2015-2016学年吉林省长春十一中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2015-2016年吉林省吉林一中高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}2．（5分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜03．（5分）已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（）A．﹣5 B．5 C．D．4．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+﹣16．（5分）在等比数列{a n}中，若的值为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣47．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）A．80 B．90 C．120 D．1308．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣29．（5分）已知等差数列{a n}有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=（）A．5 B．7 C．9 D．1110．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．1811．（5分）已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）12．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C．D．﹣3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若S n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2=．14．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC外接圆的半径R=．15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是．16．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，则S m+n 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．19．（12分）已知函数f（x）=，若数列{a n}（n∈N*）满足：a1=1，a n+1=f （a n）（1）证明数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：c n=，求数列{c n}的前n项的和S n．20．（12分）设数列{a n}满足=n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}前n项和T n．21．（12分）解关于x的不等式＜1．22．（12分）已知数列{a n}满足s n=且a1=3，令b n=（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n≤M对∀n∈N•都成立，求M的最小值．2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，可得方程的解为：x=﹣1，x=3．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴则a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立对于B，∵c＜b＜a∴b﹣a＜0，又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立，当b≠0时，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，对于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a﹣c＞0∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立3．（5分）已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（）A．﹣5 B．5 C．D．【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，由②得：a1=2a2﹣8，代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，解得：a2=5，∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，开方得：b2=﹣2，则==﹣5．故选：A．4．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．5．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+﹣1【解答】解：对于A：不能保证x＞0，对于B：不能保证sinx=，对于C：不能保证=，对于D：y=x++﹣1≥3﹣1=2．故选：D．6．（5分）在等比数列{a n}中，若的值为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：由a2a3a6a9a10=（a2a10）•（a3a9）•a6=a65=32=25，得到a6=2，则==a6=2．故选：B．7．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）A．80 B．90 C．120 D．130【解答】解：由已知可得：公比q≠1，q＞0．∵S n=3，S3n=39，∴=3，=39，化为q2n+q n﹣12=0，解得q n=3．∴=﹣．则S4n==﹣=120．故选：C．8．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：设等差数列{a n}有奇数项2k+1，（k∈N*）．公差为2d．∵奇数项和为36，偶数项和为30，，∴36=a1+a3+…+a2k+130=a2+a4+…+a2k，∴=（2k+1）a k+1，6=a2k+1﹣kd=a1+kd=a k+1，∴11=2k+1=n，故选：D．10．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．11．（5分）已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，则满足﹣a＜k AB=﹣，解得a＞．故选：D．12．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C．D．﹣3【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若S n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2=．【解答】解：∵，∴当n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1．当n=1时上式也成立，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×32n﹣2=4×9n﹣1．∴数列{}是等比数列，首项为4，公比为9．