数学物理方法_2013_6_05
梁昆淼教材《数学物理方法》第00章 绪论
机动1 机动1课时
第二篇 数学物理方程
（共30课时） 30课时） 课时 第七章 数学物理定解问题 课时） （5课时） 课时 分离变数（傅立叶级数） 第八章 分离变数（傅立叶级数）法 课时） （6课时） 课时 第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 课时） （4课时） 课时 第十章 球函数 课时） （5课时） 课时 第十一章 柱函数 课时） （4课时） 课时 第十二章 Green函数 解的积分公式 函数 课时） （3课时） 课时 第十三章 积分变换法 课时） （3课时） 课时
《数学物理方法》 数学物理方法》
数学物理方法课程的学习方法
一、对于复变函数部分，学习时注意以下问题： 对于复变函数部分，学习时注意以下问题： 1、注意对定理的理解与实际应用； 注意对定理的理解与实际应用； 2、注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系； 注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系； 二、对于数学物理方程部分，注意以下几点： 对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律以及偏微 注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、 考虑物理系统中涉及到的物理定理 分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法，或能 、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法， 够利用已有的常微分方程知识进行求解的方法； 够利用已有的常微分方程知识进行求解的方法； 3、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。 、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。
《数学物理方法》 数学物理方法》
Methods of Mathematical Physics
（第三版） 第三版）
梁昆淼 编 刘 法 缪国庆 修订
高等教育出版社
《数学物理方法》 数学物理方法》
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。
数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。
一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。
它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。
通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。
1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。
在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。
1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。
通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。
1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。
通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。
1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。
在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。
1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。
复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。
二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。
下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。
2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。
数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。
《数学物理方法》_重要_公式_总结
无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u u u a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=-..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（）()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-()()i x f f x e dxλλ+∞--∞=⎰[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia ia ia ia a e e a e e i--=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e dx +∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a =>-21[]L x s =21[]()xL ex s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k =+[]22cos sL kt s k ==+[]22[]2ax axe eaL shax L s a--==- Re Re s a > []22[]2axaxe esL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x sττ=⎰[][()]n n n d L f L x f ds=- ..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
