高2021届高三上期入学考试数学试卷(文科)

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2021年高三上学期期初分班教学测试文科数学试题含答案

2021年高三上学期期初分班教学测试文科数学试题含答案题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题A、4B、81C、729D、21873．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（▲）A． B． C． D．4．已知m是平面α的一条斜线,点A∈α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( )A．l∥m,l⊥αB．l⊥m,l⊥αC．l⊥m,l∥α D．l∥m,l∥α5．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，，且,垂足为,若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）6．若一个球的表面积是，则它的体积是：A． B． C． D．7．已知服从正态分布N（,）的随机变量在区间（,），（,），和（,）内取值的概率分别是否开始a≥4?a=1,s=1s=s×9a=a+1 结果输出s为68.3%，95.4%，和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布（165，52），则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（）A. 683套B. 954套C. 972套D. 997套8．的二项展开式中，项的系数是（）A. 45B. 90C. 135D. 2709．投掷一枚骰子，若事件A={点数小于5}，事件B={点数大于2}，则P（B|A）= （）A. B. C. D.E（X）=6.9，则a的值为 ( ) X4a9P m0.20.5A. 5B. 6C. 7D. 811．函数的图象是（）12．函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（）A. B.C. 或D. 或第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题13．若集合，则实数．14．若复数（是虚数单位），则的模= .15．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种.16．设，若，则．评卷人得分三、解答题17．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的值域。

