2018-2019学年度最新北师大版数学选修2-3教学案：第二章2超几何分布
高中数学 北师大选修2-3 2.2超几何分布
X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
那么变量
X
的分布列应为： P(X
k)
C5K
C5k 5
C150
⑴某人获得精美小礼品的概率是：
P(X 2) 1 P(x 2) 113 126
⑵他能获得一套丛书的概率是：
P( X
5)
C55C50 C1501Fra bibliotek25213
【范例讲解】
例 4.一袋子中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜
P( X
数，那么：
k)
C C k nk M NM CNn
，其中 k 为非负整数。
如果随机变量 X 的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N, M , n 的超几何分布。
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【新课讲解】
超几何分布
2.超几何分布的分布列：
X
0
1
k
P
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。 则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知： X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
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【范例讲解】
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。
则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知：
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【复习】
离散型随机变量
离散型随机变量的定义：如果对于随机变量的所有取值可 以一一列出的的随机变量称之为“离散型随机变量”。 判断一个随机变量是否是离散型随机变量，主要看变量的 取值能否按一定的顺序逐一列举出来。
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【复习】
离散型随机变量的分布列
选修2-3数学(理)213《超几何分布》教案设计
2.1.3 超几何分布【教学目标】①理解超几何分布及其特点②通过超几何分布的推导过程，能加深对超几何分布对理解并会简单应用，求出简单随机变量的概率分布.【教学重点】对超几何分布的理解【教学难点】超几何分布的应用一、 课前预习问题1、一个班级有30名学生，其中有10名女生。
现从中任选3名学生当班委，令变量X 表示3名班委中女生的人数。
试求X 的概率分布。
问题2 设50件商品中有15件一等品，其余为二等品。
现从中随机选购2件，用X 表示所购2件中的一等品件数，写出X 的概率分布。
【归纳总结】：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为==)(m X P 。
随机变量X 的分布列为：那么称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为n M N ,,的超几何分布.二、 课上学习例1、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：〔1〕取到的次品数X的分布列；〔2〕至少取到1件次品的概率.例2、某车间生产产品50件，其中5件次品,45件正品，今从这批产品中任意抽取2件，求抽到次品的概率。
例3、老师要从10首古诗中随机抽3首让学生背诵，规定至少要背出其中2首才能及格。
某同学只能背诵其中的6首。
试求：(1)抽到他能背诵的数量的分布表；(2)他能及格吗？及格的概率有多大？三、课后练习1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，〔1〕求抽出1个白球和2个红球的概率；〔2〕设其中含有白球的个数为X，求X的分布列.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率。
2.2超几何分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§2 超几何分布●三维目标1．知识与技能(1)理解超几何分布及其推导过程．(2)能用超几何分布解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：利用超几何分布求概率．难点：超几何分布的综合应用．教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点.(教师用书独具)●教学建议教学时通过例题让学生归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布．⇒通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布的分布列的求法⇒通过例2及变式训练掌握利用超几何模型．求相应事件的概率．⇒通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列．【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为。
高中数学 2.2 超几何分布(二)教案 北师大选修2-3
2.2超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子 例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列 课堂练习： 课后作业：。
北师大版数学【选修2-3】练习：2.2 超几何分布(含答案)
第二章 §2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[答案] D[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710故选D. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.C 116C 24C 320 B.C 216C 24C 320C.C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[答案] D[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A.15B.35 C.310 D.110[答案] B[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案] 0.7[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是________． [答案] 0.001 8[解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8. 三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．N ＝20，M ＝4，n ＝3.利用P (ξ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N求出概率值，则分布列可得．[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320.∴ξ的分布列为[点评] P (ξ＝m )＝C m M C n －mN －M C n N的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8[答案] B[解析] 设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[答案] B[解析] 由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)[答案] C[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415 D ．1[答案] C[解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率 [答案] B[解析] A 中“恰有1个是坏的概率”为P 1＝C 13C 37C 410＝105210＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为P 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为P 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为P 4＝P 1＋P 2＋P 3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案] 37[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245. 即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析] (1)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2.所以X 的分布列为(2)P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解析] (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为[点评] 值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y ＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3) 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.。
2018-2019学年度北师大版数学选修2-3教学案：第二章2超几何分布
§2超几何分布[对应学生用书P23]已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．P (X ＝1)＝C 13C 15C 28.问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5C 28.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．[对应学生用书P23][例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．答案：10,3,53．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.[例2] (10分)若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，(2分)所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. (8分)从而随机变量X 的分布列为所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57. (10分)[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.。
2018版高中数学北师大版选修2-3学案：第二章 章末复习