【免费下载】数学物理方法讲义
0
ih t
复数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2 2m
x, y, z, t
1. 数的概念的扩充
正整数（自然数） 1，2，…
负数
整数
运算规则 ＋，－，×，÷， 2 ，
－ 1 2 1
÷2
2
x2
0，-1，-2，…
…，-2，-1，0，1，2，…
2
y 2
1 0.5 1 0.333
有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数
无理数 无限不循环小数
实 数 有理数、无理数
虚数 复数
2. 负数的运算符号
2 1.414
1 i yi
实数、虚数、实数＋虚数
x2 1
x i
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学和物理学的知识相结合，用数学的方法来解决物理学中的问题。
数学物理方法在现代物理学的研究中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解物理现象背后的数学原理，还为物理学家提供了强大的工具来解决复杂的物理问题。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其在物理学中的应用和重要性。
一、数学物理方法的基础数学物理方法的基础是数学和物理学的结合。
数学作为一种抽象的科学，通过符号和公式来描述事物之间的关系，而物理学则研究自然界中的物质和运动规律。
数学物理方法将数学的严谨性和物理学的实验性相结合，通过数学模型来描述物理现象，从而揭示事物之间的内在联系。
在数学物理方法中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、微分方程、泛函分析等。
这些数学工具为物理学家提供了描述物理现象的数学语言，帮助他们建立物理模型并进行定量分析。
通过数学物理方法，我们可以用数学语言来描述物理规律，从而预测物理系统的行为并进行实验验证。
二、数学物理方法在物理学中的应用数学物理方法在物理学中有着广泛的应用，涉及到多个领域，如量子力学、统计物理、电磁学、流体力学等。
下面将分别介绍数学物理方法在这些领域中的应用。
1. 量子力学量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过波函数来描述微粒的运动状态。
数学物理方法在量子力学中扮演着重要的角色，如波动方程、薛定谔方程等数学工具被广泛应用于量子力学的研究中。
通过数学物理方法，我们可以计算微粒的能级、波函数等物理量，并预测微粒在不同势场中的行为。
2. 统计物理统计物理研究大量微粒的集体行为，通过统计方法来描述物质的宏观性质。
数学物理方法在统计物理中有着重要的应用，如配分函数、统计力学等数学工具被用来描述系统的热力学性质。
通过数学物理方法，我们可以计算系统的熵、内能等热力学量，并研究系统的相变行为。
3. 电磁学电磁学研究电荷和电磁场之间的相互作用，描述电磁波的传播和辐射现象。
数学物理方法在电磁学中有着广泛的应用，如麦克斯韦方程组、洛伦兹力等数学工具被用来描述电磁现象。
《数学物理方法》第一章
……
第一章
复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？
复数相等
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
举例
_______
z1 z1 设z1 = 5 − 5i, z2 = −3 + 4i, 求 和 z2 z2
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy 2为两个任意复数， 证明：z1 z2 + z1 z2 = 2 Re( z1 z2 )
求(1 + i )100 和 4 1 + i
数学物理方法
绪论
《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。
《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。
课程性质
是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。 学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。
3
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
q q p q q p x = 3 − + ( ) 2 + ( )3 + 3 − − ( ) 2 + ( )3 2 2 3 2 2 3
数学物理方法 课件
数学物理方法课件一、引言数学物理方法是一种广泛应用于科学、工程和技术领域的工具，它涵盖了从最简单的线性代数到更复杂的微分方程和量子力学等广泛的主题。
本篇文章将概述数学物理方法在科学、工程和技术中的应用，并重点介绍一些常用的数学物理方法及其基本原理。
二、数学物理方法的应用数学物理方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学和地球科学等。
例如，在物理学中，数学物理方法被用于描述和预测各种现象，如力学、电磁学、热力学和量子力学等。
在化学和生物学中，数学物理方法被用于研究化学反应和生物系统的动态行为。
在工程学和地球科学中，数学物理方法被用于解决实际问题和预测自然现象，如流体动力学、结构力学和气候变化等。
三、常用的数学物理方法1、线性代数：线性代数是数学物理方法的基础，它研究的是向量空间和线性变换的数学性质。
线性代数在物理学、工程学和化学中被广泛应用，用于描述和预测各种现象。