2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学(含答案)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学一、选择题1.设集合{1,3,5,7,9}M =，{|27}N x x =>，则M N⋂=（）A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案：B解析：依题意可知{| 3.5}N x x =>，所以{5,7,9}M N ⋂=.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==，正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==，正确.C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元，不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=，正确.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A.312i -- B.312i -+C.32i -+ D.32i -- 答案：B解析：232322331(1)222i i i z i i i ++-+====-+--. 4.下列函数中是增函数的是（）A.()f x x =-B.2()()3xf x =C.2()f x x =D.()f x =D解析：∵()f x x =-，2()()3x f x =，在R 上单调递减，2()f x x =在(,0)-∞上单调递减，故A ，B ，C 错误；()f x =R 上单调递增，故D 正确.5.点(3,0)到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（） A.95B.85C.65D.45 答案：A解析：双曲线221169x y -=的渐近线为34y x =±，则点(3,0)到双曲线221169x y -=的一条渐近线的95=. 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ 1.259≈）（）A.1.5B.1.2D.0.6答案：C解析：代入5lg L V =+，知lg 4.950.1V =-=-，故0.1100.8V -==≈. 7.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ，该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.8.在ABC ∆中，已知120B =︒，AC =2AB =，则BC =（）A.1D.3答案：D解析：由余弦定理可得22222cos 2150AC AB BC AB BC ABC BC BC =+-⋅∠⇒+-=，解得3BC =.9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A.7B.8C.9D.10答案：A解析：由等比数列的性质可知：24264,,S S S S S --成等比数列，即64,2,6S -成等比数列，所以661S -=，即67S =，故选A.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案：C解析：求出所有的排列数，先将3个1排成一排，有4个空位，当每个空位排一个0，即从4个空位中选2个，有6种排法，此时2个0不相邻；当两个0相邻时，即从4个空位中选出一个来排两个0，有4种选法，从而总的排法数有10个，再根据古典概型概率公式可得概率60.610=，故选C.11.若(0,)2πα∈，cos tan 22sin ααα=-，则tan α=（）A.15B.5C.答案：A解析：cos tan 22sin ααα=-. 2222tan 2sin cos cos tan 21tan cos sin 2sin ααααααααα===---∴222sin (2sin )cos sin αααα-=-∴22224sin 2sin cos sin 12sin ααααα-=-=- ∴1sin 4α=.又∵(0,)2πα∈.如图，tan α==.12.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)()f x f x +=-.若11()33f -=，则5()3f =（） A.53- B.13- C.13 D.53答案：C解析：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)()()f x f x f x +=-=-∴(1)()f x f x +=-，∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=∴()f x 周期为2的周期函数.∴5511()(2)()3333f f f =-=-=. 二、填空题 13.若向量,a b 满足||3a =，||5a b -=，1a b ⋅=，则||b = .答案：解析：||5a b -=，∴22225a ab b -+=，∴22||2||25a ab b -+=，∴292||25b -+=，∴2||18b =，∴||32b =. 14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为.答案：39π解析：圆锥底面半径6r =，体积21303V r h ππ==，则圆锥的高52h =，则母线长132l ==，则圆锥的侧面积12392S rl ππ=⨯=. 15.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()2f π= .答案：解析：由图可知31332241234T T πππππωω=-=⇒==⇒=，由131313()22cos()2212666f ππππϕϕπϕ=⇒+=⇒+=⇒=-，所以()2cos(2)226f πππ=⨯-=16.已知1F ，2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为 .答案：解析：答案：8解析：如图，由12||||PQ F F =及椭圆对称性可知，四边形12PFQF 为矩形.设1||PF m =，2||PF n =，则222128||48m n m n F F +=⎧⎪⎨+==⎪⎩①②，22-①②得216mn =.所以，四边形12PFQF 面积为8mn =.