【全程复习方略】2014版高考数学 阶段滚动检测(五)理 北师大版

阶段滚动检测（五）第一～八章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·合肥模拟)已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:(3-a)x-y+a=0,若l1⊥l2,则实数a的值为( )(A)1 (B)2 (C)6 (D)1或22.(2013·赣州模拟)M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为( )(A)相切(B)相交(C)相离(D)相切或相交3.已知点P是曲线y=上的任意一点,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )(A)[0,) (B)[,] (C)(,] (D)[,π)4.(2013·咸阳模拟)已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为( )(A)(B)(C)或(D)或75.(2013·蚌埠模拟)设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( )(A)3 (B)2(C)3(D)26.定义:平面直角坐标系内横坐标为整数的点称为“横整点”,过函数y=图像上任意两个“横整点”作直线,则倾斜角大于45°的直线条数为( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)137.(滚动交汇考查)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是( )(A)+(B)2+3(C)3 (D)8.(2013·抚州模拟)已知抛物线y2=4x,焦点为F,△ABC三个顶点均在抛物线上,若++=0,则||+||+||等于( )(A)8 (B)6 (C)3 (D)09.(滚动单独考查)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( ) (A)0 (B)0或-(C)-或-(D)0或-10.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=.记线段PF1与y轴的交点为Q,O为坐标原点,若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则该椭圆的离心率等于( )(A)2-(B)2-3 (C)4-2(D)-1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·宜春模拟)设m为常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m= .12.若椭圆+=1的离心率e=,则k的值为.13.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果AF的斜率为-,那么|PF|= .14.(2013·安庆模拟)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是.15.(2013·景德镇模拟)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·蚌埠模拟)已知△ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上,求实数m的值.17.(12分)如图,在空间几何体ABCDEF中,底面CDEF为矩形,DE=1,CD=2,AD⊥底面CDEF,AD=1.平面BEF⊥底面CDEF,且BE=BF=.(1)求平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值.(2)已知点M,N分别在线段DF,BC上,且=λ,=μ,若MN⊥平面BCF,求λ,μ的值.18.(12分)(滚动单独考查)数列b n+1=b n+,且b1=,T n为数列{b n}的前n项和.(1)求证:数列{b n-}是等比数列,并求数列{b n}的通项公式.(2)如果数列{b n}对任意n∈N+,不等式≥2n-7恒成立,求实数k的取值范围.19.(12分)(2013·西安模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为-1,短轴长为2.(1)求椭圆的方程.(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A,B两点,若△OAB的面积为(O为坐标原点),求直线AB的方程.20.(13分)(2013·南昌模拟)已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足=,点T(-1,1)在AC所在直线上且·=0.(1)求△ABC外接圆的方程.(2)一动圆过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹Γ的方程.(3)过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P,Q两点,满足·>6,求k的取值范围.21.(14分)(2013·天津模拟)如图,分别过椭圆E:+=1(a>b>0)左、右焦点F1,F2的动直线l1,l2相交于P点,与椭圆E分别交于A,B与C,D不同四点,直线OA,OB,OC,OD的斜率k1,k2,k3,k4满足k1+k2=k3+k4.已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=.(1)求椭圆E的方程.(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M,N的坐标,若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.∵=-,=3-a,∴-(3-a)=-1,解得a=1或2.2.【解析】选C.由已知得:0<+<a2,又圆心(0,0)到直线x0x+y0y=a2的距离为d==>=a.故相离.3.【解析】选D.因为y'=-=-≥-=-1,∴-1≤y'<0,即-1≤tanα<0,又α∈[0,π),∴α∈[π,π).4.【解析】选C.因为4,m,9构成等比数列,所以m2=36,得m=±6.当m=6时,圆锥曲线+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,其离心率e==,当m=-6时,圆锥曲线y2-=1表示焦点在y轴上的双曲线,其离心率e′==,综上可知圆锥曲线的离心率为或.5.【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义求解.