一元函数极限的求法
一元函数极限的求法
一元函数极限的求法一元函数的极限就是在函数定义域内某一点处接近这个点时，函数取值的趋势。
在数学分析中，极限是一个十分重要的概念，它用于定义连续性、收敛与发散、导数和积分等重要概念。
对于一元函数的极限的求法，我们可以通过直接代入法、极限的四则运算法则、夹挤定理以及极限的极限转换法等多种方法进行求解。
1. 直接代入法直接代入法是最基础的求解一元函数极限的方法，即将自变量的值逐渐逼近极点，观察函数在这个点附近的取值趋势，将自变量的取值代入函数中，求函数在该点的取值。
例如：求函数$f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$在$x=2$处的极限。
解：将$x=2$代入得$f(2)=\dfrac{1}{5}$，因此，$x=2$时$f(x)$的极限为$\dfrac{1}{5}$。
2. 极限的四则运算法则此法则是求解一元函数极限中的基本规则。
对于两个已知极限的函数进行加减、乘除运算时，可以直接套用极限的四则运算法则。
例如：求函数$f(x)=\dfrac{sinx}{x}$在$x=0$处的极限。
解：$lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}=lim_{x \to0}\dfrac{sinx}{x}\cdot\dfrac{1}{cosx}=lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}\cdot lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cosx}=1$，因此，$x=0$时$f(x)$的极限为$1$。
3. 夹挤定理当我们需要求一个函数在某一点处的极限值时，有时我们并不知道函数在该点处是否存在极限，因此我们引入夹挤定理，即用两个已知的存在极限的函数挤压住需要求的函数，从而求出该函数的极限值。
例如：求函数$f(x)=x^2sin\dfrac{1}{x}$在$x=0$处的极限。
解：$\lim_{x \to 0}(-x^2) \leq \lim_{x \to 0} x^2sin\dfrac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x^2$。
一元函数极限的求法
一元函数极限的求法可以利用洛必达法则求极限运用洛必达法则应注意以下几点首先要注意条件,也即是说,在没有化为时不可求导。
应用洛必达法则，要分别求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
拓展:函数极限则有趋于无穷的定义：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x 趋于+∞时以A为极限，记作：lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。
一元函数求极限的方法有：等价无穷小代换; 洛必达法则; 无穷小和有界函数的乘积仍为无穷小; 连续函数的极限值等于其函数值。
极限的定义:在数与数集之间,如果存在一个数使得这个数的所有有限次幂都小于或等于它自身,则称这个数为该数集的极限。
扩展资料：一元函数的定义域1. 一元函数是指只有自变量的连续变化过程而没有因变量变化的连续变化过程的集合。
例如直线上的点p1、p2、...、pn称为点1至点n关于直线l的一个端点组成的集合体——线段l1,l2,...,lm称为线段1的长度段L1,L2。
2. 点1至点n之间的长度关系是线段长度关系的特殊情况之一,因此我们说线段的长度关系中包含了点1至点和N的距离之间的关系——也就是包含了点1-N 的距离的关系。
3. 在平面直角坐标系中画一条水平线M1(m),将水平线上的所有点在M1(m)上标出后连成一条射线S1。
设S1=s0,S2=s1,S3=s2......Sn=s3,则M1(m)叫做点到线的距离单位A1。
数学分析中的一元函数极限与无穷小量
在数学分析中，一元函数的极限是一个核心概念。
它帮助我们理解函数在某一点附近的行为，并且是数学证明的基础。
与极限概念密切相关的是无穷小量。
本文将通过讨论一元函数的极限与无穷小量的概念与性质，来探索数学分析中这一重要主题。
首先，让我们来定义一元函数的极限。
设函数f(x)定义在某一点a的某个领域内，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么称函数f(x)在点a处的极限为L。
这个定义可以直观地解释为，当自变量x足够接近点a时，函数值f(x)也足够接近L。
我们用“lim(x→a)f(x) = L”表示函数f(x)在点a处的极限。
极限的性质是数学分析中的重要内容。
首先，函数在某一点的极限唯一，也就是说，如果lim(x→a)f(x)存在，则它是唯一确定的。
其次，函数在点a处的极限与f(a)的取值无关。
也就是说，lim(x→a)f(x)的取值只与f(x)在点a附近的值有关，与f(a)本身无关。
这个性质使得我们能够通过研究极限来理解函数的行为。
最后，如果lim(x→a)f(x) = L，那么对于函数f(x)的所有无穷小量x-a而言，它们的函数值f(x)也是无穷小量，且lim(x→a)f(x) = L。
接下来，我们来讨论无穷小量的概念。
如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么称函数f(x)在点a处为无穷小量。
无穷小量在数学分析中有着重要的作用。
首先，我们可以通过无穷小量来定义导数。
具体地说，如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么函数f(x)在点a处的导数为lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