三、解答题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为1503=2004；乙机床生产的产品中一级品的频率为12032005=；（2）由题意222()400(1508012050)()()()()20020027030n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯10.256 6.635≈>. 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，213a a =，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.答案：见解析解析：∵为等差数列，设公差为dd =d =.d ==(1)n d nd -=.∴22n S n d =，∴222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-(2)n ≥，即222n a d n d =⋅-(2)n ≥，又211a S d ==同样满足通项公式，所以{}n a 是等差数列.19．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形．AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，BF ⊥A 1B 1．(1)求三棱锥F －EBC 的体积；(2)已知D 为棱A 1B 1上的点，证明：BF ⊥DE ． AB C D EFA 1B 1C 1答案：见解析；解析；（1）11BF A B ⊥，则2229BF AB AF BF AB ⊥⇒=+=.又22228AF FC AC AC =+⇒=则AB BC ⊥. AC =1111122122323F EBC F ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. （2）连1A E ，取BC 中点M 连1B M ，EM ，由EM 为AC ，BC 的中点，则//EM AB ，又11//AB A B ，11//A B EM ，则11A B ME 共面，故DE ⊂面11A B ME .又在侧面11BCC B 中1FCB MBB ∆≅∆，则1BF MB ⊥又1111111111111,BF A B MB A B B BF A B ME MB A B A B ME ⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎭面面，则BF DE ⊥.20.设函数2()3ln 1f x a x ax x 2=+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.答案：见解析解析：（1）222323(23)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x +-+-'=+-== ∵0a >，0x >，∴230ax +>，∴当1(0,)x a∈时()0f x '<函数单调递减，当1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增. ∴()f x 在1(0,)a 上递减，在1(,)a +∞上递增，（2）当0x →时()0f x >，结合函数单调性可知若()f x 与x 无交点时min ()0f x > 即221111()3ln 10f a a a a a a=⨯+⨯-+>. 化简可得1ln 1a <即11e a a e <⇒<.所以参数a 的取值范围为1(,)e+∞ 21.抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x =交C 于P ，Q两点，且OP OQ ⊥，已知点(2,0)M ，且M 与l 相切.（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切，判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由.答案：见解析解析：（1）2:C y x =，22:(2)1M x y -+= .（2）设21(,)A a a ，22(,)A b b ，23(,)A c c .1221:()()0A A l y a x a x a b y ab a b -=-⇒-++=+，所以1d r =⇒=①. 1321:()()0A B l y a x a x a c y ac a c -=-⇒-++=+，所以所以b ，c是方程2221(1)230a x ax a =⇒-+-+=的两根.又23:()0A A l x b c y bc -++=，所以2223|2|1a d -+====. 所以dr =，即直线23A A 与M 相切.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=.（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点.答案：见解析解析：（1 （2）设(,)P x y ，00(,)M x y ，由222(1,)(1,0)(1,)22222AP AM OM AP OA x y x y =⇒=+=-+=-+. 又M 在C 上，所以22221))2(3)4x y x y -+=⇒+-+=.则1C 为(3为圆心，半径为2的圆，所以112C Cr r <-所以，两圆为内含关系，所以，圆C 与圆1C 无公共点.23.已知函数()|2|f x x =-，()|23||21|g x x x =+--.（1）画出()y f x =和()y g x =的图象；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围.答案：见解析；解析：（1）2,2()2,2x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩；34,231()42,2214,2x g x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩（2）当0a ≤时，恒不满足，此时(2)0(2)4f a a g a -+=<-=；当0a >时，()()f x a g x +≥恒成立，必有11311()()||42222f ag a a +≥⇔-≥⇒≥. 当112a ≥时， 3(,)2x ∈-∞时，()0g x ≤，()0f x ≥，所以()()f x g x ≥. 31[,]22x ∈-时，()42g x x =+，()2f x x a =+-，令()()()34F x f x g x x a =-=-+-，所以111()()022F x F a ≥=-≥. 1(,)2x ∈+∞时，()2f x x a =+-，()4g x =.()()()6F x f x g x x a =-=+-。

