2021届江苏省苏州四市五区2018级高三上学期开学调研考试数学试卷无答案
高三数学上学期第一次学情调研试题(无答案)(2021学年)
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2０18届高三第一次学情调研数学试题时间:120分钟 分值：16０分一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分，共70分.把答案填在答卷纸相应的位置上. １.集合[1,4),(,)A B a ==-∞,若A B A =,则实数a ∈ ▲ 。
2.复数32i z i-+=+的模为 ▲ . 3.命题“1x ∃>,使得2210x x -+>＂的否定形式为 ▲ .4．化简:sin160cos80cos20sin 260+= ▲ 。
5.在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且610354841,5a a a a a a +==，则48a a += ▲ .6.设,a b 是平面内不共线的两向量,2AB a kb =+，3,2CB a b CD a b =+=-． 若A 、B 、D 三点共线,则k = ▲ ．7．()sin(2),||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后是奇函数，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值 为 ▲ ．8．已知定义在R 上的偶函数()f x 是在区间[0,)+∞上的减函数，则2(1),()f a a a R -+∈与34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭大小关系是 ▲ 。
（用“<＂、“>”、“≤”、“≥”）９．若等差数列{}n a 中,满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = ▲ 时，{}n a 的前n 项和最大.10．设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭▲ . 11．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集为 ▲ 。
江苏省苏州市2018届高三调研测试(三)数学试题+Word版含解析
苏州市 2018 届高三调研测试（三）数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】5【解析】分析：利用集合的包含关系，推出m是A的元素，求解即可.解析：集合，，若，可得，.故答案为：5点睛：对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．2. 已知是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数则实数的值为__________.【答案】-3【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解.解析：的实部与虚部互为相反数，，即.故答案为：-3.点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．3. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间内的户数为__________.【答案】22【解析】分析：由频率分布直方图先求出用电量落在区间内的频率，由此能求出用电量落在区间内的户数.解析：由频率分布直方图得：用电量落在区间内的频率为：1-（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.22，用电量落在区间内的户数为：1000.22=22.故答案为：22.点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.4. 从 1，2，3，4 这四个数中随机地选取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为__________.【答案】【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.考点：列举法、古典型概率公式及运用.视频5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.【答案】7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果.解析：在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时： S=1，k=3.执行第二次循环时： S=3，k=5.执行第三次循环时： S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________.【答案】【解析】分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.解析：双曲线的离心率为，可得，由题意可得，解得.双曲线方程为.渐近线方程为.故答案为：.点睛：区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中，而在双曲线中.7. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则实数的值为__________.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可.解析：画出可行域，如图所示：由图可知，直线恒经过点，当直线再经过BC的中点时，平面区域被直线分为面积相等的两部分.当时，代入直线的方程得：.故答案为：.点睛：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．8. 若数列的前项和满足，则的值为__________.【答案】-81【解析】分析：利用与的关系式求出的通项公式即可得到答案.解析：，当时，，当时，，即，是以首项为-3，公比为3的等比数列...故答案为：-81.点睛：强调与的关系.9. 现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.【答案】【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=10，由，得，由得.由可得.该容器的容积为.故答案为：.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．10. 已知向量，，，若，则的夹角大小为__________. 【答案】120°【解析】分析：先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，从而可得答案.解析：设与的夹角为，，则，，.，。
高2021届高2018级江苏省苏州市高三第一学期期中考试数学试题参考答案
高2021届高2018级高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC13. (－2,2)∪(2,＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 2 17. 解:(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2πω＝π,ω＝2,(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3). 因为|φ|≤π2,所以φ－π3∈[－5π6,π6],所以－1≤sin(φ－π3)≤12,(3分) 所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12,1].(4分) (2) 因为φ＝π3,所以f(α)＝sin (2α－π3). 由sin α－2cos α＝0,得tan α＝2,(6分)f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分) ＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解:(1) 当a ＝3时,f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分) 因为f′(x)＜0,得x ＜1或x ＞2,(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞,1)和(2,＋∞).(4分)(2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分) 因为对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立,所以问题转化为:对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1).(6分)因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2,其图象开口向下,对称轴为x ＝a 2. ①当a 2＜1时,即a ＜2时,f ′(x)在[1,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1),得a ＞－1,此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1,即a ≥2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调递增,在(a 2,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分) 由a 24－2＜2(a －1),得0＜a ＜8,此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②,可得实数a 的取值范围是(－1,8).