+∈-∞-⋃+∞⎪=⎨+∈-⎪⎩2x -≤2x a ≥()22H x x x =+1x =-()22H x x x =+(],2-∞-[)2,a +∞()20H -=()()2244410H a a a a a =+=+>()min 0H x =22x a -<<()()24220H x ax a a x =+=+>()H x项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．4．设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<5．已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．50-B．50C．50-D．506．函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.12．设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示） 13．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．14．设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.16．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．()22xx af x =-()1()f x ()2()0,x ∈+∞()24x f x m ->⋅+19．已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.20．已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数. 则，即 ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()f x ()()22f f =-()f x (]1-∞-，()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
浙江杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合，则（ ） {}0,1,2,3,4U ={}12A x U x =∈-<U A =ðA ． B ．C ．D ．{}13x x -<<{}13x x -≤≤{}3,4{}0,1,2【答案】C【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解 A 【详解】由可得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<因为全集，所以， {}0,1,2,3,4U ={}{}12{|13}0,1,2A x U x x U x =∈-<=∈-<<=所以. {}3,4U A =ð故选：C.2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>2230x x ++>A ．， B ．， 0x ∀>2230x x ++<0x ∃>2230x x ++≤C ．， D ．，0x ∃<2230x x ++<0x ∀>2230x x ++≤【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果.【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，. 0x ∃>2230x x ++≤故选:B3．不等式的解集为（ ）2210x x +-<A ．B ．或C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12x x ⎧<-⎨⎩}1x >112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-12x ⎫>⎬⎭【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 2210x x +-<即，得， ()()2110x x -+<112x -<<所以不等式的解集为. 2210x x +-<112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.4．已知，，则（ ）π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭2sin 2cos 21αα=+tan α=A ．B ．C ．D 131214【答案】B【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，2sin 2cos 21αα=+24sin cos 2cos ααα=π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭cos 0α≠12sin cos tan 2ααα=⇒=故选:B5．已知幂函数在上是减函数，则n 的值为（ ）()()22222nnf x n n x-=+-⋅()0,∞+A ． B ．1C ．3D ．1或3-3-【答案】B【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的3n =-1n =()0,∞+条件.【详解】因为函数是幂函数，则， ()f x 2221+-=n n 所以或.3n =-1n =当时，在上是增函数，不合题意.3n =-()15f x x =()0,∞+当时在上是减函数，成立.1n =()1f x x -=()0,∞+故选：B.6．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ） ()f x ()0,∞+()30f -=()0xf x <A ． B ． C ． D ．()()3,01,-+∞ ()(),30,3-∞-⋃()(),33,-∞-+∞ ()()3,00,3- 【答案】D【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得()30f =()f x (),0∞-()0x f x ⋅<出且或且，最后取并集． 0x <()0f x >0x >()0f x <【详解】解：函数为奇函数， ()f x ，，()()330f f ∴-=-=()30f ∴=函数在上是增函数，函数在上是增函数，()0,∞+∴(),0∞-所以当或时，当或时，3x >30x -<<()0f x >3x <-03x <<()0f x <对于，∴()0x f x ⋅<则或，()00x f x <⎧⎨>⎩()00x f x >⎧⎨<⎩解得或30x -<<03x <<的取值范围是．x ∴()()3,00,3- 故选：D ．7．已知函数关于对称，当时，恒成立，设()f x 1x =121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3c f =A ． B ．C ．D ．b ac <<c b a <<b<c<a a b c <<【答案】A【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较()f x 1x =1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小即可.【详解】因为函数关于对称， ()f x 1x =所以函数的图象关于对称， ()1f x +0x =即函数为偶函数， ()1f x +所以，()()11f x f x +=-+所以，1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为当时，恒成立， 121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦所以函数在上单调递增， ()f x ()1+∞，又，所以， 35322<<()35322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， b a c <<故选：A.8．若，，且，则的最小值为（ ） 0x >0y >11112x x y+=++42x y +A ．4B ．C ．D ．1+4+【答案】C【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再1,2x a x y b +=+=111a b+=()411a b a -+-+结合基本不等式可求最小值.【详解】设，则，且，1,2x a x y b +=+=1,21x a y b a =-=-+0,0a b >>题目转化为已知，求的最小值， 111a b+=()411a b a -+-+即，()4241133x y a b a a b +=-+-+=+-而， ()11333444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等式成立. 3a b b a =1a b ==所以. 4233431x y a b +=+-≥+-=+故选：C.二、多选题9．