第十四章整式的乘法与因式分解教案(新人教版)
课题：14.1.1同底数幂的乘法教学目标：理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。
教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学过程：一、回顾幂的相关知识：a n 的意义：a n表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数． 二、导入新知：1．问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ 2．学生分析：总次数=运算速度×时间 3．得到结果：1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015． 4．通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．5.观察式子：1012×103=1015，看底数和指数有什么变化？ 三、学生动手：1．计算下列各式：（1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n（m 、n 都是正整数） 2．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 3.a m ·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n=()a a am 个a·()a a a n 个a=a a a(m+n)个a=am+na m ·a n=a m+n（m 、n 都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 四、学以致用：1.计算：（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）x m ·x3m+12.计算：（1）2×24×23 （2） a m ·a n ·ap3.计算：（1）（-a ）2×a 6 （2）（-a ）2×a 4 （3）（-21）3×621⎪⎭⎫ ⎝⎛ 64.计算：（1）（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]7（2）（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)7（3）a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a 2五、小结：1.同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．2.注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m ·a n =a m+n（m 、n 是正整数）．六、作业：必做题：选做题：板书设计教学反思：课题：14.1.2幂的乘方教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
教学难点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
教学过程：一、回顾同底数幂的乘法：a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数） 二、自主探索，感知新知：1.64表示_________个___________相乘.2.(62)4表示_________个___________相乘.3.a 3表示_________个___________相乘.4.(a 2)3表示_________个___________相乘. 三、推广形式，得到结论：1．（a m ）n=____×____×…×____ =____×____×…×____=_______即 （a m ）n= ______________(其中m 、n 都是正整数) 2．通过上面的探索活动,发现了什么?幂的乘方,底数__________,指数__________. 四、巩固成果，加强练习： 1.计算：（1）（103）5（2）[（32）3]4 （3）[（－6）3]4（4）（x 2）5 （5）－（a 2）7（6）－（a s）32.判断题，错误的予以改正。
（1）a 5+a 5=2a 10 （ ） （2）（x 3）3=x 6（ ）（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36（ ）（4）x 3+y 3=（x+y ）3 （ ） （5）[（m －n ）3]4－[（m －n ）2]6=0 （ ） 五、新旧综合：在上节课我们讲到，同底数幂相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算，上节我们讲了一种情况：底数互为相反数，这节我们研究第二种情况：底数之间存在幂的关系1.计算：23×42×832.计算：（1）（x 3）4·x 2 （2） 2（x 2）n －（x n ）2 （3） [（x 2）3]7六、提高练习：1.计算：（1）5（P 3）4·（－P 2）3+2[（－P ）2]4·（－P 5）2（2）[（－1）m ]2n +1m-1+02002―（―1）19902.若（x 2）m =x 8，则m=______3.若[（x 3）m ]2=x 12，则m=_______4.若x m ·x 2m =2，求x 9m的值。
5.若a 2n =3，求（a 3n ）4的值。
6.已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n的值. 七、附加练习：1.[-(x+y)3]42.(a n+1)2×(a 2n+1)33.(-32)34.a 3×a 4×a+(a 2)4+2(a 4)25.(x m+n )2×(-x m-n )3+x 2m-n ×(-x 3)m八、小结：掌握幂的乘方的运算法则，会进行幂的乘方的运算。
九、作业：必做题：选做题：板书设计教学反思：课题：14.1.3积的乘方教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．教学重点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用． 教学难点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用． 教学过程：一、回顾旧知：1.同底数幂的乘法 ；2.幂的乘方。
二、 创设情境，引入新课：1.问题：已知一个正方体的棱长为2×103cm ，•你能计算出它的体积是多少吗？2.提问：体积应是V=（2×103）3cm 3 ，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。
积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？•有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒． 三、自主探究，引出结论：1.填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab ）2=（ab ）·（ab ）=（a·a）·（b·b）=a ( )b ( )（2）（ab ）3=__=__=a ( )b ( )（3）（ab ）n =__=__=a ( )b ( )（n 是正整数）2．分析过程：（1）（ab ）2 =（ab ）·（ab ）= （a·a）·（b·b）= a 2b 2，（2）（ab ）3=（ab ）·（ab ）·（ab ）=（a·a·a）·（b·b·b）=a 3b 3；（3）（ab ）n=()()()ab ab ab n 个ab=()a a an 个a·()b b bn 个b=a n bn3．得到结论：积的乘方：（ab ）n=a n·b n（n 是正整数）把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积． 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：a n ·b n =（ab ）n（n 为正整数）a n·b n=()a a an 个a·()b b bn 个b──幂的意义=()()()a b a b a bn 个(a b)──乘法交换律、结合律＝（a·b）n──乘方的意义 5.结论：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变． 四、巩固成果，加强练习：1.计算:（1）（2a ）3 （2）（-5b ）3 （3）（xy 2）2 （4）（-2x 3）42.计算：(1)2(x 3)2·x 3-(3x 3)3+(5x)2·x 7 (2)(3xy 2)2+(-4xy 3)·(-xy)(3)(-2x 3)3·(21x 2)2 (4)(-x 2y)3+7(x 2)2·(-x)2·(-y)3(5)[(m-n)3]p ·[(m -n)(m-n)p ]5(6)(0.125)7×88(7)(0.25)8×410(8)2m×4m×(81)m3.已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值.五、小结：1.总结积的乘方法则，理解它的真正含义。
2.幂的三条运算法则的综合运用。
六、作业：必做题：选做题：板书设计教学反思：课题：14.1.4整式的乘法（1）教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学过程：一、回顾旧知：回忆幂的运算性质： a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn (ab)n =a n b n (m ，n 都是正整数) 二、创设情境，引入新课：1.问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?2.学生分析解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×1073.问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，如何计算？ac 5·bc 2=(a·c 5)·(b·c 2)=(a·b)·(c 5·c 2)=abc 5+2=abc 7三、自己动手，得到新知：1．类似地，请你试着计算：(1)2c 5·5c 2；(2)(-5a 2b 3)·(-4b 2c)2．得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．四、巩固结论，加强练习：1.计算：(1)（-5a 2b ）·（-3a ）(2)（2x ）3·（-5xy 2） 2.小民的步长为a 米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米? 3．计算：(1)3222(2)a bc ab ⋅- (2) 323(3)x x -⋅ (3)(-10xy 3)(2xy 4z) (4)(-2xy 2)(-3x 2y 3)(41-xy) (5) 3(x-y)2·[154-(y-x)3][ 23-(x-y)4] 4.判断：（1）单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）（2）两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ） （3） 两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）（4）两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）5.计算：0.4x 2y·（21xy ）2-（-2x ）3·xy 36.已知a m=2,a n =3,求(a 3m+n )2的值。
