湘潭大学2014年上学期2010级《线性代数I》重修考试试卷答案
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
完整word版线性代数考试题及答案解析
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分，1201、本试卷共6页，五个大题，满分100答卷说明：_…_…__…号2、闭卷考试。
…学）线（_总分五三四一二_…__…题号_…__…_分数_…__…_…________________ :_____________ 总分人：评阅人…_名…姓…) 分分,共24一、单项选择题。
(每小题得分……）级封班（11?31_…__…111?3__?…行列式【】1._1?311…__…_3111?_…_业……专3021(B) (D)(A) (C) …__…__…???A?A32?3?A阶方阵，数2. 】设，为，则【_…__）_6?624?24 (D) (A) (C) (B) _密_系（n,BA,阶方阵，则下列式子一定正确的是【】3.已知为…__…__…_222B?2(A?B)AB?A?BAAB? (A) (B)_…_…__…_22B?A?B?B)(A?)(A BA?AB (D) (C)_…__…_…_?0??aA?A3A【】4.设，则为阶方阵, _…__……243aaaa (D) (A) （ B) (C)AB等价，则有 5.设矩阵与【】专业技术参考资料WORD格式整理R(A)?R(B)R(A)?R(B) (A) (B)R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小不能确定 (C) 和 (D)n Ax?0Ax?0A r有非零解的系数矩阵【】6.设，则元齐次线性方程组的秩为的充分必要条件是r?nr?nr?n nr? (B) (C) (D) (A)a,a,,a(m?2) 向量组】【 7. 线性相关的充分必要条件是m21a,a,,a (A) 中至少有一个零向量m12a,a,,a (B) 中至少有两个向量成比例m12a,a,,a m?1(C) 个向量线性表示中每个向量都能由其余m21a,a,,a m?1(D) 个向量线性表示中至少有一个向量可由其余m21n A与对角阵相似的充分必要条件是阶方阵】8. 【nn)?R(A A个互不相同的特征值有(A) (B)n AA一定是对称阵个线性无关的特征向量 (D)(C)有) 分,共15二、填空题。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
2014年10月04184自学考试线性代数试题(卷)与答案
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
历年2014-2009全国自考线性代数试题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.122．计算行列式=----32320200051020203（ ）A.-180 B.-120C.120 D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
历年自考线性代数试题真题及答案分析解答.docx
全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．已知 2 阶行列式a1a 2m ， b1 b2 n ，则 b 1 b 2（ B ）b 1 b 2c 1 c 2 a 1 c 1 a 2 c 2A ． m nB ． n mC ． m nD ． (m n)b 1b 2b 1 b 2 b 1 b 2m nn m ．a 1 c 1 a 2c 2 a 1a 2 c 1c 22．设 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB BA ， AC CA ，则 ABC （ D）A ． ACBB ． CABC ． CBAD ．BCAABC ( AB)C(BA)C B( AC ) B(CA)BCA ．3．设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 | A | 1 ， | B | 2 ，则行列式 || B | A |之值为（ A）A ． 8B ． 2C ． 2D ．8|| B | A | | 2A | ( 2) 3 | A |8 ．a11a12a 13 ，a 113a 12a13， 1 0 0，1 0 0，则 B （ B）4．A a 21 a 22a 2321 3a 22a 23B aP 0 3 0 Q 3 1 0a 31a32a33a313a 32a330 0 1 0 0 1A ． PAB ．APC ． QAD ．AQa 11 a 12 a 13 1 0 0a 11 3a 12 a 13 B ．AP a 21a 22 a 230 3 0 a 21 3a 22a 23a31a32a330 0 1a313a 32a335．已知 A 是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（C）A ．若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩 ( A )=2B ．若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩 ( A )=2C ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06．下列命题中错误的是（C）．．A．