其次，无穷小量具有线性性质，也就是说，如果函数f(x)和g(x)在点a处都是无穷小量，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)在点a处也是无穷小量。
这个性质为我们在分析问题时提供了便利。
从极限与无穷小量的概念与性质出发，我们可以进一步研究函数的连续性、可导性以及其它更高级的数学概念。
求一元函数极限的若干种方法
求一元函数极限（含数列）的若干种方法内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。
我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。
因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。
其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。
本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。
归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。
并列举了大量的实例加以说明。
关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则A number of ways to seek a function limit (including the number of columns)Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit.The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate.Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule目录1 综述 (1)1.1引言 (1)1.2极限的定义 (1)1.3极限问题的类型和方法概述 (1)2 常见的极限求解方法 (2)2.1运用极限的定义证明（估计法） (2)2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限 (3)2.3用两个重要的极限来求函数的极限 (6)2.4利用变量替换求极限 (7)2.5利用迫敛性来求极限 (8)2.6利用洛比达法则求函数的极限 (8)2.7利用泰勒公式求极限 (13)2.8利用微分中值定理和积分中值定理求极限 (14)2.9利用积分定义求极限 (14)2.10求极限其他常用方法 (17)3结论 (17)参考文献 (18)求一元函数极限（含数列）的若干种方法1综述1.1 引言极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。
高等数学极限知识点讲解
高等数学极限知识点讲解在数学的学习过程中，极限是一项非常重要且基础的概念。
它是研究函数和数列的性质时经常用到的一个数学工具。
本文将对高等数学中的极限知识点进行系统的讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
极限的概念在数学中，极限是研究函数在某一点附近的性质时的重要概念。
简而言之，当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的值或者无穷大，这个值就是极限。
通常用符号$\\lim$表示，表示当自变量趋于某一点时，函数的极限值。
一元函数的极限对于一元函数f(f)而言，其在f=f处的极限定义如下：$$ \\lim_ {x \\to a} f(x) = L $$其中f是一个常数，表示当f接近f时，f(f)的值趋近于f。
极限的性质重要性质1.极限的唯一性：函数在某一点的极限值唯一。
2.有界性：如果函数在某一点有极限，那么该函数在该点附近是有界的。
3.保号性：如果函数在某一点的左右极限值不相等，那么函数在该点不连续。
极限的运算1.一元函数极限的四则运算法则：两个可导函数的极限和、差、积、商的性质。
2.复合函数的极限：复合函数的极限等于内层函数的极限乘以外层函数的极限。
极限存在的条件极限存在的条件包括分式函数在极限点处不为零、边界点无穷远点等情况。
极限的计算方法无穷小与无穷大的比较当f趋于无穷大时，无穷小量与无穷大量的比较的方法。
夹逼准则夹逼准则是求解一些复杂极限的有效方法，通过找到比所求函数更简单的两个函数界，求出极限。
单调有界准则单调有界准则是判断函数是否有极限的一种方法，如果函数单调有界，那么函数一定有极限。
结语通过本文的讲解，读者应该对高等数学中极限的一些重要知识点有所理解。
极限是数学中的基础概念，对于理解函数的性质和数列的收敛性都有重要的意义。
希望读者能够认真学习并掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。
高等数学(一元微积分)04-求极限方法总结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 1)
8. 用等价无穷小量代换求极限
常用的等价无穷小量 : 当x 0时: (1)x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ ex 1; (2)1 cos x ~ x2 ;
2 (3)ex 1 ~ x; (4) ln(1 x) ~ x; (5)ax 1 ~ x ln a;
f
(
x)
1 x, x 2 1,
x
0 ,
求
lim
f ( x).
