2019年人教版高考数学一轮复习9.4直线与圆锥曲线的位置关系优质课教案
2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( )．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(xx·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A．3 2 B．2 6 C．27 D．4 2解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b＞0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．(xx·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(xx·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(xx·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝m 2－3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2k 2＋2－m 2－3k 2＋1＝k 2＋k 2＋1－m 2k 2＋2＝k 2＋k 2＋k 2＋2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋bb －a ＋b2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(xx·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－－＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (xx·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y－4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(xx·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， |CD |＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋k 2＋2.由已知得22k 2＋k 2＋2＝322，解得k ＝± 2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋y 1x 2－.因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22x 1＋2y 21x 2－2＝2－2x 222－2x 21·x 1＋2x 2－2＝＋x 1＋x2－x 1－x2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－k＋kk 2＋2＝－＋k 2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (xx·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝ －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 【示例】►(本题满分12分)(xx·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分)所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －2＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．FA →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第9讲 曲线与方程教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程．3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 【复习指导】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。
高考数学(理科)一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB•kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→•oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ•a2c1＋λ，y0＝λ•abc1＋λ.即Ac＋λ•a2c1＋λ，λ•abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2•164k2－b2＋14k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80>0，解得m2<5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－15，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2－85m2－165m2－1＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋81－k2>0x1＋x2＝2k1－k2<0x1x2＝－21－k2>0，∴1<k<2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，解得k<－22或k>22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4>0，即b<134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
《直线与圆锥曲线的位置关系》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】
《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计第一课时◆教学目标1．清楚直线与抛物线的关系，提升学生的数学抽象素养．2.．会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题，提高学生的逻辑推理素养．3．加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：直线与抛物线的三种位置关系教学难点：会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习直线与抛物线的位置关系（2）本节课是学生在学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系的基础上，研究直线与抛物线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用．本节内容也是高考的重点与热点内容．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．（引出课题：直线与圆锥曲线的位置关系）例4：已知点)2,0(A 和抛物线x y C 6:2=，求过点x 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.师生活动：根据上一节学习方法，尝试解决本例．预设的答案:当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点)2,0(A 可知，直线l 就是y 轴，其方程为0=x ，由消去未知数x 得02=y .这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线0=x 与抛物线C 相切如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为2+=kx y ，由方程组⎩⎨⎧=+=xy kx y 622，消去x ，整理得01262=+-y ky .为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有0124)6(02=⨯--≠k k 且，因此可解得43=k ，此时直线l 的方程为0843,243=+-+=y x x y 即. 综上可知，直线l 的方程为08430=+-=y x x 或.教师讲解：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．设计意图：求经过抛物线外一点且与抛物线相切的直线的方程.本题一方面可以考查直线方程斜率存在和斜率不存在两种情况的分类讨论，另一方面也可以通过数形结合认识到从抛物线外一点可作两条切线，若联立方程只求出一条，那么另一条切线的斜率不存在.让学生分析研究的路径并找出合适的方法，激发进一步探究的欲望．问题3：通过上述例题，请同学们总结直线l 与圆锥曲线C 位置关系的判断方法． 师生活动：教师指导学生总结，学生总结完发言．预设的答案:判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0=++C By Ax (B A ,不同时为0)代人圆锥曲线C 的方程0),(=y x F ，消去y (或消去x )得到一元方程02=++c bx ax ．(1)当0=a 时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点.此时，若C 为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行．(2)当0≠a 时，若0>∆，直线l 与圆锥曲线C 相交，有两个不同的交点;若0=∆，直线l 与圆锥曲线C 相切，有唯一的公共点(切点);若0<∆，直线l 与圆锥曲线C 相离，没有公共点．设计意图：通过对例题的总结，得出一般性的结论，有助于学生的理解，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．例5：已知直线2:-=x y l 与抛物线y x C 62-=：相交于B A ,两点，且O 为坐标原点.(1)求弦长|AB|;(2)判断⊥OA OB 是否成立，并说明理由.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)设),(),,(2211y x B y x A ，则2122122)()(||y y x x AB -+-= 因为),(),,(2211y x B y x A 都是直线2:-=x y l 上的点，所以⎩⎨⎧-=-=222211x y x y第二式减去第一式可得1212x x y y -=-，从而2122122122)(2)()(||x x x x x x AB -=-+-=又因为从方程组⎩⎨⎧-=-=262x y y x ，中消去y ，整理可得01262=-+x x ，而且21,x x 是该方程的两个根，因此由韦达定理可知⎩⎨⎧-=-=+1261212x x x x ，所以844)()(12212212=-+=-x x x x x x ， 因此168||2=AB ，从而可知422168||==AB ．