(30)数列求和

课时作业(三十) [第30讲 数列求和][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，那么a 1的值为( )A.421B.631C.821D.21312． 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．553．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n项和为S n ，则S 2 012的值为( )A.2 0072 008B.2 0102 011C.2 0092 010D.2 0122 0134．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x )＝1－f (1－x )，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.能力提升5． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856． 已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( )A.921B.1021C.1121D.20217． 设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( )A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个8． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 9．设m ∈N *，log 2m 的整数部分用F (m )表示，则F (1)＋F (2)＋…＋F (1 024)的值是( ) A ．8 204 B ．8 192C ．9 218D ．以上都不对10． 对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.11．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n－2n，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2nS n 的前n 项和T n ＝________.13． 如表所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，(1)第7群中的第2(2)第n 群中n 个数的和是________．14．(10分) 在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )． (1)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .15．(13分) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破16．(12分) 设数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n . (1)已知a 1＝1，d ＝2，①求当n ∈N *时，S n ＋64n的最小值；②当n ∈N *时，求证：2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<516；(2)是否存在实数a 1，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为3n －2？若存在，求a 1的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(三十)【基础热身】1．A [解析] 由题设知log 2a n －log 2a n －1＝－1，∴log 2a n a n －1＝－1，即a n a n －1＝12，∴{a n }是以a 1为首项，12为公比的等比数列，∴S 6＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝38，∴a 1＝421，故选A .2．C [解析] 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5，故选C . 3．D [解析] 由题知f ′(x)＝2x ＋b ， ∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f(n)＝n 2＋n ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝nn ＋1， ∴S 2 012＝2 0122 013，故选D .4．3 [解析] 由条件可知f(x)＋f(1－x)＝1， 其中x ＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，f(0)＋f(1)＝1， 设M ＝f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)， 则M ＝f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(－2)， 两式相加，得2M ＝6，即M ＝3. 【能力提升】5．B [解析] 由已知a n ＝2n ＋1，得a 1＝3，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n(n ＋2)，则b n ＝n ＋2，T 10＝10(3＋12)2＝75，故选B .6．B [解析] 将直线方程化为(x ＋y －4)＋m(3x －y)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线过定点(1,3)， 所以a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－121＝1021，故选B . 7．A [解析] (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2 ＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107， ∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A . 8．A [解析] a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.9．A [解析] ∵F(m)为log 2m 的整数部分，∴当2n ≤m ≤2n ＋1－1时，f(m)＝n ， ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝F(1)＋[F(2)＋F(3)]＋[F(4)＋F(5)＋F(6)＋F(7)]＋…＋F(1 024) ＝0＋2×1＋4×2＋…＋2k ×k ＋…＋29×9＋10.设S ＝1×2＋2×22＋…＋k ×2k ＋…＋9×29，① 则2S ＝1×22＋…＋8×29＋9×210，② ①－②得－S ＝2＋22＋…＋29－9×210＝2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－213－2，∴S ＝213＋2，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝213＋12＝8 204，故选A .10．2n ＋1－2 [解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.11．－120 [解析] 由已知，得a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1，∴n ＋1－1＝10，解得n ＝120，即直线方程化为121x ＋y ＋120＝0，故直线在y 轴上的截距为－120.12．3·2n －12n ＋1－1 [解析] 根据公式法S n ＝4(1－4n )1－4－2(1－2n )1－2＝13(4n ＋1－3·2n ＋1＋2)＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)，故2nS n ＝32·2n (2n 1－1)(2n －1). 由于(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，所以2n S n ＝32·(2n ＋1－1)－(2n－1)(2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1， 所以T n ＝32121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝321－12n ＋1－1＝3·2n －12n ＋1－1. 13．(1)96 (2)3·2n －2n －3 [解析] (1)第7群中的第2项是第2列中的第6个数，为3×26－1＝96；(2)第n 群中n 个数分别是1×2n －1,3×2n －2,5×2n －3，…，(2n －1)×2n －n .设第n 群中n 个数的和为S n ，所以S n ＝1×2n －1＋3×2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －1)×2n －n .利用错位相减法可求得S n ＝3·2n －2n －3.14．[解答] (1)∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ， ∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a 1＝S 1＝2，d ＝a 2－a 1＝2， ∴a n ＝2n.(2)由已知，∵λ＝1，∴1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)＝2n －1－⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝(1＋21＋22＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－2n 1－2－⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝(2n －1)－1＋1n ＋1＝2n－2n ＋1n ＋1.15．[解答] (1)由已知得a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18.当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，则a n ＝n ；当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，则a n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n 2－1＝⎝⎛⎭⎫12n 2. 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，⎝⎛⎭⎫12n 2，n ＝2k.(2)因为b n ＝a 2n －1·a 2n ，则S n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ， 12S n ＝1·⎝⎛⎫122＋3·⎝⎛⎫123＋5·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)·⎝⎛⎫12n ＋1， 两式相减得 12S n ＝1·12＋2122＋…＋12n －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋2⎣⎡⎦⎤14－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴S n ＝3－(2n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n . 【难点突破】16．[解答] (1)①∵a 1＝1，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n 2，S n ＋64n ＝n ＋64n ≥2n ×64n＝16， 当且仅当n ＝64n，即n ＝8时，上式取等号，故S n ＋64n的最小值是16.②证明：由①知S n ＝n 2，当n ∈N *时，n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2(n ＋2)2＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2，2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2＝14⎝⎛⎭⎫112－132＋14⎝⎛⎭⎫122－142＋…＋14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2＝14112＋122＋…＋1n 2－14132＋142＋…＋1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＝14⎣⎡⎦⎤112＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2， ∵1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2>0， ∴2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<14⎝⎛⎭⎫112＋122<516. (2)对∀n ∈N *，关于m 的不等式a m ＝a 1＋(m －1)d ≥n 的最小正整数解为c n ＝3n －2，当n ＝1时，a 1＋(c 1－1)d ＝a 1≥1； 当n ≥2时，恒有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(c n －1)d ≥n ，a 1＋(c n －2)d <n ，即⎩⎪⎨⎪⎧(3d －1)n ＋(a 1－3d )≥0，(3d －1)n ＋(a 1－4d )<0. 从而⎩⎪⎨⎪⎧3d －1≥0，(3d －1)×2＋(a 1－3d )≥0，3d －1≤0，(3d －1)×2＋(a 1－4d )<0，⇔d ＝13，1≤a 1<43.当d ＝13，1≤a 1<43时，对∀n ∈N *，且n ≥2时，当正整数m <c n 时，有a 1＋m －13<a 1＋c n －13，所以a 1＋m －13<n ，所以存在这样的实数a 1，且a 1的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，43.。