浅谈数学思想方法在解题中的应用
数学思想方法在解题中的应用
数学思想方法在解题中的应用
侍昌亚
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2016(0)17
【摘要】数学思想方法是数学知识、数学思维、数学能力的本质体现.在数学解题中,缺乏数学思想方法的有效引导,解题易陷入束手无策、无从下手的局面.对此,笔者从平面向量知识点出发,略谈数学思想方法在解题中的应用,以供参考.1巧用转化思想,优化解题转化思想,即把问题从一种形式转化为另一种形式,从而找出问题突破口的一种数学思想方法.
【总页数】1页(P21)
【作者】侍昌亚
【作者单位】盐城市亭湖高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.数学思想方法在解二次根式问题中的活用
2.浅谈数学思想方法在解高职考题中的应用
3.解几取值范围问题中的数学思想方法
4.高考解几问题中的数学思想方法
5.数学思想方法在解题中的应用——以求圆锥曲线离心率的取值范围为例
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数学思想方法在解题中的应用
，
评 析 ： 解 法 应 用 配 方 法 巧 妙 地 化 解 了 涉 及 根 式 的 有 此 关运 算 ， 整 个 解题 过 程 非 常 简捷 ．若 建 立 方 程 来 解 ， 费 使 则 时费力， 并要 涉及 根 式运 算 ， 加 了解 题 的 难 度 ． 增 例 ３ （ 义市 ２０ ：遵 ０ ９年 ） 图 ， 形 纸 片 Ａ Ｃ 中 ，Ｂ ＝ 如 矩 ＢＤ Ａ １ｅ Ｂ ０ｍ， Ｃ＝８ｍ， ｅ Ｅ为 Ｂ Ｃ上 一 点 ， 纸 片 沿 Ａ 翻 折 ， 点 Ｅ 将 Ｅ 使 与 Ｃ 边 上 的点 Ｆ重 合 ． Ｄ （） 线段 Ｅ １求 Ｆ的 长 ；
一
）
Ｃ
Ｂ．１ ｍ ６ｃ
Ｄ． ｍ ２ ９ｃ
例 ２ （ 义 市 ２０ ：遵 ０ ９年 ） 图 ， 如 在 Ｒ △Ａ Ｃ 中 ， Ｃ：９ 。 Ａ ｔ Ｂ ０ ， Ｃ＋Ｂ Ｃ
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２ ， △ ＝１ 则 斜 边 Ａ 的 长 Ｓ ， Ｂ
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首 先 给 出下 面 四 种 解 法 ： 解 法 一 ： 形 Ａ Ｃ 的 周 长 为 ２ ｅ ．Ａ 矩 ＢＤ ０ ｍ，． Ｂ＋Ｂ 。 Ｃ＝ ｅ ０ｍ， 设 Ａ ， Ｂ Ｂ＝ 则 Ｃ＝１ ，． ０一 － 正方 形 Ａ Ｅ ｏ Ｂ Ｆ和 Ａ Ｇ 的 面 积 和 ＤＨ
・课 程 改 革 与 创 新 ・
２ １ ． 断课 青 １１ ９ ３３ ｌ导 学
数 学 思想 方法 在 解题 中 的应 用
贵 州 省遵 义 市第 十 七 中学 王 敏 灵
数 学思 想 方 法 是 数 学 的精 髓 ， 数 学 知 识 、 学 技 能 的 是 数 本 质体 现 ．在 解 题 中 如 何 更 好 地 利 用 数 学 思 想 方 法 ， 短 缩 解 题 长 度 ， 高 解题 效 率 ， 得 我 们 关 注 ． 提 值 例 ｌ（ 义市 ２０ ：遵 ０ ８年 ） 图 ， 如 矩 形 Ａ Ｃ 的周 长 是 ２ ｃ 以 Ａ ＢＤ ０ ｍ， Ｂ、 Ａ 为边 向 外 作 正 方 形 Ａ Ｅ 和 正 Ｄ ＢＦ 方 形 Ａ Ｈ， 正 方 形 Ａ Ｅ 和 ＤＧ 若 ＢＦ Ａ Ｇ 的 面 积 之 和 为 ６ ｃ 那 么 ＤＨ ８ｍ ，
浅谈高中数学思想方法在解题中的重要性
观察2：看作关于y的二次方程(x视作参数)，变形为：2y2-(2x)y+(x2-2)=O，于是△=(2x)2-4×2(x2-2)≥0；
观察3：将原式变形为：(x-y)2+y2=2，于是y2≤2且(x-y)2≤2。
教学中，教师要引导学生全面地考查观察对象，并从不同的角度进行思考和分析，让学生通过观察，能在较复杂的图形和关系中全面反映事物的某种属性，也能指出在某种特定的条件下事物的特殊性质，从而培养学生观察的全面性。
二、多层次地观察，培养学生观察的深刻性
数学问题是抽象的、复杂的。观察者必须透过表面现象，抓住事物的本质进行观察。在数学解题教学中，教师要引导学生不仅审题时要观察，整个过程也要观察，甚至解答后还得观察，让学生学会多层次地观察问题。