【解析】选A.双曲线的焦点为(0,2),(0,-2),所以椭圆中的m=2+4=6,所以椭圆方程为+=1.不妨设点P 为第一象限的交点,根据椭圆和双曲线的定义可知|PF1|+|P F2|=2,|PF1|-|PF2|=2(或|PF2|-|PF1|=2),(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=4|PF1|·|PF2|,即4|PF1|·|PF2|=24-12=12,所以|PF1|·|PF2|=3.6.【解析】选B.共有“横整点”(-3,0),(-2,),(-1,2),(0,3),(1,2), (2,),(3,0),其中满足条件的有(3,0)与(-2,),(-1,2),(0,3), (1,2),(2,)的连线,共有5条;(-3,0)与(-2,),(-1,2)的连线,共有2条;(2,)与(-1,2),(0,3),(1,2)的连线,共有3条;(1,2)与(0,3)的连线,共有1条;综上共计11条.故选B.7.【解析】选A.圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心C(-1,2),半径r=2,由弦长为4可知圆心在直线上,即-a-2b+2=0,即a+2b=2,而+=(a+2b)(+)=(3++)≥(3+2)=+,当且仅当=,即a=2-2,b=2-时取等号.8.【解析】选B.设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,根据已知++=0,且F(1,0),∴x1+x2+x3=3.根据抛物线的定义可知||+||+||=x1+x2+x3+3=6.9.【思路点拨】可画出函数y=f(x)在一个周期内的图像,数形结合求解.【解析】选D.∵f(x+2)=f(x),∴周期T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,结合f(x)是偶函数,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图像如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,∴x=.∴A(,),又A点在y=x+a上,∴a=-.10.【解析】选D.依题知,F1P⊥F2P,所以,△F1QO∽△F1F2P,因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,所以=,所以,=,设椭圆的焦距为2c,则|F1P|=c,|F2P|==c,由椭圆的定义可得:c+c=2a,所以e===-1.11.【解析】∵F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,∴m+9=25,∴m=16.【答案】1612.【解析】①若焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,e2====,解得k=4.②若焦点在y轴上,即0<k+8<9时,a2=9,b2=k+8,e2====,解得k=-.综上,k=4或k=-.答案：4或-【误区警示】本题易由于没有分情况讨论,想当然地以为焦点在x轴上,从而漏掉一解导致错误.13.【解析】抛物线的焦点为F(2,0),准线为x=-2,因为PA⊥l,设P(m,n),则A(-2,n),因为AF的斜率为-,所以=-,得n=4,点P在抛物线上,所以8m=(4)2=48,m=6,因此P(6,4),|PF|==8.答案：814.【解析】整理曲线C1方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心,以1为半径的圆;曲线C2则表示两条直线,即x轴与直线l:y=m(x+1),显然x轴与圆C1有两个交点,直线l与圆C1相交,故有圆心C1到直线l的距离d=<r=1,解得m∈(-,).又当m=0时,直线l与x轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故m∈(-,0)∪(0,).答案：(-,0)∪(0,)15.【解析】如图,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2相切的直线为4x+3y+b=0,联立方程,得即3x2-4x-b=0,则Δ=16+12b=0,解得b=-,所以切线方程为4x+3y-=0,则切点到直线4x+3y-8=0的距离也就是所求的最小值,此最小值即为两直线间的距离,为=.答案：16.【思路点拨】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),确定椭圆的几何量,即可求出以A,B为焦点且经过点C 的椭圆的方程.(2)设出直线方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及Q恰在以MN为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,∴a=2,得b=,椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),令M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程解得3x2-4mx+2m2-4=0,所以若Q恰在以线段MN为直径的圆上,则·=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.17.【解析】(1)如图,分别以DE,DC,DA为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则有A(0,0,1),D(0,0,0),E(1,0,0),F(1,2,0),C(0,2,0).又平面BEF⊥底面CDEF,则点B的横坐标为1,由BE=BF=,EF=2,得点B的纵坐标和竖坐标都为1,即B(1,1,1).设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),又=(-1,0,1),=(0,1,1).得取z=1,得n=(1,-1,1).设平面ABF的一个法向量为m=(x',y',z'),又=(1,1,0),=(0,-1,1),得取y'=-1,得m=(1,-1,-1).由cos<n,m>==,得平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为.(2)由=λ,得M(λ,2λ,0),同理由=μ,得N(μ,2-μ,μ).则=(λ-μ,2λ+μ-2,-μ),由得λ=μ=.18.【解析】(1)对任意n∈N+,都有b n+1=b n+,所以b n+1-=(b n-).则数列{b n-}是等比数列,首项为b1-=3,公比为.