多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
第1节多元函数的基本概念
的示 . 意图
y
解 要使函数有意义须满足
1x2y20, 即 x2y21,
所以函数的定义域为
x
D {(x,y) x2y21}.有界闭区域
2.二元函数的定义域
例2 求 函 z数 lny(x) xy 的 定D 义 . 域 x2y21
解 要使函数有意义须满足
y
y x0
二. 多元函数的概念
注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2y2z2a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy f(x,y)x2y2
0
x2y20 x2y20
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
确定空间一点 M(x,y,z),当(x, y) 取遍
D上的一切点时, 得到空间点集
z
M(x, y,z)
{x ,(y ,z)zf(x ,y )(x ,,y ) D }
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面.
而定义域 D 正是这曲面在Oxy 平面上的投影.
D (x, y) y
x
3.二元函数的几何图形
xy
0
x
2
y2
1
0
函数的定义域为
D {(x ,y )y x 0 ,x 0 y ,x 2 y 2 1 }
yx
x
无界开区域
2.二元函数的定义域 例3 求 zarcxs2 in y2 x2y21的 定. 义
4
解 要使函数有意义,必须
x2 4
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数是数学中一种重要的概念，它是在多个变量之间写成的函数，能表示多变量间的关系。
为了便于描述，这里使用z来表示变量的总体，用x, y, u等来索引。
例如，多元函数可以使用表达式
z=f（x，y，u）来表示，这里z是函数的输出，x, y和u是函数的输入。
通过多元函数，可以将多变量之间的关系表示出来，从而更加清楚地理解问题。
在数学中，多元函数的应用比较广泛，可以用来描述物理学中的各种力，比如重力，电力等，也可以用来描述量子力学中的任意力。
此外，还可以用多元函数来描述数学计算机科学中的几何图形，从而研究几何图象的形状及相关的物理量。
总之，多元函数可以为人们提供更丰富的信息，以便更好地理解事物，解决实际问题。
多元函数也可以用来计算极限值，也就是极限的函数值的限制，这可以帮助我们在实际应用中研究函数的极限值。
极限值的计算可以帮助我们找到函数的极值点，从而获得函数的最大值和最小值，从而更好地实现函数的优化。
总之，多元函数是数学中重要的概念，它可以用来描述物理学中的各种力，也可以用来描述数学计算机科学中的几何图形，还可以用来计算函数的极限值，从而更好地解决实际问题。
- 1 -。
多元函数基本概念_OK
闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
22
例5.求
lim xy 1 1. x0 xy
y0
解: 原式
lim 1 1 x0 xy 1 1 2
但非区域 .
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无
界域 .
8
7.2.3多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
9
定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
x0
y0
证:
(x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε , 当0 x2 y2 δ时, 总有
x2 y2
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
15
例2. 设
f
(x,
y)
x
sin
1 y
0
y
sin
1 x
,
,
求证：lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
y2
19
2. 多元函数的连续性
定义7.3 设二元函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某 个邻域内有定义 , 分别给 x0 , y0 一个改变量 x, y, 使得 ( x0 x, y0 y ) 属于 f ( x, y) 的定义域 , 这时 得到函数 z 的改变量
10-1多元函数的基本概念
E-mail: xuxin@
注4. 定义中，当x,y的值取定后，z的取值
就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是 唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数；
但有时候取值是不唯一的，这时我们称之 为多值函数； 例如 x2 y2 z2 9
(0,0)既是边界点也是聚点；
E-mail: xuxin@
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如,
{( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如 {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的 函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.
圆柱体体积 V = r 2 h
体积 V 随 r, h的变化而变化. 或者说, 任给 一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应.
E-mail: xuxin@
长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化. 或者说, 任给 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.
闭区域 开区域与其边界一起称为闭区域．
例如: E1 {(x, y) x2 y2 7}
注6. 两个二元函数相等
即：f(x,y)=g(x,y)充要条件是定义域相等且对应 法则也必须相等。
注7. 二元函数的几何意义
二元函数的图形是一张曲面，其定义域D正是这 个曲面在xoy面上的投影区域。
（其图形见下页）
E-mail: xuxin@
如 z = ax +by + c , 表平面. z a2 x2 y2表上半球面. z a2 x2 y2表下半球面.