八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式教案 (新版)新人教版-(新版)新
14.2 乘法公式（第1课时）【教材分析】自主探究合作交流()()()222m m+-=；()()()32121x x+-=；仔细观察分析上面每小题的两个因式与计算结果，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来.两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、你能用具有一般性的字母表示这一规律吗？(a+b)(a－b)=a2－b2（二）探究平方差公式的正确性1、公式的代数验证。
思考：由特殊到一般的不完全归纳法得出的规律是需要验证的，你能用我们学过的整式乘法的知识说明 (a+b)(a－b)=a2－b2这一公式的成立吗？我们把这个规律（a+b）(a－b)=a2－b2叫做平方差公式2、几何意义的验证。
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．学生自主探究、合作交流、发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，即：两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差.这就是：平方差公式.并猜想出：()()22.a b a b a b+-=-教师提出问题，学生讨论解决：∵(a+b)(a－b) =a2－ab+ab－b2=a2－b2,∴(a+b)(a－b)=a2－b2教师出示问题的第2题.学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式的正确性.教师引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的,a b都有()()22.a b a b a b+-=-（三）实践探索，类比应用。
例1用平方差公式计算（1） (3x＋2 )( 3x－2 )；（2） (b+2a)(2a－b)；（3） (－3x－5)(3x－5).【分析】运用平方差公式计算，关键是找准公式中的,a b，然后才能套用公式.如：()()()22323232x x x+-=-解：（1） (3x＋2 )( 3x－2 )=(3x)2－22=9x2－4.（2） (b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.（3） (－3x－5)(3x－5)=(—5－3x ) (－5＋3x)=(—5)2−(3x)2== 25−9x2.例2下列各题能否用平方差公式计算，请说明理由，并计算。
第十四章整式的乘法与因式分解教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1同底数幂的乘法教学目的：1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；教学重点：同底数幂的乘法法则教学难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程一、复习提问1．乘方的意义：求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方2.指出下列各式的底数与指数：(1)3 4；(2)a 3；(3)(a+b) 2；(4)(-2) 3；(5)-2 3．其中，(-2) 3与-2 3的含义是否相同？结果是否相等？(-2) 4与-24呢？二、讲授新课1．(课本95 页问题) 利用乘方概念计算：1015×103．2、计算观察，探索规律：完成课本第95 页的“探索”，学生“概括”a m× n m+na=⋯=a ；3、观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算；右边的底数与左边相同，指数相加4、归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
三、实践应用例1 、计算：(1)x 2·x5 (2)a ·a6 (3) 2 ×24×23 (4) x m·x3m + 1练习：1. 课本第96 页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则)2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。
①a6·a6＝2a62 4 6 2 4 8②a+a ＝a ③ a · a =a例 2 （1）填空：⑴若 x m+n ×x m-n =x 9；则 m=；（2）2m=16，2n=8，则 2m+n= 。
四、归纳小结1、同底数幂相乘的法则；2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；4、要注意与加减运算的区别。
五、布置作业14.1.2 幂的乘方教学目标 ：1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；2、了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题 .教学重点 ：幂的乘方的运算性质及其应用 . 教学难点 ：幂的运算性质的灵活运用 . 一：知识回顾1 ．讲评作业中出现的错误2 ．同底数幂的乘法的应用的练习：新课引入探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘 ． 即：（a m ）n ＝a mn（m 、n 都是正整数）．1） （32）3= 32 × 2 232 × 3 2= 2） （a 2）3= a 2 · 2 2 ﹝ a · a = a ﹝ 3） （a m ）3 m = m ma · a = amm 4（a m ）n = a a ﹝﹞n 个 mm mm m a = aa ． mn可以转化为指数的乘法运观察结果，三、知识应用例题 ：（1）（103）5；（2）（a 4）4； （3）（a m ）2；（4）－（ x 4）3； 说明：－（ x 4）3表示（ x 4）3的相反数练习：课本第 97 页 （ 学生黑板演板） 补充例题：2 3 2 6 3 4 2 31）（y 2）3· y （2）2（a 2）6－（a 3）4 （3）（ab 2）3（4） - （ - 2a 2b ）4说明：（1） （y 2）3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序， 应先乘方，再做乘法，所以， （y 2）3·y = y2×3·y = y 6+1= y 7；（2） 2（a 2）6－（a 3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以， 2（a 2）6 3 42× 6 3× 4 12 12 12－（a ） =2a × －a ×=2a －a =a ． 四、 幂的乘方法则的逆用（1）x 13· x 7=x （ ）=（ 2m 2（2）a 2m = （ ）2= （ 练习：1．已知 3×9n =37，求 n 的值． 2．已知 a 3n=5，b 2n=3，求 a 6nb 4n的值．3．设 n 为正整数，且 x 2n=2，求 9（x 3n）2的值．五、归纳小结小结：幂的乘方法则． 六、布置作业14.1.3 积的乘方教学目标 ：1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．教学重点 ：积的乘方的运算性质及其应用．mn m n n ma （a ）（a ） ．5 4 10） =（ ） =（ ） ；）m（m 为正整数）．教学难点：积的乘方运算性质的灵活运用．由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方 , 再把所得的幂相乘． 即： ( ab) n=a n· b n、知识应用 例题 3 计算说明： (5)意在将 (ab) n =a n b n 推广，得到了 (abc) n =a n b n c n判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？教学过程 ： 、复习导入1．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质， 请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：2) 1)3)4) 1) (3×5)7——积的乘方=(3 5) (3 5)(3 5)——幂的意义7个 (3 5)=(3 33) × (5 5 5)——乘法交换结合律7个37个5=37×57；——乘方的意义2) (ab )2= (ab) · (ab) = (a · a) · (b · b) = a ( )b ( ) 3) (a 2b 3)3= (a 2b 3) 23 · ( a 2b 3·( a 2b 3) = (a 2 · a 2· a 2 ) ·(b 3 = a ( )4) ( ab) n=(ab) (ab) (ab)n 个 ab=(a a a a) ·(b bn 个a幂的意义nn=abbn 个b) 乘法交换律、结合律 乘方的意义1) (2a ) 3；2) (－5b)3； 3) ( xy 2 ) 2；4)(- 2 ／3x 3)4． 5)( －2xy)46)(2×103)22．探索新知，讲授新课b 3·b 3)b( )练习：课本第98 页三、综合尝试补充例题：计算：（1）2）四、逆用公式：2）预备题：（1）例题：（1）0．12516·（－8）17；2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．注解)：23m+2n=23m·22n=(2m) 3· (2 n) 2=33·52=27×25=675．五、布置作业14.1.4整式的乘法（单项式乘以单项式）教学目标：经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。
人教版八年级上册数学教案：第十四章整式的乘法与因式分解 数学活动
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn
4.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)-x3z+x4y；
(2) 3x(a-b)+2y(b-a).
