【最新】华师大版九年级数学上册《直角三角形的性质》公开课课件1
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【华师大版】202X九上数学：24.2-直角三角形的性质ppt教学课件
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/122021/3/122021/3/122021/3/12
谢谢观看
讲授新课
一 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
问题引导 1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？
∠A＋∠B=90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º，那么△ABC是直角三角形
B
吗？
是
3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间
有什么关系？
AB2=AC2+BC2
A
C
探究归纳
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较
第24章
学练优九年级数学上（HS） 教学课件
解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解直角三角形及在实际生活中的应用；（重点） 2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会
探究过程中的乐趣.（难点）
2直角三角形的性质(第1课时)课件华东师大版九年级数学上册
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=__5_0_°_ ，∠B=__4_0_°_.
D
B
C
知识讲授
直角三角形的性质
如图，画Rt△ABC，使得∠ACB=90°，∠A=30°.
B
30°
A
C
（1）量一量，看看BC与AB有什么关系？
【发现】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。
A
D
C
B
（1）量一量，看看CD与AB有什么关系？
【发现】CD恰好是AB的一半，即直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。
（2）你能用演绎推理证明这个猜想吗？
知识讲授
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。 求证：
证明：延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
∵ CD是斜边AB的中线，
∵BD、CE是高，M是BC中点，
N
D
E
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
EM
=
1 2
BC
，DM
=
1 2
BC
，
B
M
C
∴EM=DM.
又∵N是ED中点，
∴MN⊥ED
课堂小结
直角三角 形的性质
性质1 性质2 性质3 性质4
直角三角形两个锐角互余
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方（勾股定理）
直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半
直角三角形中30 °角所对的直角 边等于斜边的一半
BC=___9___.
A
B
D
C
总结归纳
直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余；
华师版数学九上 24.2直角三角形的性质(精品课件17页)
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴CE=AB，
∴CD= 1 CE= 1 AB
2
2
E
A
D
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
由此，我们得到直角三角形的又一条性质： (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∠A=30°. 求证：BC=
1 2
AB
A
B
C
证明 作斜边AB上的中线CD，
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思 方法.
回顾
新课导入
归纳已经学过的直角三角形的性质.
(1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理).
直角三角形还具备哪些特殊性质 呢，接下来我们一起探索.
探索 画出Rt△ABC，并画出斜边AB上
的中线CD，量一量，看看CD与AB有
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题.
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半可知，斜边上中线的长为1cm.
2.小明沿倾斜角为30°的山坡，从山脚步行
到山顶的革命烈士纪念碑，共走了120m.求
山顶的高度.
解:由题意可画出如图的直角三角形.
华师大版九年级数学上册《直角三角形的性质》优课件1
15．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB， AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的 木料DE，AD，DF共有_9____米．
16．如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如 果∠A＝30°，BD＝1cm，那么∠BCD＝__3__0_°_，BC＝2______cm， AD＝___3___cm.
9．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则 AB的长度是( C )
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
10．如图，△ABC中，∠C＝90° ，AC＝3，∠B＝30°，点P是 BC边上的动点，则AP长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．如图，是一个直角三角形房梁，BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB ＝10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1，C1，那么B1C1的长是
多少？
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m， ∴BC＝5 m，∵CB1⊥AB，∠B＝90°－∠A＝60°， ∴∠BCB1＝90°－∠B＝30°，∴BB1＝2.5 m， ∴AB1＝AB－BB1＝7.5 m， ∵B1C1⊥AC，∠B1AC1＝30°，∴B1C1＝3.75 m
(2)∵BP＝2PQ，PQ＝3，∴BP＝6，∵PE＝1，∴BE＝7，∵△ABE≌ △CAD，∴AD＝BE＝7
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
16．如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如 果∠A＝30°，BD＝1cm，那么∠BCD＝__3__0_°_，BC＝2______cm， AD＝___3___cm.
9．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则 AB的长度是( C )
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
10．如图，△ABC中，∠C＝90° ，AC＝3，∠B＝30°，点P是 BC边上的动点，则AP长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．如图，是一个直角三角形房梁，BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB ＝10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1，C1，那么B1C1的长是
多少？
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m， ∴BC＝5 m，∵CB1⊥AB，∠B＝90°－∠A＝60°， ∴∠BCB1＝90°－∠B＝30°，∴BB1＝2.5 m， ∴AB1＝AB－BB1＝7.5 m， ∵B1C1⊥AC，∠B1AC1＝30°，∴B1C1＝3.75 m
(2)∵BP＝2PQ，PQ＝3，∴BP＝6，∵PE＝1，∴BE＝7，∵△ABE≌ △CAD，∴AD＝BE＝7
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
九年级数学上册24.2直角三角形的性质教学课件新版华东师大版
____
8cm
A
E B D C
例题讲解
思路引导： 实际上，本题是 计算AD的长. A
60⁰
北
【解】 过点A作AD⊥OB，
则 D ∠AOD=______________. O 直角三角形30⁰所对直 ∴ AD=____________( ). 角边等于斜边的一半 B 东
1、什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
A 直 角 边 直角三角形可表示为：Rt△ABC 斜边 直角边 B
C
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？ 三边之间有什么关系？
互余 （1）直角三角形的两个锐角_________.