只含有 1 个零向量的向量组线性相关B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C．由 1 个非零向量组成的向量组线性相关D． 2 个成比例的向量组成的向量组线性相关线性无关，1 , 2 , 3 , 线性相关，则（D）7．已知向量组1,2 , 3A． 1 必能由 2 , 3 ,线性表出B．2必能由 1 , 3 ,线性表出C． 3 必能由 1 , 2,线性表出D．必能由 1 , 2 , 3 线性表出注： 1 ,2,3是 1 ,2,3,的一个极大无关组．8．设A为m n矩阵，m n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n 注：方程组 Ax=0有 n 个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）A．A T B．A2C．A1D．A| E A T | | (E A)T| |E A |，所以A与 A T有相同的特征值．10．二次型 f ( x1, x2, x3)x12x22x322x1 x2的正惯性指数为（C）A． 0B．1C． 2D．3f (x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2x32y12y22，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．行列式20072008的值为 _____________．200920102007200820002000782．200920102000200091012．设矩阵A1 1 3， B20，则 A T B_____________．2010112022A T B1220．01361 113 ．设(3,1,0,2) T，(3,1,1,4) T，若向量满足 2 3 ，则__________．32(9,3,3,12) T(6,2,0,4) T( 3,5,3,8)T．14．设A为n阶可逆矩阵，且| A |1，则 | | A1| _____________．n| A 1 |1n ．| A |15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则| A |_____________．n 个方程、 n 个未知量的Ax=0有非零解，则| A |0．16．齐次线性方程组_____________．x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为2x1x23x30A 1 11 1 11，基础解系所含解向量的个数为213031n r 3 21．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是 3 ，则矩阵1 A21必有一个特3征值为 _________．，则1A2有特征值1( 3) 2 3 ，1A21A 有特征值3有特征值1．333318．设矩阵A 1222x0 的特征值为 4,1, 2 ，则数 x _____________．200由 1 x 0 4 1 2 ，得 x 2．a 1 / 2019．已知A 1/ 2b0是正交矩阵，则 a b _____________．001由第 1、2 列正交，即它们的内积1( a b) 0 ，得 a b0．20．二次型 f ( x1, x2, x3)4x1x22x1 x36x2 x3的矩阵是_____________．02120 3 ．130三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21．计算行列式Da b ca2 b 2 c 2的值．a a3b b3c c3解： Da b c a b c111 a 2b2 c 2 a 2 b 2c2abc a b c a a 3 b b3 c c3 a 3 b 3c3 a 2b2 c 2abc( b a)( c a)11abc(b a)(c a)(c b) ．b ac a22．已知矩阵B(2,1,3)， C(1,2,3) ，求（1） A B T C ；（2） A2．解：（1）A B T C 22461 (1,2,3)123；33692（2）注意到CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A2(B T C)( B T C)B T (CB T ) C13B T C 13A13123．36923．设向量组1(2,1,3,1) T , 2(1,2,0,1) T ,3( 1,1,3,0) T , 4 (1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．211111011101解： A ( 1, 2, 3121112110110, 4 )0313*******3110121110111 110111011011011001100110，向量组的秩为3，1,2,4000200010001000100000000是一个极大无关组，31 2．24．已知矩阵A 1231401 2 ，B25．（1）求A1；（ 2）解矩阵方程AX B．00113解：（1）( A, E )123100120103 012010010012 0010010010011001211210 1 0 0 12， A 10 12；001001001（2）X A1B 12114490 1 2 2 50 11．001131325．问a为何值时，线性方程组x12x23x342x2ax3 2 有惟一解？有无穷多2x12x23x36解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．