2.2.2事件的相互独立性(一)
教学设计5：2.2.2 事件的相互独立性
2．2.2事件的相互独立性三维目标1.知识与技能(1)理解相互独立事件的定义及意义．(2)掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．重点、难点重点：相互独立事件的概率．难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．教学时引导学生结合学习过的互斥事件、对立事件，不断比较、分析理解相互独立事件．再通过例题与练习进一步理解P(AB)＝P(A)P(B)．教学建议在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念，初学者容易混淆，建议教师在教学中要让学生对这两个概念进行比较，让学生在比较中得到提高．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解相互独立事件的概率．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握事件独立性的判断．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求相互独立事件同时发生的概率．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握相互独立事件的实际应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1．理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式．3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.知识1相互独立事件的概念与性质【问题导思】甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．(1)事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？(2)试求P (A )，P (B )，P (AB )．(3)P (B |A )与P (B )相等吗？(4)P (AB )与P (A )P (B )相等吗？【提示】 (1)不影响；(2)P (A )＝35， P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310； (3)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12， ∴P (B |A )＝P (B )；(4)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )， ∴P (AB )＝P (A )P (B )．1．相互独立的概念设A 、B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 类型1事件独立性的判断例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断．解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16. ∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．规律方法1．利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．变式训练一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球． 解 (1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23， ∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件． 类型2 相互独立事件发生的概率例2 面对H7N9流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【思路探究】 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值解 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13. (1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160. (2)他们都失败即事件A B C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)(1－14)(1－13) ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35. 规律方法在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .互动探究在例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率；(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪A B C )，故所求事件的概率为P ＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))P (C )＋(1－P (A ))·P (B )(1－P (C ))＋P (A )(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13) ＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝15＋215＋110＝1330. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )发生，故所求事件的概率为P (A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋215＋15＝56. 类型3 相互独立事件的实际应用例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【思路探究】 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值． 解 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. (1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D E F ，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率 P 1＝P (D E F ＋D E F ＋D E F )＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F ，且P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P 2＝1－P 1－P (D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.规律方法1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．变式训练有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验，求恰有一件不合格的概率．解 设从三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95,则P (A )＝0.10，P (B )＝P (C )＝0.05.因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率为0.176.间接法在相互独立事件概率中的应用典例 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【思路点拨】 本题可以从反面：甲、乙两人考试均不合格来考虑．【规范解答】 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A ，B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415， 且事件A ，B 相互独立．甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－23)(1－1415)＝145.故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 思维启迪求解此类问题的思路一般有两种：1．直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率，采用的是“各个击破”的方针．2．间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．课堂小结1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件 互斥事件 判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发 生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即AB ＝∅ 概率公式 A 与B 相互独立等价于P (AB )＝ P (A )·P (B ) 若A 与B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋ P (B )，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )·P (B )，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．当堂检测 1．若事件A 与B 相互独立，则下列不相互独立的事件为( )A ．A 与B B.A 与BC ．B 与BD ．B 与A【解析】 由相互独立性质知A 与B ，A 与B ，B 与A 也相互独立．【答案】 C2．若事件E 、F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )＝( ) A ．0 B.116 C.14 D.12【解析】 ∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116. 【答案】 B3．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．【解析】 P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.【答案】49 504．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中任取两件．(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件是正品的概率是多少？解分别用A、B表示从甲、乙机床的产品中抽得正品，C表示抽取的两件产品中恰有一件是正品，则C＝A B＋A B.由题意知，A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件．(1)P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)P(C)＝P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝0.96×(1－0.95)＋(1－0.96)×0.95＝0.086.。
§2.2.2事件的独立性
学案48 §2.2.2事件的独立性一、基础知识1、相互独立的概念设A 、B 是两个事件，如果=)|(A B P _______，则称事件A 与事件B 相互独立。
把这两个事件叫做相互独立事件 2、相互独立的性质（1）若事件A 与事件B 独立，那么=)|(A B P ____________，=)|(B A P __________，=⋂)(B A P ___________。
（2）如果事件A 与事件B 相互独立，那么_________与__________，_________与__________，_________与__________也都相互独立。
3、相互独立事件与互斥事件的区别二、例题分析例1 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
例2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： （1） 两人都投中的概率；（2） 其中恰有一人投中的概率； （3） 至少有一人投中的概率。
例3在一段线路中并联着三个独立自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。
假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
三、巩固练习1、袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回的摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是 （ ）A 、互斥事件B 、相互独立事件C 、对立事件D 、不相互独立事件2、两人打靶，甲击中的概率是0.8，乙击中的概率是为0.7，若两人同时射击同一目标，则他们都中靶的概率是 （ ）A 、0.56B 、0.48C 、0.75D 、0.63、某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他重复射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他第一、二次未击中，第三次击中的概率___________。
高中数学选修2-3课时作业2：2.2.2事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。