x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
5.利用无穷小运算性质求极限
例 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
sin x lim 0.
x x
y sin x x
6.利用左右极限求分段函数极限
例
设
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
3.消去零因子法 ( 0 型 ) 0
4.无穷小因子分出法求极限
(型)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
高数大一上知识点求极限
高数大一上知识点求极限在高等数学的学习过程中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
无论是在数学理论研究中还是在实际问题的应用中，求极限都有着广泛的应用。
本文将介绍高数大一上常见的一些知识点和方法，以帮助同学们更好地理解和掌握求极限的技巧。
1. 一元函数极限一元函数极限是指在给定函数下，当自变量无限趋近于某一特定值时，函数的极限值。
求解一元函数极限的方法主要有数列极限法、基本运算法则、夹逼准则等。
其中，数列极限法是非常常用的一种方法。
通过构造合适的数列，可以将函数的极限转化为数列极限的求解，从而简化问题的难度。
2. 无穷小与无穷大在求解极限的过程中，无穷小和无穷大是非常重要的概念。
无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于零的情况。
而无穷大则相反，是指函数值趋近于正无穷或负无穷的情况。
通过研究函数的无穷小和无穷大行为，可以更好地理解和求解极限。
3. 复合函数与复合极限复合函数是指将两个或多个函数通过运算符连接起来，形成一个新的函数。
复合极限是指在给定函数下，当自变量趋近于某一特定值时，复合函数的极限值。
求解复合极限的方法主要有代数法则、夹逼准则等。
通过灵活运用这些方法，可以解决各种复杂的极限问题。
4. 无穷极限无穷极限是指当自变量趋近于正无穷或负无穷时，函数极限的情况。
求解无穷极限的方法有很多种，如洛必达法则、泰勒展开等。
在应用中，可以通过这些方法快速求解复杂的无穷极限问题，为实际问题的分析提供了便利。
5. 一元函数连续性一元函数连续性是指在给定函数下，函数在某一点的极限值等于该点的函数值。
连续性是求极限的基础，通过连续性可以对函数在某一点的极限值进行预测和判断。
在求解一元函数极限时，连续性是一个重要的思维工具。
6. 高阶导数与泰勒展开高阶导数和泰勒展开是求解极限的重要工具。
通过对函数进行多次求导，可以得到函数的高阶导数，从而进一步研究函数的性质和求解极限。
泰勒展开则是利用函数在某一点的高阶导数信息，通过多项式逼近来求解函数在该点附近的极限值。
一元函数极限的求法
第 6 卷 第 5 期 淮北职业技术学院学报Vol . 6 No . 5例 x →3∞n2007 年 10 月J O U RN A L O F H U A I B EI PRO F ESSION A L A N D T EC HN ICAL COL L E GE Oct 1 2007一元函数极限的求法赵 冬(淮北职业技术学院 , 安徽 淮北 235000)摘要 :一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一 ,解题时要针对不同题型采取相应的求法 。
关键词 :一元函数 ;极限 ;求法 中图分类号 :O174 . 1 文献标识码 : A 文章编号 :167128275 (2007) 0520043202一元函数极限常见类型及求法归纳如下 :( x 2- 1) ( x + 1) : lim =一 、利用函数极限的四则运算法则求极限x →∞6 x 3+ x - 53 21 . 直接运用法则l im x + x - x - 1 =1x →∞ 26 x 3 + x - 5 6例 1 li mx - 5 x + 3 =x →2 2 x 3 - 3 x 2+ x - 4( 5) 先求和 , 再求极限法lim ( x 2 - 5 x + 3)例 lim1 + 1 + ⋯ +1=x →2lim ( 2 x 3 - 3 x 2 + x - 4) x →2=- 32n →∞1 ·21 2 ·31( n - 1) ·n1 12 . , 然limn →∞1-2+2 - 3+ ⋯ +1 - 1= lim1 -1 = 1( 1) n - 1 nn →∞n例 : = ( 6) 利用无穷大与无穷小的关系法x →) 例 : lim x - 1 = 0 lim x 2+ 1 =lim x - 1= 1x →1x 2 + 1x →1x - 1( 2) 通分法x →1 x ( x + 1) 2二 、利用无穷小量的性质无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量例 : 1=x ·s in x xx 1 - x 例 : li mx →+ ∞1 - x= limx →+ ∞ 1 - x·s in x = 0lim2 - ( 1 + x )x →1 ( 1 - x ) ( 1 + x ) = 12三 、幂指类函数求极限( 3) 根式有理化法 :分子有理化或分母有理化当自变量变化状态一致时如 果 lim f ( x ) = A , ( A ≠ 0) lim g ( x ) = B , 则例 1 li mx →12 - x - 1 =x 2 - 1lim [ f ( x ) ] g ( x ) = [ l i m f ( x ) ]lim g ( x )= A Bx → 例 : lim ( 2 x - 1) x →33 x - 7 =[ l im ( 2 x - 1) ] lim (3 x - 7)= 52= 25 x →= - 14x →3四 、利用等价无穷小替换法( 4) 分子分母同除以无穷大量法或根据结论lim a 0 x + a 1 x + ⋯ + a n=要熟记一些常见的等价无穷小量 如 : x →0 时 :sin x ～ x ta n x ～ xn n- 1 x →∞ b 0 x m + b 1 x m - 1 + ⋯ + b m0 , m > na rcsi n x ～ x a r cta n x ～ x2—a 0 , m = nb 01 - cos x ～ x2ln ( 1 + x ) ～ x∞, m < ne x - 1 ～ x 1 + x - 1 ～xn收稿日期 : 2007206225 作者简介 : 赵冬 ( 1973 - ) ,男 ,安徽淮北人 ,淮北职业技术学院讲师 。