四、以直觉思维方法为指导，培养学生观察的敏捷性
例如：观察幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x1/3，在同一坐标系内的图象，得出y=xn，(n>0)的性质。
观察1：从图中分布观察，第I象限都有图象、第II、III象限可能有图象，而第IV象限没有图象(为什么?引导学生思考)；若第I、II象限有图象时，图象关于y轴对称；若第I、III象限有图象时，图象关于原点对称。
能力伴随知识的丰富而不断提高、能力提高是加速知识积累的过程。没有一定量的、扎实的基础知识，便不会总结出行之有效的学习方法，从而失去“加速”的前提条件。“从基本概念作起——从数学语言的训练入手——从数学学科的基本特点出发——挖掘、展现知识的发生发现的过程——恰当地选择习题、课题并适当地让学生动手实践”，不失为一条培养学生数学能力的有效途径。
浅谈数学思想和方法在初中数学教学中的应用
浅谈数学思想和方法在初中数学教学中的应用作者：庞永泉来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第02期初中数学教学思想和方法在教学中起着至关重要的作用。
现在就我在二十多年的教学工作中积累的部分看法总结如下：一、数学思想和数学方法的关系所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。
所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。
运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。
二、数学思想和方法的不同层次要求数学思想主要是让学生达到了解层次，包括数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。
这里需要说明的是，有些数学思想在课标中并没有明确提出来，教师有必要指出来，让学生了解。
数学方法有的只求了解，有的则要求理解或会运用。
要求了解的方法有：分类法、类比法、反证法等；要求理解或会运用的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图像法等。
在教学中，要认真把握好“了解”“理解”“会应用”这三个层次。
不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生可能会觉得一些数学思想、方法抽象难懂、高深莫测，从而导致他们失去信心，给教学带来困难。
如初中几何，教材明确提出“反证法”的方法，且说明了运用“反证法”的一般步骤，有的教师可能会觉得有讲头，而详加讲解，并要求学生学会；但《课程标准》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，对照起来，这样的教学就失“度”了，拔高了，其结果是花费了许多教学时间，但收效甚微。
三、采用适当的方式教数学思想和数学方法1.以数学知识为载体，渗透“思想”和“方法”数学知识包括两方面，一方面是概念、法则、性质、公式、公理、定理等，另一方面是指思想和方法，而思想和方法是“由其内容所反映出来”，因而应该将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。
数学思想方法在解题中的应用
例１ 已知三元素集Ａ ，ｙ ｝日 ｛， ｌ ｝且Ａ＝ 求 ＝ ｘ ， ， ＝０ Ｉ ， ， ｘＹ 曰，
与Ｙ 的值． 解： 因０∈ Ａ＝ 则０∈ ． Ｂ， Ｂ， Ａ 又集 合为三元 素集 ， 则 ＃ｘ ， ｙ 则
≠０又 ０ ． ∈Ｂ， Ｂ， ０ ≠０ 从 而 ＇ ０ １ｘ ｙ Ｙ∈ 贝 ｙ ， 一， ，Ｐ＝ ． ＝ 这 时Ａ＝ ，２ ｝Ｂ ｛， ｌ ｝则 ｘ， ，＝０ Ｉ， ， ０ ｘ 则 ０ 舍 去 ） ＝ １ ＝（ ， ±．
当ａ ５ ， ｛，ｌ 隹 ＝ 时 Ａ＝２ ３与２ Ａ矛盾 ， 故舍去． 当ｎ 一 时， ＝３ 一 ｝ ＝ ２ Ａ ｛，５满足题意． 所 以满足条件的值 为一 ， ２ 集合Ａ ３ 一 ｝ 为ｆ ，５． 例 ５ 若 抛物线＇ 。ｍ ５１ ， ＋ ａ 和两端 点为Ａ（ ， ）Ｂ（ ， ） ＝ — ０ ３ ， ３ ０ 的 线段Ａ 有两个不 同的交点 ， 曰 求ｍ的取值范围．