教学设计2：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2事件的相互独立性一．教学目标（一）教学知识点1.相互独立事件的意义.2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（二）能力训练要求1.理解相互独立事件的意义，注意弄清事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概率.2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（三）德育渗透目标1.培养学生分析问题、解决问题的能力.2.提高学生的科学素质.二．教学重点1.相互独立事件的概念：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.2.事件之间的“互斥”与“相互独立”的区别：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.A与也是相互独立事件.3.若事件A与B是相互独立事件，那么A与B，A与B，B4.相互独立事件同时发生的概率乘法公式：如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P（A1·A2·……·A n）=P（A1）·P（A2）·…·P（A n）三．教学难点事件的“相互独立性”的判定.四．教学过程1.复习回顾请同学回忆一下有关互斥事件的主要内容.互斥事件：不可能同时发生的事件.对立事件：不可能同时发生，且必有一事件发生.若A与B为互斥事件，则A、B中有一个发生的概率P（A+B）=P(A)+P（B）.若A与A为对立事件，则P(A)+P（A）=1.2.讲授新课现在，请同学们来看这样一个问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是多少？（引导学生分析）首先，我们发现，这一试验与我们前面所研究的试验有所不同的是：这里有两个坛子，从中分别取一球；可视为做一次试验，需分两步完成，且从一个坛子中取一球是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出一球是白球还是黑球没有任何影响.若记：“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”为事件A，记：“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”为事件B，则事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，也就是说事件A（或B）的发生是独立的，不受事件B（或A）的发生与否的限制.那么，我们不妨将象这样的事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件.例如，在上述问题中，事件A是指“从甲坛子中摸出1个球，得到黑球”，事件B是指“从乙坛子中摸出1个球，得到黑球”，不难判断，事件A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.看来，若记：“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，那么它的发生，就是事件A、B同时发生，不妨记作A· B.于是想要研究事件A·B发生的概率P（A· B），则需研究上述两个相互独立事件A、B同时发生的概率.请同学们根据我们所掌握的知识，试着分析……（也可分组讨论）从甲坛子中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子中摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球，根据分步计数原理，可知共有5×4种等可能的结果,表示如下（其中每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里取出的球的颜色）：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）在上面的5×4种结果中，从甲坛子里摸出白球的结果有3种，从乙坛子里摸出白球的结果有2种，同时摸出白球的结果有3×2种.因此，从两坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率P （A ·B ）=4523⨯⨯. 而，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P (A )=53，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率P （B ）=42. 不难发现，32534523⨯=⨯⨯.即：P （A ·B ）=P (A )·P （B ）. 也就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.进而可知：一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）例如，在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件A ，B 同时发生，可记作A ·B ，其概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）512152=⨯=. “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”同时发生的概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=512152=⨯. “从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到黑球”同时发生的概率 P （A ·B ）=P (A )·P （B ）=1032153=⨯ “从两个坛子里分别摸出1个球，得到1个白球和1个黑球”的概率为：P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得到两个白球或两个黑球”的概率为： P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得不到两个白球”的概率为 P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）1075110351=++=或1－P （A ·B ）=1－107103=. 3.课堂练习（回答）.“在先摸出白球的情况下，再摸出白球”，是从装有1个白球，2个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为31；“在先摸出黑球的情况下，再摸出白球”，是从装有2个白球，1个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为32. 这就是说，事件A 发生与否对事件B 发生的概率有影响，因此事件A 与B 不相互独立.4.课堂小结要学会对事件的“相互独立性”的判定.要会用相互独立事件同时发生的概率公式求一些事件的概率.5.课后作业（一）课本P 134习题10.7 1、2、3（二）1.预习：课本P 130~P 132五．板书设计六．教后记：。
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
人教版高中数学选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》
把“从乙坛子里摸出 1个 球，得到白球”叫做事件B
甲
没有影响
乙
事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则
称事件A与事件B相互独立.
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生
的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.
显然事件A“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生 的概率为：
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，
那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生
的概率的积，即
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·… · P（An）
(1)甲同学做错、乙同学做对. (2)甲、乙两同学同时做错. (3)甲、乙两同学中至少有一人做对. (4)甲、乙两同学中至多有一人做对. (5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
2.补全下列的表格：
概 率 意 义
相互独立事件同时发生的概率公式： 若A、B是相互独立事件，事件A,B同时发生，将
它记作AB.
(3)解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概
率是
解法2：两人都未击中的概率是
【提升总结】
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
探究点2
求相互独立事件同时发生的概率
教学设计6：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件，记为A∩B(或AB)；如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A ：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B ：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB .(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P (AB )＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P (AB )与P (A )、P (B )有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (A )＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (B )＝24.显然P (AB )＝P (A )P (B )． 继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A “从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B “从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P (B |A )＝P (B )，又P (B |A )＝P (AB )P (A )，易得：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )． 将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立．简证：若A与B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)．所以P(A B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)；P(A B)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝(1－P(A))P(B)＝P(A)P(B)；P(A B)＝P(A)－P(A B)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)；即A与B，A与B，A与B也相互独立．教师指出：定义表明如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．活动结果：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A 与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P ＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.变练演编在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P (C )[1－P (AB )]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.达标检测已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n ≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)2．解决概率问题的关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件．补充练习基础练习1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率是( ) A.12 B.25 C.35 D.1102．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A.160B.25C.35D.59603．两个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是________．【答案】1.D 2.C 3.0.190 512拓展练习某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1A 2A 3)＝910×89×18＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。
2.2.2事件的相互独立性(一)
精品课件
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率 (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次都中又靶∵”A与是B是指互“斥事事件件A.发生且事件B发生” 即
30
精品课件
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分
别
为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是
_6_..某系统由A,B,C三个元件组成,
A
B
每个元件正常工作概率为P.
