基于异步电动机动态数学模型的矢量控制变压变频调速系统

6、异步电动机在三相静止轴系中的数学模型性 质 1）异步电动机数学模型是一个多变量（多输入/ 多输出）系统； 2）异步电动机数学模型是一个高阶系统； 3）异步电动机数学模型是一个非线性系统； 4）异步电动机数学模型是一个强耦合系统。 综上所述，三相异步电动机在三相轴系上的数学 模型是一个多变量、高阶、非线性、强耦合的复 杂系统。
根据正方向的规定，可以列出图7-8所示电机的定、转子 绕组的电压微分方程组
u R i p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) A A A AA A AB B AC C A a a Ab b Ac c
4、转矩方程
5、异步电动机在静止轴系上的数学模型
u Ri L i r Li J d TL n p dt f i A , i B , iC , ia , ib , ic d r dt di dt dL d
Ψ T T
ei ei
q b q b
ωr d O θr a a d
c
c A(定子A轴)
图7-6 异步电动机转子坐标系
(3)同步旋转坐标系（M-T坐 标系） 同步旋转坐标系的M （Magnetization）轴固定在 磁链矢量上，T（Torque）轴 超前M轴90°，该坐标系和磁 链矢量一起在空间以同步角 速度 s 旋转，各坐标轴之间 的夹角如图7-7所示。
7.1 矢量控制的基本概念
7.1.1 直流电动机和异步电动机的电磁转矩 dn 基本运动学方程式 Te TL J dt 可知，对于恒转矩负载的起、制动及调速时，如 果能控制电动机的电磁转矩恒定，则就能获得恒 定的加（减）速运动。当突加负载时，如果能把 电动机的电磁转矩迅速地提高到允许的最大值 （Teimax），则就能获得最小的动态速降和最短 的动态恢复时间。可见，任何电动机的动态特性 如何，取决于对电动机的电磁转矩控制效果如何。
f
矢量控制的基本概念（续）
在异步电动机中，同样也是两个磁场相互作用产生电磁 转矩。与直流电动机的两个磁场所不同的是，异步电动 机定子磁势 F 、转子磁势 F 及二者合成产生的气隙磁势 F (Φ ) 均是以同步角速度 在空间旋转的矢量。 s 综上所述，直流电机的电磁转矩关系简单，容易控制； 交流电机的电磁转矩关系复杂，难以控制。但是，由于 交、直流电动机产生转矩的规律有着共同的基础，是基 于同一转矩公式建立起来的，因而根据电机的统一性， 通过等效变换，可以将交流电机转矩控制化为直流电机 转矩控制的模式，从而控制交流电机的困难问题也就迎 刃而解了。
图7-5 异步电动机定子坐标系
(2)转子坐标系（a-b-c）和旋转坐标系（d-q） 转子坐标系固定在转子上，其中平面直角坐 标系的d轴位于转子轴线上，q轴超前d轴 90°，如图7-6所示。对于异步电动机可定 义转子上任一轴线为d轴（不固定）；对于 同步电动机，d轴是转子磁极的轴线。从广 义上来说，d-q坐标系通常称作旋转坐标系。
（7-7）
u p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) R i p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) a a A A a B B a C C a a aa a a b b a c c
u p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) R i p ( L i ) p ( L i ) b bA A bB B bC C b a a b b bb b bc c
3、运动方程 一般情况下，机电系统的基本运动方程式 为 Jd D K
T T ei L r n dt n n p p p
对于恒转矩负载，D=0，K=0，则有
T ei T L J d np dt
2 T n L [( i i i i i i ) sin ( i i i i i i ) sin( ) ei pm A a B b C c r A b B c C a r 3 2 ( i i i i i i ) sin( )] f ( i , i , i ; i , i , i ) A c B a C b r A B C a b c 3
r
2 2 n T n F sin n F sin e pm s s p m r r 2 2
p