2021年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

2021年高三上学期期末考试数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。

考试时间90分钟，满分100分。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

1.已知，其中为虚数单位，则A.-1B.1C.2D.32.设全集集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝3.设)sin()(2φπφφ+===x x f R ”是“，则“为偶函数“的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是 A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值和最大值分别为A.-6，11B.2，11C.-11，6D.-11，26.已知，则的值为A. B. C. D.7.设a,b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题：①若②若③若④若其中正确命题的个数是A.0B. 1C.2D.38.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则曲线在处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-19.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为A.?B.？C.？D.?10.函数的图象大致是11.已知直线与直线互相垂直，则的最大值等于A.0B.2C.4D.12.过抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。

2021-2022学年河南省高三(上)段考数学试卷(文科)(三)(解析版)

2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021年高三上学期第一次质量检测数学文试题含解析

2021年高三上学期第一次质量检测数学文试题含解析【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、导数的综合应用、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、简单的线性规划、立体几何、充分条件与必要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)【题文】1、已知全集U=R，则正确表示集合M={－1,0,1}和关系的韦恩图是( )【知识点】集合的关系A1【答案解析】B解析：因为，所以，则选B.【思路点拨】先求出集合N，再结合两个集合的关系判断其韦恩图即可.【题文】2、已知，向量与垂直，则实数的值为（）A． B．3 C． D．【知识点】向量的数量积F3【答案解析】A解析：因为向量与垂直，则，得λ=-3，所以选A.【思路点拨】由两向量垂直，则两向量的数量积等于0，是解答本题的关键.【题文】3、“”是“且”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件A2【答案解析】A解析：因为“”不一定有“且”，若“且”，由不等式的性质可知必有“”，所以选A.【思路点拨】判断充要条件时，可先分清命题的条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】4、已知角为第二象限角，且，则的值为（）A． B． C． D．【知识点】诱导公式，同角三角函数基本关系式C2【答案解析】B解析：因为，所以，又因为角为第二象限角，所以解得，则，所以选B. 【思路点拨】由角的正切求其余弦，可通过同角三角函数关系式的商数关系及平方关系得到正弦和余弦的方程组，解方程组即可.【题文】5、已知各项为正的等比数列满足·=，=1，则= （）A． B．2 C． D．【知识点】等比数列D3【答案解析】A解析：因为，又数列的各项为正数，所以公比,则，所以选A .【思路点拨】在遇到等比数列时，可先通过项数观察有无性质特征，有性质的用性质进行解答，无性质特征的用公式进行转化.【题文】6、设满足则( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析：因为不等式组表示的平面区域如图ABCD区域，显然当动直线经过点A （2,0）时，目标函数取最小值为2，无最大值，所以选B..【思路点拨】解答线性规划问题，主要是利用数形结合的方法寻求目标函数的最值.【题文】7、若函数，则下列结论正确的是（） A ．，在上是增函数B ．，在上是减函数 C ．，是偶函数 D ．，是奇函数【知识点】导数的应用、函数的单调性与奇偶性B3 B4 B12【答案解析】C 解析：因为，所以当a ≤0时，导数大于0，在上是增函数，当a ＞0时，函数在（0，+∞）上不是单调函数，所以排除A,B ，当a=0时函数为偶函数，所以C 正确，当a ≠0时既不是奇函数也不是偶函数，所以D 错误，综上知选C.【思路点拨】已知解析式判断函数的单调性，可利用导数进行判断，判断函数的奇偶性可利用其定义进行判断.【题文】8、给出四个函数，分别满足①；②； ③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N ③—P ④—Q B ．①—N ②—P ③—M ④—Q C ．①—P ②—M ③—N ④—QD ．①—Q ②—M ③—N ④—P【知识点】指数函数、对数函数、幂函数B6 B7 B8 【答案解析】D 解析：图像M 为指数函数图像，由指数的运算性质得M 与②对应，则排除A,B,又图像Q 为过原点的一次函数，设f(x)=ax,则有f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y),所以Q 与①对应，则排除C,所以选D. 【思路点拨】抓住指数函数、对数函数及幂函数的图像特征及对应的运算法则，利用排除法，即可确定选项.【题文】9、已知等差数列的前n 项和S n 满足，则下列结论正确的是（） A.数列有最大值 B. 数列有最小值 C. D. 【知识点】等差数列D2【答案解析】D 解析：因为，结合等差数列的前n 项和的二次函数特征得函数的对称轴为，则，得，所以选D.【思路点拨】抓住等差数列n 项和的二次函数特征，利用对称性解答即可. 【题文】10、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ，则f （xx ）的值为( )A. -1B. 0C.1D. 2 【知识点】函数的周期性、分段函数B4【答案解析】C 解析：因为x ＞0时，f(x)=f(x ﹣1) ﹣f(x ﹣2),所以x ＞1时，f(x ﹣1)=f(x ﹣2) ﹣f(x ﹣3)，则有f(x)=f(x ﹣1) ﹣f(x ﹣2)= ﹣f(x ﹣3)=f(x ﹣6)，所以当x ＞4时以6为周期，则f （xx ）=f(336×6－1)=f(－1)=1，所以选C.【思路点拨】由递推关系求自变量较大的函数值时，可考虑利用递推关系发现其周期特征，再进行解答.MQN二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）【题文】11、不等式的解集是_______________.【知识点】一元二次不等式E3【答案解析】 C 解析：由不等式得，解得，所以不等式的解集为.【思路点拨】解一元二次不等式，一般先把不等式转化为二次项系数大于0，再结合对应的二次函数的图像进行解答.【题文】12、函数在点（）处的切线方程是_______________.【知识点】导数的应用B12【答案解析】y=－x 解析：因为，所以切线的斜率为，则所求的切线方程为即y=－x.【思路点拨】抓住切线的斜率等于在切点处的导数值，即可求出切线斜率，进而得出切线方程.【题文】13、数列的通项公式为，若为递增数列，则实数的取值范围是___________. 【知识点】数列的单调性D1【答案解析】解析：因为数列的通项公式为，为递增数列，所以，即，而，所以.【思路点拨】数列单调递增的充要条件是对于任意的n,恒成立，再利用不等式恒成立求λ的范围即可.【题文】14、如图，平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，F 在线段BC 上，且BC=3BF 。

