2018年高考数学(理科,通用版)练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十一) 直线与圆
2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测二十三理科数学(含答案)
课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )。
2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(二十四) 函数与导数
课时跟踪检测（二十四） 函数与导数1．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋x 2＋b ，g (x )＝a ln x .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，1上的最大值为38，求实数b 的值； (2)若对任意的x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )＞0，函数f (x )为增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，1时，f ′(x )＜0，函数f (x )为减函数．∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ，f ⎝⎛⎭⎫23＝427＋b ， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＞f ⎝⎛⎭⎫23. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ＝38，∴b ＝0. (2)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x ，∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，由于不能同时取等号，∴ln x ＜x ，即x －ln x ＞0，∴a ≤x 2－2x x －ln x(x ∈[1，e])恒成立．令h(x)＝x2－2xx－ln x，x∈[1，e]，则h′(x)＝(x－1)(x＋2－2ln x)(x－ln x)2，当x∈[1，e]时，x－1≥0，x＋2－2ln x＝x＋2(1－ln x)＞0，从而h′(x)≥0，∴函数h(x)＝x2－2xx－ln x在[1，e]上为增函数，∴h(x)min＝h(1)＝－1，∴a≤－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1]．2．(2018届高三·合肥调研)已知函数f(x)＝e x－12ax2(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x2ln x对一切x∈(0，＋∞)恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝e x－x2，则f′(x)＝e x－2x，令f1(x)＝f′(x)＝e x－2x，则f1′(x)＝e x－2，令f1′(x)＝0，得x＝ln 2，又0＜x＜ln 2时，f1′(x)＜0，x＞ln 2时，f1′(x)＞0，∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln 2时取得极小值，也是最小值．∵f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴f(x)＞f(0)＝1.(2)由已知，得f′(x)＝e x－ax，由f′(x)≥x2ln x，得e x －ax ≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，当x ＝1时，可得a ≤e ，∴若存在，则正整数a 的值只能取1,2.下面证明当a ＝2时，不等式恒成立，设g (x )＝e x x 2－2x－ln x ， 则g ′(x )＝(x －2)e x x 3＋2x 2－1x ＝(x －2)(e x －x )x 3， 由(1)得e x ＞x 2＋1≥2x ＞x ，∴e x －x ＞0(x ＞0)，∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0；当x ＞2时，g ′(x )＞0.∴g (x )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴g (x )≥g (2)＝14(e 2－4－4ln 2)＞14×(2.72－4－4ln 2)＞14(3－ln 16)＞0， ∴当a ＝2时，不等式f ′(x )≥x 2ln x 对一切x ＞0恒成立，故a 的最大值是2.3．(2017·安徽二校联考)已知函数f (x )＝ln x －a x －m (a ，m ∈R)在x ＝e(e 为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x 1，x 2.(1)求实数a 的值，以及实数m 的取值范围；(2)证明：ln x 1＋ln x 2＞2.解：(1)f ′(x )＝1x ·x －(ln x －a )x 2＝a ＋1－ln x x 2， 由f ′(x )＝0，得x ＝e a ＋1，且当0＜x ＜e a ＋1时，f ′(x )＞0，当x ＞e a ＋1时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在x ＝e a ＋1时取得极值，所以e a ＋1＝e ，解得a ＝0.所以f (x )＝ln x x －m (x ＞0)，f ′(x )＝1－ln x x 2，函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f (e)＝1e－m .又x →0(x ＞0)时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→－m ，f (x )有两个零点x 1，x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧1e －m ＞0，－m ＜0，解得0＜m ＜1e . 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)证明：不妨设x 1＜x 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2. 则ln x 1x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 2x 1＝m (x 2－x 1)⇒m ＝ln x 2x 1x 2－x 1.欲证ln x 1＋ln x 2＞2，只需证ln x 1x 2＞2，只需证m (x 1＋x 2)＞2，即证x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1＞2. 即证1＋x 2x 1x 2x 1－1ln x 2x 1＞2，设t ＝x 2x 1＞1， 则只需证ln t ＞2(t －1)t ＋1. 即证ln t －2(t －1)t ＋1＞0.记u (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)， 则u ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0. 所以u (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以u (t )＞u (1)＝0，所以原不等式成立， 故ln x 1＋ln x 2＞2，得证．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12·⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0， 所以不满足题意；②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3.。
2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测五理科数学(含答案)
课时跟踪检测（五）一、选择题1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1]解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所以m ≤－2或m ≥1，故选C.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2³3x ³79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12³5³22＝52，故选C. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，则B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→²CP ―→＝－32，则λ＝( ) A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→²CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12. 二、填空题7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a²b b²b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b²a a²a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1. 又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a <1. ∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12. ①³②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：328.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 所以cos ∠PAQ ＝AP ―→²AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347³3＝32114. 答案：321149．(2017²石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组。
教育最新K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测三理