∴==；故答案为：．14．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC外接圆的半径R=1．=，【解答】解：由∠A=60°，b=1，S△ABC则bcsinA=•1•c•=，解得c=2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=1+4﹣2•1•2•=3，解得a=，由正弦定理可得，=2R==2，解得R=1．故答案为：1．15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是[0，] ．【解答】解：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，则z==表示可行域内的点P（x，y）与点（﹣3，1）的连线的斜率加上1，观察图形可知，k OA=0，k OB，=，所以z∈[0，]；故答案为：[0，]．16．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，则S m+n 的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵{a n}是等差数列，∴设S n=An2+Bn，∵S n=，∴An2+Bn=，Am2+Bm=，故B=0，A=．=＞=4，∴S m+n∴S m的取值范围是（4，+∞）．+n故答案为：（4，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知a n=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{b n}的前n项和T n=2n﹣118．（12分）已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）因为a2﹣c2=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，则cosC===，又C∈（0°，180°），所以∠C=60°．（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，即有ab≤6，当且仅当a=b，取得等号．则△ABC的面积为S=absinC=ab≤，当且仅当a=b=，取得最大值．19．（12分）已知函数f（x）=，若数列{a n}（n∈N*）满足：a1=1，a n+1=f （a n）（1）证明数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：c n=，求数列{c n}的前n项的和S n．【解答】（1）证明：∵a n=f（a n）=，两边取倒数可得；=+2，即+1﹣=2，∴数列为等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a n=．（2）解：c n==（2n﹣1）•3n，∴数列{c n}的前n项的和S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3S n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=2（1﹣n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．20．（12分）设数列{a n}满足=n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足=n，∴当n=1时，=1，解得a1=9．当n≥2时，+…+=n﹣1，相减可得：=1，∴a n=11﹣2n．当n=1时也成立．（2）设数列{a n}的前n项和为S n，可得S n==10n﹣n2．令a n=11﹣2n≥0，解得n≤5．∴当n≤5时，数列{|a n|}前n项和T n=S n=10n﹣n2．当n≥6时，数列{|a n|}前n项和T n=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=2S5﹣S n=50﹣10n+n2．综上可得：T n=．21．（12分）解关于x的不等式＜1．【解答】解：不等式＜1可化为：﹣1=＜0，若a﹣1=0，即a=1，解得：x∈（﹣∞，2）；若a﹣1＞0，即a＞1，解得：x∈（，2）；若﹣1＜a﹣1≤0，即0＜a≤1，解得：x∈（﹣∞，2）∪（，+∞），若a﹣1＜﹣1，即a＜0，解得：x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）．22．（12分）已知数列{a n}满足s n=且a1=3，令b n=（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n≤M对∀n∈N•都成立，求M的最小值．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足s n=，∴当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣，﹣（n+1）a n+1=0，化为na n+1∵b n=，∴a n=nb n，﹣n（n+1）b n+1=0，∴n（n+1）b n+1﹣b n=﹣=．∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=++…++3==．（2）由（1）可得：b n==．∴a n=2n+1．c n===，数列{c n}的前n项和为T n=+…+=，若T n≤M对∀n∈N•都成立，∴．∴M的最小值为．。
吉林省东北师范大学附属高二上学期期中考试理科数学试题 有答案
2015---2016学年(高二)年级上学期期中考试(数学理)学科试卷说明：1、此试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2、满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．正确选项) 1．下列所给出的赋值语句中正确的是()A.x -=5B.x y ==1C.y y =-D.x y +=1 2．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(k b =→，且满足向量→a //→b，则k 等于()A.1B.1-C.2D.2- 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为() A ．y x = B ．y =C ．y x= D ．32y x =± 4. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x =21，则x =1”的否命题为：“若x =21，则x ≠1”B ．“x =-1”是“x x --=2560”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得x x ++<210”的否定是：“x R ∀∈，均有x x ++>210”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为 ( )A ．AB α⊥B ．AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α6．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是()A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝ 7．过抛物线的焦点F 的直线交该抛物线于点A ．若|AF|=3，则点A 的坐标为() A ．(2，22) B ．(2，22-)C ．