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
流
教师指导学生归纳总结，并适时点拨、评价。
运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.
课时教案
课题
数学活动
第 1 课时
总第55课时
教学目标
知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.
过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.
情感态度与价值观：培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．
重点
用提公因式法和公式法分解因式.
教具
三角尺
难点
用提公因式法和公式法分解因式.
学具
三角尺
教师活动
学生活动
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 提公因式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法一、教学目标【知识与技能】1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系，掌握因式分解的概念；2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程，感受因式分解在解决问题中的作用.【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】因式分解的概念；提公因式法分解因式.【教学难点】正确理解因式分解的概念，准确找出公因式.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等.学生:直尺、练习本、铅笔、钢笔或圆珠笔.六、教学过程（一）导入新课我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究提公因式法分解因式教师问1:请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快.(1)20×(－3)2＋60×(－3)；(2)1012－992；(3)572＋2×57×43＋432.学生回答:如下:解:方法一:(1)20×(－3)2＋60×(－3)=20×9-180=180-180=0；(2)1012－992=10201-9801=400；(3)572＋2×57×43＋432=3249+4902+1849=8151+1849=10000.方法二:(1)20×(－3)2＋60×(－3)=-3×[20×(-3)+60]=1-3×[-60+60]=0；(2)1012－992=（101+99）（101-99）=200×2=400；(3)572＋2×57×43＋432=3（57+43）2=1002=10000.教师问2:上边两种方法，哪一种简单呢？学生回答:方法二简单.教师讲解:在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形成，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解.(板书课题)教师问3:如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？（出示课件4）学生回答:方法一:m(a+b+c)；方法二:ma+mb+mc教师问4:m(a+b+c)=ma+mb+mc是整式的乘法，那么ma+mb+mc=m(a+b+c)，你猜想是什么呢？学生回答:因式分解.教师问5:请同学们运用整式乘法法则或公式填空:（出示课件5）(1) m(a+b+c)= ____________________ ；(2) (x+1)(x–1)=___________________；(3) (a+b)2 = ______________________.学生回答:(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ；(2) (x+1)(x–1)=x2－1；(3) (a+b)2 = a2+2ab+b2.教师问6:根据等式的性质填空:(1) ma+mb+mc=( )( )(2) x2–1 =( )( )(3) a2 +2ab+b2 =( )2学生回答:(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+c )(2) x2–1 =( x+1)( x-1)(3) a2 +2ab+b2 =( a+b)2教师问7:比一比，这些式子有什么共同点？学生讨论后回答:左边是多项式，右边是多相式的乘积.教师总结:（出示课件6）把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.教师问8:你认为因式分解与整式乘法有什么关系？（出示课件7）学生思考回答，师生共同解答如下:因式分解与整式乘法是互逆变形关系，整式乘法是一种运算，而因式分解是对多项式的一种变形，不是运算.教师问9:x2–1 = (x+1)(x–1)有何特征呢？学生回答:左边是多项式，右边是几个整式的乘积例1:下列从左到右的变形中是因式分解的有( )（出示课件8）①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个因式分解是积的形式，①是和的形式，所以不是因式分解，②是因式分解，③是整式的乘法，④是因式分解.故选B.答案:B.总结点拨:因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．教师问10:再观察下面问题中的第(1)题和第(3)题，你能发现什么特点？(1)x2＋x＝________；(2)x2－1＝________；(3)am＋bm＋cm＝________.学生独立思考后回答:发现(1)中各项都有一个相同的因式x，(3)中各项都有一个相同的因式m.教师问11:观察下列多项式，它们有那些相同的因式？（出示课件10）pa+pb+pc，x2＋x学生回答:前者的相同因式为p，后者的相同因式为x。
人教版八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》14.1.4整式的乘法(教案)
-多项式乘以多项式的分配律综合应用：一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并将结果相加。
-例如：(x + 3) * (x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12，强调每一项都要相乘并相加。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘法，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，我发现学生在理解整式乘法的基本概念时，对分配律的应用还不够熟练。在单项式乘以多项式的例子中，部分同学容易忽略对常数项的乘法，导致答案出错。针对这个问题，我考虑在下一节课中增加一些基础练习，让学生反复练习分配律的应用，帮助他们更好地掌握这个重点。
-将实际问题转化为整式乘法运算：学生需要掌握如何将实际问题的描述转化为数学表达式，并运用整式乘法进行计算。
-例如：将矩形的面积计算问题转化为(x + 2) * (x + 3)的乘法运算。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点，通过直观的示例、反复的练习和及时的反馈，帮助学生理解并掌握整式乘法的核心知识，确保学生能够透彻理解和正确应用。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
八年级数学上册 第十四章《整式的乘法与因式分解》多项式乘多项式教案 (新版)新人教版-(新版)新人教
第十四章《整式的乘法与因式分解》多项式乘多项式例 1 计算：(1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+y)2； (4)(x+y)(x2-xy+y2)结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：(1)解题书写和格式的规X性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏。
三、课堂训练1．先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中：x ＝－1，y＝2.解：∵(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2＝－x2＋10xy－10y2.当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－1－20－40＝－61.2．计算：(1)(x－1)(x－2)；(2)(m－3)(m＋5)；(3)(x＋2)(x－2)．解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2；(2)(m－3)(m＋5)＝m2＋2m－15；(3)(x＋2)(x－2)＝x2－4.3．若(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．解：∵(x＋4)(x－6)＝x2－2x－24，又∵(x＋4)(x－6)＝x2＋ax＋b，∴a＝－2，b＝－24.∴a2＋ab＝(－2)2＋(－2)×(－24)＝4＋48＝52.点拨精讲：第2题应先将等式两边计算出来，再对比各项，得出结果．小结归纳启发引导学生归纳本节所学的内容：1．多项式的乘法法则：(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn2．解题(计算)步骤(略)。
3．解题(计算)应注意：(1)不重复、不遗漏；(2)符号问题。
五、作业设计2。
八年级数学上册 第十四章《整式的乘法与因式分解》平方差公式教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初
第十四章《整式的乘法与因式分解》平方差公式注意：结构特征 （a+b ）（a-b ） = a 2- b 2相同项 相反项 相同项2- 相反项25．运用上面的规律直接写出下列乘法的运算结果： 1．课本P108页练习题1，2.2．填空：(3a －2b)(____＋2b)＝9a 2－4b 2.3．计算：(1)(－a ＋b)(a ＋b)；(2)(－13x －y)(13x －y)6．平方差公式：()()22b a b a b a -=-+例1．运用平方差公式计算：(1) ()()2323-+x x ； (2)()b a a b -+2)2( (2) ()224)2)(2(2)2(b a b a b a b a a b -=-+=-+ 【解析】⑴中，要把x 3和2分别看成公式中的a 和b ，即：(2) ()224)2)(2(2)2(b a b a b a b a a b -=-+=-+ 第(2)题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特征的. 三、课堂训练1．若M·(2x－3y)＝9y 2－4x 2，则M ＝－2x －3y ． 2．计算：(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)； (2)(3a －b)(3b ＋a)－(a －b)(a ＋b)． 3．计算：(1)102×98；(2)39.8×40.2.4．已知a －b ＝40，b －c ＝50，a ＋c ＝20，求a 2－c 2的值． 四、小结归纳小结：1．通过本节课的学习我有哪些收获？ 2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？部分学生板书解题，完成后，师生纠错。
学生先自主辨析，再交流互补，不断完善。
在交流中让学生归纳平方差公式的特征：（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．学生回答，教师点拨。
学生发现技巧，灵活应用公式。