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若 z fu .v .w .其 中 u u x ,y .v v x ,y .w w x ,y
那 么 . x z f[u x ,y ,v x ,y ,w x ,y ]的 偏 导 公 式 为
zf uf vf wZ
U
v
x
x ux vx wx
Wy
求 多 元 复 合 函 数 的 偏 导 数 时 ， 可 用 连 锁 规 则 ： 具 体 做 法
为，并设p'(xx, y y)为l上另一点
若lim f (xx, y y) f (x, y) lim f (p') f (p）
0
0
存在，（= x2 y2）
称函数 （ fx ， y ） 在 P 点 沿 方 向 l的 方 向 导 数 存 在 , 记 为 f. l
既 f l
f lim
0
p'f
p
z y
f
y0
x
,
y
在点
x0.y0,fx0,y0 的切线与
轴
正向夹角的正切 tan （即切线对 x 轴的斜率）
3.全微分
若函数 z f x,y 在点 x , y 的全增量 z 可表为
z f( x x ,y y ) f( x ,y 无关，仅与x , y 有关， x2 y2
称 函 数 在 点 （ x ,y ) 可 微 ， 而 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 （ x ,y ) 的 微 分 d z = A x B y
全 微 分 公 式 : dzydxzdy
4.方向导数
x y
设函数z f (x, y)在点P(x, y)的某一邻域U(p)
内有定义。自点p引射线l,设x轴正向到射线l的转角
（ 3 ） 公 式 中 的 复 合 函 数 的 中 间 变 量 、 自 变 量 只 有 一 个 时 .
求 导 记 号 用 d， 多 于 一 个 时 用 。
dx
x
（ 4 ） 利 用 一 阶 全 微 分 形 式 的 不 变 性 质
dzfudufvdvfwdw fu(uxdxuydy)fv(vxdxvydy)fw(wxdxwydy)
且
f e1
fx
f e1
fx
y p'
l y p x 0x
f f e2
y
f e2
f
5.梯 度
设 函 数 zf(x,y)在 平 面 区 域 D 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,称 fif j为 函 数 zf(x,y)在 点 p(x,y)的 梯 度 .
x y
记 g r a d f(x,y) fi f j x y
g(x,y)dxh(x,y)dy
则ug(x,y) x
3. 隐函数求导
uh(x,y) y
a . 如 果 方 程 F ( x ,y ,z ) 0 满 足 隐 函 数 存 在 定 理 的 条 件
可 由 方 程 F ( x ,y ,z ) 0 确 定 z 是 x ,y 的 函 数 ： z f( x ,y )
方 向 导 数 计 算 公 式 ： 若 zfx,y在 px,y是 可 微 的
则ffcosfsin
l x y
若 fx,y在 点 px,y的 偏 导 fx,fy存 在 .则 fx,y在 点 p
沿 x轴 正 向 e1{1,0},y轴 正 向 e2{0,1}， x轴 负 方 向 e'1{1,0}， y轴 负 方 向 e'2{0,1}的 方 向 导 数 存 在
同理有
fyx 0 ,y 0 ly im 0 z y y li y m 0fx 0 ,y 0 y y fx 0 ,y 0 fx yx 0 ,y 0 li y m 0fxx 0 ,y 0 y y fxx 0 ,y 0
二元函数偏导数的几何意义。
x { fx x0, y0 是曲线
（ 1 ） 先 画 出 复 合 函 数 的 连 锁 图 （ 如 上 页 图 ）
（ 2） 连 线 图 中 从 复 合 函 数 到 达 某 自 变 量 的 路 线 有 几 条 ， 公 式 中 就 有 几 项 相 加 .每 条 线 有 几 段 则 该 项 就 有 几 个 偏 导 数 （ 或 导 数 ） 因 子 相 乘 。
习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌 握偏导函数的计算方法。
二 .基 本 概 念
1.二元函数连续
设 函 数 fx,y在 区 域 D 内 有 定 义 ， P0x0,y0是 D 的 内 点 或 边 界 点 ， 且 P 0D,如 果 xl im x0 fx,yfx0,y0则 称 函 数
梯 度 的 模 ： gradf(x,y) fx 2 fy 2 f
梯 度 与 x轴 正 向 转 角 的 正 切 为
tan
x f
y 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的
模为方向导数的最大值，
即f gradf(x,y) l max
f
2
x
fy2
三.计算方法
1 . 多 元 显 函 数 z fx ,y 偏 导 数 的 计 算
第八章 多元函数微分法及其应用
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习题课结构
重点难点
基本概念
典型例题
计算方法 定理结论
练习题
练习题 解答
一.本章的重点、难点、此次习题课达到的目的
重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元 函数求极值。
难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。
对 （ x 或 y ） 求 偏 导 . 把 （ y 或 x ） 看 成 常 量 。
注 意 ： 分 段 表 示 的 函 数 求 偏 导 数 时 ， 各 段 上 用 公 式 求 ， 分 段 点 处 用 定 义 求 .一 般 而 言 ， 分 段 函 数 的 偏 导 数 仍 为 分 段 函 数 .
2.多 元 复 合 函 数 求 偏 导
y y0
fx,y在 点 P 0x0,y0连 续 . 2.二 元 函 数 偏 导 数
设 函 数 zfx,y在 点 P 0x0,y0的 某 一 邻 域 内 有 定 义 .当 y固 定 在 y0而 极 限 lixm 0fx0x,y 0x fx0,y0存 在 ， 称 zfx,y在 x0,y0关 于 x的 偏 导 数 存 在 . 记 f x x 0 ,y 0 l i x m 0z x x l i x m 0 fx 0 x ,y 0 x fx 0 ,y 0