学 谋
得 线 段Ａ 为 ｙ － ＋ （ ￣ｘ ）代 入 ＇ ＋ 一 得 ： Ｂ ＝ ｘ ３Ｏ ≤３ ， ， ＝ １
Ｘ２
－
例７ 若 ） 是定义在Ｒ 上的函数 ， 对任意实数 都有 ＋ ） ３
由
—
詈０ ≥，
ａ＋ ３
—
解 Ａ８ ≤≤３ 得：４ 。一 ｛ ｌ ｝
≥０
．
则方程至少有一 负根 的充要条件是｛ｌ３ ａ ０ ａ ＜＜ ｌ 一
当ｘ ｌ ， ｛ ， ，｝ ＝ 时 Ａ＝ １ １０舍去 ； １ ， 卜１ １ ０ ， ＝０ １ 当 一 时 Ａ＝ ， ， ｌＢ ｛， ，
一
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解 得Ｏ ｍ≤ １ ＜ 或ｍ＜ ． ０ 当ｍ＝ 时 ， ０ 方程 化 为 一 ｘ ｌ０ 此 时显 然 有 一 个 正 根． ３＋＝ ，
浅谈中考解题中数学思想的运用
２ 数形 结 合 思 想
著 名 数 学家 华 罗庚 先 生 说 ： 数 与 形 ， “ 本 分 利 用 函 数 的 概 念 、 图像 和 性 质 去 观 察 分 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 形 时 少 直 析 并 建 立 相 应 的 函数 模 型 解 决 问 题 。 怎 数 说 ， 少数时难 入微 ， 形 结合百般 好 ， 形 数 隔 离 分 家 万 事 休 。 这 充 分 说 明 了数 形 结 合 思 ５ 整 体 思 想 ” 想 在 数 学 中的 重 要 性 。 形 结 合 思 想 ， 以 数 可 研 究 某 些 数 学 问 题 时 ， 往 不 是 以 问 往
［】刘 亦 春 ． 学 思 想 方 法 探 析 ［］ 济 南 职 １ 数 Ｊ． 业 学 院学 报 ， ０ ９４ ： ２ ４ ２ ０ （ ） ７ ～７ ．
中国科教创新导 刊
Ｃｈｎ Ｅ ｕ ａｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｉａ ｄ ｃ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ３
１ 转 化与化归思想
前 苏 联 数 学 家 雅 诺 夫 斯 卡 亚 在 回答 解
题 意 味 着 什 么 时 说 ： 解 题 ——就 是 意 味 着 “ 把 所 有要 解 决 的 问题 转化 为 已经 解 过 的 问 题 。 面 对 一 个 新 的 问题 ， 何 利 用 已 有 的 ” 如 知 识去 求解 。 对 一 个 抽 象 的 问题 ， 何 将 面 如 其形象化 、 体化 ， 就需要 转化 。 具 这 例 １ （０ ９ 福建 泉 州） ：２ ０ 年 在直 角坐标 系 中， 点Ａ（， ） 原点０ 对称点 为点 Ｃ 图 １。 ５ ０关于 的 （ ） （） １ 请直 接 穹 出 点 Ｃ 坐 标 ； 的 （） 点Ｂ ２ 若 在第 一象限 内 ， Ｏ Ｂ Ｏ Ａ， Ａ ＝ Ｂ 并且 点Ｂ关 于原 点Ｏ的对 称 点为 点 Ｄ。 ①试 判 断 四 边 形 Ａ Ｄ的形 状 ， 说 明 ＢＣ 并 理 由 ； 现 有 一 动 点 Ｐ从 Ｂ点 出发 ， 路 线 ② 沿 Ｂ Ａ— ＡＤ以每 秒 １ 单位 长 的速 度 向终 点 Ｄ 个 运 动 ， 一 动 点 Ｑ Ａ点 同时 出发 ， Ａｃ 另 从 沿 方 向 以 每 秒 ０ ４ 单 位 长 的 速 度 向 终 点 ｃ运 ．个 动， 当其 中一 个 动 点 到 达 终 点 时 ， 一 个 动 另 点也 随之 停 止 运动 ． 已知 ＡＢ＝６ 设 点Ｐ、 ， Ｑ的 运 动 时 间为 ｔ ， 运 动 过 程 中 ， 秒 在 当动 点 Ｑ在 以ＰＡ为 直 径 的 圆上 时 ， 求 ｔ 试 的值 。 解 ：１ｃ 一 ， ） （ ） （ ５ ０ （ ） 四边 形 ＡＢＣＤ为 矩 形 ， 由如 下 ： ２① 理 如 图 ， 已知 可 得 ： Ｏ、 在 同 一直 线 由 Ａ、 ｃ 上 ， ０Ａ＝ＯＣ； Ｏ、 且 Ｂ、 Ｄ在 同 一 直 线 上 ， 且 ＯＢ＝ＯＤ，‘四 边 形ＡＢＣＤ是 平 行 四 边 形 。 ． ． ’ ０ ＡＢ＝ Ｏ ＢＡ ，． Ｏ Ａ＝ ＯＢ ， ‘ ． 即
分类讨论数学思想方法在解题中应用