123412341234解：( A, b)02 a 202a202a2．2236023200 a 3 012341204 a3时，r ( A, b)r ( A) 3 ，有惟一解，此时 ( A, b)02a202020010001010021002x1202020101， x2 1 ；00100010x3012 3 4 a 3 时， r ( A,b) r ( A)2 n ，有无穷多解，此时 ( A,b)02 3 20 0 01 0 02 1 0 0 2 x 12 230 2 3 2 0 1 3 / 2 1 ， x 2 1，通解为 1k 3 / 2 ，其中 k 为x 30 0 0 00 0 02 01x 3x 3任意常数．2 0 026．设矩阵 A 03 a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及0 a 3可逆矩阵 P ，使 P 1 AP1 0 00 2 0 ．0 0 52 0 03 a解：由 | A |0 3 a 22 (9a 2) 1 2 5 ，得 a24 ， a2 ．a 3 0 a32 0E A0 3 2 ．23对于 11，解 ( E A) x 0 ：10 0 1 0 0 x 1 0 0E A0 2 2 0 1 1 ， x 2x 3 ，取 p 1 1 ；220 0 0x 3x 31对于 22 ，解 ( E A) x 0 ：0 0 0 1 0 x 1 x 1 1E A 012 0 0 1 ， x 20 ，取 p 2 0 ；210 0 0x 3 0对于 35 ，解 ( E A)x 0：30 0 1 0 0 x 1 00 E A0 2 2 0 1 1 ， x 2 x 3 ，取 p 31 ．220 0x 3 x 311 0，则 P 是可逆矩阵，使 P 1AP 1 0 0令 P ( p 1 , p 2 , p 3 )10 1 0 2 0 ． 10 10 0 5四、证明题（本题 6 分）27．设 A ，B ， AB 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( AB) 1 A 1B 1 ．证：A ，B ，A B 均为 n 阶正交阵， 则 A T A 1 ，B TB 1 ，( A B)T( AB) 1 ，所以( A B) 1 ( A B) T A T B TA 1B 1．全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设 3 阶方阵 A( 1 ,2 ,3 )，其中i（ i 1,2,3 ）为 A 的列向量，若| B | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ，则 | A | （ C）| A | | ( 1 , 2 , 3 ) | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ．A ． 12B ． 6C ．6D ． 123 0 2 02．计算行列式2 10 5（ A）0 0 2232 3A ． 180B ． 120C ． 120D ． 1803 0 2 0 3 0 22 10 5 03 0180 ．2 10 5 33 ( 2) 300 0 2 3( 2)100 022232 33．若 A 为 3 阶方阵且 | A 1 | 2 ，则 | 2A |（ C）A ．1B ．2C ． 4D ．82| A |1， | 2A | 23| A | 8 1 4 ．224．设 1 , 2 ,3 , 4都是 3 维向量，则必有（B）A ． 1, 2 ,3 ,4线性无关B ． 1 , 2 , 3 ,4 线性相关C ． 1 可由 2 , 3 ,4 线性表示D ． 1 不可由 2 , 3 ,4 线性表示 5．若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax =0 基础解系中解向量的个数为 2，则 r (A) （C）A． 2B．3C． 4D．5由 6 r ( A) 2 ，得 r ( A) 4．6．设A、B为同阶方阵，且r ( A)r ( B) ，则（C）A．A与B相似B．| A | | B |C．A与B等价D．A与B合同注： A 与 B 有相同的等价标准形．7．设A为 3 阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则| A2E |（ D）A． 0B．2C． 3D．24A2E 的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）．．A．A与B等价B．A与B合同C．| A | | B |D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量(1,2,1) 与(2,3, t) 正交，则t（ D）A．2B．0C． 2D．4由内积 2 6t0，得 t4．10．设 3 阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0 ，则（B）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定对应的规范型 2z12z220z320 ，是半正定的．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．设A32211，则AB01， B______________．0102 4321653AB02110．1120022 4412．设A为 3 阶方阵，且| A | 3 ，则 | 3A 1 | ______________．| 3A 1 | 33 | A 1 | 33133 19 ．| A |313．