将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x ()g x 为奇函数，则φ的可能值为（ ） A ． B ．C ．D ．12π-6π512π23π【答案】AC【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由()226g x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()g x 求解.2,Z 6k k πϕπ--=∈【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，()()22266g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数为奇函数， ()g x 所以，解得， 2,Z 6k k πϕπ--=∈,Z 212k k ππϕ=--∈所以φ的可能值为或， 12π-512π故选：AC10．已知实数a ，b 满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） 1a b >>A ． B ．C ．D ．23ab b >11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 1b a >【答案】ABD【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞断；D.利用对数函数的单调性判断.【详解】对于A ，因为实数a ，b 满足， 1a b >>所以，则，故A 正确； 21b >23ab b >对于B ，由可得，所以，故B 正确； 1a b >>1ab >()11110a b a b a b ab ⎛⎫+--=--> ⎪⎝⎭对于C ，由在上递减，所以，故C 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，由在上递增，所以，故D 正确， log b y x =()0,∞+log log 1b b a b >=故选：ABD11．狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x 与y 之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数A ．是偶函数B ．C ．D ．()D x ()()2D x D x +=(()D x D x =()()1D D x =【答案】ABD【分析】A. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；B. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；C.由 D. 分x 是有理数和无理数讨论求解判断.x =【详解】A. 当x 是有理数，则-x 是有理数，当x 是无理数，则-x 是无理数，所以，()()D x D x -=则是偶函数，故正确；()D x B. 当x 是有理数，则x +2有理数，当x 是无理数，则x +2是无理数，所以，故正()()2D x D x +=确；C.当 ， ，故错误；x =(()01D x D +==()(0D x D ==D. 当x 是有理数时，，当x 是无理数时，，故正确， ()()()11D D x D ==()()()01D D x D ==故选：ABD12．已知函数，若关于x 的方程有5个不同的224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩()()244230f x a f x a -⋅++=实根，则实数a 的取值可以为（ ）A ．B ．C ．D ． 76-1712-54-3730-【答案】ABCD【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根()f x ()f x 的分布列出不等式求解即可．【详解】作出函数的图象如下：224,0()21,0x x x xf x x -⎧+<=⎨-≥⎩因为关于的方程有5个不同的实根， x 24()4()230f x a f x a -⋅++=令，则方程有2个不同的实根， ()t f x =244230t at a -++=12,t t 则，解得或， 21616(23)0a a ∆=-+>1a <-3a >若，则或， 12t t <12210t t -<≤-<<1210t t -<<=令，2()4423g t t at a =-++或， ()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪∴-=+≤⎨⎪=+>⎩230a +=解得，得；()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪-=+≤⎨⎪=+>⎩3726a -<≤-当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去； 230a +=32a =-2460t t +=20t =132t =-综上可得. 3726a -<≤-故选：ABCD.三、填空题13．已知，则的最小值是______________．0x >14x x+【答案】4【分析】利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，0x >所以，144x x +≥=当且仅当，即时等号成立，14x x =12x =所以的最小值为，14x x+4故答案为：. 414______________．=【答案】4-【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.. ()2sin 10302sin 20411sin 20sin 2022︒-︒-︒===-︒︒故答案为：.4-15．若，则函数在上的值域是______________．()221x f x x =+[]0,1x ∈【答案】[]0,1【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.[]0,1【详解】， ()()()()222141222214111x x x f x x x x x +-++===++-+++任取，，且，1x []20,1x ∈12x x <则， ()()()()()()221212121222111222201111x x x x x x x x f x x x x x f x -++-=<+-+=++所以，()()12f x f x <所以函数在上单调递增， ()f x []0,1则，， ()()min 00f x f ==()()max 11f x f ==所以函数在上的值域是. []0,1x ∈[]0,1故答案为：.[]0,116．定义在R 上的单调函数满足：，若()f u ()()()f u v f u f v +=+在上有零点，则a 的取值范围是______________()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-【答案】4a ≤-【分析】利用是奇函数且在R 上的单调，转化为在上有解，()f u 2sin sin cos 3a u u u =--+()π,0-再进行参数分离求解即可.【详解】令,则,则； 0u v ==(0)2(0)f f =(0)0f =再令,则有v u =-，且定义域为R . ()()()0f u u f u f u -=+-=()f x 是奇函数.()f x ∴在上有零点.()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-在上有解；()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=()π,0-在上有解； ()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+()π,0-又∵函数是R 上的单调函数,()f x 在上有解. 2sin sin cos 3a u u u ∴=--+()π,0-，；()π,0u ∈- sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u --+-++∴===+-令, [)sin ,1,0t u t =∈-则； 21a t t=+-在上单调递减, 2y t t=+[)1,0-，.3y ∴≤-4a ≤-故答案为：.4a ≤-四、解答题 17．计算：(1))()10211610.259-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)．25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+【答案】(1)23-(2) 6【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可.【详解】（1）原式 4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=18．已知．