(2，22±) D ．(1，±2) 8．直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为() A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定9．设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为()． A ．αβ⊥，l αβ=，m l ⊥B ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥C ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥10．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720=S ，则在判断框中 应填入关于k 的判断条件是()A ．?6≥kB ．?7≥kC ．?8≥kD ．?9≥k11．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =，b OB =，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA，点N 为C B 中点，则MN 等于() A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点2(,)a abc c-与点1F 关于直线bx y a =-对称，则该双曲线的离心率为()AB．2 D第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．“m >-1”是“”的一个条件. 14.执行如图所示的程序框图，其输出的结果是. 15．椭圆2214xy +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是.16.已知P 为抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的 坐标是(2,0)，则||||PA PM +的最小值为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设p :114≤-x ；q :2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．(I)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； (II)求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知曲线C 上任意一点M 满足4||||21=+MF MF ， 其中F 12(I)求曲线C 的方程；(II)已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M、N 分别为PC 、PB 的中点．(I)求证：PB ADMN ⊥平面； (II)求BD 与平面ADMN 所成的角；(III)点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45．21．(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为24，离心率为23．(I)求椭圆的标准方程；(II)若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点．点)1,2(P 为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值．22．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆22221(0)xy a b a b+=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程；(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； (Ⅲ)探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.2015---2016学年(高二)年级上学期期中考试(数学理)学科答案命题人：赵乾说明：1、此试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
吉林长春十一中2016-2017学年高二上学期期初数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（理科)一、选择题（每题5分，共60分）1．椭圆的短轴长为( ）A．4 B．5 C．6 D．82．双曲线的一条渐近线方程为（）A．y=2x B． C．y=4x D．3．抛物线y=6x2的焦点坐标为( ）A．(0，）B．（，0) C．（0，) D．（,0)4．下列命题:①如果x=y，则sinx=siny;②如果a＞b，则a2＞b2;③A,B 是两个不同定点，动点P满足｜PA|+|PB｜是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．35．椭圆4x2+y2=1的离心率为（)A．B． C．D．6．过（2,2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为( ）A．x2 B．C．D．7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=｜x｜”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件8．椭圆的焦距为6,则m的值为( )A．m=1 B．m=19 C．m=1 或m=19 D．m=4或m=169．双曲线的渐近线斜率为±2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．或10．过椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B．且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．（）B．（，1）C．（）D．（）11．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B,C，D四点，则|AB|+|CD|=( )A．6 B．8 C．7 D．912．椭圆（a＞b＞0),F（c，0）为椭圆右焦点，A为椭圆左顶点，且b2=ac，P为椭圆上不同于A的点，则使•=0的点P的个数为（)A．4 B．3 C．2 D．0二、填空题（每题5分共20分）13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为．14．抛物线C：y2=16x,C与直线l：y=x﹣4交于A,B两点,则AB中点到y轴距离为．15．已知椭圆+=1(a＞b＞0），过P(﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线,切点为A，B,若∠APB=120°,则椭圆的离心率为．16．已知椭圆,A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A,B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β,则= ．三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．(1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．18．