四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷(文科) Word版含解析

四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠54．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．35．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．06．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的坐标运算即可得出．解答：解：=（5，﹣3）+（﹣6，4）=（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解．解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（∁U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故选：A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5考点：全称命题；命题的否定．专题：简易规律．分析：依据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解答：解：∵命题是全称命题，∴依据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求娴熟把握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．4．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．3考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数性质求解．解答：解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．点评：本题考查对数的性质的求法，是基础题，解题时要留意对数性质的合理运用．5．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．0考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行推断，即可求出4x+y的最大值．解答：解：已知实数x、y 满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8．故选：B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：依据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可．解答：解：若a∥b、b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α、b⊂α，则a∥b或a，b异面，故B错误；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确若b⊥α，a⊥b，则a∥α或a⊂α，故D错误；故选：C点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，留意空间想象力量的培育．7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图中的数据分布，分别求出甲乙的极差，中位数，众数，平均数比较即可．解答：解：依据茎叶图中的数据可知，这l0日内甲、极差为55，中位数为74，平均数为73.4，这l0日内乙、极差为57，中位数为68，众数为68，平均数为68.1，通过以上的数据分析，可知C正确．故选；C．点评：本题考查茎叶图的识别和推断，依据茎叶图中数据分布状况，即可确定极差，中位数，众数，平均数大小，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，依据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最终利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．解答：解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先依据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，依据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简洁性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7考点：分段函数的应用；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先依据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5x的图象，结合图象当x＞6时，y=log6x ＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数．解答：解：依据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象当x=6时log66=1，∴当x＞6时y=log5x此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有5个交点，则函数g（x）=f（x）﹣log6x的零点个数为5，故选B．点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是争辩出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较简洁．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案．解答：解：∵cosα=，α∈（0，），∴sin（π﹣α）=sinα==．故答案为：．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系的应用，属于基础题．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为3．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式就看得出．解答：解：∵x＞1，∴==3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．点评：本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是28+12．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱，利用数据推断出底面为正三角形，再利用表面积公式计算．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱．底面三角形为等腰三角形，底边长为2，腰长为2；棱柱长为6．S底面==4S侧面=cl=6×（4+2）=24+12所以表面积是28+12．故答案为：28+12．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算力量，空间想象力量，三视图复原几何体是解题的关键14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，S=0+=；i≥4？，否，i=2，S=+=；i≥4？，否，i=3，S=+=；i≥4？，否，i=4，S=+=；i≥4？，是，输出S=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：依据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后依据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P 是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B是解决本题的关键．综合性较强，难度格外大．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，∵a2=3，S7=49，∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）b n ===2n，则数列{b n}为等比数列，则数列{b n}的前n项和T n =．点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求娴熟把握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查同学的运算力量．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面对量的数量积运算法则计算得到关系式，由余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由B的度数，利用内角和定理求出A的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且•=0，∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．点评：此题考查了余弦定理，平面对量的数量积运算，以及正弦函数的值域，娴熟把握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）依据样本数据统计表，可得200名同学中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以2022-2021学年高二同学的总数即可；（Ⅱ）求出至少有一名同学认为作业多的大事的个数，和从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数，两者相除，即可求出至少有一名同学认为作业多的概率是多少．解答：解：（Ⅰ）42500×答：欢电脑玩耍并认为作业不多的人有7650名．（Ⅱ）从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数是至少有一名同学认为作业多的大事的个数是：15﹣=15﹣6=9（个）全部至少有一名同学认为作业多的概率是．答：至少有一名同学认为作业多的概率是．点评：本题主要考查了概率的运算，考查了同学的分析推理力量，解答此题的关键是要弄清楚两点：①符合条件的状况数目；②全部状况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面V AC．（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣VA﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VC⊥BC，∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，∴AC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面V AC，VC∩AC=C，∴BC⊥平面V AC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，﹣2），，设平面V AC 的法向量==（0，2，0），设平面V AM 的法向量=（x，y，z），由，取y=，得∴，∴cos ＜＞==，∴二面角M﹣V A﹣C 的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，留意向量法的合理运用．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得，由此能示出椭圆方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明4m2=1+4k2．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|==，由此能求出△AOB的面积．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点，∴，解得，∴椭圆方程为（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，即，（1）∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=+2m=，又由中点坐标公式，得，将Q （）代入椭圆方程，得，化简，得4m2=1+4k2，（2）．②解：由（1），（2）得m≠0，且|x1﹣x2|==，（3）在△AOB 中，，（4）结合（2）、（3）、（4），得S△AOB ==，∴△AOB 的面积是．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，留意弦长公式的合理运用．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，=，利用导数性质能求出当x=时，函数f（x ）取得微小值即最小值=．（Ⅱ）由，得f′（e）=，由曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，能求出，b=．（Ⅲ）由题意知函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．2b ≤，由此利用分类争辩思想能求出当时，．当，．解答：解：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，f（x）=x2+x﹣lnx，（x＞0）．==，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得．∴函数f（x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得微小值即最小值，最小值为==．（Ⅱ），∴f′（e）=，∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，∴，解得．∴，b=．（Ⅲ）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，∴函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．∴h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．∴=ax+在[4，+∞）上恒成立，∴2b ≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．（a＞0）．则=．令u′（x）=0，解得．∴u（x ）在上单调递减，在上单调递增．（i ）当时，即时，u（x ）在上单调递减，在上单调递增．∴u（x）min ==，∴，即．（ii）当时，即，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，∴，即．综上可得：当时，．当，．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值，考查了分类争辩的思想方法，考查了推理力量和计算力量，属于难题．。