()2ππ22sin 1224f x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的周期；()f x (2)求在区间上的最小值；()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) π(2) 3-【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可； ()f x （2）利用三角函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），()2ππππ22sin 2cos 2112241212f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，()πππ2sin 212sin 211264f x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由，3π3π,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，所以，3π3π2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7π5π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当，[]π24sin 1,1x ⎛⎫- ⎪⎝∈-⎭则，[]π2sin 213,14x ⎛⎫---∈- ⎪⎝⎭即在区间上的最小值为.()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3-19．已知集合，．{}2340A x x x =--<{}2B x a x a =<<+(1)若时，求，；2a =-A B ⋃()U A B ⋂ð(2)若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． x B ∈x A ∈【答案】(1)；； {}24A B x x ⋃=-<<(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð(2) []1,2-【分析】（1）解二次不等式化简集合A ，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得； 2a =-B （2）由题设条件得到是A 的真子集，列不等式组即可求得结果. B 【详解】（1）因为，所以，2a =-{}{}220B x a x a x x =<<+=-<<又因为，{}{}234014A x x x x x =--<=-<<所以，或， {}24A B x x ⋃=-<<{R 1A x x =≤-ð}4x ≥故；(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð（2）因为是的充分不必要条件，所以是A 的真子集， x B ∈x A ∈B 因为，{}2B x a x a =<<+≠∅所以或，124a a ≥-⎧⎨+<⎩124a a >-⎧⎨+≤⎩解得， 12a -≤≤所以.[]1,2a ∈-20．如图所示，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．(1)试确定点P 距离地面的高度h （单位：m ）关于旋转时间t （单位：min ）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70m ？【答案】(1)π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)min 43【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min 内转过的角度为，OP t π2t 再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，可得，即可求得结果. π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>()2244Z 33k t k k -++∈<<【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系，根据题意可得在 min 内转过的角度为， OP t 2ππ42t t =设为点在时间内转过的角度，所以； αP t π2t α=以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为， x 1OP 1OP ππ22t +因此点的纵坐标为， 1P ππ40sin 22t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为， ππ5040sin 22h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化简得 π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）当时， π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>解得， ()2244Z 33k t k k -++∈<<又在一圈内，所以符合题意i 的时间段为或， 04t ≤≤203t ≤<1043t <≤即在摩天轮转动一圈内，有min 点距离地面超过70m. 43P 21．已知是偶函数，是奇函数．()()ln e 1x f x mx =++()e e x x g x n -=-(1)求，的值；m n (2)用定义证明的在上单调递增；()g x (),-∞+∞(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．()()()g f x g a x >-[)1,+∞a【答案】(1)， 12m =-1n =(2)证明见解析(3) ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；m n （2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数()()()g f x g a x >-[)1,+∞a 的取值范围．【详解】（1）解：因为是偶函数，()()ln e 1x f x mx =++所以，即，()()f x f x -=()()0f x f x --=则，即，()()ln e 1ln e 10x x mx mx -+--+-=()()ln e 12ln e 10x x x mx +---+=所以，即，解得． ()210m x --=210m --=12m =-若是奇函数，()e e x x g x n -=-又定义域为，则，即，解得；()e e x x g x n -=-(),-∞+∞()00g =10n -=1n =此时，则，符合题意； ()e e x x g x -=-()()()e e e e x x x x g x g x ---=-=--=-（2）设任意的且，12,R x x ∈12x x <则 ()()()1122112212e e e e e e e e x x x x x x x x g x g x -----=----+=- 12121e e e1e x x x x +--= ()1212e e e 1e 1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝-⎭= ()211212e e e e e ex x x x x x --=-， ()()1212121212e e e e e e e e e 11e 1x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭+⎝--⎭+因为，所以，所以，则，12x x <120e e x x <<12e e 0x x -<()()120g x g x -<所以，()()12g x g x <即的在上单调递增.()g x (),-∞+∞（3）解：由（2）知单调递增，()g x 则不等式在上恒成立，()()()g f x g a x >-[)1,+∞等价于在上恒成立，()f x a x >-[)1,∞＋即在上恒成立， ()1ln e 12x x a x +->-[)1,+∞则， ()1ln e 12x a x <++设，，因为、、在定义域上单调递增， ()()1ln e 12x m x x =++[)1,x ∞∈+e 1x y =+ln y x =12y x =所以在上单调递增，()m x [)1,+∞∴， ()()()11ln 1e 2m x m ≥=++则， ()1ln 1e 2a <++所以实数的取值范围是． a ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,22．如图，已知△ABC 中，，，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做10AB AC ==16BC =BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为（如图阴影部分），设，的面积为，ΩBP x =Ω()S xΩ的周长为．