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题．一、离散型随机变量的分布列1．定义设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：________________________①或把上式列成下表2．求随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量X的取值．(2)准确求出X取每一个值时的概率．(3)列成表格的形式．3．离散型随机变量分布列的性质(1)________，i＝1,2，….(2)________________．二、条件概率与独立事件1．A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝P(AB) P(A).2．对于两个事件A，B，如果________________，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．3．求条件概率的常用方法(1)定义：即P(B|A)＝________.(2)借助古典概型公式P(B|A)＝________.三、离散型随机变量的均值与方差1．定义：一般地，设随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，a n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则EX＝________________叫作这个离散型随机变量X的均值．E(X－EX)2是(X－EX)2的均值，并称之为随机变量X的方差，记为________．2．意义：均值刻画的是X取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的____________．四、超几何分布与二项分布1．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．那么P(X＝k)＝________________(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX ＝________.2．二项分布在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X 表示这n次独立重复试验中成功的次数，则P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)．称为X服从参数为n，p的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．五、正态分布1．正态分布的分布密度函数为f(x)＝1σ2πexp{－(x－μ)22σ2}，－∞<x<∞，其中exp{g(x)}＝eg(x)．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称．(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%.P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%.P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.类型一条件概率的求法例1口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P (B |A )＝P (AB )P (A )；(2)P (B |A )＝n (AB )n (A ).在古典概型中，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数．跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．类型二 互斥、对立、独立事件的概率例2 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词，每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和均值．反思与感悟 (1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ＋B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率． 跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P (ξ≤1)．类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差例3 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．反思与感悟求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的均值与方差．类型四正态分布例4某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．反思与感悟(1)记住正态总体在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题．跟踪训练4已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(－3≤X≤1)的值是________．类型五分类讨论数学思想方法的应用例5某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．反思与感悟解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．跟踪训练5某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)．1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( )A.13B.14C.16D.122．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.1603．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)A ．4.6%B ．13.6%C ．27.2%D ．31.7%4．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________．5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列和均值．1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝P(AB)P(B)⎝⎛⎭⎫或P(B|A)＝P(AB)P(A)求解．(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝n(AB)n(A)求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A∪B)＝1－P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用超几何分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布的分布密度函数．(2)理解分布密度曲线的性质．(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率．答案精析知识梳理 知识点一1．P (x ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 3．(1)p i >0 (2)p 1＋p 2＋…＝1 知识点二2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．(1)P (AB )P (A )(2)n (AB )n (A ) 知识点三1．a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r DX 2．平均程度越小 知识点四1.C k M C n －k N －M C nN n M N2．C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n ) 题型探究例1 解 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个， 所以P (AB )＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝336636＝12.方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n (AB )＝3. ∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝36＝12.例2 解 (1)设“英语老师抽到的4个单词中，至少有3个是后两天学习过的”为事件A ，由题意可得P (A )＝C 36C 16＋C 46C 412＝311. (2)由题意可得ξ可取0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫152×25＝2125，P (ξ＝1)＝C 12×45×15×25＋⎝⎛⎭⎫152×35＝19125， P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫452×25＋C 12×45×15×35＝56125， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫452×35＝48125. 所以ξ的分布列为故Eξ＝0×2125＋1×19125＋2×56125＋3×48125＝115＝2.2.跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.由对立事件的概率公式，知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝0.45.例3 解 (1)从10人中选出2人的选法共有C 210＝45(种)，事件A ：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有C 13C 14＋C 23＝15(种)，∴事件A 发生的概率P ＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. (2)X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415，∴X 的分布列为∴EX ＝0×415＋1×715＋2×415＝1.跟踪训练3 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)X 的可能取值是1,2,3， 则P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45＝23，所以X 的分布列为EX ＝1×16＋2×16＋3×23＝52，DX ＝E (X －EX )2＝16×⎝⎛⎭⎫1－522＋16×⎝⎛⎭⎫2－522＋23×⎝⎛⎭⎫3－522＝712. 例4 解 ∵考生成绩X ～N (500,502 )， ∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X <600)＝12[P (500－2×50<X <500＋2×50)－P (500－50<X <500＋50)]＝12(0.954－0.683)＝0.136， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.136＝340. 跟踪训练4 0.8解析 由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以 P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.例5 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三个问题均答对， 得10＋10＋20＝40(分)．三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)． 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40. P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128， P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6 ＝0.192，P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以ξ的分布列为所以Eξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为 P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.跟踪训练5 解 (1)A 直接感染一个人有2种情况，分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡CD，概率是12×13＋12×13＝13；(2)A 直接感染二个人有3种情况，分别是A －⎣⎢⎡ B －C D ，A —⎣⎢⎡ B －D C ，A —⎣⎢⎡BC －D ，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的分布列为当堂训练1．