(12分)19. 解:若选①.(1) 由题设条件及正弦定理,得sin Csin B ＋C 2＝sin Asin C.(1分)因为△ABC 中,sin C ≠0,所以sin B ＋C 2＝sin A.(2分) 由A ＋B ＋C ＝π,可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A 2,(3分) 所以cos A 2＝2sin A 2cos A 2.(4分) 因为△ABC 中,cos A 2≠0,所以sin A 2＝12. 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 因为c ＝(3－1)b,所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3,所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3),(6分) 所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3),整理得sin C ＝cos C.(7分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以cos C ≠0,所以tan C ＝sin C cos C＝1. 因为0＜C ＜π,所以C ＝π4.(9分) (2) 因为△ABC 的面积为3－3,c ＝(3－1)b,A ＝π3, 所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3,(11分) 解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A,(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A.(2分)因为B ＋C ＝π－A,所以2cos Asin A ＝sin A.(3分)因为△ABC 中,sin A ≠0,所以cos A ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C,(1分)所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C.(2分)由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.20. 解:(1) 因为等差数列{a n }中,a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30,所以a 5＝10.设等差数列{a n }的公差是d,所以d ＝a 5－a 15－1＝2,(1分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q,因为b 2b 3＝a 16,所以b 21q 3＝4q 3＝32,所以q ＝2,所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k,使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立,则b k ＋1＝b k ＋32,(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32,即2k ＝32,解得k ＝5.(5分)存在正整数k ＝5满足条件.(6分)② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1), 所以n(n ＋1)≥2n ,即2n －n(n ＋1)≤0.(8分)令f(n)＝2n －n(n ＋1),因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)],所以当n ≥4时,{f(n)}单调递增.(9分)又f(2)－f(1)＜0,f(3)－f(2)＜0,f(4)－f(3)＜0,所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分)因为f(1)＝0,f(4)＝－4,f(5)＝2,所以n ＝1,2,3,4时,f(n)≤0,n ≥5时,f(n)＞0,(11分)所以不等式S n ≥b n 的解集为{1,2,3,4}.(12分)21. 解:(1) 因为g(x)为定义在[－4,4]上的奇函数,所以当x ∈[－4,0)时,g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x.因为g(－x)＝－g(x),所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x,(2分)所以g(x)＝x 2＋4x,所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分) (2) 因为g(x)在[2,4]内有“8倍倒域区间”,设2≤a ＜b ≤4,因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分) 解得a ＝2,b ＝1＋5,所以g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”为[2,1＋5].(6分)(3) 因为g(x)在x ∈[a,b]时,函数值的取值区间恰为[k b ,k a](k ≥8), 所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时,因为g(x)的最大值为4,所以k a≤4.(7分) 因为k ≥8,所以a ≥2.因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝k a，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分) 所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解.令h(x)＝x 3－4x 2＋k,x ∈[2,4],则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0,得x ＝0(舍去)或x ＝83, 当x ∈(2,83)时,h ′(x)＜0,所以h(x)在(2,83)上单调递减. 当x ∈(83,4)时,h ′(x)＞0,所以h(x)在(83,4)上单调递增.(10分) 因为h(2)＝k －8≥0,h(4)＝k ≥8,所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解,只需h(83)＜0, 解得k ＜25627,所以8≤k ＜25627.(11分) 同理可得:当－4≤a ＜b ＜0时,8≤k ＜25627. 综上所述,k 的取值范围是[8,25627).(12分) 22. (1) 解:因为f(x)＝e x ＋ax·sin x,所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x),(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1,所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x,即y ＝x ＋1.(3分)(2) 证明:当a ＝－2时,g(x)＝e x x－2sin x,其中x ∈(－π,0), 则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos x x 2.(4分) 令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x,x ∈(－π,0),则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x).当x ∈(－π,－π2)时,因为e x ＞0,2xsin x ＞0,cos x ＜0,所以h′(x)＜0, 所以h(x)在(－π,－π2)上单调递减.(5分) 因为h(－π)＝2π2－e －π(1＋π)＞0,h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0, 所以由零点存在性定理知,存在唯一的x 0∈(－π,－π2),使得h(x 0)＝0,(7分) 所以当x ∈(－π,x 0)时,h(x)＞0,即g′(x)＞0；当x ∈(x 0,－π2)时,h(x)＜0,即g ′(x)＜0. 当x ∈(－π2,0)时,g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π,0)上连续,所以x ∈(x 0,0)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(－π,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,所以x 0是函数g(x)在(－π,0)上的唯一极大值点.(9分)因为g(x)在(x 0,－π2)上单调递减,所以g(x 0)＞g(－π2). 因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0,所以g(x 0)＞0.(10分)当x 0∈(－π,－π2)时,因为－1＜ex 0x 0＜0,0＜－2sin x 0＜2, 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2,(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