目间的共性发现规律，举三反一，猜想公式，让学生经历从一般到特殊，从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法．揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导,。
八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版
第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能依照幂的各类运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探讨整式乘除法的法那么,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间能够彼此转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探讨进程中来,慢慢形成独立试探、主动探讨的适应,培育思维的批判性、周密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的紧密联系,在必然程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的爱好.本章是整式的加减的后续学习,第一,从幂的运算开始入手,慢慢展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆进程动身,引入因式分解的相关知识.本章要紧有如下特点:1.注重知识形成的探讨进程,让学生在探讨进程中领会知识,在领会的进程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特点.3.让学生把握大体的数学事实与数学活动体会,减轻没必要要的经历负担.4.注意从生活当选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,慢慢养成谈数学、想数学、做数学的良好适应.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处置都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能依照各地学生的实际情形,充分发挥自己的教学主动性和踊跃性,制造性地进行教学.【重点】1.明白得和把握幂的运算性质.2.把握整式的乘除运算方式,明白得乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探讨的进程,通过特例计算,自己归纳出有关运算法那么,明白得并把握这些法那么,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探讨与交流的空间,让学生在自己的实践中取得运算法那么.在教学中要注意渗透化归的思想.关于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,取得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法那么,关于一些法那么的取得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的明白得和把握.2.关于乘法公式的教学,要留出更多的时刻和空间让学生自主探讨,发觉规律,体验乘法公式的来源,明白得公式的意义和作用,降低对公式的经历要求.教学时能够让学生直接计算较为简单的情形,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.关于因式分解这部份内容,要注意留给学生讨论的时刻,引导学生进行归纳、归纳.注意教给学生因式分解的方式和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要制造性地利用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设必然的问题情境,帮忙学生在做一做、探讨、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的经历负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,依照学生的具体情形,能够在某些具体问题上,让一部份学有余力的学生取得更好的进展,表现教材的弹性.整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(1课时)7课时14.1.2幂的乘方(1课时)14.1.3积的乘方(1课时)14.1.4整式的乘法(4课时)乘法公式2课时14.2.1平方差公式(1课时)14.2.2完全平方公式(1课时)因式分解14.3.1提公因式法(1课时)3课时14.3.2公式法(2课时)单元复习1课时整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,慢慢展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法那么,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立试探、主动探讨的能力.1.在推理的进程中,让学生学会类比的方式,培育学生的观看、抽象、归纳的能力.2.在观看的进程中,让学生把握整式乘法的一些计算方式,并能运用这些方式进行计算.1.让学生体验从特殊到一样的进程,能自己在实践中总结归纳法那么.2.培育学生学习数学的踊跃性,让学生树立酷爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法那么.2.整式的乘法法那么.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.明白得同底数幂的乘法法那么.2.能运用同底数幂的乘法法那么解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,进展推理能力和有层次的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法那么”的推导和应用,使学生初步明白得特殊到一样,一样到特殊的认知规律.体会科学的思想方式,激发学生探讨创新的精神.【重点】正确明白得同底数幂的乘法法那么.【难点】正确明白得和应用同底数幂的乘法法那么.【教师预备】多媒体课件(1,2,3).【学生预备】温习幂的意义.导入一:温习a n的意义:a n表示n个a相乘,咱们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子运算机每秒可进行1万万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】可否用咱们学过的知识来解决那个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时刻,因此运算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】依照乘方的意义可知:1015×103= ×(10×10×10)==1018.【师】专门好,通过观看大伙儿能够发觉1015,103这两个因数是同底数幂的形式,因此咱们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,依如实际需要,咱们有必要研究和学习如此的运算——同底数幂的乘法.[设计用意]第一让学生回忆幂的一些知识,然后依照教材中的问题1让学生列式、观看并计算出结果,从而导入到本节课的学习当中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,使劲一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了如此一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了丛林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离咱们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】能够列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15ד?”.(引入课题)[设计用意]从远古到现代,让学生感受传奇,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳取得的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳取得的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105咱们称之什么缘故?(幂)【师】咱们再来观看底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像如此底数相同的两个幂相乘的运算,咱们把它叫做同底数幂的乘法.(揭露课题)[设计用意]利用提问题,一方面能够集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面能够对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.[过渡语]适才咱们通过计算明白1015×103=1018,下面咱们再来观看几道题.问题1【课件1】计算以下各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发觉了什么?注意观看计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】依照乘方的意义,同窗们能够独立解决上述问题.【生】25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,依照乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m·5n==5m+n.(让学生自主探讨,在启发性设问的引导下发觉规律,并用自己的语言表达) 【生】咱们能够发觉以下规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原先底数相同,指数是原先两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,依照幂的意义可得:a m·a n==a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法那么即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂能够看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在咱们研究的这种式子中,能够是任何有理数,也能够是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是不是相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法那么的关键在于底数,底数必然要相同,而且二者是相乘关系,如此指数才能相加,不然不能运用此法那么.问题2(针对导入三)1.探讨 108×105等于多少.(鼓舞学生斗胆猜想)学生可能会显现以下几种情形: ①10013;②1040; ③10040;④1013.[设计用意]猜想产生疑问,激发爱好,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105===1013.即108× 105=108+5.[设计用意]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的聪慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理进程.2.出示问题:(学生口答,课件显示进程)a6·a9=·==a15.即a6·a9=a6+9.3.观看以上两个式子,你有什么发觉?【师】这是两个特殊的式子,它们的指数别离是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一样性,代表性的式子吗?a m·a n怎么计算?