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一元函数极限的求法摘要：本文用举例的方法来介绍函数极限的定义，函数极限的求解方法. 关键词：函数极限的定义；求解方法The soulution of function extremityAbstract:This article introduced some application of the definition of the function extremity ,the soulution of function extremity.Key Words:the definition of function extremity ；soulution前言极限是数学分析中最重要的概念之一，微分，积分等概念的引入，都与极限的概念密切相关.而这些概念引进后，利用这些知识又充实了求极限的方法。
本文主要通过一些具体例子来讨论函数极限的求解方法.1.一元函数极限的定义1.1x 趋于∞时的函数极限设函数f 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记为()lim x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.1.2 x 趋于0x 时函数的极限设函数f 在点0x 的某个空心邻域()0'0;U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→.2.一元函数极限的求法总结2.1 利用定义及极限的四则运算法则求极限利用该法求极限，方法简单也易于掌握.但多数情况下是不能直接用，应掌握一些变形技巧.例1 求()lim 1n n q q →∞<.解 对0ε∀>，取正整数lg lg N qε⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有lg lg n q ε>，即lg lg n q ε<，从而nq ε<，故0n q ε-<，由定义，则有()lim 01n n q q →∞=<.例2求22323lim 1n n n n →∞+++.解222222232333lim lim 323300lim lim 31111011lim x x n n x n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞→∞++++++++====++++. 2.2利用代入法求极限若所给的函数是初等函数，且在0x 有定义，由连续性知，()()00lim x x f x f x →=，求得的函数即为其极限值.例3求1lim arc x →. 解 因为01x =是初等函数()f x =定义区间内的一点，所以()1lim 16x f π→===. 例4求sin 2x a a →⋅ ⎪⎝⎭.解 因为0x a =是函数()sin 2f x a =⋅ ⎪⎝⎭定义区间内的一点，所以4sin sin 22x a a a π→==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.3利用两个重要的极限求极限两个重要的极限为0sin lim 1x x x →=（或0lim 1sin x xx→=）和()10lim 1x x x e →+=（或1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭），使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数做适当的变形，使之具有相应的形式.例5求201cos limx xx →-.解2200sin1cos 112lim lim 222x x x x x x →→⎛⎫ ⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭. 例6求()10lim 12xx x →+.解()()()1112220lim 12lim 1212xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦. 2.4利用等价无穷小求极限常见的等价无穷小量()0x →时： sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，211cos ~2x x -. 例7求极限0arctan limsin 4x xx→.解由于()()arctan ~0,sin 4~40x x x x x x →→, 则00arctan 1limlim sin 444x x x x x x →→==.例8求极限30tan sin lim sin x x xx→-. 解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=-,而()()()233sin ~0,1cos ~0,sin ~02x x x x x x x x x →-→→,则23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=. 2.5 利用洛必达法则求极限运用洛必达法则求极限的注意地方：①仅对“00”与“∞∞”型未定式适用，其它未定式“0⋅∞”、“∞⋅∞”、“00”、“0∞”、“1∞”都可化为“00”与“∞∞”型，前两种采用恒等变形的方法；后三种采取先化为指数形式或用取对数的形式化为“00”与“∞∞”型.