苏州市2018届高三上学期期中考试数学试题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =； （2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。
江苏省苏州市2018届高三期中调研数学试卷(含答案)
2
42
高点之间的距离为 ．
2
（1）求 a,b 的值；
（2）求 f (x) 在[0, ] 上的最大值和最小值．
4
16．(本题满分 14 分)
在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知 sin B sin C m sin A(m R) ，且
a2 4bc 0 ． （1）当 a 2, m 5 时，求 b,c 的值；
▲．
12．设 △ABC 的内角 A, B,C 的对边 分别是 a,b,c ，D 为 AB 的中点 ，若 b a cos C c sin A 且
CD 2 ，则 △ABC 面积的最大值是 ▲ ．
13．已知函数
f
(x)
sin(x
)
，若对任意的实数
[
5
,
] ，都存在唯一的实数
[0, m]
，使
6
62
f ( ) f ( ) 0 ，则实数 m 的最小值是 ▲ ．
14 ． 已 知 函 数
f
(
x)
ln x, x
2x
1,
x
0 ≤
0
，
若
直
线
y ax
与
y f (x) 交 于 三 个 不 同 的 点
A(m, f (m)), B(n, f (n)),
已知矩阵
A
1 2
2 1
，
ur
4 2
，求
ur A49
的值．
C．(极坐标与参数方程)
（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系中，直线
江苏省苏州市2018届第一学期期末高三调研测试数学试卷及参考答案
苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ试题 2018．1命题指导思想1.数学试卷坚持“原创为主，改编为辅”的命题方式，知识点不超纲，基本题不设障碍，原创题能围绕考生熟悉的情境来设置，改编题基本来自于教材以及通用复习资料，体现平稳中有变化，平和里有创新，坚持能力立意，尊重教学习惯。
2.强化“四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本经验积累）”、“四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力）”的新课标理念，彰显数学文化，体现考查学生必备知识与关键能力（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）。
3.试题形式朴实大气，重本质而轻外形。
在知识点、思想方法和能力考查等方面科学搭配，落实知识与能力并重、思想与方法同行的高三复习策略。
4.试题起点较低、知识覆盖全面、解题入口宽泛、题目从易到难，遵循考试心理规律，契合考生考试习惯，符合“上手容易深入难”的常规命题思路。
参考公式：球的表面积公式S =4πr 2，其中r 为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知i 为虚数单位，复数3i 2z 的模为 ▲ ． 2． 已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ▲ ． 4． 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ▲ ．5． 已知42a =，log 2a x a =，则正实数x = ▲ ．6． 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别 为3，3，则输出v 的值为 ▲ ．7． 已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≤≥≤则23z x y =-的最大值为 ▲ ．8． 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 ▲ ．9． 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯 起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ▲ ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）10．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=︒，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD = ▲ m ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x + y = 1相切，且圆心在直线 y = -2x上，则圆C 的标准方程为 ▲ ．12．已知正实数a ，b ，c 满足111a b +=，111a b c+=+，则c 的取值范围是 ▲ ．DCBA13．如图，△ABC 为等腰三角形，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB PC ⋅的取值范围是 ▲ ．14．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调增区间．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABHG ； （2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．17. （本小题满分14分）如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤，其中锐角α的正切值为12）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．A 1B 1C 1D 1ABCDEF G HA在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>P到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点(0,1)M-的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若2123n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n knT T +为定值，求首项1a 的值．已知函数32,0,()e ,0.x x x x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-⎪⎩≥（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()()e 3x f x f x -+=-在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若存在实数,[0,2]m n ∈，且||1m n -≥，使得()()f m f n =，求证：1e e 1a-≤≤．2018届高三调研测试数学Ⅱ（附加题）2018．121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F . 求证：2PF PD PE =⋅.B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求4M β．C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos =sin θρθ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．AD ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB =BP =2，AD =AE =1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ．（1）求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23．（本小题满分10分）在正整数集上定义函数()y f n =，满足()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，且(1)2f =． （1）求证：9(3)(2)10f f -=； （2）是否存在实数a ，b ，使1()13()2nf n a b=+--，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题（共70分） 12．23．(2,0)-4．1105．126．48 7．9- 8．94 9．30π10．18 11．22(1)(2)2x y -++= 12．4(1,]313．[11,9]--14．3ln 22+ 二、解答题（共90分）15. 解（1）2()sin )2f x x x x =+-223cos cos sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ···················································· 2分cos 222x x =-+2cos(2)23x π=++． ··········································· 4分当223x k π+=π+π，即()3x k k π=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z ．