2021年高考全国乙卷数学(文科)试题及答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2．故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32．故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12，构成该事件的区域长度为13−0=13，所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4，当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号，因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52．故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点，当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值．故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3，令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。

河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试数学文科试卷

2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。

若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。

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2 是（）
A． a 0 B. 0 a 1 C． f ( x1 ) 3 D． f ( x1 ) 1
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线 x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的离心率为
2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
4．函数 f (x) = ln x − 2 +1的零点所在的大致区间是（） x
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e,3)
D． (3, +)
5．已知向量 a = ( m，1) ， b = (3，m − 2) ，则 m = 3 是 a // b 的（）
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试
的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考生
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15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (−1) = 0 ，当 x 0 时， xf (x) − 3 f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
文科数学试卷
1.已知集合 A = ( x, y) x + y = 0, x, y R, B = (x, y) x − y+1 = 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA = FC ，且 DAB = DBF = 60 ．（1）求证： AC ⊥ 平面 BDEF ；（2）若 AB = 2 ，求三棱锥 A − EDC 的体积.
20．在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的离心率为
A． y = 2x − 2−x B． y = x tan x
C． y = x − sin x
D． y = 1 − 2x x
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8．抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成绩为125 分），物理成绩是多少？
n
n
(xi − x)( yi − y)
xi yi − nx y
附：回归方程 y = a + bx 中, b = i=1 n
(xi − x)2
=
i =1 n
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z = 5i ，则 z 的共轭复数为（） 1+ 2i
A. 2 − i
B． 2 + i C. −2 − i D． −2 + i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽到的是（）
由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42
xi
= 4620,
42
yi
= 3108,
42
xi yi
= 350350,
42
(
xi
−
x
)2
= 16940,
42
( yi
− y )2
= 5250, 其中 xi , yi 分别
x
（Ⅰ）当实数 a
=
1 3
时，求
f
( x) 在区间
e, e2
上的最值；
( ) （Ⅱ）设函数 g ( x) = ex + 1 − f ( x) 在区间 0, e−a 上存在极值，求证： a−1 + e−a a +1. x
22．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程
3 ，短轴长为 2，直线 l 与椭圆 2
有且只有一个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）圆 C 的方程为 x2 + y2 = 5 ，若圆 C 与直线 l 相交于 P ， Q 两点（两点均不在坐标轴上），试探究 OP ，
OQ 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
21．已知函数 f ( x) = a ln x + 1 −1，其中常数 a R ，自然常数 e 2.71828 .
A． 2x 3y 5z
B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）
A．11
B． 14 3
C． 28 3
D．16
12.已知 a 为常数，函数 f ( x) = 2ex − 1 ax2 − ax + 1 有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的
xi 2
−
2
nx
，a = y − bx
i =1
i =1
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18．已知三次函数 f (x) = x3 + ax2 + 4x +1 ( a 为常数). （1）当 a = 1时，求函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程；
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x (0, +) 的单调性.
MA
当= MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（）
A． P = N 1000
B． P = 4N C． P = M
1000
1000
D． P = 4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z −1，则 2x,3y,5z 的大小关系为（）
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i = 1, 2,3, , 42 ， y 与 x 的相关系数 r = 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试判断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）；
为
=
2sin
，曲线 C2
的参数方程为
x
y
= =
2 cos −2 + 2sin
(
为参数）．
（Ⅰ）写出 C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）过原点
O
的射线与
C1
的异于极点的交点为
A，xOA Nhomakorabea= (0
)
3
，
B
为
C2
上的一点，且
AOB = ，求 AOB 面积的最大值． 3
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16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点 F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面与平面 DBB1 不可能垂直； ④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a = 2 3 ， b = 2 ， A = 60 ，则 B 为
（）
A．60° B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, +) 单调递减的函数是（）