浅谈分类讨论的数学思想方法在解题中的应用【摘要】分类讨论是高中数学最为重要的思想方法之一,在初中数学中基本上不涉及到含参数的分类讨论,而在高中阶段则既是重点又是难点。
它有利于培养学生严谨的逻辑思维能力,清晰的表达能力。
对于复杂的数学问题采用分类的方法使问题变得简单,从而使问题获得解决。
所以,分类讨论的数学思想在高中阶段占有非常重要的地位。
【关键词】分类讨论、数学思想分类讨论的数学思想方法,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答,实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略,分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
:分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。
:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类;逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。
[例题分析]1解关于x的不等式:log a(1-1x)>1:若a>1,则不等式等价于1-1x>a11-a,当a>1时,原不等式的解集为{x∣11-a:,把原不等式转化为不含对数符号的不等式,而对数函数的单调性因底数a取值不同而不同,故需对a进行分类讨论。
从此可以看出,分类讨论并不是为了分类而分类,而是由于整体问题的不确定性,通过适当的分类使不确定性转化为确定性,所以,分类讨论的对象是导致问题不确定性的元素,分类的标准是通过分类使问题符合确定性。
2:设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中,a∈r(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围。
:(1)f’(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1)f(x)在x=3取得极值,所以f’(3)=6(3-a)(3-1)=0a=3,经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点。
数学思想方法在解题中的应用
数学思想方法在解题中的应用作者：和汝军来源：《学习周报·教与学》2020年第13期摘 ;要：中小学数学思想方法的教学，体现了“由浅到深、由易到难、由少到多”等特点，从具体到抽象的质的飞跃，教师要有意识地培养学生用数学思想方法去分析问题、解决问题，并逐步形成数学能力，提高数学素养，使学生具有数学思想方法。
数学思想方法和数学基础知识相比较，数学思想方法有较高的地位和层次，数学思想方法是数学思想和方法的统称，数学思想是指数学思维活动和数学研究活动中解决数学问题的基本想法和基本观点。
关键词：数学思想;数学方法;数学教学现在几乎没有人会怀疑数学的意义和它的价值，数学是必须学习的重要基础学科。
也许对走出校门的大部分人来说，很多具体的数学计算方法和具体的数学内容可能会忘得一干二净，但是数学思想和数学方法会对他一生的许多决策产生具大的影响，那些刻骨铭心的数学精髓将伴他终生。
一、数学思想方法的含意和内容数学思想方法是数学思想和方法的统称，数学思想是指数学思维活动和数学研究活动中解决数学问题的基本想法和基本观点。
小学数学教材中数学思想渗透了以下几种：分类思想、集合思想、对应思想、函数思想、符号化思想等等;中学数学常用的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。
数学方法是指学习和研究数学的手段和方式，包括数学理论的学习和研究的方法，发现数学的性质、运用规律的方法、数学理论运用于实际的方法。
二、数学思想方法的重要意义思想是数学的灵魂，方法是数学的行为，无论是数学概念的建立、规律的发现，还是数学问题的解决，乃至于整个数学大厦的构建，都首先归功于数学思想方法。