····································································································· 7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为()2cos(2)23f x x π=++，令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤， ··············································· 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ····················································· 10分 又[,]22x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令0k =，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ························ 14分（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以11EF A B ∥， 在正方体1111ABCD A B C D -中，A 1B 1∥AB ， （注：缺少A 1B 1∥AB 扣1分）所以EF AB ∥． ········································ 3分 又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ， （注：缺少AB ⊂平面ABHG 不扣分）所以EF ∥平面ABHG ． ······························· 6分 （2）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，又BH ⊂平面11BB C C ，所以BH CD ⊥．① ············································ 8分 设BHCF P =，△BCH ≌△1CC F ，所以1HBC FCC ∠=∠，因为∠HBC +∠PHC =90︒，所以1FCC ∠+∠PHC =90︒．所以90HPC ∠=︒，即BH CF ⊥．② ···················································· 11分 由①②，又DCCF C =，DC ，CF ⊂平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED ．A 1B 1C 1D 1 A B C DE FG H P又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED ． ··························································· 14分 （注：缺少BH ⊂平面ABHG ，此三分段不给分）17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =，则5050cos(90)sin AP θθ==︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-． ························································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-， ·························· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-． ································· 8分 函数()f θ的定义域为(,]2απ，其中锐角α的正切值为12.（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2θαπ∈，2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=， ······························· 10分 设θ0∈(0,)π，使01cos θ=····································································································· 12分所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =0050cos sin θθ≈17.68 km ，答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少．············ 14分（注：结果保留根号，不扣分）18. 解（1）由题意c a =，故a =， ··················································· 1分 又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， ····································································································· 2分 解得3c =，a =2229b a c =-=， ········································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ··················································· 6分 （2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ···································· 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ············ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ··············································· 9分 对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=， 所以121222416,1212k x x x x k k +==-++． ················································· 12分 （注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分） 因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++， 所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·············· 16分19. 解（1）①当2n ≥时，由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥···························· 2分 当2n =时，由①知2212123a a a a +++=，即2223100a a --=，解得25a =或22a =-（舍），所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ················································· 5分 （注：不验证213a a -=扣1分）②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n n S -++==， 由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，记2232n n n nc ++=，则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥， 所以21231142n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ················································ 8分 当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =，且31516c =，278c =，112c =，所以当3n =时，2232n n n n c ++=取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ······················································· 11分（2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ⋅⋅⋅=，两边取常用对数，12lg lg lg n n T a a a +++=．