已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2,上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=﹣x+m与椭圆E交于A，B两点,以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．(1）求P点的坐标；（2)求△PF1F2的面积．20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4）,l与C交于两点A（x1,y1），B（x2,y2）．(1）求x1x2+y1y2；（2)若,求直线l的方程．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2)2+(y﹣)2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1)求椭圆C的方程;(2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．2016-2017学年吉林省长春十一中高二(上）期初数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分)1．椭圆的短轴长为( ）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4,则短轴长2b=8．【解答】解：由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8，故选D．2．双曲线的一条渐近线方程为( ）A．y=2x B． C．y=4x D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：A．3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．(，0) C．（0,）D．(,0)【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线y=6x2转化成标准方程为：x2=y,则焦点在y轴的正半轴上,由抛物线的性质可知：2p=，则=,即可求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：由抛物线y=6x2的标准方程为：x2=y，焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，∴焦点坐标为(0，），故选：C．4．下列命题：①如果x=y,则sinx=siny；②如果a＞b,则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足｜PA｜+｜PB|是常数，则动点P 的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据三角函数的定义，可判断①；举出反例，可判断②；根据椭圆的定义，可判断③．【解答】解：①如果x=y,则sinx=siny为真命题；②如果a=1，b=﹣1,则a＞b，但a2=b2为假命题；③A，B是两个不同定点,动点P满足|PA|+|PB|是常数,则动点P的轨迹是椭圆或线段,为假命题．故选：B．5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，求出a，b,c，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，∴a=1，b=，c=，∴e==．故选C．6．过（2,2)点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（) A．x2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．把点（2，2)代入可得λ,即可得出．【解答】解：∵要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线,∴可设要求的双曲线的标准方程为:x2﹣=λ．把点（2，2）代入可得:λ=4﹣1=3,∴要求的双曲线的标准方程为：．故选C．7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设动点的坐标为（x,y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y｜,｜x｜，∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，故y=|x|是｜x|=|y|的必要不充分条件，故选:B．8．椭圆的焦距为6，则m的值为( ）A．m=1 B．m=19 C．m=1 或m=19 D．m=4或m=16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的焦距为6，即2c=6,则c=3，c2=9,由当焦点在x轴上，则0＜m＜10,则c2=10﹣m，当焦点在y轴上，则m＞10，则c2=m﹣10，即可求得m的值．【解答】解：由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9由当焦点在x轴上，则0＜m＜10,则c2=10﹣m,则m=1，当焦点在y轴上，则m＞10,则c2=m﹣10，解得：m=19，故选C．9．双曲线的渐近线斜率为±2，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．或 D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论m＞0，m＜0,判断双曲线焦点位置，由双曲线渐近线方程和离心率公式,计算即可得到所求值．【解答】解:当m＞0时，双曲线焦点在x轴上，由题意可得=2,即b=2a，c==a,即e==；当m＜0时，双曲线焦点在y轴上,由题意可得=，即b=a，c==a，即e==．故选：C．10．过椭圆C:(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B．且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．（）B．(,1）C．() D．（)【考点】椭圆的简单性质．【分析】F(c,0）,把x=c代入椭圆方程可得：+=1,解得y=±．B,可得k==±(1﹣e），利用，解出即可得出．【解答】解:F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得:+=1,解得y=±．∴B，∴k==±=±（1﹣e）,∵，∴，解得．则椭圆C的离心率取值范围是．故选：A．11．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C,D 四点，则|AB｜+｜CD|=（)A．6 B．8 C．7 D．9【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据抛物线的性质，可得｜AD|=x1+x2+2，｜BC|为圆直径1，进而得到答案．【解答】解:圆的圆心和抛物线的焦点（1，0)，直线y=x﹣1经过（1，0），由得:x2﹣6x+1=0,故｜AD|=x1+x2+2=8，圆的半径为，故直径｜BC｜=1，故｜AB|+|CD|=｜AD|﹣｜BC|=7，故选：C．12．椭圆（a＞b＞0）,F（c，0）为椭圆右焦点,A为椭圆左顶点，且b2=ac,P为椭圆上不同于A的点，则使•=0的点P的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．