所以b n-=3×()n-1,b n=3×()n-1+.(2)因为b n=3×()n-1+.所以T n=3(1+++…+)+=+=6(1-)+.因为不等式≥2n-7恒成立,化简得k≥对任意n∈N+恒成立.设c n=,则c n+1-c n=-=.当n≥5时,c n+1<c n,数列{c n}为单调递减数列,当1≤n<5时,c n+1>c n,数列{c n}为单调递增数列,=c4<c5=,所以n=5时,c n取得最大值.所以要使k≥对任意n∈N+恒成立,k≥.【变式备选】在等比数列{a n}中,a n>0(n∈N+),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和S n.(3)是否存在k∈N+,使得++…+<k对任意n∈N+恒成立,若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴+2a3a5+=25,∴(a3+a5)2=25,又a n>0,∴a3+a5=5,又a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4,而q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,∴q=,a1=16,∴a n=16×()n-1=25-n.(2)∵b n=log2a n=5-n,∴b n+1-b n=-1,b1=log2a1=log216=log224=4,∴{b n}是以4为首项,-1为公差的等差数列,∴S n=.(3)由(2)知S n=,∴=.当n≤8时,>0;当n=9时,=0;当n>9时,<0.∴当n=8或9时,+++…+有最大值,且最大值为18.故存在k∈N+,使得++…+<k对任意n∈N+恒成立,k的最小值为19.19.【解析】(1)由题意,解得a=,c=1,即椭圆方程为+=1.(2)当直线AB与x轴垂直时,|AB|=,此时S△AOB=,不符合题意,故舍去;当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为:y=k(x+1), 代入消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以|AB|=.原点到直线AB的距离d=,所以三角形的面积S=|AB|d=·.由S=,得k2=2,即k=±,所以直线AB的方程为x-y+=0或x+y+=0.【变式备选】直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m ⊥n且椭圆的离心率e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.(1)求椭圆的方程.(2)若直线l过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线l的斜率k的值.(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.【解析】(1)∵∴a=2,b=1,∴椭圆的方程为+x2=1.(2)依题意,设l的方程为y=kx+,由得(k2+4)x2+2kx-1=0,显然Δ>0.x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+)(kx2+)=(4+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=(k2+4)(-)+k·+3=0,解得k=±.(3)①当直线AB的斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由已知m⊥n,得4-=0,即=4.又A(x1,y1)在椭圆上,所以+=1⇒|x1|=,|y1|=.S=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.②当直线AB的斜率存在时:设AB的方程为y=k′x+t,⇒ (k′2+4)x2+2k′tx+t2-4=0,必须Δ>0,即4k′2t2-4(k′2+4)(t2-4)>0,得到x1+x2=,x1x2=.∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0⇔4x1x2+(k′x1+t)(k′x2+t)=0,代入整理得:2t2-k′2=4,S=|AB|=|t|===1, 所以三角形的面积为定值.20.【解析】(1)∵·=0,∴AT⊥AB,从而直线AC的斜率为-3.所以AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).即3x+y+2=0.由得点A的坐标为(0,-2),∵=,∴M(2,0)为Rt△ABC外接圆的圆心.又r=|AM|==2.所以△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.(2)设动圆圆心为D,因为动圆过点N,且与△ABC外接圆M外切,所以|DM|=|DN|+2,即|DM|-|DN|=2.故点D的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2,半焦距c=2的双曲线的左支. 从而动圆圆心的轨迹方程Γ为-=1(x≤-).(3)PQ直线方程为:y=kx-2,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1-k2)x2+4kx-6=0(x≤-).∴解得:-<k<-1.故k的取值范围为(-,-1).21.【解析】(1)当l1与x轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即k3=-k4,∴l2垂直于x轴,得|AB|=2a=2,|CD|==,得a=,b=,∴椭圆E的方程为+=1.(2)焦点F1,F2坐标分别为(-1,0),(1,0).当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0).当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(2+3)x2+6x+3-6=0,∴x1+x2=-,x1x2=.k1+k2=+=m1(+)=m1(2+)=m1(2-)=,同理k3+k4=.∵k1+k2=k3+k4,∴=,即(m1m2+2)(m2-m1)=0.由题意知m1≠m2,∴m1m2+2=0.设P(x,y),则·+2=0,即+x2=1(x≠±1),由当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足,∴P(x,y)点在椭圆+x2=1上,∴存在点M,N其坐标分别为(0,-1),(0,1)(或(0,1),(0,-1)), 使得|PM|+|PN|为定值2.。