课时跟踪检测（三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质量检测)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1 C. 3D ． 2解析：选D 由正弦定理asin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，即112＝b 22，∴b ＝2，故选D.2．(2017·张掖模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则sin B ＝( )A.74 B.34 C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，得b 2－a 2＝12ac ，∵c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，则sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 3．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12解析：选A ∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， ∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－2.4．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A成等差数列，则B ＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 由题意知2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ，解得cos B ＝12，所以B ＝60°.5．(2018届高三·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 6．(2017·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.7．(2017·惠州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.2＋1B.3＋1 C ．2D. 5解析：选B 由正弦定理bsin B ＝csin C，得sin B ＝b sin Cc ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 8．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝4a ＋2b －5且a 2＝b 2＋c 2－bc ，则sin B 的值为( )A.32B.34 C.22D.35解析：选B 由a 2＋b 2＝4a ＋2b －5可知(a －2)2＋(b －1)2＝0，故a ＝2且b ＝1.又a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故sin A ＝32.根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝322＝34，故选B.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2－c 2＝0，∴b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形，故选C.10．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233，故选D.11．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos ∠A ＝( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin ∠A ，所以BD ＝AD ＝22sin ∠A .因为AD＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BDsin ∠C ＝BC sin ∠BDC ，得22sin ∠A 32＝4sin 2∠A ，整理得cos ∠A ＝64.12．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 二、填空题13．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°14．(2017·广州模拟)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sinC ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sinC (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32.答案：3215．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝277，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝217，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.答案： 5B 组——能力小题保分练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝( )A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.2．(2017·合肥质检)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sinπ3＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4 ⎩⎪⎨⎪⎧1－cos 2B 2＋1－A ＋B2⎭⎪⎬⎪⎫＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]，故选A.3.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m .答案：1504．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.解析：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，AB ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a . 在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a .∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12BC ·AD ，即12×23a ×53a ·sin∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝31010.答案：310105.如图，在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，则AC ＝________.解析：因为BD ＝2DC ，设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，因为cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，所以sin ∠DAC ＝1010，sin ∠C ＝55，在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin ∠C ＝CDsin ∠DAC ，即y55＝x 1010，即y ＝2x .又cos ∠ADB ＝cos(∠DAC ＋∠C )＝31010×255－1010×55＝22，则∠ADB ＝π4.在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ×AD cos π4，即2＝4x 2＋2x 2－2×2x ×2x ×22，即x 2＝1，所以x ＝1，即BD ＝2，DC ＝1，AD ＝2，在△ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ×AD cos 3π4＝5，得AC ＝ 5.答案： 56．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ，即32＝12×2×6×sin∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠DAC <3π4，又∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ，所以∠ACB <3π4，则∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝π6，在△BCD 中，BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠ABC ，即622＝CD 12，解得CD ＝ 3.答案： 3。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案
大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。
2018年高考数学课标通用理科一轮复习课时跟踪检测48
课时跟踪检测(四十八)[高考基础题型得分练]1．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0.故交点在第二象限．2．[2017·山东济南模拟]已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2答案：D解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3．[2017·河南郑州质量预测]“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：∵ax ＋y ＋1＝0与(a ＋2)x －3y －2＝0垂直， ∴a (a ＋2)－3＝0，∴a ＝1或a ＝－3.∴“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0答案：D解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．0B ．2 C.13 D ．4答案：B解析：∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)答案：B解析：直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8答案：B解析：依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.8．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522 D ．15 2答案：B解析：由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝5 2.9．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________． 答案：(0,3)解析：设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．10．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案：35解析：由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35.11．[2017·河北秦皇岛检测]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 解得k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率均为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·福建泉州一模]若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案：C解析：因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， 所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.2．如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是()A．210 B．6C．3 3 D．2 5答案：A解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离．于是|A1A2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0答案：D解析：由|P A |＝|PB |知，点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3,4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.4．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：解法一：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)， 设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又点Q 在l 上， ∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.解法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上， ∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎨⎧y 0－y x 0－x＝－23，3×x ＋x2－(y ＋y 0)＋7＝0，可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.。