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和______ 等于 斜边的平方.
A
C
直角三角形的性质定理之一
在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半。 数学语言表述为： 在Rt△ABC中 B D A 1 ∵CD是斜边AB上的中线 2 ∴CD＝AD＝BD＝ AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
C
思路引导： 中线辅助线作法：将中线延长一倍.
【证明】 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
∴ ∠B=60°
对此，你能得出 ∴ △CDB是等边三角形 什么结论？
D
1 ∴ BC=BD= AB 2
B
C
1、如图在△ABC中，若∠BAC=120°， 9 AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
A
B
D
C
2、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足 为点E，交BC边于点D,
N
D
B
M
C
性质 1
8cm
A
E B D C
例题讲解
思路引导： 实际上，本题是 计算AD的长. A
60⁰
北
【解】 过点A作AD⊥OB，
则 D ∠AOD=______________. O 直角三角形30⁰所对直 ∴ AD=____________( ). 角边等于斜边的一半 B 东
1、什么是直角三角形？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
A 直 角 边 直角三角形可表示为：Rt△ABC 斜边 直角边 B
C
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？ 三边之间有什么关系？
互余 （1）直角三角形的两个锐角_________.
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和______ 等于 斜边的平方.
A
C
直角三角形的性质定理之一
在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半。 数学语言表述为： 在Rt△ABC中 B D A 1 ∵CD是斜边AB上的中线 2 ∴CD＝AD＝BD＝ AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
C
思路引导： 中线辅助线作法：将中线延长一倍.
【证明】 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
∴ ∠B=60°
对此，你能得出 ∴ △CDB是等边三角形 什么结论？
D
1 ∴ BC=BD= AB 2
B
C
1、如图在△ABC中，若∠BAC=120°， 9 AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
A
B
D
C
2、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足 为点E，交BC边于点D,
N
D
B
M
C
性质 1
华师版九年级数学上册《直角三角形的性质》课件精品(2022年新版)
A
B
D
C
2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E， 交BC边于点D,BD=16cm，那么AC的长为__8_c_m__.
A E
B
D
C
学习目标
1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；〔重点〕 2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；〔重点、难点〕 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
【解析】(1)∵当售价定为每件150元时平均每天可销售30 件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(150－100－x)元， 即(50－x)元． 解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可到达2100 元．根据题意，得 (50－x)(30＋2x)＝2 100， 化简，得x2－35x＋300＝0， 解得x1＝15，x2＝20. 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15 元或20元时，商场日盈利可到达2 100元．
B
∟
C
22
练一练 1.Rt△ABC中，斜边AB=10cm，那么斜边上的中线的长为 __5_c_m__.
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=__5_0_°_ ，∠B=__4_0_°_.
D
B
C
二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
例
Rt△ABC中，∠ACB=90
归纳小结
问题4 你能概括一下“变化率问题〞的根本特征吗？解决 “变化率问题〞的关键步骤是什么？
“变化率问题〞的根本特征：平均变化率保持不变；解决 “变化率问题〞的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量， 找出相应的等量关系．
B
D
C
2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E， 交BC边于点D,BD=16cm，那么AC的长为__8_c_m__.
A E
B
D
C
学习目标
1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；〔重点〕 2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；〔重点、难点〕 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
【解析】(1)∵当售价定为每件150元时平均每天可销售30 件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(150－100－x)元， 即(50－x)元． 解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可到达2100 元．根据题意，得 (50－x)(30＋2x)＝2 100， 化简，得x2－35x＋300＝0， 解得x1＝15，x2＝20. 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15 元或20元时，商场日盈利可到达2 100元．
B
∟
C
22
练一练 1.Rt△ABC中，斜边AB=10cm，那么斜边上的中线的长为 __5_c_m__.
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=__5_0_°_ ，∠B=__4_0_°_.