()L x(1)求和的解析式；()S x ()L x (2)记，求的最大值．()()()S x F x L x =()F x 【答案】(1)，； ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩(2)的最大值为．()F x 12-【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长； 08x <≤816x <≤（2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值即可.()F x 08x <≤816x <≤【详解】（1）设垂线l 与相交于点，,AB AC M 作△ABC 的高AD ，，，则，10AB AC ==16BC =6AD =当，，所以，，，08x <≤~ABD MBP A A 54MB x =3=4PM x 21133()2248S x BP MP x x x =⋅=⋅=. 35()++344L x x x x x ==当，，所以，816x <≤~ADC MPC A A 3=(16)4PM x -510(16)4AM x =--， 2213()616(1683824218)S x x x x -==⨯---⨯+； 533()1010(16)(16)12442x L x x x x ⎡⎤=++--+-=+⎢⎥⎣⎦所以， ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩； ()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）当时，，的最大值． 08x <≤()1()1()8S x F x x L x ==≤()F x 1当时，， 816x <≤22()3963821296432128(4))3(S x x x x x F L x x x x +-+-+-==+-= ()()222488888448131281()44x x x x F x x x ++++=-⨯=--+-+⨯()()1481448()84812484F x x x ⎣-⎡⎤=-++≤-=⎥+-⎢⎦当且仅当时等号成立；有最大值，8x =()Fx 12-又，121->故的最大值为．()F x 12-。
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浙江省杭州市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一上·丰台期中) 已知集合M={1，3，5，7}，集合N={2，5}，则M∩N=（）
A . {1，2，3，5，7}
B . {2}
C . {5}
D . {2，5}
2. （2分）定义两种运算：，则函数（）
A . 是奇函数
B . 是偶函数
C . 既是奇函数又是偶函数
D . 既不是奇函数又不是偶函数
3. （2分） (2017高一上·鸡西期末) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A . （1，10）
B . （5，6）
C . （10，12）
D . （20，24）
4. （2分） (2020高一下·林州月考) 已知，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·漳州期末) 若函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x1 ， x2 ，下列三个
式子：f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，f（）＞都恒成立，则f（x）可能是（）
A . f（x）=
B . f（x）=﹣x2
C . f（x）=﹣tanx
D . f（x）=|sinx|
6. （2分）对于函数)中任意的有如下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤.
当时，上述结论中正确结论的个数是（）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
7. （2分） (2017高二下·红桥期末) 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）
A . y=2x﹣1
B . y=
C . y=﹣（x﹣1）2
D . y=log （x﹣1）
8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 若函数f（x）=sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（）
A . [0， ]与[ ， ]
B . [ ， ]
C . [0， ]与[ ，π]
D . [0， ]与[ ， ]
9. （2分） (2017高三上·綦江期末) 已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0且a≠1）对∀x∈（0， ]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A . （0， ]
B . [ ，1）
C . （0， ]
D . [ ，]∪（1，+∞）
10. （2分）若α，β为锐角，tan（α+β）=3，，则α的值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（）
A . f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）
B . f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）
C . f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）
D . f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）
12. （2分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x ＞0）的零点个数为（）
A . 0
B . 1
C . 0或1
D . 无数个
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·定州开学考) 若A={x|2≤2x≤8}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=________．
14. （1分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）=3sin（2x+ ）的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：
①图象C关于点（，0）对称；
②图象C关于直线x= 对称；
③由图象C向右平移个单位长度可以得到y=3sin2x的图象；
④函数f（x）在区间（﹣，）内是减函数；
⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为．
其中正确的结论序号是________．（把你认为正确的结论序号都填上）
15. （1分） (2019高一上·汤原月考) 若函数的定义域是R ，则实数的取值范围是________.
16. （1分）定义运算，若，则2sin2θ+sinθcosθ的值是________．
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （5分）已知向量=（1，sinα），=（2，cosα），且∥，计算：．
18. （10分）已知函数y=x2﹣2|x|：（1）判断它的奇偶性；
【答案】解：由于该函数的定义域是R，
f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|═x2﹣2|x|=f（x），
故该函数是偶函数；
（1）画出函数的图象
（2）根据图象写出单调递增区间
19. （5分）(2017高三上·泰安期中) 在平面直角坐标系中，O为原点，
sinβ），0＜β＜α＜π．
（I）若 |；
（Ⅱ）设，求α，β的值．
20. （10分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，x∈R．
（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）写出该函数在R上的单调区间．
21. （5分）设a＞0为常数，已知函数f（x）=cos2（x﹣）+sin2（x﹣）+asin cos 的最大值为3，求a的值．
22. （10分）(2016·江苏) 已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）
设a=2,b= .
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）
若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、
21-1、22-1、
22-2、
第11 页共11 页。