令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ····························· 13分若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT T μ+=，则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+， 即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，因为0,1q q >≠，问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+=(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，所以21a q =，又0,n a >故1a =. ························································ 16分20. 解（1）当2a =-时，32,0,()e +2,0,x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩≥当0x <时，32()f x x x =-+，则2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得0x =或23x =（舍），所以0x <时，()0f x '<， 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上为减函数. ··············································· 2分 当0x ≥时，()e 2x f x x =-，()e 2x f x '=-，令()0f x '=，解得ln2x =，当0ln2x <<时，()0f x '<，当ln2x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间(0,ln 2)上为减函数，在区间(ln 2,)+∞上为增函数， 且(0)10f =>. ················································································· 4分 综上，函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)，单调增区间为(ln 2,)+∞．····································································································· 5分 （注：将单调减区间为(,0)-∞和(0,ln 2)写出(,ln 2)-∞的扣1分） （2）设0x >，则0x -<，所以32()()e x f x f x x x ax -+=++-， 由题意，32e e 3x x x x ax ++-=-在区间(0,)+∞上有解， 等价于23a x x x=++在区间(0,)+∞上有解. ············································· 6分 记23()(0)g x x x x x=++>，则322222323(1)(233)()21x x x x x g x x x x x +--++'=+-==， ························ 7分 令()0g x '=，因为0x >，所以22330x x ++>，故解得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，故函数()g x 在1x =处取得最小值(1)5g =. ············································· 9分 要使方程()a g x =在区间(0,)+∞上有解，当且仅当min ()(1)5a g x g ==≥， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5,)+∞. ······································· 10分 （3）由题意，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由()()f m f n =，可得m n =，与条件||1m n -≥矛盾，所以0a >. ·············· 11分 令()0f x '=，解得ln x a =，当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.若存在,[0,2]m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于m ，n 之间， ······················ 12分 不妨设0ln 2m a n <<≤≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()f m f n =， 所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n =≤，由02m n <≤≤，||1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故(1)()()f f m f n =≤， 又()f x 在(,ln )m a 上单调递减，且0ln m a <≤，所以()(0)f m f ≤．所以(1)(0)f f ≤，同理(1)(2)f f ≤． ··················································· 14分即2e 1,e e 2,a a a -⎧⎨--⎩≤≤解得2e 1e e a --≤≤， 所以1e e 1a-≤≤.·············································································· 16分2018届高三调研测试数学附加题参考答案21B 选修4－2 矩阵与变换解 矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， ··················· 2分令()0f λ=，解得123,1λλ==-，解得属于λ1的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，属于λ2的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． ······· 5分令12m n =+βαα，即111711m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,7,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,3m n ==-．····································································································· 7分 所以44441212(43)4()3()=-=-M M M M βαααα44441122113214()3()433(1)11327λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⨯-⨯-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αα． ············· 10分 21C 选修4－4 坐标系与参数方程解 由曲线C 的极坐标方程是22cos =sin θρθ，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ． 所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x ． ··················································· 2分由直线l 的参数方程1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，得40x y --=，所以直线l 的普通方程为40x y --=． ················································· 4分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得2870t t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以221212122||2()4284762AB t t t t t t =-=+-=-⨯=， ············· 7分 因为原点到直线40x y --=的距离|4|222d -==，所以△AOB 的面积是11(62)(22)1222S AB d =⋅⋅=⨯⨯=． ····················· 10分 21D 选修4－5 不等式选讲解 因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·························· 4分因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即32x -≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞． ···································· 10分22. 