2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(二十三)圆锥曲线有解析
课时跟踪检测（二十三） 圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围． 解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2， 则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20＜OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523. 2．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·PQ ―→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)． 由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )， 则OQ ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )， OQ ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，PQ ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·PQ ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ ―→·PF ―→＝0，即OQ ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3．(2018届高三·西安八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42，可得2a ＝42，a ＝2 2. 又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b 2＝1，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ， 所以点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则点F (－x 0，－y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2， 所以x 0＝221＋2k 2，则y 0＝22k 1＋2k 2， 所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令x ＝0，得y ＝22k1＋1＋2k 2，即点M 0，22k1＋1＋2k 2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2.所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)．4.(2017·安徽二校联考)已知焦点为F 的抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2＝1，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q .(1)当直线l 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程； (2)记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 22p ，由x 2＝2py (p ＞0)得， y ＝x 22p ，求得y ′＝xp ，因为直线PQ 的斜率为1， 所以x 0p ＝1且x 0－x 202p －2＝0，解得p ＝2 2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)点P 处的切线方程为y －x 202p＝x 0p (x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，OQ 的方程为y ＝－px 0x . 根据切线与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，y ＝－px 0x ， 解得Q ⎝⎛⎭⎫2x 0，4－x 202p .所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0，又点F ⎝⎛⎭⎫0，p2到切线PQ 的距离 d 1＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p2＝12x 2＋p 2， 所以S 1＝12|PQ |d 1＝12·p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·12x 20＋p 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0， S 2＝12|OF ||x Q |＝p 2|x 0|，而由x 40＝4x 20＋4p 2知，4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2， 所以S 1S 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·2|x 0|p＝(x 20＋p 2)(x 20－2)2p 2＝(4x 20＋x 40－4x 20)(x 20－2)2(x 40－4x 20) ＝x 20(x 20－2)2(x 20－4) ＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取等号，即x 20＝4＋22时取等号，此时p ＝2＋2 2. 所以S 1S 2的最小值为22＋3.。
2018届高考理科数学二轮复习课时跟踪检测试卷及答案(26份)
课时跟踪检测（一）集合、常用逻辑用语1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m ＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．2．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是( )A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D 因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.7.(2017·唐山模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan x ＝sin xcos x， ∴0<cos x <1，tan x >sin x ， ∴q 为真命题，选C.9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q ，则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，则P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．11．(2018届高三·广西五校联考)命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”，命题q ：“关于x 的方程2x－m ＝0有正实数解”，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,10]B ．(－∞，－2)∪(1,10]C ．[－2,10]D ．(－∞，－2]∪(0,10]解析：选B 若命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”为真命题，则Δ＝m 2－8m －20＞0，∴m ＜－2或m ＞10；若命题q 为真命题，则关于x 的方程m ＝2x有正实数解，因为当x ＞0时，2x＞1，所以m ＞1.因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故p 真q 假或p 假q真，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－2或m ＞10，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤10，m ＞1，所以m ＜－2或1＜m ≤10.12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1，m )与b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错； B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0， 解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n 0∈N *，3n 0≤(n 0＋2)·2n 0－1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确．13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1814．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}．(2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)3216．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若a ∈R ，则“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件；②“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件； ③若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则p 是真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”．解析：由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，∴“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件，故①正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， ∴命题p 为真命题，③正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故④不正确． 答案：②④课时跟踪检测（二） 平面向量与复数1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i1＋i ＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3 C.π4 D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝2＋32＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i＝＋2＋－＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322解析：选 A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCD S △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝△ABC＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i＝a－＋－＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a2＝－1，解得a ＝－2. 