0【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆a，b，c，可得F，A的坐标，设P（x,y)，根据•=0和点P在椭圆上，解得即可得到交点个数．【解答】解:由题意可知：椭圆(a＞b＞0），焦点在x轴上,设P（x，y），则F（c,0），A（﹣a，0），由=（﹣a﹣x，﹣y）,=（c﹣x，﹣y)，由•=0，则（﹣a﹣x）（c﹣x)+y2=0,﹣ac+（a﹣c）x+x2+y2=0，由P在椭圆上，y2=b2（1﹣），∴﹣ac+(a﹣c）x+x2+b2(1﹣）=0，由b2=ac，∴(1﹣）x2+（a﹣c）x=0解得:x=0，x=﹣a,∴当x=0时，y=±b，当x=﹣a时,y=0,∵P为椭圆上不同于A的点,∴P点的坐标为（0，b）或（0，﹣b)，∴使•=0的点P的个数为2个，故选：C．二、填空题（每题5分共20分）13．离心率为的椭圆C：(a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16,则，椭圆C的方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆C：（a＞b＞0）,焦点在x轴上，F1,F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，则椭圆的离心率e==,解得：c=6，则b2=a2﹣c2=64﹣36=28，即可求得椭圆C的方程．【解答】解：由椭圆C：（a＞b＞0)，焦点在x轴上，F1，F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，由椭圆的离心率e==，解得:c=6，则b2=a2﹣c2=64﹣36=28,∴椭圆C的方程：，故答案为：．14．抛物线C：y2=16x，C与直线l:y=x﹣4交于A，B两点，则AB 中点到y轴距离为12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把直线与抛物线的方程联立,消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，即可求出AB 中点到y轴距离．【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得,消去y得到x2﹣24x+16=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=24，∴AB中点到y轴距离为12,故答案为:12．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P(﹣a，0)作圆x2+y2=b2的切线,切点为A，B,若∠APB=120°，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形,根据∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能够得到a、b的关系,进一步得到椭圆C的离心率．【解答】解：如图,∵∠APB=120°，∴∠APO=60°,∴=sin60°=，∴e=．故答案为：．16．已知椭圆，A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A，B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β,则= ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0）,可得=1﹣，k PA•k PB==﹣=﹣tanα•tanβ。
吉林省长春市十一高中高二上学期期中考试 数学理试卷.pdf
长春市十一高中2012-2013学年度高二上学期期中考试 数 学 试 题（理科） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2.已知命题：存在，使；命题：任意，都有。
下列结论正确的是（ ）A.命题“”是真命题B.命题“”是假命题C.命题“”是真命题D.命题“”是真命题 3.“”是“直线和直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知点A（1,-2），B（m,2），且线段AB的垂直平分线的方程是，则实数m的值是（ ）A.-2B.-7C.3D.1 5.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6.已知双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ） A. B. C. D.5 7.已知双曲线中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率.其中与参数无关的是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④ 8.以抛物线的焦点为圆心，3为半径的圆与直线相交的弦长为（ ） A. B. C. D. 8 9.直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ） A. B. 2 C. D.4 10.设定点,动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段 11.已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）A.0B.1C.2D. 12.点P是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若实数满足不等式组，则的最小值是 . 14.过点作圆的切线方程为 . 15.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，若的周长为12，离心率，则此椭圆的标准方程为 . 16.连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则当的值最大时，双曲线的离心率为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.(本小题满分10分)过点且平行于直线的直线与两坐标轴围成 的三角形面积为，求的值. 18.（本小题满分12分）圆与直线相切于点，并且过点， 求圆的方程. 19.（本小题满分12分）已知动圆与圆外切，与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程. 20.（本小题满分12分）椭圆的两个焦点为，点在 椭圆上，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若直 线过（-2,1），交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程. 21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点.（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动， 原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 22.（本小题满分12分）如图，已知抛物线和⊙， 过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于两点，与抛物线分 别交于两点，圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）当 的角平分线垂直于轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距 为，求的最小值. 数 学 试 题（理科答案） 一、BDCCC ADABD CD 二、13. 4 14. 15. 16. 三、17.解析：由题意知，即，又过点且平行于直线 的直线方程可写为，此直线与轴的交点为，与轴的交 点为，由已知条件，得，解得. 18.解析：设圆心为，则 解得 即所求圆的方程为. 19.解析：设动圆的半径为，则由已知， ∴.又，∴，∴. 根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支. ∵，∴ ∴点的轨迹方程是. 20.解析：（1）因为点在椭圆上，所以，. 在Rt中，， 故椭圆的半焦距，从而. 所以椭圆的方程为. （2）设的坐标分别为.已知的坐标为.可设直线的方程为.代入椭圆的方程得， . 因为关于点对称，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 经检验，所求直线方程符合题意. （本题也可用点差法求解） 21.解析：(1)依题意得，设直线方程为。