[设计用意]a6·a9和a m·a n的推导进程由于108·105打好了坚实的基础,因此用填空的形式简化公式的推导进程,既幸免了重复教学进程,也节约时刻,同时也能达到让学生经历从具体到一样的推导进程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充说明m,n都是正整数的缘故,并请学生用自己的语言归纳该结论,以后全部学生用精炼的文字归纳表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计用意]全班学生参与活动,经历从明白得法那么的含义的归纳到用十分准确精练的语言归纳进程,从而提高学生的表达能力.问题3[过渡语]适才通过探讨,咱们明白了同底数幂的乘法法那么,此刻咱们就能够够利用那个法那么进行同底数幂的乘法计算.【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】咱们先来看例1,是不是能够用同底数幂的乘法法那么呢?【生1】(1)(2)(4)能够直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法那么.【生2】(3)也能够,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法那么运算就能够够了.【师】同窗们分析得专门好.请自己做一遍,每组出一名同窗板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来咱们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方式.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n) ·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= =a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法那么,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,咱们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那咱们就能够够推断,不管是多少个幂相乘,只若是同底数幂相乘,就必然是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】···…·.【师】(鼓舞学生)那么例1中的第(3)题咱们就能够够直接应用法那么运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用那个性质时,应注意两点:一是必需是同底数幂的乘法才能运用那个性质;二是运用那个性质计算时必然是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).2.推行:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法那么时,注意以下几点:(1)底数必需相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a能够是单项式,也能够是多项式.(3)依照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()解析:原式=a6+3=a9.应选A.2.以下计算正确的选项是()·x2=x2·x2=2x2+x3=x5·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.应选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.应选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法那么进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5. (4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法那么2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()2.以下计算正确的选项是()·a2=a6 ·b4=2b4+x5=x10·y=y83.以下运算正确的选项是()·a5=2a5 +a5=a10·a5=2a10 ·a5=a10能够写成()+a4·a4·a·a20075.以下运算错误的选项是()A.(-a)(-a)=(-a)2·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()7.以下各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探讨】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22021的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22021+22021,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22021+22021,将下式减去上式得2S-S=22021-1,即S=22021-1,即1+2+22+23+24+…+22021=22021-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.应选B.)(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;·y=y8,正确.应选D.)(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;·a5=a10,正确.应选D.)(解析:+a4不能进行计算;·a4 =a2021;·a=a2021 ;·a2007=a4014,应选B.)(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.应选B.)(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.应选D.)(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.应选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1-1).在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的爱好,通过学生的自主探讨,让学生经历观看——类比——抽象——归纳等进程,归纳出同底数幂的乘法法那么,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法那么以后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法那么的明白得.整个进程学生对知识的同意和明白得较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得高兴,知识把握较好.因为本节课的内容较简单,因此在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力取得进一步的提高.另外,关于法那么的归纳和明白得要尽可能让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法那么的逆应用和底数为负数的习题.法那么的逆应用要重点让学生把握,以提高学生解决问题的能力.同时,必然要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法那么进行计算,不然不行.另外,关于法那么的归纳和延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,必然要让学生尽可能发挥小组合作的能力,发觉计算方式,从而总结出规律.教学进程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽可能还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6. (2)原式=-1+2+3=-6=. (3)原式=a2+6=a8. (4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一样的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)能够直接取得x5;(2)中将(-2)看做相同的底数,由法那么可得(-2)7;(3)中将(a-1)看做一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5. (2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27. (3) (a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法那么计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕尽管底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,能够先把底数变成相同的底数,再用法那么计算.解:(1) -t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方式提示〕关于不能直接运用同底数幂乘法法那么的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法那么计算,此进程中注意符号的确信.题型3同底数幂乘法法那么的逆用计算:(-2)2007+(-2)2020.〔解析〕假设直接计算,那么相当麻烦,能够运用同底数幂的逆运算,将(-2)2020化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2020=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007× (1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2021·温州中考)计算m6·m3的结果是()〔解析〕依照同底数幂的乘法法那么,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.应选B.14.1.2幂的乘方1.明白幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探讨幂的乘方的运算性质的进程,进一步体会幂的意义,进展推理能力和有层次的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过度组探讨,培育学生合作交流的意识、提高学生勇于探讨数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方式那么的总结及运用.【教师预备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生预备】温习同底数幂的乘法法那么.导入一:(1)表达同底数幂乘法法那么,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大伙儿已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计用意]通过温习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法那么的内容,为探讨幂的乘方做好预备.导入二:(1)有甲、乙两个球,若是甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,如何计算?(102)3=106.