答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝＋2m2＋m －2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]课时跟踪检测（三） 不等式1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－12或x ＞2，则m－n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m (m ＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a＋4b≥22a·22b＝22a ＋2b＝22，当且仅当2a ＝22b，即a ＝12，b ＝14时取等号．3．(2017·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．5B ．7C ．8D ．23解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7.4．(2017·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.5．(2017·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x－2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x－2，x ＜2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3； 当x ＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．6．(2017·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点A 处z有最小值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，即A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ×a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5. 当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．7．(2017·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.8．(2017·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max＝|OA |2＝13，故选C.9．(2017·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63 B.233 C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x－0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，则4x ＋yxy的最小值为( )A ．16B ．18C ．20D ．27解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，∴|AB ―→|·|AC ―→|cos π6＝23，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin π6＝14bc ＝1.∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴4x ＋yxy＝1x ＋4y ＝3(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋y x＋4x y ≥3⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝27， 当且仅当y ＝2x ＝29时取等号，故4x ＋yxy的最小值为27.12．(2017·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选 D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：314．(2017·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.答案：－12515．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ， 由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2. 综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]． 答案：[－2,1]课时跟踪检测（四） 函数的图象与性质[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A.43 B.73 C ．4D.133解析：选D 将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c 19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133.2.(2018届高三·武汉调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x ＞0，x →0时，f (x )＜0，与题图不符，故不成立．选D.3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．f (x )＝x 3，x ∈(－3,3) B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x |x |D ．f (x )＝ln 2e e －－x x解析：选D 选项A 、B 、C 、D 对应的函数都是奇函数，但选项A 、B 、C 对应的函数在其定义域内都不是减函数，故排除A 、B 、C ；对于选项D ，因为f (x )＝ln 2e e －－x x，所以f (x )＝(e －x －e x)ln 2，由于函数g (x )＝e －x与函数h (x )＝－e x 都是减函数，又ln 2＞0，所以函数f (x )＝(e －x－e x)ln 2是减函数，故选D.4．函数f (x )＝ －x 2＋9x ＋10－2x －的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：选 C 由题易知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D.故选C. 6．函数f (x )＝x x2的图象大致是( )解析：选 A 由题意知，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－πx－x2＝x x2＝f (x )，∴f (x )为偶函数，排除C 、D ； 当x ＝1时，f (1)＝cos π1＝－1＜0，排除B ，故选A. 7．(2018届高三·衡阳八中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称．又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72＞3＞52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 8．(2017·甘肃会宁一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选A 法一：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a ＜12.法二：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.9.(2018届高三·辽宁实验中学摸底)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致为( )解析：选A 由一元二次方程的解法易得(x －a )(x －b )＝0的两根为a ，b ，根据函数零点与方程的根的关系，可得f (x )＝(x －a )(x －b )的零点就是a ，b ，即函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标为a ，b .观察f (x )＝(x －a )·(x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间(－2，－1)与(0,1)上，又由a ＞b ，可得－2＜b ＜－1,0＜a ＜1.函数g (x )＝a x＋b ，由0＜a ＜1可知其是减函数，又由－2＜b ＜－1可知其图象与y 轴的交点在x 轴的下方，分析选项可得A 符合这两点，B 、C 、D 均不满足，故选A.10．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．11．(2017·安徽六安一中测试)已知函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域为[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：选B 函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x ＞0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2,3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．13．若函数f (x )＝a －12x＋1为奇函数，则a ＝________. 解析：由题意知f (0)＝0，即a －12＋1＝0，解得a ＝12.答案：1214．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2 017)＝k ，则f (－2 017)＝________.解析：由f (2 017)＝k 可得，a ×2 0173＋b ×2 017＋1＝k ，∴2 0173a ＋2 017b ＝k －1，∴f (－2 017)＝－a ×2 0173－b ×2 017＋1＝2－k .答案：2－k15．(2017·安徽二校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－221log 3－＝－13.答案：－1316．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x，且当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是________．解析：∵当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立， ∴n ≤f (x )min 且m ≥f (x )max ，∴m －n 的最小值是f (x )max －f (x )min ， 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当x ∈[－3，－1]时，函数的最值与x ∈[1,3]时的最值相同，又当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f (1)＞f (3)， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (1)－f (2)＝5－4＝1. 故m －n 的最小值是1. 答案：1[B 级——中档小题强化练]1．函数f (x )＝1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2e 的图象大致是( )解析：选D 因为f (0)＝ln 2＞0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D. 2．