解（1）因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P （0，2，0），B （0，0，0），D （2，0，1），E （2，1，0），C （0，0，1），因为BC ⊥平面ABPE ，所以(0,0,1)BC =为平面ABPE 的一个法向量， 2分(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220,x x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则2z =，故(0,1,2)=n ，4分设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则225cos ||||15BC BC θ⋅===⋅⨯n n ，显然π02θ<<，所以平面PCD 与平面ABPE 25····· 6分 （2）设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(2,2,)(01)PN PD λλλλλ==-≤≤，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． ··· 7分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)=n ， 所以22cos ,55984BN BN BN λλ⋅<>===⋅-+n n |||n |， 即29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． ·································· 9分 y PNEDA当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． ··········· 10分 23. 解（1）因为()[(1)1]2[2(1)]f n f n f n ++=-+，整理得4()(1)()2f n f n f n -+=+，由(1)2f =，代入得421(2)222f -==+，1472(3)1522f -==+，所以719(3)(2)5210f f -=-=． 2分 （2）由(1)2f =，1(2)2f =，可得41,55a b =-=． ································· 3分 以下用数学归纳法证明存在实数，41,55a b =-=，使1()1431()525n f n =+---成立．① 当1n =时，显然成立． ································································· 4分 ② 当n k =时，假设存在41,55a b =-=，使得1()1431()525k f k =+---成立，····································································································· 5分那么，当1n k =+时，141431()()4()525(1)1()212431()()525k k f k f k f k ⎡⎤-+⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦+==+++--- 11238()11525111232631431()()()525525525k k k k +-+==+=+-------，即当1n k =+时，存在41,55a b =-=，使得11(1)1431()525k f k ++=+---成立．9分由①，②可知，存在实数，41,55a b =-=，使1()13()2n f n a b =+--对任意正整数n 恒成立． ··················································································· 10分。
2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题答案
2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学I试题一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.请把答案填写在做题. 卡相应位置上.1.集合A ={-1,1}, B={Z0,1},那么集合AP|B=.2.复数z满足z j =3 -4i 〔i为虚数单位〕,那么z =.2 2X V3 .双曲线一=1的渐近线方程为4 34.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人, 其中高二年级被抽取的人数为21 ,那么n =.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子〔每个面上分别写有数字1, 2, 3, 4〕先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,那么两次数字之和等于6的概率为.6.如图是一个算法的流程图,那么输出S的值是.2 37.假设正四棱锥的底面边长为2cm,侧面积为8cm ,那么它的体积为cm .8.设S n是等差数列｛4｝的前n项和,假设az+a4=2, 5+S4 =1 ,那么劣.=.2 39.a >0 , b>0,且一+—= JOb ,那么ab的最小值是 .a btan A 3c-b10.设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,■tanA = V c—b ,那么tanB bcos A = ________a -e x ,x ：： 111 .函数f(x)=«4 (e 是自然对数的底).假设函数y = f (x)的最小值是4, x , x ,1x那么实数a 的取值范围为 ___________ .12 .在AABC 中,点P 是边AB 的中点, CP|=J3, CA1 = 4, ZACB=2-,那么 CP CA =.2213 .直线l ： x —y+2=0与x 轴交于点 A,点P 在直线l 上,圆C ： (x-2) +y =2 上有且仅有一个点 B 满足AB_LBP,那么点P 的横坐标的取值集合为 .14 .假设二次函数f (x) =ax 2 +bx+c (a >0)在区间［1,2］上有两个不同的零点, 那么49的取 a 值范围为.二、解做题：本大题共6小题,共计90分.请在做题卡指定区域 内作答,解答 应写出文字说明、证实过程或演算步骤.(1)假设角口的终边过点(3,4),求a b 的值;⑵假设a//b,求锐角u 的大小.16.如图,正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的高为而,其底面边长为2.点M , N 分别是棱AG , AC 的中点,点D 是^^CC I 上靠近C 的三等分点(2) AD _L 平面 ABN .15.向量b=(1,sin(： -)).42 217.椭圆C： '+%=1 (a Ab A0)经过点(J3,1),.火),点A是椭圆的下顶点. a2 b2- 2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A且互相垂直的两直线11, 12与直线y = x分别相交于E, F两点,OE =OF ,求直线l i的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6, O是圆心,且OC_LAB.在OC上2二_有一座欣赏学Q,其中ZAQC = —.方案在BC上再建一座欣赏亭P,记.POB - 乂0「二：二n, ,一一..(1)当日=一时,求/OPQ的大小；3(2)当NOPQ越大,游客在欣赏亭P处的欣赏效果越佳,求游客在欣赏亭P处的欣赏效果最正确时,角8的正弦值.19.函数f (x) =x3+ax2+bx+c , g(x)=lnx.(1)假设a=0, b = -2,且f (x)之g(x)恒成立,求实数c的取值范围；(2)假设b = -3,且函数y = f(x)在区间(一1,1)上是单调递减函数.①求实数a的值；f (x) f (x) _ g(x)②当c =2时,求函数h(x) = < (人()g()的值域. g(x), f (x):二g(x)20.S n是数列｛a n｝的前n项和,a1 =3,且2S n =a n由—3(n= N ).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)对于正整数i , j , k(i < j <k),九aj , 6ai , ^a k成等差数列,求正整数% , 口的值；〔3〕设数列｛b n ｝前n 项和是T n ,且满足：对任意的正整数 n ,都有等式一n 1 一 一 Tn 1a 〔b n +a 2b n°+a 3b nN +…3门〞=34n —3成立.求满足等式一=—的所有正整数n .a n 32021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学n 〔附加题〕21.【选做题】在A, B, C, D 四小题中只能选做两题,每题 10分,共计20 分.请在做题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤. A.选彳4-1 :几何证实选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点 C , 且满足DA = DC .〔2〕假设AB =2,求线段CD 的长. B.选彳4-2 :矩阵与变换…4 0 1 矩阵A=, B = 〕1。
江苏省苏州市18届高三调研测试三数学试题