(2)设),(),,(2211y x B y x A ，则因此2121y y x x OB OA +=⋅将⎩⎨⎧-=-=222211x y x y 代入上式可得1212121222()80⋅=+=-+=-≠OA OB x x y y x x x x所以⊥OA OB 不成立．设计意图：解法中，同以前一样，我们设了A ，B 两点的坐标，但是解题过程中并没有实际求出，因此使用的也是“设而不求”的方法.该题当然也可以先求出A 与B 的坐标，然后再求弦长，并验证垂直是否成立．四、归纳小结，布置作业问题5：什么是弦长？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解弦长的一些基本概念．布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C.D. 8 设计意图：考查学生对椭圆的几何性质的基本判断．2直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．()()1,55,⋃+∞D ．[)()1,55,⋃+∞设计意图：考查学生利用椭圆的几何性质求椭圆方程．3．过点M （1，1）的直线与椭圆1342222=+y x 交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4x +3y ﹣7=0B ．3x +4y ﹣7=0C ．3x ﹣4y +1=0D ．4x ﹣3y ﹣1=0 设计意图：考查学生对椭圆离心率的理解．参考答案：1．D 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |y 1﹣y 2|=.=△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2=4t =±1，则|AB |=.=8，故选：D.2．【答案】C3．B 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程可得：134221221=+y x ，134222222=+y x 两式相减可得：03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x 解得43-=k 则直线AB 的方程为：3x +4y ﹣7=0．故选：B ．。
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆锥曲线的位置关系教案理解析版
基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。
高中数学_直线与圆锥曲线的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
菏泽第一中学《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计设计人：直线与圆锥曲线的位置关系教学设计设计人：【教材分析】圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．【教学目标】1.知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系2.过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力3.情感、态度与价值观：让学生欣赏圆锥曲线曲线之美，体会数形结合和方程的思想在解决几何问题中的价值，体验探索的乐趣，增强学习数学的乐趣。
【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题，对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究，直线与圆锥曲线的综合应用。
【教学程序与设计环节】——与以前所学知识类比，引起认知上的冲突——通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法——在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视——师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问——巩固本节课的知识及方法【教学过程与操作设计】【情景一】 问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成椭圆、双曲线、抛物线，又有怎样的位置关系呢？如何判定？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】讨论题组1题型一：直线与圆锥曲线的公共点问题1.直线y=kx-k+1与椭圆 14922=+y x 的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (0，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 13.直线2+=kx y 与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，则k 的值为4（A ） 1 (B) 1或3 （C ）0 (D) 1或04.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法，注意利用数形结合。
【公开课教案】《直线与圆锥曲线的位置关系1》教案
直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。
二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L 的方程是：0=++C By Ax ，圆锥曲线的方程是0),(=y x f ，则由⎩⎨⎧==++0)y ,x (f 0C By Ax 消去）或消去y x (,得：02=++c bx ax )0(≠a …………（*） 设方程（*）的判别式ac b 42-=∆ 交点个数问题①当a ＝0或a ≠0，∆＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a ≠0，∆＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a ≠0，∆＜0时，曲线和直线没有交点。
2、直线L 与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L 与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，直线L 的斜率为k ，则2122122124)(1||1||x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+==||11212y y k -+=2122124)(11y y y y k-+⋅+3、设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OMAB ab k k -=⋅。
这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。
【典型例题】例1、已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k 2＋2k －4)x ＋(2k ＋1)2＝0，(*)当k ＝0时，方程(*)为－4x ＋1＝0，即x ＝14，此时直线l 和抛物线只有一个交点，当k ≠0时，Δ＝(4k 2＋2k －4)2－4k 2(2k ＋1)2＝－32k 2－16k ＋16，由Δ＝0，即－32k 2－16k ＋16＝0，得 2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12，∴当k ＝－1或k ＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k ＜－1或k ＞12时，方程(*)没有实根．综上知 ，当k ＝0或k ＝－1，或k ＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k ＜12且k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k ＜－1或k ＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222=+y x 的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最大值(O 为原点)．解：不妨设AB 过焦点(0,1)， 当AB 斜率不存在时显然不合题意．设AB 的方程为y －1＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋k 2，x 1x 2＝－12＋k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k 22＋k 2.又设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝11＋k 2， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝2·1＋k 22＋k 2＝2·1＋k 21＋k 2＋1＝21＋k 2＋11＋k 2≤22，所以S △AOB 的最大值为22.例3. 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以2121x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,2222222121=-=-y x y x ．两式相减是：0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x∴0)(2)(422121=---⋅y y x x ∴42121=--xx y y所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x方法同(1)，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0122222y x y x ，消去y ,得03422=+-x x然而方程的判别式08324)4(2<-=⋅⋅--=∆，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．四．课堂巩固1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （）()A 22()B 322()C 229()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条。
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9.4 直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2＝ax 与直线y ＝(a ＋1)x －1恰有一个公共点，求实a 的值.