(2018届高三·东北三校联考)已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2＋1，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选A 易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2＋1 是增函数， ∴使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 满足|2x －1|＜|x |， 解得13＜x ＜1.3．(2017·潍坊一模)设函数f (x )为偶函数，且∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 所以f (x )＝f (x ＋2)，得f (x )的周期为2. 因为当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ， 所以当x ∈[0,1]时，x ＋2∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.又f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，f (x )＝f (－x )＝－x ＋2，当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0,1]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4，所以当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3－|x ＋1|.4.(2017·安庆二模)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在t ＝0时，圆O 与l 2相切于点A ，圆O 被直线l 2所截得到的两段圆弧中，位于l 2上方的圆弧的长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 法一：如图所示，cosx2＝设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t ＝1时，圆O 在直线l 2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A 、D ；当t ＝12时，如图所示，易知∠BOC ＝2π3，所以cos 2π3＝－12＜0，排除C ，故选B.5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－126．(2017·张掖模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，又f (x )＋3＋f (x ＋2)≥f (x ＋3)＋f (x )＋2， 即f (x ＋2)＋1≥f (x ＋3)，∴f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，利用叠加法，得f (2 017)＝2 018.答案：2 018[C 级——压轴小题突破练]1．设m ∈Z ，对于给定的实数x ，若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤m －12，m ＋12，则我们就把整数m 叫做距实数x 最近的整数，并把它记为{x }，现有关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12；②函数f (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；③函数f (x )是奇函数；④函数f (x )是周期函数，其最小正周期为1. 其中，真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－12＋1＝12， 所以①是假命题；②令x ＝m ＋a ，m ∈Z ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，则f (x )＝x －{x }＝a ，∴f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以②是真命题； ③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－0＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴函数f (x )不是奇函数，故③是假命题； ④∵f (x ＋1)＝(x ＋1)－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )， ∴函数f (x )的最小正周期为1，故④是真命题． 综上，真命题的个数为2，故选B.2.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以 1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )解析：选A 当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24； 当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A. 3．(2017·河北邯郸一中月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x－f 2x2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b－a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1xf 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：54．(2017·湘中名校联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：因为f (x －2)是偶函数， 所以函数f (x )的图象关于x ＝－2对称． 又f (x )在(－∞，－2)上为增函数， 则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|， 即|2sin x |＜|sin x ＋1－m |，两边同时平方， 得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0， 即(3sin x ＋1－m )(sin x －1＋m )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＞0，sin x －1＋m ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＜0，sin x －1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＞m －1，sin x ＜1－m 或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＜m －1，sin x ＞1－m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜－3，1－m ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞3，1－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)课时跟踪检测（五） 基本初等函数、函数与方程[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．若f (x )是幂函数，且满足f f＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由ff＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．(2017·云南模拟)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选D 因为a ＝60.7＞1，b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1，所以a ＞c ＞b . 3．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图． 由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.4．(2017·河南适应性测试)函数y ＝a x－a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 由函数y ＝a x－a (a ＞0，a ≠1)的图象过点(1,0)，得选项A 、B 、D 一定不可能；C 中0＜a ＜1，有可能，故选C.5．已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ＞0，g x ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x，故g (x )＝－2x，x ＜0，选D.6．已知f (x )＝a x和g (x )＝b x是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可得，a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1. 充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2， 由f (2)＞g (2)知，a 2＞b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增， 可知a ＞b ，故充分性成立； 必要性：由题可知a ＞b ＞0，构造函数h (x )＝f x g x ＝a x b x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ，显然ab＞1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b2＞h (0)＝1，所以a 2＞b 2，故必要性成立．7．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 法一：∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C.法二：函数f (x )＝e x＋x －2的零点，即函数y ＝e x的图象与y ＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C.8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( ) A ．0 B ．2 C ．5D ．7解析：选 C ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，g x ，x ＜0，若f (x )为奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14的值为( )A ．－14B.14 C ．－2D ．2解析：选D 法一：当x ＞0时，f (x )＝log 2x ， ∵f (x )为奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x )， 即g (x )＝－log 2(－x )， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－log 214＝2. 法二：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－log 214＝－log 22－2＝2.10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3。
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参考答案
1．C
【解析】∵直线l1：x+2ay-1=0，l2：（a+1）x-ay=0，l1∥l2，∴=2a（a+1），
∴a=- 或0，
点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于基础题；由题意可得圆心 到直线 ： 的距离 满足 ，根据点到直线的距离公式求出 ，再解绝对值不等式求得实数 的取值范围.