方式一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方式二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计用意]在独立试探的基础上,组织学生交流、讨论,培育学生思维的周密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此进程中,引导学生主动反思,回忆解决问题的方式,为进入新课做预备.一、法那么的探讨[过渡语]咱们明白表示几个相同因数积的运算叫做乘方.依照乘方的意义,请同窗们解决以下问题.思路一1.试探.【课件1】依照乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要增强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你以为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出查验进程吗?【生】小组相互探讨、交流,踊跃试探,然后各组派代表回答,彼此点评,补充得出关于幂的乘方式那么.幂的乘方式那么:(a m)n==a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言表达:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法那么中a能够是一个具体的数,也能够是单项式或多项式.[知识拓展]明白得法那么注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身确实是一个幂;(2)法那么可推行到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计用意]在探讨幂的乘方式那么的进程中,学生经历了由特殊到一样的进程,让学生学会了归纳,同时培育学生的合作意识.思路二探讨练习表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(依照a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(依照a m·a n=a m+n)=.引导学生观看、猜想(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(依照a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(依照a m·a n=a m+n)=.通过上面的探讨活动,你发觉了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】在此进程中教师应当鼓舞学生,自己发觉幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了如何的转变),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回忆这一性质的得出进程,进一步体会幂的意义.[设计用意]学生在探讨练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发觉幂的乘方的法那么,经历由猜想到探讨的进程,从而明白得法那么的实际意义,在本质上熟悉、学习幂的乘方的来历.思路三表示什么意义?2.若是把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?3.如何把a2·a2·a2·a2 =a2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a4)5吗?5.依照乘方的意义及同底数幂的乘法填空:(1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×()×()=5();(3) (a3)5 =a3×()×()×()×()=a().6.用一样的方式计算(a3)4,(a11)9,(b3)n(n为正整数).这几道题学生都不难做出,在处置这种问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a11)9=a11·a11·…·a11==a99.(b3)n=b3·…·b3==b3n.教师应指出如此处置既麻烦,又容易犯错,现在应让学生试探,有无简捷的方式?引导学生认真试探,并取得:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a11)9=a11×9=a99;(b3)n=b3×n= b3n.观看结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?如何说明你的猜想是正确的?(a m)n=(乘方的意义)=(同底数幂的乘法)=a mn(乘法概念),即(a m)n=a mn(m,n是正整数).这确实是幂的乘方式那么.你能用语言表达那个法那么吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘.[设计用意]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法那么,整个进程由浅入深,表现了循序渐进的原那么.二、例题讲解[过渡语]适才通过探讨咱们了解了幂的乘方式那么,利用幂的乘方式那么,咱们能够直接计算幂的乘方.(教材例2)计算:(1)(103)5;(2)(a4)4;(3)(a m)2;(4)-(x4)3.〔解析〕要充分明白得幂的乘方式那么,准确地运用幂的乘方式那么进行计算.启发学生一起完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步明白得幂的乘方式那么.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也确实是说关于幂的乘方式那么,它的逆应用一样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就能够够写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n整体代入,即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的利用范围:幂的乘方.方式:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:那个地址的底数、指数能够是数,也能够是单项式或多项式.3.幂的乘方式那么与同底数幂的乘法法那么区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.以下运算正确的选项是()+3a=5a3·a3=a6C.(a3)2=a6=a解析:+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C 选项正确;=0,故D选项错误.应选C.2.以下运算中,计算结果正确的选项是()=1 +2x=x2·x=x2 D.(a3)2=a4。
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师:课件、直尺、计算器等。
学生:练习本、钢笔或圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想:上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加.教师问3:思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答:可以把乘法法则反过来利用.教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5:你是如何计算的呢？学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6:能不能试着完成下列各题:计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答:(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答:底数不变，指数相减.教师总结:同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8:以上法则能用字母表示吗？学生总结:a m÷a n＝a m－n.教师问9:对指数有何要求吗？学生回答:m，n都是正整数，且m>n.教师总结:a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10:如何验证其正确性呢？学生回答:验证:因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11:对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12:计算:a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定:a0＝1(a≠0).教师问13:为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答:因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨:（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定:a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1:计算:（出示课件7）(1)x8÷x2；(2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下:解:(1)x8 ÷x2=x8–2=x6；(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨:计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2:已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下:解:∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14:计算:4a2x3·3ab2学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15:计算:12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答:（出示课件11）解法1: 12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2:原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答:（1）2x2；（2）4n教师问16:通过计算，你又发现什么规律？学生回答:单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨:（出示课件12）单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3:计算:（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下:解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答:长为(ma+mb)÷m.教师问19:如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答:计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20:（）填什么呢？学生回答:a+b教师问21:am ÷m+bm ÷m=？学生回答:a+b教师问22:观察上边的问题，你发现了什么？学生回答:(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23:计算下列各式:(1)(ax＋bx)÷x；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答:(1) a+b；(2) a+b；(3) 2x+y.教师问24:说你是怎样计算的？