5.3 二次函数3
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数基础知识二次函数的概念是指形如22y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数。
其中，a、b、c是常数。
与一元二次方程类似，二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的结构特征是等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二次函数的各种形式之间可以通过变换相互转化。
例如，用配方法可将二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=(-b/2a)，k=(4ac-b^2)/4a。
二次函数的解析式可以表示为一般式、顶点式或两根式。
其中，一般式是2y=ax^2+bx+c，顶点式是y=a(x-h)^2+k，两根式是y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数的图象可以用五点绘图法画出。
首先将二次函数化为顶点式，然后确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，最后在对称轴两侧左右对称地描点画图。
二次函数y=ax^2的性质与a的符号有关。
当a>0时，开口向上，顶点坐标为(0,0)；当a<0时，开口向下，顶点坐标为(0,0)。
顶点坐标为b/2ac−b2/4a以上是二次函数的基本性质，其中y轴和对称轴是直线，顶点是一个点，开口方向和最值是由a的符号决定的。
在具体应用中，可以利用这些性质来帮助我们解决问题。
例如，求函数的最值、确定函数的图像等等。
顶点决定抛物线的位置。
对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向和大小完全相同，只是顶点位置不同。
在二次函数2y=ax^2+bx+c中，a、b、c 与函数图像的关系是：抛物线。
二次项系数a在函数中起着决定性的作用。
当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。
因此，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
九年级数学二次函数(三)浙江版知识精讲
初三数学二次函数（三）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数（三）二次函数的代数性质二. 教学重点目标：二次函数的代数性质主要是指以下两个方面：①函数的增减性质一般地，二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=中自变量x 的取值X 围是一切实数． 当0a >时，在a 2b x -<的X 围内，y 随x 的增大而减小，在a 2b x ->的X 围内，y 随x 的增大而增大；当0a <时，在a 2b x -<的X 围内，y 随x 的增大而增大；在a2b x ->的X 围内，y 随x 的增大而减小．②函数的最值．一般地，二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=自变量x 的取值X 围是一切实数时， 当0a >，a 2b x -=时，函数取得最小值a 4b ac 42-；记作a2b x -=时，)0a (a4b ac 4y 2min >-= 当0a <，a 2b x -=时，函数取得最大值a 4b ac 42-，记作a2b x -=时，)0a (a4b ac 4y 2max <-= 注：在不少有着实际背景限制条件下的二次函数的求最值问题，一般应求出自变量的取值X 围后通过作函数在自变量取值X 围内的图象来直观地确定函数的最大或最小值．【典型例题】例1. 已知二次函数的对称轴是直线2x -=，且图象过点（1，4）和（－3，0）问：当x 为何值时，函数取得最值？最值是多少？解析： 二次函数的图象是抛物线，且图象关于对称轴对称．∴点（－3，0）关于直线2x -=的对称点为（－1，0）∴设这个二次函数为)0a )(3x )(1x (a y ≠++=又图象过点（1，4）∴当1x =时4y =，4a 42=⨯，21a =∴ )3x )(1x (21y ++=∴ 显然021a >=，图象开口向上，∴函数有最小值，∴当2x -=时，21y min -= 或者：设图象的顶点为（－2，k ），则k )2x (a y 2++=图象经过点（1，4）和（－3，0）∴解方程⎩⎨⎧=+=+0k a 4k a 9得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21a 21k 21)2x (21y 2-+=∴ ∴当2x -=时，21y min -=例2. 数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四个同学在一起探讨代数式5x 4x 2+-的值的情况，他们分工如下：甲负责找使代数式的值为1时的x 值为多少，乙找值为0时的x 值，丙与丁负责找代数式的最值．几分钟后，他们各自通报了探究的如下结果：甲：当2x =时，5x 4x 2+-的值为1；乙：不能找到这样的实数x ，使5x 4x 2+-的值为0．丙：5x 4x 2+- 的值是随着x 的变化而变化着的，∴找不到变化中的最小值；丁：只要2x >时，5x 4x 2+-的值总是随着x 的增大而增大，∴最大值肯定不在这个X 围内．你认为他们的探究结果是否正确？为什么？解析： 他们探究的结果都是与代数式5x 4x 2+-的值有关．∴不妨设5x 4x y 2+-= 其中y 随着x 的变化而变化，且x 的取值为一切实数． 当2x =时，代入5x 4x y 2+-=中得∴=,1y 甲对；若0y =，则05x 4x 2=+-．但∴<-=+-,014x 4x 2无论x 取何实数值，∴≠+-,05x 4x 2乙对；抛物线5x 4x y 2+-=对称于直线2x =，且2x <时，y 随x 的增大而减小；2x >时，y 随x 的增大而增大．∴当且仅当2x =时，∴=,1y min 丙错，由此可见丁正确．例3. 如图，是函数c bx ax y 21++=和18c x )15b (x )3a (y 22++-++=在同一个直角坐标系里的图象．它们与x 轴交于A 、B 、C 三点．①若D 是右边一支抛物线的顶点，其纵坐标为2-，求它们的解析式；②在自变量x 的取值X 围内，分别讨论函数21y ,y 的增减性质以及求它们的最值． ③x 在什么X 围内，212121y y ?y y ?y y <=>？解析：①21y ,y 均为二次函数（如图）且∴>+,a 3a 可判定左边的一条为函数1y 的图象，右边为2y 的图象．又21y ,y 的图象均过点B 、D18c x )15b (x )3a (c bx ax 22++-++=++∴即06x 5x 2=+-32x 或=∴3x ,2x D B ==∴)2,3(D ),0,2(B -∴2)3x )(3a (y 22--+= 过点B （2，0）2)3x (2y ,1a 22--=∴-=∴且18c x )15b (x )3a (2)3x (222++-++=--∴解得2x 3x y ,2c ,3b 21-+-=∴-==，其对称轴为23x = ②对于抛物线1y ，易知当23x <时，y 随x 的增大而增大，23x >时，y 随x 的增大而减小，当23x =时，最大值41y 1=； 对于抛物线2y ，当3x <时，y 随x 的增大而减小；3x >时，y 随x 的增大而增大，当3x =时，最小值2y 2-=．③由图显然可知，当2x =时，21y y =；当2x <或3x >时，21y y <；当3x 2<<时，21y y >【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 已知二次函数1a x 4ax y 2-++=的最小值是2，则a 的值是______．2. 已知当x 取一切实数时，4q px x 2≥++，且2x =时，5y =，则p ＝______，q ＝_______． 3. 