6．C
【解析】
圆x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，因为直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2 ，故直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2 ，即ab≤ ，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为 .选C.
故选：C．
2．B
【解析】
由题意得圆心(0,1)与点P(1,2)的连线垂直于直线AB，所以kAB· ＝－1，解得kAB＝－1.而直线AB过点P，所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.选B.
3．D
【解析】试题分析：圆 的圆心为点 ，又因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率 ．由点斜式得直线 ，化简得 ，故选D．
A． B． C．4D．8
10．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足 ，则r＝( )
A． B． C． D．
11．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为( )
绝密★启用前
2018-2019学年度学校5月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，
∴S四边形ABCD＝ |AC|·|BD|≤ ×10＝5，
当且仅当|AC|＝|BD|＝ 时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.
13． 或
【解析】
由题意知线段AB的中点C(3，－2)，kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
9．B
【解析】
∵f(x)＝ ＋ ＝ ＋ ，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝ ＝5 ，即f(x)＝ ＋ 的最小值为5 .选B.
A． B．0
C． 或0D．2
2．在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为( )
A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0
3．已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则直线 的方程为（）
A． B．
7．A
【解析】
将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝ ＝ ，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝ ＋1.选A.
8．C
【解析】
设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝ ＝ ＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．选C.
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，
kOP·kOQ＝ · ＝
＝k2＋kb ＋
＝k2＋kb ＋
＝ ，
由kOP·kOQ＝k2，得 ＝k2，
解得k＝±1.选A.
12．A
【解析】
如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.
考点：1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.
视频
4．A
【解析】
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝ ＝ ，所以较短弧所对的圆心角为 ，较长弧所对的圆心角为 ，故两弧长之比为1∶2.选A.
5．A
【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为2，因为圆上的点到直线 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 ，故选C.
记AB中点为D，则D ，
所以CD⊥AB，所以 ＝－ .②
联立①②，解得
可得点D坐标为 ，
所以圆心C到直线l的距离为
|CD|＝ ＝ .
16．
【解析】
依题意知，动圆C的半径不小于 |AB|＝ ，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，－1)，点M的坐标为(1，－2)，且|CM|＝ ＝ ＜ ，所以点M位于圆C内，当点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF|最小，其最小值等于2 ＝2 .
14．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．
设P(x，x－5)，则2＝ ，
解得x＝1或x＝ .
即点P的坐标是(1，－4)或 .
14．-1
【解析】试题分析:由题设可知圆心 到直线 的距离是 ,即 ,解之得 ,故应填答案 .
考点：直线与圆的位置关系及运用．
15．
【解析】圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心C(3,0)，半径r＝2，设过原点O的动直线l的方程为y＝kx，由题意，设A(a，ka)，B(2a，2ka)，将A点坐标代入圆C的方程得(1＋k2)a2－6a＋5＝0.①
A． B． C． D．
7．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得 的最小值为( )
A．－1或1B．0或
C．1D．－1
12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1， )，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5B．10
C．15D．20
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知点A(4，－3)与B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是________．
C． D．
4．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－ y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )
A．1∶2B．1∶3
C．1∶4D．1∶5
5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
6．已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为 ，则ab的最大值为( )
10．B
【解析】
已知＝ ＋ ，
两边平方化简得·＝－ r2，
所以cos∠AOB＝－ ，所以cos ＝ ，
又圆心O(0,0)到直线的距离为 ＝ ，
所以 ＝ ，解得r＝ .选B.
11．A
【解析】
设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，