【解析】联立方程组⎩⎨⎧=-+=,,1)1(2ax y x a y
(1)当a ＝0
时，方程组恰有一组解为⎩⎨⎧==;0,1y x (2)当a≠0时，消去x 得a ＋1a
y2－y －1＝0， ①若a ＋1a
＝0，即a ＝－1，方程变为一元一次方程－y －1＝0， 方程组恰有一组解⎩⎨⎧-=-=;1,1y x
②若a ＋1a ≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a ＋1)a
＝0，解得a ＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点. 综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－45
. 【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a ≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系a a 1
+＝0，即a ＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代方法解完后，应从几何上验证一下：①当a ＝0
时，曲线y2＝ax ，即直线y ＝0，此时与已知直线y ＝x －1 恰有交点(1,0)；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系为零)；③
当a ＝－45
时直线与抛物线相切. 【变式训练1】若直线y ＝kx －1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实k 的取值范围为( )
A.{1，－1，52，－52}
B.(－∞，－52]∪[52
，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪[52
，＋∞) 【解析】由⎩⎨⎧=--=4,122y x kx y ⇒(1－k2)x2－2kx －5＝0，
⎩⎨⎧=≠-0,112Δk ⇒k ＝±52
，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.
题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例2】(2013辽宁模拟)设椭圆C ：x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2FB .
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)如果|AB|＝154
，求椭圆C 的方程. 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c)，其中c ＝a2－b2. 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),(322
22b y a x c x y
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy －3b4＝0.[]
解得y1＝－3b2(c ＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c －2a)3a2＋b2
. 因为＝2，所以－y1＝2y2，即3b2(c ＋2a)3a2＋b2＝2²－3b2(c －2a)3a2＋b2. 解得离心率e ＝c a ＝23
. (2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以23
²43ab23a2＋b2＝154.由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154
，即a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆的方程为x29＋y25
＝1. 【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系法求椭圆方程.
【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，
过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b
的值为 . 【解析】设直线与椭圆交于A 、B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，
y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0⇒
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2
＝0⇒ax0－by0＝0. 故a b ＝y0x0＝32
. 题型三 对称问题
【例3】在抛物线y2＝4x 上存在两个不同的点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围.
【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l 对称的两点，由题意知k≠0.
设直线AB 的方程为y ＝－1k
x ＋b ， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y b x k y 4,12消去x ，得14k
y2＋y －b ＝0， 由题意有Δ＝12＋4²14k ²b ＞0，即b k
＋1＞0.(*) 且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1k ²x1＋x22＋b.所以x1＋x22
＝k(2k ＋b).
故AB 的中点为E(k(2k ＋b)，－2k).
因为l 过E ，所以－2k ＝k2(2k ＋b)＋3，即b ＝－2k －3k2
－2k. 代入(*)式，得－2k －3k3－2＋1＞0⇔k3＋2k ＋3k3
＜0 ⇔k(k ＋1)(k2－k ＋3)＜0⇔－1＜k ＜0，故k 的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l 对称，则满足直线l 与AB 垂直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y ＝－x2＋3上存在关于x ＋y ＝0对称的两点A ，B ，则|AB|等于( )
A.3
B.4
C.3 2
D.4 2
【解析】设AB 方程：y ＝x ＋b ，代入y ＝－x2＋3，得x2＋x ＋b －3＝0，
所以xA ＋xB ＝－1，故AB 中点为(－12，－12
＋b). 它又在x ＋y ＝0上，所以b ＝1，所以|AB|＝32，故选C. 总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处方法.
2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转为相应方程组的解的讨论，即联立方程组
⎩⎨⎧==++,0),(,0y x f C By Ax 通过消去y(也可以消去x)得到x 的方程ax2＋bx ＋c ＝0进行讨论.这时要注意考虑a ＝0和a≠0两种情况，对双曲线和
抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.[]
3.弦中点问题的处既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.。