D
B
C
二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
例
Rt△ABC中，∠ACB=90
归纳小结
问题4 你能概括一下“变化率问题〞的根本特征吗？解决 “变化率问题〞的关键步骤是什么？
“变化率问题〞的根本特征：平均变化率保持不变；解决 “变化率问题〞的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量， 找出相应的等量关系．
新华师大版九年级数学上册《直角三角形的性质》精品课件
A
D
A
D
B
E
C
C
B
（4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜
Байду номын сангаас
边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= 250 ,
∠B= 650 ;
练一练
（5）如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、 G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长；
A
E
G
B
F P HC
练一练
（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀， 把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把 剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和 所采用的变换。
A
D
B
C
例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边 等于斜边的一半。
已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠, ∠A= 30°
推论： C
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
几何语言：
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且CD 1 AB
2
∴ΔABC是直角三角形
D B
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段 使它等于短，再证中点。
CE，连接AE，BE。
∴AD=DB。
A
又∵CD=DE，
E
∴四边形AEBC是平行四边形
（对__角__线___互__相__平__分___的__四__边__形___是__平__行__四__）边形
华东师大版数学九年级上册直角三角形的性质ppt演讲教学
A
30°30°
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
60
B
60
C
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
已知：在RtΔABC中，∠ACB=90°,∠A=30°
A
求证：BC= 1 AB
2
D
B
C
推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
D
A
C
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
演绎证明、归纳定理
已知：在RtΔABC中，∠ACB=90o,CD是斜边AB上的中线
1
求证：CD= 2 AB
1
证明：延长CD到E，使DE=CD2 = CE，连接AE，BE。
∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB
小丁同学用圆规和直尺在本子上制作不同的直角三角形，这时高年
级的哥哥跑过来说：“你只要先画一个圆，然后连结直径的两个端点和
圆上任意一点，想得到多少直角三角形就能得到多少直角三角形！”哥
哥到底是信口开河还是确有根据呢？请你利用所学知识，判断这句话的
真实性。
C1
C2
A
B
C3
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
3、△ABC中，∠B＝∠C=15O，AB=10，求△ABC的
面积。
D
A ）30°
5
10
10
B
C
化斜为直
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
30°30°
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
60
B
60
C
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
已知：在RtΔABC中，∠ACB=90°,∠A=30°
A
求证：BC= 1 AB
2
D
B
C
推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
D
A
C
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
演绎证明、归纳定理
已知：在RtΔABC中，∠ACB=90o,CD是斜边AB上的中线
1
求证：CD= 2 AB
1
证明：延长CD到E，使DE=CD2 = CE，连接AE，BE。
∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB
小丁同学用圆规和直尺在本子上制作不同的直角三角形，这时高年
级的哥哥跑过来说：“你只要先画一个圆，然后连结直径的两个端点和
圆上任意一点，想得到多少直角三角形就能得到多少直角三角形！”哥
哥到底是信口开河还是确有根据呢？请你利用所学知识，判断这句话的
真实性。
C1
C2
A
B
C3
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
3、△ABC中，∠B＝∠C=15O，AB=10，求△ABC的
面积。
D
A ）30°
5
10
10
B
C
化斜为直
华东师大版数学九年级上册直角三角 形的性 质ppt演 讲教学
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已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠, ∠A= 30° 求证：BC= AB 1 2 A
D
倍 速 课 时 学 练
证明其逆命题
B
C
在直角三角形中，等于斜边一半的直角边
所对的角等于30°
已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠, BC= 1 AB 2
A
求证：∠A= 30°
D 倍 速 课 时 学 练
∴
A
1 DF= AB=3 (三角形的中位线等于第三边的一半） 2
2、 如图：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿， ∠B＝____。 ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD=AD=BD= AB
20°
1 2
70°
B D C
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当ᇫABC满足什么条件时， 四边形ADEF是矩形？
D
E
F
倍 速 课 时 学 练
A B C
证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍， （１）常用的定理：
2
A
D
C
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
1 已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD AB 2
求证： ΔABC是直角三角形 1 证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
连接AE，BE。
∵CD是边AB上的中线， ∴AD=DB 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 倍 速 课 时 学 练
∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°
倍 速 课 时 学 练
∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０°
（直角三角形两锐角互余）
3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知 AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FE
A
D
F B E
C
倍 速 课 时 学 练
4、以ᇫABC的三边在BC 的同侧分别4.2 直角三角形的性质
温故知新
矩形的判定：
有一个角是直角的平行四边形叫是矩形
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
倍 速 课 时 学 练
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线 求证：CD= AB 1 2
1 证明：延长CD到E，使DE=CD= CE，连接AE，BE。 2
2
E D
A
B
C
1 又 CD AB 2
∴CE=AB
∴四边形AEBC是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：
A
D
∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD= 1 AB。 2
推论：
倍 速 课 时 学 练
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 几何语言：
倍 速 课 时 学 练
G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC
G P H C
B
F
练一练
把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把 剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和
（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，
所采用的变换。
A
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D
B
C
例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边 等于斜边的一半。
倍 速 课 时 学 练
∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=DB。 E 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 （ _________________________________） B ∵ ∠ACB=Rt∠ ∴四边形AEBC是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （______________________________________ ） ∴CE=AB 1 ∴CD= AB。 矩形的对角线相等 （____________________________ ），
∠BAE=30 ，AE=2，则BD=________ 7 A D A D
B
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O
C B （4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜 边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= 250 , ∠B=
E
C
650 ;
练一练
（5）如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、 GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长； A E
使它等于短，再证中点。
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= 2 2 3 BC=1，则AB边上的中线长为________ 2
（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2， 则斜坡的坡比为______ 1 : 15
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B C
D A
练一练
（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