D [设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A ，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝24＝12.故选D.]2．B [设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－(1－13)×(1－14)×(1－15)＝1－25＝35，故选B.]3．B [由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ<3)＝0.683，P (－6<ξ<6)＝0.954， 故P (3<ξ<6)＝P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)2＝0.954－0.6832≈0.136＝13.6%，故选B.]4.827解析 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13，所以恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827. 5．解 设所得两数之和为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,4， P (ξ＝0)＝2×12×13＋2×12×16＋12×12＝34，P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝2×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136.所以ξ的分布列为所以Eξ＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.。
数学高二-选修2-3学案 第二章2 超几何分布
§2 超几何分布超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品，从中任取n (n ≤N )件产品．用x 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (x ＝k )＝C k M C n －k N －MC n M(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称x服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 预习交流如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k ，n ，M ，N 的意义分别为：k 是取出的次品件数，n 是取出的产品数，M 是产品中的次品数，N 是产品总数．1．超几何分布的实例某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X 的分布列．思路分析：由题意知女生人数X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝5.利用超几何分布的概率公式求解．解：从50名学生中随机抽取5人共有C 550种方法，没有女生的取法是C 015C 535，恰有1名女生的取法为C 115C 435，恰有2名女生的取法为C 215C 335，恰有3名女生的取法为C 315C 235，恰有4名女生的取法为C 415C 135，恰有5名女生的取法为C 515C 035.因此，抽取5名学生代表中，女生人数X 的分布列为：从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数X 的分布列．解：设随机变量x 表示取出次品的个数，则X 服从参数N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布． 它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为：P (x ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (x ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (x ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以X 的分布列为：应用超几何分布的概率公式求解，关键是透彻理解超几何分布的意义，即明确k ，n ，N ，M 的实际意义及所取的相应数值．2．超几何分布的实际应用从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从参数N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的原则是：从该批产品中任取5箱产品进行检验，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中的不合格产品的箱数”，则X 服从参数N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是任取的5箱中没有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为：P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245≈99.2%. 所以该批产品被接收的概率是99.2%.超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(其中k 为非负整数)，先求出概率值，列出分布列，再求符合题意的概率．1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝( )．A ．715B ．815C ．1415D ．1答案：C解析：由题意知X 取0,1,2且服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝2.即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415.2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率是( )．A ．150B ．125C ．1825D ．14 950答案：C解析：由题意知中奖的奖券数X 可取0,1,2，服从超几何分布，N ＝100，M ＝4，n ＝2，∴2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.3．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是( )．A ．2449B ．125C ．130D ．1600答案：A解析：由题意知服从超几何分布，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为C 130C 120C 250＝2449.4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．答案：35解析：由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为C 13C 12C 25＝35.5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X 表示“抽出中奖票的张数”，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝2，X 可取0,1,2，∴P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞0.5，解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.。
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§2
超几何分布
[对应学生用书P23]
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.
问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．
P (X ＝1)＝C 13C 1
5
C 28
.
问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)
提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5
C 2
8
.
超几何分布
一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么
P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
(其中k 为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．
(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k
时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．
[对应学生用书P23]
[例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．
[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．
由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－
4
20
C 5
30＝70023751
≈0.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%.
[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．
1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.28
45 B.1645 C.1145
D.1745
解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18
C 210＝1645
.
答案：B
2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．
答案：10,3,5
3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．
解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，
M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)
＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝5
6或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 3
10
＝5
6
.
[例2] (10分)若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．
[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．
[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，
(2分)
所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23
C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 3
3C 38
＝
1
56
. (8分)
从而随机变量X 的分布列为
所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝
528＋1528＝57
. (10分)
[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．
4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)
解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 3
4＋C 33C 3
9＝5
84
.。