学生回答:多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25:它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答:(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键:应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4:计算:(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下:解: (12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨:多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5:先化简，后求值:[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下:解:原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算: (1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值:(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值；（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值；（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案:1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解:(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解:原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。
人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案
人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案第一篇：人教版八年级数学上第十四章《整式乘法与因式分解》全章教案东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法教学目标1.理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算．2.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．教学重、难点同底数幂的乘法运算法则及其应用.教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？（1）如何列出算式？（2）1015的意义是什么？（3）怎样根据乘方的意义进行计算？根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）2（2）a（3）535)⨯22=2(；)⋅a2=a(；)⨯5n=5(．m你能将上面发现的规律推导出来吗？=（14aa244⋅Λ⋅3a）（⋅14a⋅4a244⋅Λ⋅3a）am⋅an ⋅4m个an个a=a⋅4a ⋅Λ⋅3a 14244（m+n）个a m+ n教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.二、知识应用，巩固提高=a am⋅an=am+n（m，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：am⋅an⋅Λ⋅ap=am+n+Λ+p（m，n，p都是正整数）．例1(教科书第96页)三、应用提高、拓展创新课本96页练习/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？五、布置作业：习题14.1第1（1）、（2）题教后反思：14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方教学目标1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据．2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算．3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．教学重、难点幂的乘方与积的乘方的性质．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: 23（）（1）3）（=32⨯32⨯32=3；3（）（2）a2）（=a2⋅a2⋅a2=a；（a（3）m3（））=am⋅am⋅am=a（m是正整数）．在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即：（am）n＝amn（m、n 都是正整数）．多重乘方可以重复运用上述法则：pmn⎡⎤ a）=amnp（⎣⎦二、知识应用，巩固提高计算（1）（102）3；（2）（b5）5；（3）（an）3；（4）－（x2）m；（5）（y2）3·y；（6）2（a2）6－（a3）4．问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：你能发现有何运算规律吗？能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？（n是正整数）/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系？五、布置作业：教材第102页第1、2题．教后反思：14.1.4整式的乘法(1)教学目标1．理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算．2．经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想．教学重、难点单项式的乘法法则的概括过程和运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?二、知识应用，巩固提高问题2 观察这三个算式有何共同的特点？请你用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则.单项式乘以单项式的法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：三、应用提高、拓展创新第99页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用单项式的乘法法则时，应该注意哪些问题？（3）结合探索单项式乘法法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？五、布置作业：教科书习题14.1第3、9、10题．教后反思：14.1.4整式的乘法(2)教学目标1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”观念，体会转化、数形结合和程序化思想．教学重、难点单项式与多项式相乘的法则的运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法：（pa+b+c）pa+pb+pc你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？二、知识应用，巩固提高请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.三、应用提高、拓展创新完成课本100页练习1、练习2/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材第103页第4、7题教后反思：14.1.4整式的乘法(3)教学目标1．理解多项式与多项式相乘的法则，并能运用法则进行计算．2．理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.教学重、难点多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为a m，宽为p m．则它的面积是多少？若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿地面积是多少？问题2 若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？不同的表示方法：二、知识应用，巩固提高根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？三、应用提高、拓展创新教科书第102页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？（3）举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中，体现了哪些思想方法？五、布置作业：教材习题14.1第5、8题教后反思：14.1.4整式的除法(1)教学目标1．理解同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．2．体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在单项式除法中的作用．教学重、难点探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会用它们进行运算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M（1 M=210 K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？二、知识应用，巩固提高问题2 填空：⨯（1）∵（）（）⨯（2）∵（）⋅（3）∵23=25 ∴25÷23=（）；103=107 ∴107÷103=（）；a3=a7 ∴a7÷a3=（）．问1 你在解决问题2时，用到了什么知识？你能叙述这一知识吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问2 25÷23，107÷103，a7÷am 这三个算式属于哪种运算？你能概括一下它3们是怎样计算出来的吗？问3 你能用上述方法计算 a÷an吗？问4 你能用语言概括这一性质吗？同底数幂除法的性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减．思考与讨论为什么a≠0？问题3 当被除式的指数等于除式的指数时：（1）如果根据这条性质计算am÷an结果是多少？÷an结果是多少？（2）如果根据除法意义计算 am即任何不等于0的数的0次幂都等于1．三、应用提高、拓展创新例1 计算：474（xy）÷xy；a÷a；（1）（2）326（-y）÷y.（-x）÷（-x）；（3）（4）问题4 计算下列各题：423323228xy÷7xy；（1）（2）12abx÷3ab.例2 计算：（1）-8a22教科书104页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）探究同底数幂除法性质和单项式除法？（3）运用同底数幂除法性质和单项式除法的法则时，你认为应该注意什么？五、布置作业：教材习题14.1第6题（1）（2）（3）（4）．教后反思：12b÷6ab2；（2）（-12x8y6）÷（-x2y3）.2 7 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：14.1.4整式的除法(2)教学目标1．理解多项式除以单项式的法则．2．体会知识间的内在联系、互逆关系等逻辑关系在研究问题时的价值；体会类比和转化的数学思想在多项式除以单项式中的作用.教学重、难点探究多项式除以单项式的法则，会运用法则进行计算．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 请同学们观察下列算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点.⑴.（m+bm）÷m；-12x2+4x）÷4x.（8x⑵3你能尝试计算（1）吗？