D A
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M N B
C
例2、已知：如图，AB与直线 l 相交于一点，过
点A，B作 AC l 于C， BD l 于D，M为AB的中 点，连结MC，MD。 求证：MC=MD
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E
做一做
1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中
点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０° ∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线 ∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６ 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半） （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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D E
C F
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点， ∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
B
C
说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题
例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F 并加以证明。
A E
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分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系
F D
B
G
C
变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC= 断MN与BD的位置关系，并加以证明。
∠ADC=Rt∠，M是AC的中点，N是BD的中点。试判
C
B
1 在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD AB 2
∴Δ ABC是直角三角形
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
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2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段
D
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证明其逆命题
B
C
在直角三角形中，等于斜边一半的直角边
所对的角等于30°
已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠, BC= 1 AB 2
A
求证：∠A= 30°
D 倍 速 课 时 学 练
∴
A
1 DF= AB=3 (三角形的中位线等于第三边的一半） 2
2、 如图：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿， ∠B＝____。 ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD=AD=BD= AB
20°
1 2
70°
B D C
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当ᇫABC满足什么条件时， 四边形ADEF是矩形？
D
E
F
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A B C
证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍， （１）常用的定理：
2
A
D
C
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
1 已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD AB 2
求证： ΔABC是直角三角形 1 证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
连接AE，BE。
∵CD是边AB上的中线， ∴AD=DB 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 倍 速 课 时 学 练
∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°
倍 速 课 时 学 练
∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０°
（直角三角形两锐角互余）
3、在矩形ABCD中，E是BC上一点，已知 AE=AD,DF垂直与AE于点F,求证：CE=FE
A
D
F B E
C
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4、以ᇫABC的三边在BC 的同侧分别4.2 直角三角形的性质
温故知新
矩形的判定：
有一个角是直角的平行四边形叫是矩形
定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
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定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线 求证：CD= AB 1 2
1 证明：延长CD到E，使DE=CD= CE，连接AE，BE。 2
2
E D
A
B
C
1 又 CD AB 2
∴CE=AB
∴四边形AEBC是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：
A
D
∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD= 1 AB。 2
推论：
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一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 几何语言：
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G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC
G P H C
B
F
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把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把 剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和
（6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，
所采用的变换。
A
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D
B
C
例、求证：在直角三角形中，300角所对直角边 等于斜边的一半。
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∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=DB。 E 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 （ _________________________________） B ∵ ∠ACB=Rt∠ ∴四边形AEBC是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （______________________________________ ） ∴CE=AB 1 ∴CD= AB。 矩形的对角线相等 （____________________________ ），
∠BAE=30 ，AE=2，则BD=________ 7 A D A D
B
倍 速 课 时 学 练
O
C B （4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜 边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= 250 , ∠B=
E
C
650 ;
练一练
（5）如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、 GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长； A E
使它等于短，再证中点。
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= 2 2 3 BC=1，则AB边上的中线长为________ 2
（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2， 则斜坡的坡比为______ 1 : 15
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B C
D A
练一练
（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
D A
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M N B
C
例2、已知：如图，AB与直线 l 相交于一点，过
点A，B作 AC l 于C， BD l 于D，M为AB的中 点，连结MC，MD。 求证：MC=MD
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E
做一做
1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中
点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０° ∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线 ∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６ 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半） （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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D E
C F
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点， ∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
B
C
说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题
例1、已知：如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F 并加以证明。
A E
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分别是BC，DE的中点。试判断FG与DE的位置关系
F D
B
G
C
变式：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC= 断MN与BD的位置关系，并加以证明。
∠ADC=Rt∠，M是AC的中点，N是BD的中点。试判
C
B
1 在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD AB 2
∴Δ ABC是直角三角形
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的定理： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”
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2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段