苏州市 2018 届高三调研测试（三）数 学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.已知集合{}1,3,A m =-，{}3,5B =，若B A ⊆，则实数m 的值为__________.2.已知i 是虚数单位，复数12aii+-的实部与虚部互为相反数则实数a 的值为__________. 3. 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间)200[250，内的户数为__________.4. 从 1，2，3，4 这四个数中随机地选取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为__________.5. 下图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为__________.6. 已知双曲线221(0)4x y m m -=>的离心率为3，则其渐近线方程为__________.7. 若不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则实数k 的值为__________.8.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足3(1)2n n S a =+()*n N ∈，则4a 的值为__________. 9. 现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 10.已知向量(1,2)a =，(2,4)b =--，5c =，若()52a b c +⋅=，则,a c 的夹角大小为__________. 11.设正实数,x y 满足9x yxy y x+=-，则y 的最小值是__________. 12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(4)4C x y +-=和点()2,2Q ，过点(0,3)P 作直线l 交圆于,A B 两点，则QA QB +的取值范围是__________.13.如果函数()y f x =在其定义域内总存在三个不同实数123,,x x x ，满足2()1(1,2,3)i i x f x i -==，则称函数()f x 具有性质Ω.已知函数()xf x ae =具有性质 Ω，则实数a 的取值范围为__________.14.已知实数[],,2,2a b c ∈-，且满足0a b c ++=，则333a b c ++的取值范围是__________.第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC ∆中，若角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，满足14cos 0a C a++=，1b =. (1)若ABC ∆的面积为32，求a ； (2)若6A π=，求ABC ∆的面积.16. 如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM ⊥平面ABCD ，点P 为DN 的中点，点 E 为 AB 的中点.(1)求证：BD MC ⊥； (2)求证：//AP 平面NEC .17. 某“T ” 型水渠南北向宽为4m ，东西向宽为2mm ，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.(1) 过点A 的一条直线与水渠的内壁交于 P Q ，两点，且与水渠的一边的夹角为θ（θ为锐角），将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2) 若从南面漂来一根长度为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为 2，一条准线方程为2x =，P 为椭圆C 上一点，直线1PF 交椭圆C 于另一点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0,b ，求过2,,P Q F 三点的圆的方程； (3)若11F P QF λ=，且1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OP OQ ⋅的最大值.19. 已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意的正整数n ，当2n ≥时，22121n n n a b a n -+=+. (1)若()1nn b =-，求222128a a a +++的值； (2)若数列{}n a 的各项均为正数，且12,1n a b ==-，设11124n a n i S ==∑，12n n T a a a=，若对任意*n N ∈，nnS T λ≤恒成立，求λ的最小值. 20. 已知函数32()33f x x x ax =-++，()f x 在1x 处取极大值，在2x 处取极小值. (1)若0a =，求函数()f x 的单调区间和零点个数；(2)在方程1()()f x f x =的解中，较大的一个记为3x ；在方程2()()f x f x =的解中，较小的一个记为4x ，证明：4132x x x x --为定值；(3)证明：当1a ≥时，()ln f x x >.苏州市 2018 届调研测试（三）参考答案一、填空题1.52.-33.224.13 5.7 6.2y x =± 7.738.-81 9.128π 10.120° 11.310+ 12.[]4,6 13.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14.[]6,6-二、解答题15.解：(1)由113sin sin 222S ab C a C ===得sin 3a C =，即3sin C a=. 又14cos a C a +=-，那么222214816cos 16(1sin )16a C C a a ⎛⎫+==-=- ⎪⎝⎭，即4214490a a -+=，得到27a =，即有7a =.(2)由题意有14cos a C a +=-及余弦定理222cos 2a b c C ab+-=有()2222221142a c a b c a a ab a+-+-+=-⋅=-，即22213a c +=， ① 又由2222cos b c a bc A +-=可知2213c a c -+=， ②由①②得到23360c c -+=，亦即()()3230c c --=，可知3c =或23c =.经检验，3c =或23c =均符合题意； 那么ABC ∆的面积为13sin 22S bc A ==或34. 16.证明(1)连接AC ，因为四边形ABCD ，是菱形，所以AC BD ⊥，又ADNM 是矩形， 平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以AM BD ⊥. 因为ACAM A =，所以BD ⊥平面MAC .又MC ⊂平面MAC ，所以BD MC ⊥. (2)取NC 的中点S ，连接,PS SE . 因为////PS DC AE ,12PS AE DC ==,所以四边形APSE 是平行四边形，所以//AP SE .又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ，所以//AP 平面NEC .17.解(1)由题意，2sin PA θ=，4cos QA θ=，所以24(0)sin cos 2l PA QA πθθθ=+=+<< (2)设24()sin cos f θθθ=+，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭由3322222cos 4sin 2(22sin cos )()sin cos sin cos f θθθθθθθθθ-=-+=，令'()0f θ=，得02tan 2θ=. 且当0(0,)θθ∈，()'0f θ<；当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f θ>， 所以()fθ在()00,θ上单调递减，在0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当02tan 2θ=时，01sin 3θ=，02cos 3θ=，所以()f θ的最小值为36， 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m .因为367>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠. 答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．18.解(1)由题意得222,2,c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩解得21,2c a ==，所以2221b a c =-=.所以椭圆的方程为2212x y +=. (2)因为(0,1)P ,1(1,0)F -，所以1PF 的方程为10x y -+=.由2210,1,2x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得0,1,x y =⎧⎨=⎩ 或4,31,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点Q 的坐标为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设过2,,P Q F 三点的圆为220x y Dx Ey F ++++=，则10,10,17410,933E F D F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪--+=⎩ 解得114,,333D E F ===-.所以圆的方程为221140333x y x y +++-=. (3)设()11,P x y ，()22,Q x y ，则111(1,)F P x y =+，122(1,)QF x y =---. 因为11F P QF λ=，所以12121(1),,x x y y λλ+=--⎧⎨=-⎩即12121,,x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩所以22222(1)12x y λλλ---+=，222212x y +=，解得2132x λλ-=.