2、微积分：微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在物理学和工程学中被广泛使用，用于描述和预测各种动态行为。
3、微分方程：微分方程是描述动态系统变化的数学工具，它在物理学、工程学和生物学中被广泛应用。
微分方程可以用来描述物体的运动、化学反应的速度以及生物系统的动态行为等。
4、量子力学：量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，它使用数学物理方法来描述和预测微观粒子的状态和行为。
量子力学在物理学、化学和材料科学中被广泛应用。
四、结论数学物理方法是科学、工程和技术领域中不可或缺的工具，它为我们提供了描述和预测各种现象的强大工具。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
在我们的日常生活中，物理现象无处不在。
当我们打开电灯时，为什么会立刻看到光线？当我们在冷天洗热水澡时，为什么会感到身体变暖？这些都是物理现象的表现。
今天，我们将一起走进这个充满奇妙和神秘的物理世界。
让学生了解物理是什么，以及物理学科的特点和研究内容。
数学物理方法论
数学物理方法论
数学物理方法论是研究如何应用数学原理和方法来解决物理问题的学科。
它主要包括以下几种方法：
1. 比例法：这种方法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化。
2. 图像法：中学物理中的一些比较抽象的习题常较难求解，若与数学图形结合，再恰当引入物理图像，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。
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（三）、广义傅里叶级数由全体勒让德多项式构成的函数系，即{P0 ( x), P 1 ( x ), P 2 ( x ), ⋅⋅⋅}在区间[-1, 1]上不仅是正交的，同时也是完备的，因而可以作为广义傅里叶 级数展开的基，对于定义在 或定义在x 的区间[-1, 1]上的任意平方可积函数 f ( x)θ的区间 [0,∞π ] 上的函数 f (θ ) 可以按勒让德多项式展开：∞ ⎧ f (θ ) = ∑ f l Pl (cos θ ) ⎪ ⎪ l =0 ⎨ ⎪ f = 2l + 1 π f (θ ) P (cos θ ) sin θ dθ l l ⎪ ⎩ 2 ∫0⎧ f ( x) = ∑ f l Pl ( x) ⎪ ⎪ l =0 ⎨ ⎪ f = 2l + 1 1 f ( x) P ( x)dx l l ∫ − 1 ⎪ ⎩ 2例题：以勒让德多项式为基，在[-1, 1]上把 叶级数。
解：∞f ( x) = x 展开为广义傅里f ( x) = ∑ f l Pl ( x),l =02l + 1 1 fl = x Pl ( x)dx ∫ 2 −1(1) l = 2n + 1 (n = 0,1, 2, ⋅⋅⋅) 4n + 3 1 fl = f 2 n +1 = x P2 n +1 ( x)dx = 0 ∫ − 1 2 (2) l = 2n (n = 0,1, 2, ⋅⋅⋅)1 4n + 1 1 fl = f 2 n = x P2 n ( x)dx = (4n + 1) ∫ xP2 n ( x)dx ∫ 0 2 −1 n +1 (4n + 1)(2n − 1)!! = (−1) (n = 1, 2, ⋅⋅⋅) (2n − 1)(2n + 2)!! ∞ 1 1 1 1 1 f ( x) = + ∑ f 2 n P2 n ( x) f 0 = ∫ x P0 ( x)dx = ∫ xdx = , 2 n =1 0 2 −1 2四、Laplace方程轴对称的定解问题例1：在半径为 条件r = r0 的球的内部求解Laplace 方程 Δu = 0 使满足边界ur = r0= cos 2 θ .解：写出定解问题，为：⎧ ⎪ Δu = 0 ⎨ 2 u cos θ = ⎪ ⎩ r = r0边界条件与 ϕ 无关, 即以球坐标的极轴为对称轴，所求的解也以球坐标的 极轴为对称轴，为：u (r , θ ) = ∑ [ Al r l + Bl r − ( l +1) ]Pl (cos θ )l =0∞考虑到球心处的自然边界条件u (r ,θ )r →0=有限值u (r , θ ) = ∑ Al r l Pl (cos θ )l =0∞代入边界条件 u∞r = r0= cos 2 θ，得l 2 A r P (cos θ )= cos θ ∑ l0 l l =0令 cos 2 θ1 = f 0 P0 (cos θ ) + f 2 P2 (cos θ ) = f 0 + f 2 (3cos 2 θ − 1) 2 1 ⎧ A0 = ⎪ 3 ⎧ f 0 = 1/ 3 ⎧ A0 = 1/ 3 ⎪ ∴⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎩ f2 = 2 / 3 ⎩ A2 r0 = 2 / 3 ⎪ A2 = 22 3r0 ⎪ ⎩1 2r 2 u (r , θ ) = + 2 P2 (cos θ ) 3 3r0例2：半径为r0 介电常数为 ε 的介质球放到均匀的外电场 E0 中，求介质球内外的电场强度。
解：取介质球球心为球坐标系 的原点，匀强电场E0 的方向为极轴，则问题的解具有轴对称性。
