对称性与守恒定律

第七章 对称性与守恒定律

* §7.1 守恒量的平均值和测量取值几率

⒈ 力学量平均值随时间变化的方程

在本征态中，如果测量力学量F ，则每时刻都可测得确定值。而在任意状态(),x t ψ中测量，力学量F 一般不显含时间t ，则在每一时刻测量结果一般没有确定值。但(),x t ψ可以按F 的本征态系n φ做完全展开，所以测量F 本征值的几率是确定的，有确定的分布。这样，每一时刻在任意态(),x t ψ下，力学量F 有确定的平均值。在定态下，不显含时间t 的力学量算符F 的平均值不随时间变化。

(),x t ψ：t 时刻的任意状态（归一化的）

F ()()ˆ,,x t F x t ψψ=()()*ˆ,,x t F x t dx ψψ=⎰

其中(),x t ψ和ˆF

都可能是时间的函数，则F 也可以是时间的函数。 量子力学中，讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映

的。ˆF F

ψψ= dF

dt ()

ˆˆ

F F t t

ψψψψ∂∂=+∂

∂

ˆˆˆF F F

t t t ψψψψψψ⎛⎫∂∂∂=

++ ⎪∂∂∂⎝⎭

利用含时薛定谔方程 1ˆH t

i

ψψ∂=

∂

ˆ11ˆˆˆˆF H F F H i i t ψ

ψψψψψ

∂=++

∂ ˆ11ˆˆˆˆF H F FH i i t

ψψψψψψ∂=-++∂ 利用ˆH

的厄密性ˆˆH H

ψϕψϕ=

ˆ

11ˆˆˆˆF

HF FH i i t ψψψψψψ∂=-++∂

(

)

ˆ1ˆˆˆˆF

HF FH i

t

ψψψψ∂=-+∂ 1ˆˆ,F F H t i

∂⎡⎤=

+⎣⎦∂

即

1ˆˆ,dF F

F H dt i t ∂⎡⎤=+⎣

⎦∂ 力学量平均值随时间变化的方程。

⒉ 守恒量

⑴ 定义：在任意状态下，力学量的平均值不随时间变化，即为与时间无关的常量。

数学：

0dF

dt

= （F 与t 无关的常量）

⑵ 力学量守恒的条件

0F t

∂=∂说明ˆF 不显含时间t （ˆ0F t ∂=∂）（ˆF 不显含t ， ˆ0F t ∂=∂而ˆdF dt 不一定为0） 不特别声明，一般ˆ0F t

∂=∂，如ˆr ，

ˆp ，ˆL F F F F dF dx dy dz dt x y z t

∂∂∂∂=

+++∂∂∂∂ ˆˆ,0F

H ⎡⎤=⎣⎦

即ˆF 与ˆH 对易，也可以作为守恒量的定义

⑶ 性质特点

① 体系在任意状态下，平均值不随时间变化。这是守恒量物理上的定义。

② 体系在任意状态下，测量力学量（不显含t ）取值的几率分布不随时间变化。

证明：F 为守恒量，因为ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣

⎦

，所以ˆF 、ˆH 有共同完全本征函数系{}n

φ，则有ˆn n n

H E φφ=和ˆn n n F f φφ= 对任意态(),r t ψ

(),r t ψ()()n n n

c t r φ=∑

()()(),n n c t r r t φψ=

为了求()2

n c t 随时间的变化

()n dc t dt ()(),n d r r t dt φψ=()

(),n r t r t

ψφ∂=∂ （1ˆ

H t i ψψ∂=∂） ()()1ˆ,n r H

r t i

φψ=

利用ˆH 的厄密性 ()()1ˆ

,n H r r t i

φψ=()()*

,n n E r r t i φψ=()n n E c t i = 关于()n c t 的一阶微分方程，其解为：

()n c t ()0n i

E t

n c e

-⋅=⋅ ()()22

0n n c t c = 与t 无关。

∴

()2

0n d c t dt

=

③ 问题：量子体系的守恒量一定取确定值吗？

不一定（一定取确定的平均值） 量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 若初始时刻，体系不处于守恒量F 的本征态，则此后任意时刻也不会处于F 的本征态，即守恒量不取确定值，违者违背性质②。 若初始时刻体系处于守恒量F 的本征态，则此后任何时刻它将处于F 的属于同一本征值的本征态中，否则也违背性质②。这时守恒量的量子数称为好量子数，就是与能量同时有确定值的力学量的量子数。

⒊ 守恒定律

举例说明 ˆF 不显含t ，则ˆ0F t

∂=∂，ˆˆ,0

F H ⎡⎤=⎣⎦

⑴ 自由粒子的动量（守恒）

ˆp i =-∇， ˆ0p t

∂=∂， 2ˆˆ2p H μ=， 2ˆˆˆˆ,,02p p H p μ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，所以动量是守恒量 因为

dp dt 1ˆˆ,0p H i ⎡⎤

==⎣

⎦，量子力学中的动量守恒定律

⑵ 中心力场运动粒子的角动量（2

ˆL ，ˆx L ，ˆy L ，ˆz

L ） （守恒） ()()U r U r =，中心势场，对坐标原点各向同性

ˆH

()2

2

2U r μ=-∇+， 2

ˆ0L t

∂=∂ ，ˆ0i L t ∂=∂ 不显含时间 可以证明2

ˆˆ,0L H

⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦

，即角动量是守恒量 物理理解：在绕原点转动变换下，如2r r r =一样，2

2

∇=∇=∇∇也表现为一个标量，

即不变化。而势()U r 也不变化，于是ˆH

在绕原点转动变换下保持不变，可以证明，这时轨道角动量L 和2L 是守恒量，即2

ˆˆ,0L H

⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦

数学理解：如对2ˆL ，将2

ˆL 与ˆH

采用球坐标的表述。 球极坐标下：

2

∇2222222111sin sin sin r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2

2,2

1r

r θϕ=∇+∇ 2ˆ

L 22

2211sin sin sin θθθθθϕ⎡⎤∂∂

∂⎛⎫

=-

+ ⎪⎢⎥

∂∂∂⎝⎭⎣⎦

⇒ 2

∇2

2222

ˆ

1L r r r r r ∂∂⎛⎫=-

⎪∂∂⎝⎭ ∴ˆH

()2

22,212r U r r θϕμ⎛⎫

=-∇+∇+ ⎪⎝⎭

()()2

22

22ˆ2r L U r r μ⎡⎤

⎢⎥=-

∇++-⎢⎥⎣

⎦

()2

222

ˆ22r

L U r r

μμ=-∇++ 2

ˆL 只对角变量作用，r 与,θϕ独立 2ˆˆ,0L H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

θ的函数与r 的函数对易，22ˆˆ,0L L ⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦

2ˆL 与r 无关

所以

221ˆˆ,0d L L H dt i

⎡⎤==⎢⎥⎣⎦