初高中衔接数学及参考答案 (10)

3. 如图 3.3-10 ，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ， AE 1cm, EB 5cm, DEB 60o , 求 CD 的长。
图 3.3-10
4．若两圆的半径分别为 3 和 8，圆心ห้องสมุดไป่ตู้为 13，试求两圆的公切线的长度.
3．3．2 点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条 件的所有点组成的.例如，把长度为 r 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个 定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ；同时， 到定点的距离等于 r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定 长 r 的点的轨迹.
线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： （3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
例 3 ⊙O 过两个已知点 A 、 B ，圆心 O 的轨迹是什么？画出
它的图形.
分析 如图 3.3-11，如果以点 O 为圆心的圆经过点 A 、 B ，那
么OA = OB ；反过来，如果一个点 O 到 A 、 B 两点距离相等，
r2 - d 2 = ( AB )2 . 2
图 3.3-2
当直线与圆相切时，如图 3.3-3 ， PA, PB 为圆 O 的 切 线 ， 可 得 PA PB ， OA PA. ， 且 在 RtPOA 中 ， PO2 PA2 OA2 .
如 图 3.3-4 ， PT 为 圆 O 的 切 线 ， PAB 为 圆 O 的 割 线，我们可以证得 PAT PTB ，因而 PT 2 PA PB .
3．3 圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆，怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系？
图 3.3-1
观察图 3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离 d > r 时，直线和圆相离，如圆 O 与直线 l1 ；当圆心到直线的距离 d = r 时，直线和圆
设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r(R r) ，它们可能有哪几种位置关系？
图 3.3-7
观察图 3.3-7，两圆的圆心距为 O1O2 ，不难发现：当 O1O2 R r 时，两圆相
内切，如图（1）；当 O1O2 R r 时，两圆相外切，如图（2）；当 O1O2 R r 时，
两圆相内含，如图（3 ）；当 R r O1O2 R r 时，两圆相交，如图（4 ）；当
图 3.3-5
则由 OM - ON = 3 ，得 r2 - 9 - r2 - 24 = 3 ，解 得r = 5 .
图 3.3-6
（2）若 O 在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD= 2 6 ，
则由 OM + ON = 3 ，得 r2 - 9 + r2 - 24 = 3 ，无解. 综合得，圆的半径为 5.
相切，如圆 O 与直线 l2 ；当圆心到直线的距离 d < r 时，直线和圆相交，如圆 O
与直线 l3 .
在直线与圆相交时，设两个交点分别为 A、B.若直线 经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 3.3-2 ，连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直 于 这 条 弦 AB . 且 在 RtVOMA 中 ， OA 为 圆 的 半 径 r ， OM 为圆心到直线的距离 d ，MA 为弦长 AB 的一半，根 据勾股定理，有
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹. 这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上 的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合 条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： （1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过 来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下 面的轨迹： （2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分
即 OA = OB ，那么以 O 为圆心，OA 为半径的圆一定经过 A 、
B 两点.
图 3.3-11
这就是说，过 A 、 B 点的圆的圆心的轨迹，就是到 A 、 B 两点距离相等的点
OE OB2 BE2
OD 5cm, DE 1cm.
在 RtBDE 中，BE=3cm,DE=1cm, BD 10cm. 例 2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ，且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径. 解 设圆的半径为 r ，分两种情况（如图 3.3-6）： （1） 若 O 在两条平行线的外侧， 如图（1），AB=6，CD= 2 6 ，
O1O2 R r 时，两圆相外切，如图（5）.
例 3 设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2， O1O2 4 ， A, B 为两圆的交点，试求 两圆的公共弦 AB 的长度. 解 连 AB 交 O1O2 于 C ，
则 O1O2 AB ，且 C 为 AB 的中点，
设 AC x ， 则 O1C 9 x2 , O2C 4 x2 ,
图 3.3-3
例 1 如 图 3.3-5 ， 已 知 ⊙ O 的 半 径 OB=5cm ， 弦 AB=6cm，D 是 AB 的中点，求弦 BD 的长度。
图 3.3-4
解 连结 OD，交 AB 于点 E。
BD AD,O 是
圆
在
RtBOE 中
，
心
，
OB=5cm,BE=3cm,
OD B, BE AE 1 2
O1O2
9 x2
4 x2
4 ，解得 x 3
15 .
8
图 3.3-8
故弦 AB 的长为 2x 3 15 . 4
练习 1 1.如图 3.3-9，⊙O 的半径为 17cm，弦 AB=30cm，AB 所 对的劣弧和优弧的中点分别为 D、C，求弦 AC 和 BD 的 长。
图 3.3-9
2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半 径等于 5cm，求梯形 ABCD 的面积。