三元方程x1x2x3 1 的通解是______________．x1 1 x2x3111x2x2，通解是 0k11k2 0 ．x3x300114．设( 1,2,2)，则与反方向的单位向量是 ______________．11( 1,2,2) ．||||315．设 A 为5阶方阵，且r ( A) 3 ，则线性空间W { x | Ax 0} 的维数是______________．W { x | Ax 0} 的维数等于 Ax0 基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 ．16．| 5A 1 | 53153125 ．| A | 2 (1/ 2)117．r ( AB) Ax 0若A、 B 为 5 阶方阵，且Ax0 只有零解，且 r ( B)3 ，则______________．只有零解，所以 A 可逆，从而r ( AB) r ( B) 3 ．21018．实对称矩阵101所对应的二次型 f (x1 , x2 , x3 ) ______________．011f (x1 , x2 , x3 ) 2 x12x322x1 x2 2x 2 x3．19．设 3 元非齐次线性方程组Ax11b 有解12，2 2 ，且 r ( A) 2 ，33则Ax b 的通解是______________．1( 11112 ) 0是 Ax 0 的基础解系， Ax b 的通解是 2k 0 ．203020．设12，则 A T的非零特征值是 ______________．31由T(1,2,3)2 14 ，可得 A2( T ) T14T14A，设A的非零特3征值是，则214，14 ．三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分）2000121．计算 5 阶行列式D 02000 00200．00020 10002解：连续3次按第2行展开，2001201020021D402088324 ．202012102100220010014322．设矩阵X满足方程010 X 00120 1 ，求X．002010120解：记 A200100143010， B001 ， C20 1 ，则 AXB C ，0020101201 / 200100A 1010，B 100 1 ，001/ 201011431001134 402001420．2212001010223．求非齐次线性方程组x1x23x3 x4 1的通解．3x1x 23x34x44x15x29x38x 40113111*********解： ( A, b)31 3 440 4 6710467 1 1598004671000004 412 4 4 4 0 6 3510 3 / 2 3 / 45 / 40467 104 6 7101 3 / 27 / 4 1 / 4 ，000000000000000x153x33x4 5 / 4 3 / 2 3 / 4 424x2137x4，通解为 1 / 4k13 / 2k27 / 4，k1 ,k 2都是任意常数．4x342010x3x3001x4x424．求向量组1(1,2,1,4) ，2(9,100,10,4) ，3( 2,4,2,8) 的秩和一个极大无关组．192192192解：( 1T, 2T, 3T2100415020410)1021102019014481120801 92 1 02010010，向量组的秩为2，1,2是一个极大无关组．00000000000021225．已知A 5a3的一个特征向量(1,1, 1) T，求 a,b 及所对应的1b2特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．21211解：设是所对应的特征值，则 A，即 5a311，从1b211 1而 a 2，可得 a 3 ， b 0 ，1；b 1对于1，解齐次方程组 ( E A) x0：2 12 3 1 2 1 0 1 1 0 1 E A53 3 5 2 3 5 2 3 0 2 21 0210 13 120 1 11 0 1 x 1 x 310 1 1 ， x 2x 3 ，基础解系为 1 ，属于 1 的全部特征向量为0 0 0x 3x 311k1 ， k 为任意非零实数．126．设 A2 1 1 21 21 a ，试确定 a 使 r ( A)2 ．1 12 2解： A21 12 1 1 2 2 11 2 2 1 2 1 a2 11 20 3321 12 212 1a 03 3 a 21 12 20 3 3 2 ， a0 时 r (A) 2 ．0 00 a四、证明题（本大题共1 小题， 6 分）27．若 1 , 2 , 3 是 Axb （ b 0 ）的线性无关解，证明21 ,3 1是对应齐次线性方程组Ax 0 的线性无关解．证：因为 1 ,2 ,3是 Ax b 的解，所以21， 31是 Ax 0 的解；设 k 1 ( 21 )k 2 ( 31 )0，即 ( k 1k 2 ) 1k 1 2k2 30 ，由 1 , 2 ,3线性k 1 k 2 0无关，得 k 1，只有零解 k 1 k 20 ，所以21 ,31线性无关．k 2 0全国 2011 年 1 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， A -1 表示方阵 A 的逆矩阵， r ( A ) 表示矩阵 A 的秩，（ , ）表示向量 与 的内积， E 表示单位矩阵， | A | 表示方阵 A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）a 11a12a13=4，则行列式2a112a122a131. 