矢量
θs = npθm s
θr = npθmr
其中 θ ms 、θ mr 为机械角；
为气隙合成磁势空间矢量， 当忽略铁损时与磁通矢量 Φm同轴同向。
交流电动机的坐标系与空间矢量的概念
1、交流电动机的坐标系 交流电动机的坐标系（也称作轴系）以任 意转速旋转的坐标系为最一般的情况，其 中静止坐标系（旋转速度为零）、同步旋 转坐标系（旋转速度为同步转速）是任意 旋转坐标系的特例。 (1)定子坐标系（A-B-C和-坐标系），如图 7-5所示。
三相电机定子中有三相绕组，其 轴线分别为A、B、C，彼此相差 120°，构成一个 A-B-C三相坐标 系。数学上，平面矢量可用两相 直角坐标系来描述，所以在定子 坐标系中又定义了一个两相直角 坐标系——-坐标系，它的轴与A 轴重合，β轴超前轴90°，也绘 于图7-5中，。 由于轴和A轴固定在定子绕组A相 的轴线上，所以这两个坐标系在 空间固定不动，称静止坐标系。
7.2异步电动机在不同坐标系上的数学模型
考虑到一般情况，本节首先建立三相异步电动机 在三相静止坐标系上的数学模型，然后通过三相 到两相坐标变换将三相静止坐标系上的数学模型 变换为二相静止坐标系上的数学模型，再通过旋 转坐标变换，将二相静止坐标系上的数学模型变 换为二相旋转坐标系上的数学模型，最终将二相 旋转坐标系上的数学模型变换为二相同步旋转坐 标系上的数学模型，以实现将非线性、强耦合的 异步电动机数学模型简化成线性、解耦的数学模 型，从而就可以研究异步电动机变压变频调速系 统的矢量控制策略了。
A B C a b c
L AA L BA L CA i L = = L aA L bA L cA
L AB L BB L CB L aB L bB L cB
L AC L BC L CC L aC L bC L cC
L Aa L Ba L Ca L aa L ba L ca
动机矢量控制变压变频调速系统
内容提要：
1、对比直流电动机电磁转矩和异步电动机电磁转矩的异同 及内在联系，给出矢量控制的基本思路和基本概念； 2、建立异步电动机在三相静止坐标系上的动态数学模型， 利用矢量坐标变换加以简化处理，得到二相静止坐标系 和二相旋转坐标系上的数学模型，进而获得二相同步旋 转坐标系上的数学模型； 3、将处理后的异步电动机数学模型与直流电动机数学模型 统一起来，导出矢量控制方程式和转子磁链方程式； 4、根据矢量控制方程式及转子磁链方程式，按直流电动机
在建立数学模型之前，必须明确对于正方向的规 定，如图7-8b所示，正方向规定如下： 1）电压正方向（箭头方向，下同）为电压降低 方向 ； 2）电流正方向为自高电位流入，低电位流出方 向； 3）电阻上的电压降落正方向为电流箭头所指的 方向 ；
4）磁势和磁链的正方向与电流正方向符合 右手螺旋定则，在不能区分线圈绕向的绕 组中，电流正方向即代表磁势和磁链的正 方向 ； 5）电势的正方向与电流正方向一致 ； 6）转子旋转的正方向规定为逆时针方向 。
异步电动机在静止坐标系上的数学模型
1、异步电动机在三相静止轴系上的电压方 程式（电路数学模型） 图7-8a表示一个定、转子绕组为星形连接 的三相对称异步电动机的物理模型，其中 无论电动机转子是绕线型还是笼型均等效 为绕线型转子，并折算到定子侧，折算后 的每相匝数都相等。
ωr a
图7-8 三相异步电动机物理模型和正方向规定 a) 三相异步电动机物理模型 b) 正方向规定
L Ab L Bb L Cb L ab L bb L cb
L Ac L Bc L Cc L ac L bc L cc

iA i B iC ia ib i c
(7-16)
式（7-16）称为磁链方程，显然这是一个十分庞大的矩阵方程， 其中L矩阵是6×6的电感矩阵。
u p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) p ( L i ) R i p ( L i ) c c A A c B B c C C c a a c b b c c c c c
2、磁链方程
Ψ =
矢量控制的基本概念（续）
由电机学可知，各种电动机的电磁转矩具有统一的表 达式
F r 为定、转子磁势矢量 式中， 为电机的极对数；F s 、 的模值；Φm为气隙主磁通矢量的模值； s、 r 为定子 F 磁势空间矢量 F 、 转子磁势空间矢量分别与气隙 s 合成磁势空间矢量 F 之间的夹角(见图7-1)
式中
CMD
Na 2 a
np
称为直流电机转矩系数
矢量控制的基本概念（续）
图7-2 直流电机主极磁场和电枢磁势轴线
矢量控制的基本概念（续）
由图7-2可以看出，主极磁通 Φ d 和电枢电 流方向（指该电流产生的磁势方向）总是 互相垂直的，二者各自独立，互不影响。 需要进一步指出的是，由于电枢电流 I a 和 励磁电流 I 都是只有大、小和正、负变化 的直流标量，因此，把电枢电流和励磁电 流作为控制变量的直流调速系统是标量控 制系统，而标量控制简单，容易实现。
T
q
β
ωs O φs φL M(磁链轴)
d(转子轴)
λ
ωr
α(定子轴－A轴)
图7-7 各坐标轴的位置图
空间矢量概念