因此，在数学教学过程中，数学教师要不失时机地向学生渗透数学思想方法，“授人以鱼，不如授人以渔”，教师学习数学思想方法的重要意义就在于：（1）教师学习数学思想方法，有助于了解和掌握数学科学的思想和理论方法;（2）教师了解了数学思想方法的基本内容，可以按数学思想方法指示的方法去安排教材、有机地组织教学、就能有的放矢地调动学生思维活动的积极性，搞好数学教学活动;（3）教师可以从整体上了解中小学所使用数学思想方法，从而深入地把握数学教学内容;（4）教师学习并掌握了数学思想方法以后，就可以用科学的思想方法来指导实践、认识事物、认识世界、认识社会、解决数学问题。
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一
、
化归思想方法 的应用
化归就是把要解决的问题通过转化、归纳为～类已经解决或比 较容易解决的问题，从而使问题得到解决。 例 １求极限ｌ — ｎ 。 ． ｉ ２ ！ ａ ｒ ｎ
—
它是ｅ Ｘ－ 在全平面上的广义积分。解： －ｚ
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本系统采用分布式应用程序的新平台Ｗｅ ｅ ｉ ， ｂ ｒｃ 它的开发主 Ｓｖｅ Ｒ ｔ ｎ ｅ ｌ／ ｅ ｒ ｒ ｕ ； ｕ ｓ ｔ 将查询结果返回 ／ 要以基于 ＪＥ ２ Ｅ框架的开发工具为主。 ｝ Ｗ ｂ ｅ ｉ 应用于移动增值服务应采用三层结构模式， ｅ ｒ ｃ Ｓ ｖｅ 分别是 以上的这个 Ｗｅ ｅ ｉ ｂＳｒ ｃ ｖ ｅ的功能就足实现列车时刻表的查询。 用 数据层，事务逻辑层，客户界面表现层。本章只讨论事务逻辑层， 户通过发送查询短信息到 Ｓ Ｐ短信平台，然后该平台调用以上 Ｗｅ ｂ 通过利用 Ｗｅ ｅ ｉ 来进行事务逻辑层的开发， ｂ ｒｃ Ｓｖ ｅ 将服务的每一项条 Ｓｒｉ ， ｅ ｃ 将用户输入的查询参数传递到 Ｍｅ ｏ 本身进行查询， ｖ ｅ ｔｄ ｈ 最后 款都是作一项 Ｗ ｂ ｅ 方法来进行开发。 再通过 Ｓ 将查询结果发送到用户的手机上。 Ｐ
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２０ 年 ０８
《 田师范专科学校学报 》（ 和 汉文综合版 ）
Ｊ１０８ ２ 卷第一期 ｕ２０ 第 ８ ．
总第 ５ 期 ｌ
浅谈数学思想方法在解题中的应用
夏绍云
（ 连云港职业技术学院基础部 江苏连云港 ２２０ ） ２０６ ［ 摘 要］ 数 解 中 用 归 想 数 结 思 、 程 数 想、 在 学题应 化思 、形合想方 函思
— — —
Ｐｒ ｎｗＳｌａ ｍ ｔ （ ｅｓｎＤ ， ｌｂ ｙｅ ｈｒ２； ａ ＝ｅ ｑ ｒ ｅ ｒ ＠Ｐｒ ｌ＂ ｑＤ Ｔ ｐ． ａ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） ａ Ｐ ａ ｅ“ ｏ Ｓ ｃ ，
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１ 、
，， ．
这样运用化归思想方法解决问题，最终 目的是把复杂向简单， 抽象向直观，未知向已知转化，以达到问题的解决。
Ｐ、
二、数形结合思想方法 的应用
数形结合思想是数学解题的重要方法，用这种思想方法指导解
＜． ！存活有效期（ 分钟）＞ ． 单位： ． ．
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参数思想、整体思想等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题能力。
由 朗 尔 值 别 知 级 ｇ三 收 。 其 项 限 达 贝 比 判 法 ，数 － 敛故 通 极 为
０ ，即 ｌ ２ｎ ［ ｉ ｍ ｎ ：Ｏ 。
一
［ 关键词］ 学 想 解 ； 力 数 思 ； 题 能
数学的学习，是使学生获得适应未来社会生活必需的数学知识 和基本数学思想方法及必要的应用技能，而数学思想方法是数学的 例 ．算 义 分， ｒｅ ２ 。 ２ 广 积 计 －ｄ ｘｘ 精髓。数学思想方法有化归思想、数形结合思想、方程函数思想、 分析： ＿２ｘ不能用初等函数表示，即 “ ｘｄ 积不出” ，所以无 参数思想、 整体思想等方法， 若用这些数学思想方法指导学生解题， 对提高学生的学习能力，发展学生智力十分有益。下面列举一些常 法 算 分 ： ｄ。 转 为 算 分ｒ ＿ ｙｘ ， 计 积 ， Ｖｅ ｘ 若 化 计 积 ｘ ２ ａ ２ ａｙ ＿ 见数学思想方法在数学解题中的应用。