②应对分子分母分别求导，不能对整个分式求导.③若()()''lim f x g x 不存在，不能由些断言()()lim f x g x 也不存在，只能说明洛必达法则此时失效，应采用其它方法.例9求()0sin lim0sin x axb bx →≠.解()00sin cos lim 0lim sin cos x x ax a ax a b bx b bx b→→≠==. 例10求()ln lim 0n x xn x→+∞>.解()11ln 1lim 0lim lim 0n n n x x x x x n x nx nx -→+∞→+∞→+∞>===. 例11求()0lim ln 0nx x x n +→>. 解 这是未定式0⋅∞，因为ln ln 1n nxx x x =, 当0x +→时，上式右端是未定式∞∞，应用洛必达法则，得100001ln lim ln lim lim lim 0n n n n x x x x x x x x x x nx n ++++---→→→→⎛⎫-==== ⎪-⎝⎭. 2.6 利用泰勒展开式求极限定理若函数()f x 在点0x x =附近具有直到n 阶的导数，并且()()n f x 在0x x =处还是连续的，则有()()()()()()()()()()200'000000"2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦特别当00x =时，()()()()()()()()'2"000002!!n n n f f f x f f x x x x x n ο=+++++→.例12求2240cos lim x x x e x -→-.解 因为()222222211022!22x x x x ex ο-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+-+-+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()245cos 102!4!x x x x x ο=-++→,于是()2424400cos 11limlim 1212x x x x x ex x ο-→→⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪⎝⎭. 例1321lim ln 1x x x x →+∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解 因为当x →∞时，10x→， 所以()2211111ln 12x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+→+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而()()211ln 112x x x x ο⎛⎫+=-+→+∞ ⎪⎝⎭,于是()2111lim ln 1lim 122x x x x x ο→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦.2.7 利用定积分的概念求极限设函数()f x 在有限区间[],a b 上连续，把区间n 等分，作和式1nk b a b a f a k n n =--⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑取n →∞，则定积分定义有()1lim n b a n k b a b a f a k f x dx n n →∞=--⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭∑⎰.例14求极限x n++.解13122lim 323x x nn n n x →∞⎫++====⎪⎪⎭⎰. 2.8 利用两边夹法则求极限定理 若lim lim X Y A ==，而X Z Y ≤≤，则极限lim Z A =.使用此法则求极限lim Z 的关键是设法寻找变量X 和Y ，使满足X Z Y ≤≤,且lim lim X Y A ==.例15求极限22212lim 12x n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭. 解因为22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++<+++<++++++++++, 而()()22112112lim lim lim 2222x x x n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++===++++, ()()()222111212lim lim lim 11221x x x n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++===++++++, 由两边夹法则得，222121lim 122x n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪++++++⎝⎭. 参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].：高等教育出版社，2001. [2]滕桂兰.高等数学（上册）[M].天津：天津大学出版社，2000.[3]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）[M].：高等教育出版社，2002.[4]邹应.数学分析习题及解答[M].武汉大学出版社.2001，168—169，176—177.[5]裴东林.数极值的初等和高等解法比较[J].甘肃联合大学学报：自然科学版，2004，7.[6]毛纲源.高等数学解数学解题方法技巧与归纳（上册）[M].华中科技大学出版社，2001.[7]钱吉林，刘定酉.高等代数题解精粹[M].：中央民族大学出版社，2005.。