球内和球外的区域都没有自由电荷，电势均 满足Laplace方程，分别用 ui , uo表示，则ui = ∑ [ Al r l + Bl r − (l +1) ]Pl (cos θ ) uo = ∑ [Cl r l + Dl r − ( l +1) ]Pl (cos θ )l =0 l =0 ∞∞E0ui (1) 球心处，r →0有限Bl = 0(2) 无限远处，电场强度仍为 E0 , 有uor →∞= lim ∑ (Cl r + Dl rl r →∞ l =0∞− ( l +1)]Pl (cos θ ) ∼ lim ∑ Cl r l Pl (cos θ )r →∞ l =0∞= − E0 r cos θ + a = aP0 (cos θ ) − E0 rP 1 (cos θ )C0 = a, C1 = − E0 , Cl = 0 (l ≠ 0,1)ui = ∑ Al r l Pl (cos θ )l =0 − ( l +1) uo = a − E0 rP (cos θ ) + D r ∑ l Pl (cos θ ) 1 l =0 ∞ ∞(3) 球面上的衔接条件有二，为电势连续和电位移矢量的法向分量连续⎧ ui r = r0 = uo r = r0 ⎪ ⎨ ∂u ∂uo i ⎪ε r = r0 = ε 0 ∂r ⎩ ∂rr = r0∞ ∞ Dl ⎧ l Al r0 Pl (cos θ ) = a − E0 r0 P ∑ 1 (cos θ ) + ∑ l +1 P l (cos θ ) ⎪ l =0 l = 0 r0 ⎪ ⎨ ∞ ∞ ⎪ε lA r l −1 P (cos θ ) = −ε [ E P (cos θ ) + (l + 1) Dl P (cos θ ) ∑ ∑ 0 0 1 l 0 l l +2 l ⎪ r l =0 0 ⎩ l =0比较两边的系数，得D0 ⎧ ⎪ A0 = a + r ⎪ 0 ⎨ ⎪ 0 = −ε D0 0 2 ⎪ r 0 ⎩D1 ⎧ ⎪ A1r0 = − E0 r0 + r 2 ⎪ 0 ⎨ ⎪ε A = −ε E − 2ε D1 1 0 0 0 3 ⎪ r0 ⎩3ε 0 E0 ⎧ ⎪ A1 = − ε + 2ε ⎪ 0 ⎨ 3 ( ) E r ε ε − 0 0 0 ⎪D = 1 ⎪ ε + 2ε 0 ⎩Dl ⎧ l Al r0 = l +1 ⎪ r0 ⎪ ⎨ ⎪ε lA r l −1 = −ε (l + 1) D 1 0 l 0 l l +2 ⎪ r0 ⎩⎧ A0 = a ⎨ ⎩ D0 = 0⎧ Al = 0 ⎨ ⎩ Dl = 0(l ≠ 0,1)3ε 0 E0 ⎧ ui = a − − r cos θ ⎪ ε + 2ε 0 ⎪ ⎨ 3 r ( ε ε ) − 0 0 E0 cos θ ⎪u = a − E rP (cos θ ) + 0 1 o 2 ⎪ 2 r ε ε + 0 ⎩3ε 0 E0 3ε 0 ui = a − − r cos θ = a − E0 z ε + 2ε 0 ε + 2ε 0 3ε 0 Ei = E0 , ε + 2ε 0 3(ε − ε 0 )ε 0 P = (ε − ε 0 ) Ei = E0 ε + 2ε 04π r03 (ε − ε 0 )4πε 0 3 Pt = Pi = r0 E0 3 ε + 2ε 0 pt ⋅ r (ε − ε 0 ) E0 r03 ut = = cos θ 3 2 4πε 0 r (ε + 2ε 0 )r 1§9.4 一般的球函数一、问题的引入1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1)Y = 0 2 sin θ ∂θ sin θ ∂ϕ ∂θ进一步分离变量，即令 Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ )球函数方程Φ′′ + m 2 Φ = 0 (m = 0,1, 2, ⋅⋅⋅)Φ (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ1 d dΘ m2 (sin θ ) + [l (l + 1) − 2 ]Θ = 0 sin θ dθ dθ sin θ令 x = cos θ , y ( x ) = Θ(θ ),2 m (1 − x 2 ) y′′ − 2 xy′ + [l (l + 1) − ]y = 0 2 1− x连带勒让德方程二、连带Legendre方程的本征值问题（一）、连带Legendre函数2 ⎧ m 2 ]y = 0 ⎪(1 − x ) y′′ − 2 xy′ + [l (l + 1) − 2 1− x ⎨ ⎪ y (±1)为有限值 ⎩(*)令y ( x) = (1 − x ) v( x), 代入（*） 中得(**)m 2 2(1 − x 2 )v′′ − 2(m + 1) xv′ + [l (l + 1) − m(m + 1)]v = 0另一方面，将如下勒让德方程两边对x 求导m次，(1 − x 2 ) Pl′′ ( x) − 2 xPl′( x) + l (l + 1) Pl ( x) = 0利用 [uv ][m]= uv[m]+ mu ′v[ m −1] +m(m − 1) [ m − 2] u′′v + ⋅⋅⋅ + u[ m ]v 2!(1 − x 2 )( Pl[ m ] )′′ − 2(m + 1) x( Pl[ m ] )′ + [l (l + 1) − m(m + 1)]Pl[ m ] = 0 Pl[ m ] ( x) 是方程（**）的解，故连带勒让德方程（*）的解为，Pl m ( x) = (1 − x ) Pl[ m ] ( x)本征值：m 2 2称为连带Legendre函数l (l + 1), l = 0,1, 2, ⋅⋅⋅m 2 2 m 2 2m d m [m] 本征函数： P ( x ) = (1 − x ) P ( x) = (1 − x ) P ( x) l l m l dx Pl 0 ( x) = Pl ( x) 1 d 1 1 2 2 P P ( x ) = (1 − x ) P ( x ) = (1 − x ) , 1 (cos θ ) = sin θ 1 1 dx 1 1 d 3 1 2 2 2 2 1 P2 ( x) = (1 − x ) P2 ( x) = 3 x(1 − x ) , P2 (cos θ ) = sin 2θ dx 2 2 d P22 ( x) = (1 − x 2 ) 2 P2 ( x) = 3(1 − x 2 ), P22 (cos θ ) = 3sin 2 θ dx 1 2 2（二）、连带Legendre函数的其它表示1、微分表示l +m (1 − x ) d 2 l − Pl m ( x) = ( x 1) 2l l ! dx l + m m 2 22、积分表示l 2 (1 − x ) ( l + m )! ( z − 1) Pl m ( x) = dz l l + m +1 ∫ l 2 l! 2π i ( z − x) m 2 2复积分表示l为环绕实轴上x点的任意一个闭合回路，若选择l为圆心在x点半径为x 2 − 1 的圆周C，则复积分可以化为实积分。