晶体的对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体的对称性
反映出晶体外形和其宏 观性质的对称性 当晶体围绕某一轴回转 若通过晶体作一平面，使 当晶体绕某一轴回转到 若晶体中所有的点在经 而能复原时，此轴即为 晶体的各对应点经此平面 一定角度时，再以轴上 过某一点反演后能复原， 回转对称轴。 反映后都能重合一致，则 的一个中心点做反演之 则该点就称为对称中心， 在回转一周的过程中， 该平面称为对称面，用符 用符号i表示 后能复原时，该轴称为 晶体能复原几次，就称 号 m— 表示 回转 反演轴。 几次对称轴。 晶体中实际可能存在的 对称轴有1、2、3、4和 6种，用国际符号1、2、 3、4、6表示。 5次及高于6次的不可能 存在
微观对称元素
（ （2 1）螺旋轴 ）滑动面
与宏观对称要素配合运用反映出晶 体中原子排列的对称性
螺旋轴是由回转 它是由一个对 轴和平行于轴的 称面加上沿着 平移所构成。晶 此面的平移所 体结构可借绕螺 组成，晶体结 旋轴回转一定角 构可借此面的 度同时沿此轴平 反映并沿此面 移一定距离而得 平移一定距离 而复原。 到重合，从螺旋 轴称为n次螺旋 轴。
晶 系 对 称 要 素
三 单 斜 斜 1 -1 m 2 2/m
正交 2mm 222 2/m 2/m 2/m
四方 -4 4 4/m -4 2 m 4mm 422 4/m 2/m 2/m 1个4或-4
菱方 3 -3 3m 32 -3 2/m
六方 -6 6 6/m -6 2 m 6mm 622 6/m 2/m 2/m 1个6或-6
点群及空间群
点群:晶体形态中全部对称要素的组合称为该晶体 形态的对称型或点群。
晶体的对称性可通过一些对称要素的运用而体现， 各种晶体因其对称性不同所具有的对称要素也不 同。晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称要 素在一点上组合应用而得出，但这些组合并不是 任意的例如对称面不能不能与位于此面以外的对 称中心或任意倾斜的对称轴组合。因此，分析了 各种可能组合情况后确定只有32种点群。点群在 宏观上表现为晶体外形的对称。32种点群见表
07-2.3晶体的对称性
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
晶体的对称性
晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。
这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。
晶体的对称性是晶体极其重要的性质。
中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。
应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。
由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。
晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。
这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。
矿物晶体的对称性
物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
对称轴的寻找：1）通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2；2）通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L2、L3、L4、L6；3）通过角顶的直线——L3、L4、L6。
固体物理学-晶体对称性
轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3，4，6
2.n度象转轴简析
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分析，可以
得到象旋转轴只有 4 是独立的。
Solid State Physics
(1) 1 象转轴—实际上就是对称心i
z ( u轴 )
A
A 点 绕 旋 转 轴 (z 轴 ) 旋
于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，
称作点群。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。
这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。
所以又称宏观对称性。
**在数学分析中需要考虑晶体结构周期性重复的制约。当晶体具有一个以上
如图所示，A和A'等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示— ;
(2)国际符号表示—m。
z
A
A
y
O
x
x , y, z
A
A
x , y, z
O-xy 相当于镜面。
Solid State Physics
镜面操作的数学描述
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
0 0
0
0
1
|A|=1 or -1
单位矩阵
Solid State Physics
基本对称操作
平移（Translation）
中心反演（Inversion）—具有对称中心
转动（Rotation)—具有对称轴
镜面（Reflection)—具有对称面
平移是一切晶体的内部结构都具有的对称性
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
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学习内容: 1.5.1 对称性与对称操作 1.5.2 晶系和布拉维原胞
如何科学地区别下列平面图形？
圆
正方
等腰梯形
不规则四边形
2
§1.5 晶体的宏观对称性
—— 晶体在几何外形和结构上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现 1. 晶体的宏观对称性的描述
对称性——在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作
—— 立方体的对称操作共有48个
一个物体的全部对称操作构成一对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1.对称操作与线性变换 经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
B
1 cos 0 , , 1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1,2,3 ,4,6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转 对称轴中不存在五次轴，只有1，2， 3，4，6度旋转对称轴。
(4)旋转--反演对称
( x 1 , x 2 , x 3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
平移对称性 转动对称性 反演对称性 物体的对称操作越多，其对称性越高
例 立方体的对称操作
1) 绕 三 个 立 方 轴转动
—— 9个对称操作
4/25
2) 绕6条面对角线轴转动
—— 共有6个对称操作
5/25
3) 绕4个立方体对角线 轴转动 —— 8个对称操作
4) 不动操作
—— 1个对称操作
6/25
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
a11 a12 A a21 a22 a a 31 32
x1 X x 2 x 3 a13 a23 a33
x1 X x 2 x 3
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， 则
O x1
X ( x1 , x2 , x3 )
1 0 x1 0 x1 x x 0 cos sin 2 2 x 0 sin cos x 3 3
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
2
2
2
2
2
2
~ AA I
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。
2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
x3
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O
x2
操作前后，两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x1
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
设计一种五边形， 用它铺满一个平面 而不留下空隙，有 多少种？这一直是 数学界的一个难题。
(2)中心反映(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
( x 1 , x 2 , x 3 ) 变为 ( x 1 , x 2 , x 3 )
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
1 cos 0 , ,1 2
AB 是 AB的整数倍，
2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2 π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则
B
A
A1
A B A B 1 2 co s θ ,
AB 是 AB的整数倍，
B1
A
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面)
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
( x 1 , x 2 , x 3 ) 变为
x1 x1 x2 x2 x x 3 3
x2
x1 x1
x2 cos x3 sin
x R cos R cos cos R sin sin 2
x R sin R sin cos R cos sin 3
x2 sin x3 cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶面 上的一个晶列，AB为这一晶列 上相邻的两个格点。
A 1
B
A
B1 A B
A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重
B
B1
A
A B
A1
合，则由于晶体的周期性，通过格
点B也有一转轴u。
A B A B 1 2 co s θ ,