二次函数)0a (c bx ax y 2>++=的图象与x 轴两个交点的横坐标为)x x (x x 2121<和，则不等式0c bx ax 2≥++的解是（ ）A. 21x x x <<B. 21x x x x ><或C. 21x x x ≤≤D. 21x x x x ≥≤或4. 已知二次函数25x 3x 21y 2++=，当1.3x -=时1y y =，当3x -=时，2y y =；当8.2x -=时，3y y =，比较321y y ,y 和，下列关系式中正确的是（ ）A. 231y y y >>B. 321y y y >>C. 132y y y >>D. 213y y y >>5. 抛物线1m m 22x )m 21(y +--=，当0x >时，y 随x 的减小而增大，则m 的值为______．6. 抛物线n x m mx y 22+-=的图象过直线2x 2y +-=与坐标轴的两个交点，则x 取何值时，0y <？x 在什么X 围内，y 随x 的减小而增大？7. 将一X 边长为16cm 的正方形硬纸片的四个角都剪去一个边长xcm 的小正方形（x 为3②观察上表，容积V 的值是否随x 值的增大而增大？当x 取什么值时，容积为最大？最大的容积为多少3cm ？8. 某班50人经统计原先每人每年购买饮料的平均支出为a 元，但若他们集体改饮桶装水，则年总费用包括水的费用以及饮水机，电费等其他费用共780元．其中桶装水的销售价为x 元/桶，与年购买总量y （桶）之间满足如图所示的关系．)①求y 关于x 的函数关系式；②若该班每年喝桶装水380桶，且a 为120时，请根据提供的信息分析他们集体饮用桶装水与个人买饮料，哪一种花费更少？③当a 至少为多少时，饮用桶装水一定合算？为什么？试题答案1. 42. ⎩⎨⎧=-=5q 2p 或⎩⎨⎧=-=13q 6p 3. D 4. D 5. 1 6. 当2)1x (2y -=时，不存在实数x ，使1x 0y <<且时，函数为减函数，y 随x 的减小而增大7. ①空格内从左到右依次填上300，256．提示：由题意可得)8x 0()x 216(x V 2<<-=②不是，但3x =时，3max cm 300V =．8. ①720x 80y +-=②买桶装水花费更少．提示：买饮料全班全年共6000元买桶装水380桶，则价格为4.25元/桶．故全年共2395元6000<元③48．提示：设该班每年买桶装水共用W 元则2)29x (801620xy W --== 1620W ,29x max ==∴时当（元） 当一定合算时，48a ,W 780a 50max ≥∴+≥．。
九年级二次函数知识点讲解
九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。
本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。
二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。
二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。
对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。
通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。
三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。
顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。
根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。
当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。
四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。
当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点以下是九年级上册数学二次函数的主要知识点：1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a≠0。
2. 抛物线的性质：二次函数的图像是抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值点：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，当a>0时，最值点为抛物线的最低点，记作（h，k），其中h = -b/ (2a) ，k = f(h) ；当a<0时，最值点为抛物线的最高点。
4. 对称轴：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴为x = -b/ (2a) 。
5. 零点：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过因式分解、配方法、根判定式等方法求得。
6. 平移变换：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过将函数的参数a、b、c进行适当的变换来实现。
7. 判别式和根的数量：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式为Δ = b^2 - 4ac，若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。
8. 特殊二次函数：特殊二次函数是指形如f(x) = k(x - h)^2 + k'的二次函数，其中h、k、k'为常数。
特殊二次函数的图像是抛物线经过平移、缩放和翻转变换得到的。
9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中有广泛应用，例如抛物线运动问题、汽车车灯的设计、桥梁设计等。
以上是九年级上册数学二次函数的主要知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学上册：二次函数3
巩固训练
见《优化设计》第31页轻松尝试应用第1 题3、4、5、6、7题
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三、课堂小结
y=a(x-h)²+k • 对称轴 直线 x=h ▪ 顶点 （h，k） • 最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k
当a<0时x=h时，y有最大值k
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2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
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2 .请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的平移关系。 y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系
将抛物线y=ax²沿y轴方向平移c个单位,得抛物线 y =ax²+c 将抛物线y=ax²沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2
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二、合
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.
知识要点
y=a(xh)²+k
开口方 对称 顶点 最值
向
轴
增减情况
a>0
向上 x=h (h,k) x=h时,有 x<h时, y随x的增大而减小; x>h时,y随
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图
象与性质