所以()212122221OP OQ x x y y x x y λλλ⋅=+=----222(1)2x x λλλ=--+-()213131222λλλλλλλ--⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭751()48λλ=-+ 因为1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12λλ+≥，当且仅当1λλ=，即1λ=时取等号.所以12OP OQ ⋅≤,即OP OQ ⋅的最大值为12. 19.20.解(1)当0a =时，32()33f x x x =-+，2'()36f x x x =-；当'()0f x >时，2x >或0x <；当'()0f x <时，02x <<； 即函数()f x 的单调增区间为()(),0,2,-∞+∞；单调减区间为()0,2；又(1)10f -=-<，(0)30f =>，(2)10f =-<，(3)30f =>，所以()f x 有3个零点. (2)因为1()()f x f x =，则32321113333x x ax x x ax -++=-++， 可知323211133x x ax x x ax -+=-+. 因为1'()0f x =，即21163a x x =-，即()()332222111111133323x x x x ax ax x x x x x x x ⎡⎤-+-+-=-+--+⎣⎦()211(23)0x x x x =-+-=.可知3132x x =-， 同理，由2()()f x f x =可知()332222222222222233(3)23()(23)0x x x x ax ax x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-+-=-+--+=-+-=⎣⎦； 得到4232x x =-；4121213212113211(2)13211x x x x x x x x x x x x ------====------.(3)要证32()33ln f x x x ax x =-++>，即要证3233ln x x x ax -+>-.设32()33(0)u x x x x =-+>，则2'()36u x x x =-；当'()0u x >时，2x >；当'()0u x <时，02x <<；可知[]min ()(2)1u x u ==-；再设()ln (0)v x x ax x =->，则1'()v x a x =-；当'()0v x >时，10x a <<；当'()0v x <时，1x a>； 可知，[]max 1()ln 1v x v a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 因为1a ≥，所以11a≤，ln 11a --≤-，且()v x 和()u x 分别在1a 和2处取最大值和最小值，因此()()v x u x <恒成立，即当1a ≥时，()ln f x x >. (3)另证：一方面，易证ln 1x x ≤-；（略）另一方面，当 1a ≥时，32323333x x ax x x x -++≥-++；又()()()3223311(2)0x x x x x x -++--=+-≥；所以，323233331ln x x ax x x x x x -++≥-++≥-≥， 且不存在正数x ，使得其中等号同时成立，故()ln f x x >.。
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m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为
Q．科学研究发现
v
与
log3
Q 100
成正比．当
v＝1m/s
时，鲑鱼
的耗氧量的单位数为 900．当 v＝2m/s 时，其耗氧量的单位数为
A．1800
B．2700
C．7290
D．8100
高三期初试卷 数学 第 1页 共 6 页
7．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，则下列四个命题不．正．确．的是
2020～2021 学年第一学期高三期初调研试卷
数学
2020.9
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共 6 页，包含单项选择题(第 1 题~第 8 题)、多项选择题(第 9 题~第 12 题)、填空题(第 13 题
~第 16 题)、解答题(第 17 题~第 22 题)．本卷满分 150 分，答题时间为 120 分钟．答题结束后， 请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
A．在 内存在直线与直线 AB 异面 C．存在过直线 AB 的平面与 垂直
B．在 内存在直线与直线 AB 相交 D．在 内存在直线与直线 AB 平行
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的
工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史是人类的一项古老
11．把方程 x|x|＋y|y|＝1 表示的曲线作为函数 y＝f (x)的图象，则下列结论正确的有
A．y＝f (x)的图象不经过第三象限
B．f (x)在 R 上单调递增
C．y＝f (x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1
D．函数 g(x)＝f (x)＋x 不存在零点
12．数列{an}为等比数列，则
C．有最小值为
14 3
D．无最小值
C1 B1
C B
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，都有
多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得 0 分．请把
正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9． A，B 是不在平面 内的任意两点，则
A．直线
BC
与平面
ABC1D1
所成的角等于
4
D1
B．点 C 到面 ABC1D1 的距离为
2 2
A1
C．两条异面直线
D1C和BC1
所成的角为
4
D
D．三棱柱 AA1D1 BB1C1 外接球半径为
3 2
8．设
a
>
0
，
b
>
0
，且
2a
+
b
=1
，则
1 a
+
2a a+b
A (第 7 题)
A．有最小值为 4
B．有最小值为 2 2 +1
A．an an1 为等比数列
B． anan1 为等比数列
C．
an2
a2 n1
为等比数列
D．{Sn}不为等比数列（S n 为数列{an}的前 n 项和）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知
tan
＝2，则
cos(2
2
)
2．复数 z 满足 (1+ i)z = 2 + 3i ，则 z 在复平面表示的点所在的象限为
D． (1,+¥)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．
(2x
-
1 x2
)4
的展开式中
x
的系数为
A． -32Βιβλιοθήκη B．32C． -8
D．8
4．已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.9 ，则 P(2 1) 为
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
uuur uuur uuur uuur uuur
uur uuur uuur
5．在 ABC 中， AB AC 2 AD ， AE 2DE =0， 若EB x AB y AC ，则
A． y 2x
B． y 2x
C． x 2 y
D． x 2 y
6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为 v (单位：
＝
▲
．
14．已知正方体棱长为 2，以正方体的一个顶点为球心，以 2 2 为半径作球面，则该球面被正方
体表面所截得的所有的弧长和为 ▲ ．
15．直线 kx y 4 0 将圆 C： x2 y2 2y 0 分割成两段圆弧之比为 3:1，则 k＝ ▲ ．
16．已知各项均为正数的等比数列{an}，若 2a4 a3 2a2 a1 8 ，则 2a8 a7 的最小值为 ▲ ．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．集合 A = {x | x2 -2x -30} ， B = {x | x > 1} ，则 A I B =
A． (1,3)
B． (1， 3]
C． [-1， +¥)
|
j
|<
p 2
)
，则下列叙述正确的是
y
O
x
P
A
(第 10 题)
A．
j
=
-
p 3
C．当 t Î [0 ， 60] 时， f (t) 的最大值为 3 3
B．当 t Î [0 ，60] 时，函数 y = f (t) 单调递增 D．当 t = 100 时， | PA |= 6
高三期初试卷 数学 第 2页 共 6 页 2021届江苏省苏州四市五区2018级高三上学期开学调研考试数学试卷
的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点
A(3,-3 3) 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒．经过 t 秒后，水
斗旋转到 P 点，设点 P 的坐标为 ( x, y) ，其纵坐标满足 y = f (t) = R sin(wt + j)(t 0 ，w > 0 ，
四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分) 在 DABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，DABC 的面积为 S．