说说你是怎样算出来的？二、知识应用，巩固提高利用除法是乘法的逆运算，求（am +bm）÷m 的值，就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）．你知道这个多项式是什么吗？完成引例：8x3-12x2+4x）÷4x（思考上述两个算式的运算，它们的相同之处是什么？通过以上两个例子，我们在计算一个多项式除以单项式时，是将它如何转化的呢？你能用字母的形式来表示吗？多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.或例1 计算：（6ab（1）+5a÷a）；22（15xy-10xy÷5xy）；（2）（8a（3）2-4ab）÷（-4a）；3（4）（12a-6a2+3a）÷3a.三、应用提高、拓展创新教科书104页练习3/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用多项式除以单项式法则计算的基本步骤是什么？应注意的地方是什么？（3）探究多项式除以单项式的方法是什么？五、布置作业：教材习题14.1第6（5）（6）题教后反思：14.2.1 乘法公式--平方差公式教学目标1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．教学重、难点平方差公式教学过程设计一、创设情境，激发兴趣在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）=；（2）=；（3）=．二、知识应用，巩固提高上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗？你能对发现的规律进行推导吗？（a+b）（a-b）=a前面探究所得的式子2-b2为乘法的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 运用平方差公式计算：（-x+2y）（-x-2y）（3x-2）（1）（3x+2）；（2）从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同，“第二个数”b 的符号相反；（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式中的“平方”．例2 计算：（-y+2）（-y-2）-（y-1）（y+5）（1）；（2）102×98．三、应用提高、拓展创新教科书108页练习1、2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）平方差公式的结构特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么五、布置作业：教科书习题14.2第1题．教后反思：14.2.2乘法公式--完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，能用公式进行计算．2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何直观观念．教学重、难点完全平方公式．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：教学过程设计一、创设情境，激发兴趣问题1 计算下列各式:22（p+1）=______；（m+2）=______；（1）22（p-1）=______；（m-2）=______.（2）你能发现什么规律？二、知识应用，巩固提高问题2 你能用式子表示发现的规律吗？完全平方公式：问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．公式特点：（1）积为二次三项式；（2）积中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；（4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项式.问题4 能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？三、应用提高、拓展创新例1 运用完全平方公式计算：212（4m+n）（1）；（2）．（y-）2例2 运用完全平方公式计算：（1）102；（2）99．问题5 思考: 22（a+b）与（-a-b）相等吗？（1）22（a-b）与（b-a）相等吗？（2）（a-b）与 a（3）2222-b2相等吗？为什么？/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：问题6 添括号法则去括号a+(b+c)= a+b+c；a－(b+c)= a－b－c．a+b+c =a+(b+c)；a-b-c = a-(b + c）．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）完全平方公式结构有什么特点？五、布置作业：教材习题14.2第2、4、6、7题．教后反思：14.3.1因式分解--提公因式法教学目标1．了解因式分解的概念．2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．教学重、难点运用提公因式法分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．请把下列多项式写成整式的乘积的形式：二、知识应用，巩固提高在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆变形关系．你能试着将多项式pa+pb+pc因式分解吗？（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．/ 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：例1 把8a32b+12ab3c分解因式．通过对例1的解答，你有什么收获？（1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．ab+c）（-3b+c）例2 把2（分解因式．通过对例2的解答，你有什么收获？公因式可以是单项式，也可以是多项式.三、应用提高、拓展创新教科书115页练习1、2、3四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么？五、布置作业：教科书习题14.3第1、4（1）题．教后反思：14.3.2因式分解--公式法（1）教学目标1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用平方差公式来分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式y2-25与多项式x2-4分解因式吗？（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？（2）这两个多项式有什么共同的特点？（a-b）（a+b）=a（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式吗？二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.2-b2来解决这个问题（a-b）=a把整式的乘法公式——平方差公式（a+b）13 / 152-b2反过来就得到因式分解的平方东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：差公式：（1）平方差公式的结构特征是什么？（2）两个平方项的符号有什么特点？适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．例1 分解因式：222（x+p）-（x+q）4x-9（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：44x-y；a）ba-3abx-b-.ab.（1）y ；（2通过对例2的学习，你有什么收获？（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；（2）对具体问题选准方法加以解决四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的平方差公式的结构特征是什么？（3）综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第2、4（2）题教后反思：14.3.2因式分解--公式法（2）教学目标1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．教学重、难点运用完全平方公式分解因式．教学过程设计一、创设情境，激发兴趣你能将多项式a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解因式吗？追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？追问2 这两个多项式有什么共同的特点？（a追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公式来解决这个问题吗？2±b）=a2±2ab+b14 / 15 东兴市京族学校八年级数学上教案备课人：二、知识应用，巩固提高你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.把整式的乘法公式——完全平方公式（a的完全平方公式：我们把a22±b）=a2±2ab+b2反过来就得到因式分解+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．例1 分解因式：22216x+2416xx+9+ 24x+9-x+4 xy-x-4+y4xy-4y（1）；（2）．三、应用提高、拓展创新例2 分解因式：223ax+6axy+3ay +（a2+b）-12（a++36b）+3631ax（ab）-12（a+b）（）+6axy+3ay ；（2）．把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？五、布置作业：教材习题14.3第3、5（1）（3）题教后反思：/ 15第二篇：整式的乘法与因式分解复习教案《整式的乘法与因式分解》复习（一）教案教学目标：知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识教学重点：记住公式及法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解教学方法与手段：讲练结合教学过程：一．本章知识梳理：幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法(3)幂的乘方(4)积的乘方整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式(3)多项式乘多项式(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式因式分解：(1)提公因式法(2)公式法二．合作探究：(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=三、当堂检测1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(ax+b)(x+2)=x-4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a+，b＝5．已知11a2+2=3aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）A、x2+3x－1B、x2+2xC、x2－1D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）2A、x2-x+14 B、1+x2 C、x+xy+12D、x+2x-110．下列多项式中，含有因式(y+1)的多项式是（y 2 - 2 y + 1）A.22222(y+1)-(y-1)(y+1)-(y-1)(y+1)+2(y+1)+1B.C.D.三.课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。