则系统正常工作的概率为P_+P_2-__P3
C
7.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为C_10_02_
高二数学 选修23
2.2.2事件的相互独 立性（一）
精品课件
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什
么？ P(A+B)=P(A)+(B)
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 精品课件
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中” 事件B表示“第2球罚中”.A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中” 事件B表示 “第2球罚中”A.与B不是互独事件
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我们是如何来理解这句话的？
从概率的角度，你能做出解释吗？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二解出问题的概率为0.45,老三解出问 题的概率为0.4,且每个人必须独立解 题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题； 事件 C：老三解出问题；事件 D：诸葛亮解出问题 P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) ② 公、 B 0 .45 , P(C ) .0.4 , P( D) 0.8 则运用的前提：事件 那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
事件的相互独立性
1、定义： 设A，B为两个事件，如果
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立。 即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A） 发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互 独立事件。
思考2：三张奖券只有一张可以中奖，现分
别由三名同学有放回地抽取，
事件A ：第一名同学没有抽到中奖奖券
A发生B不发生
A,B都不发生 A,B中恰有一个发生 A,B中至少有一个发生 A,B中至多有一个发生
1 P( A B) 1 P( A B)
引例的解决
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二解出问题的概 率为0.45,老三解出问题的概率为0.4,且每个 人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
答：男女两队双双夺冠的概率为0.63.
例2：面对H7N9病毒，各国医疗科研机构都在研究 疫苗，假设现有a,b两个独立的研究机构在一定的时 期内能研制出疫苗的概率分别是 1 , 1 （1）他们都研制出疫苗的概率；5 （2）他们都失败的概率； （3）只有一个机构研制出疫苗的概率； （4）至少有一个机构研制出疫苗的概率；
事件B ：最后一名同学抽到中奖奖券 (1)事件A的对立事件是什么？ A 第一名同学抽到中奖奖券 (2)事件B的对立事件是什么？ B 最后一名同学没有抽到中奖奖券
(3)观察分析4个事件，哪两个是相互独立的？
事件的相互独立性
2、性质：若事件A与B相互独立，那么
A与B, A与B, A与B也 相 互 独 立 。
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(A BC) 1 0.5 0.55 0.6 0.835 0.8 0.8 P( D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮.
解决问题
思考与探究
若某个臭皮匠的水平再差一点，如何？
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二解出问题的概率为0.45, 老三解出问题的概率为0.25,且每个人必须独立解题， 问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解 出的概率比较，谁大？
3.解题步骤：
①用恰当的字母标记事件；
②理清题意, 判断各事件之间的关系；
③根据公式解答。
名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设事件A：“第一位同学没有中奖”
事件B： “最后一名同学中奖”
事件A的发生会影响事件B发生的概率
P( AB) n( AB) 1 P(B A) P( A) n( A) 2
思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名
3、判断事件相互独立的方法
①定义法
②利用性质
③经验判断
判断下列事件是否是相互独立事件？
1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 事件A“第一枚为正面向上” 事件B“第二枚为正面向上”
是
2、袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球： 事件A：“第一次从中任取一个球是白球” 是 事件B：“第二次从中任取一个球是白球”
3、袋中有3个红球，2个白球，采取无放回的取球： 事件A：“第一次从中任取一个球是白球” 不是 事件B：“第二次从中任取一个球是白球”
相互独立事件同时发生的概率公式
1. 若A、B是相互独立事件，则有
P(A· B)= P(A)· P(B),
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，则有
P(A1· A2· …· An)= P(A1)· P(A2)· …· P(An)
4
（5）至多有一个机构研制出疫苗的概率。
变式：假设现有a,b,c三个独立的研究机构研制出疫
苗的概率分别是
1 1 1 , , 5 4 3
相互独立事件同时发生的概率与表示
概率 P( A B) 意义
A,B同时发生
A不发生B发生
P( A B)
P( A B) P( A B)
P( A B) P( A B)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例1：在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女 队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7, 那么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
P( AB) P( A) P( B) 0.9 0.7 0.63
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(A BC) 1 0.5 0.55 0.75 0.79375 0.8
0.8 P( D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 解决问题 诸葛亮.
1.事件的相互独立的定义：P(AB)=P(A)P(B) 2.相互独立事件同时发生的概率及其意义。
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) 0.5 0.45 0.4 1.35 P( A B C ) P( D) ①事件的概率
不可能大于1 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！
你认同以上的观点吗？
2.2.2事件的相互独立性
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？ 设事件A：“第一位同学没有中奖”
事件B: “最后一名同学中奖”
事件A的发生不会影响事件B发生的概率
P( B | A) P( B)
又 P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)