一、情景引入 二、合作探究 三、课堂小结
探究点一 二次函数y=a（x-h）2+k 的图象、性质及平移
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
四、课后作业
一、情景导入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和 增减变化情况:
1)y=ax2
探究点一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象、性质及平 移
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学主要学习了以下二次函数的知识点：
1. 二次函数的定义：二次函数是一种具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中
a、b和c是实数且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。
开口向上的抛物线对应的二次函数的二次系数大于0，开口向下的抛物线对应的二次函数的二次系数小于0。
3. 抛物线的顶点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，顶点的横坐标是x = -b/2a，纵坐标是f(-b/2a)。
4. 抛物线的对称轴：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，对称轴的方程是x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，焦点的横坐标是x = -b/2a，纵坐标是f(-b/2a) + 1/(4a)。
6. 抛物线的平移和缩放：通过改变二次函数的系数a、b和c，可以平移、缩放和翻转抛物线的图像。
以上就是九年级上册数学中二次函数的主要知识点。
除此之外，你还可以学习二次函数的性质、二次函数与一次函数、指数函数等函数的关系，以及解二次方程等相关的内容。
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。
本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。
一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。
二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。
二次函数关于y轴对称。
2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。
当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。
3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。
当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。
三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。
平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。
例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。
3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。
缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。
例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。
四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。
根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。
-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。
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5、3二次函数（3）
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数的图像；
2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
学习重点:
会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、
对称轴及顶点坐标。
学习难点:
确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
学习过程:
一、探索新知
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数
的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．（见课本P33页）
2、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
4：我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值
决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
5、抛物线有什么关系？
6、它们的位置有什么关系？
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
二、总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
3、抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？
三、我来总结：见P34页方框内的内容，并记忆。
四、巩固练习：课本P35页，课后练习1、2题。
教学反思：
五、达标检测：
1、抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）
A ．直线x=－1
B ．直线x=1
C ．直线x=2
D ．直线x=2 2、、已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2） 3、将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为___ ___．
4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ]
A ．向上平移1个单位；
B ．向下平移1个单位；
C ．向左平移1个单位；
D ．向右平移1个单位．
5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ]
A ．y=-3(x-1)2-2；
B ．y=-3(x-1)2+2；
C ．y=-3(x+1)2-2；
D ．y=-3(x+1)2+2．
6、要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ] A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
7、抛物线23
2y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ）
A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23
(1)2
y x =-+Ｄ．
8、把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522
+--=x y B. ()522
++-=x y
C. ()522
---=x y D. ()522
-+-=x y。