设行列式a21 a 22a23 a 21 a 22 a 23=（）a 31a32a333a313a323a332.设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A，B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（）3. 已知A2+A- E=0，则矩阵A-1 =（）+E+E4. 设 1 , 2 , 3 , 4 ,5 是四维向量，则（）A.1, 2 , 3 , 4 ,5 一定线性无关B. 1 , 2 , 3 , 4 ,5 一定线性相关2 ,C. 5一定可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示D.1一定可以3 ,4 , 5线性表出5. 设A是n阶方阵，若对任意的n 维向量 x 均满足 Ax=0,由则（）=0=E(A)= n<r( A)<(n)6. 设A为n阶方阵，r ( A)< n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）=0只有零解=0的基础解系含r ( A)个解向量=0的基础解系含n- r( A) 个解向量=0没有解7. 设 1 ,2 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）A. 1 2 是Ax=b的解B.1 2 是Ax=b的解C. 31 2 2是Ax=b的解D. 2 1 3 2是Ax=b的解8. 设1，2，3为矩阵 A=39004 5的三个特征值，则1 2 3 = 002（）9.设 P 为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P , P）=（）A. 12C. 3210. 二次型 f ( x1, x2, x3)=x12x22x32 2 x1 x22x1x3 2 x2 x3的秩为（）二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
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A 1 B 1
充分条件 充要条件
( B) ( D)
必要条件 既不充分也非必要条件
（第 1 页 共 4 页）
得分
三、 （共 10 分）
0
计算 4 阶行列式 D
1 1 2 1 2 1 0 1 2 0 1 0
1 1 1
解：
得分
四、 （共 12 分）
x1 x 2 3 x3 x 4 1 求解线性方程组 3 x1 x 2 3 x3 4 x 4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解：
（第 2 页 共 4 页）
得 分
五、 （共 12 分） 设向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存 在一组全不为零的数 1 , 2 , 3 , 4 ，使 1 1 2 2 3 3 4 4 0 .
A : | AB T | 3 2 B : | AB T | 6 C : | AB T | 32 D : | AB T | 2 3
4. 设 A , B 均为 n 阶方阵，则下列等式中成立的有（
C ）.
1
C : AB BA A: A B A B B : AB BA D: A B 5． n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互异是 A 与对角矩阵相似的( A )。 ( A) (C )
得分 1．排列
一、
填空题（每小题 3 分，共 15 分）
的逆序数是 __8__。 -16 . (3,6,15)。 含 因 子 .
a11 a 44
2．设 A 是 4 阶矩阵，且 A 1 ，则 2 A 1 = 4．设 5．在 四 阶 行 列 式 中
3．若 n 阶矩阵 A, B 满足 AB I ， I 为 n 阶单位阵，则 A1 =_____B_____. , 则 ，
得分
八、 （ 共 12 分 ）利用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的
正交变换, f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 。
（第 4 页 共 4 页）
得 分
六、 （共 12 分） 求向量组 1 (1, 1, 1) , 2 (1, 2 , 0 ) , 3 (2 , 3 , 1 ) , 4 (3 , 5 ,1 ) 的秩 和一个极大无关组。
（第 3 页 共 4 页）
得分
七、 （共 12 分）
0 1 0 1 1 解矩阵方程 AX B X ，其中 A 1 1 1 ， B 2 0 。 1 0 1 5 6
的
项
为
得分
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） C ）.
C : | A | 0 D : | A | 0
1．矩阵 A 可逆的充要条件是（
A: A 0
B: A0
2.
下列 的子集是 的子空间的是( B )。 A: C: B: D:
3. 若矩阵行列式 | A | 3 ， | B 2 ，那么（ B ）.
湘潭大学 2014 年上学期 20 10 级《线性代数》 重修考试试卷
适用年级专业 计算机等 考试方式 闭卷 考试时间
学院 学号
题 号 得 分 ……………………………………………………………………………………………………………… 一 二 三 四 五 六
120 分钟
专业 姓名
七
班级
八 总分 阅卷 教师
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