吉林省长市第十一高中高二数学上学期期中试题 理(扫描
吉林省长春市第十一高中2015-2016学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）理科数学答案二、填空题 13.41514. 6- 15. )33,0()0,33(Y - 16. 28 三、解答题 17.解:（Ⅰ）12AB k =Q ，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2- 又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= 4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k =Q3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y+=-∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57= ∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． 6分 18.解：（Ⅰ）因为圆心C 在直线03=-y x 上，所以设圆心C 的坐标为)3,(a a ，因为圆C 的半径为1，圆C 被直线03=+-y x 截得的弦长为2，所以圆心C 到直线03=+-y x 的距离2222122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d ，又232233-=+-=a a a d ，所以22232=-a ， 解得1=a 或2=a ，所以圆心C 的坐标为)3,1(或)6,2(. 圆C 的标准方程为：1)3()1(22=-+-y x 或1)6()2(22=-+-y x . 6分 （Ⅱ）设圆A ：4)3(22=-+y x ，由（Ⅰ）设圆心C 的坐标为)3,(a a .由题意，问题等价于圆A 和圆C 相交时，求圆心C 横坐标a 的取值范围，即：3)33(122<-+<a a ，由1)33(22>-+a a 整理得04952>+-a a ，解得54<a 或1>a ；由3)33(22<-+a a 整理得0952<-a a ，解得590<<a .所以540<<a 或591<<a . 6分 19.解（Ⅰ）由题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+=5221600y ppy ，解得2=p 或8=p ，由题意40<<p ，所以2=p ，40=y .所以抛物线标准方程为yx 42=.5分（Ⅱ）解方程组⎩⎨⎧=+=yx kx y 412，消去y ，得0442=--kx x ，显然016162>+=∆k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则k x x 421=+ ① 421-=x x ②又21=，所以)1,(21)1,(2211-=--y x y x 即122x x -= ③ 由①② ③消去21,x x ，得812=k ，由题意，42=k 故直线l 的方程为142+=x y . 7分 20.解：（Ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ，代入椭圆方程得822121=+y x ，822222=+y x ， 两式作差得0)(2)(22212221=-+-y y x x ，因式分解得0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，所以)(221212121y y xx x x y y k ++-=--=， 即1122200-=⨯-=-=y x k ，所以l 方程为：03=-+y x . 5分（Ⅱ）因为)0,2(-F ,)1,2(M ,所以l 斜率41=k ，所以l 方程为：024=+-y x ，联立解方程组⎩⎨⎧=+=+-8202422y x y x ，得02892=--y y ，设),(),,(2211y x B y x A 所以9821=+y y ，9221-=y y ， )24)(24(2121--=y y x x 4)(8162121++-=y y y y所以•2121y y x x +=4)(8172121++-=y y y y 9624988)92(17-=+⨯--⨯= 7分21.解：（Ⅰ）设点A 的坐标为),(1b x ，点B 的坐标为),(2b x ，由1422=+y x ，解得22,112b x -±=，所以2211221b b x x b S -=-=1122=-+≤b b 当且仅当22=b 时,S 取到最大值1． 5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x b kx y 得，0448)14(222=-+++b kbx x k)14(1622+-=∆b k ① ， 设),(),,(2211y x B y x A ，148221+-=+k kbx x ，14442221+-=k b x x2121x x k AB -+=214)14(1612222=++-+=k b k k②又因为O 到AB 的距离1212==+=ABSk b d ，所以122+=k b ③ ③代入②并整理，得014424=+-k k 解得，212=k ，232=b 代入①式检验，0>∆， 故直线AB 的方程是 2622±=x y ，或2622±-=x y . 7分 22．解：（Ⅰ）设(,)Q x y=整理得24y x =，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是24y x =． 4分 （Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为(0x ny m n =+≠且)n R ∈，则(,0)G m ．将x m ny =+代入24y x =，整理得2440y ny m --=．由题意得216160n m ∆=+>，即20n m +>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y n +=，124y y m ⋅=-，11112211114(1)2824PA y y y k y x y ---===+++，2224(1)8PB y k y -=+，1122PG k m m ==---+，由题意得2PA PB PG k k k +=，即20PA PB PG k k k +-=,所以1222122(1)2(1)10882y y y y m --++=+++，即：221212*********(2)()16(2)()2[()2](2)()320m y y y y m y y y y y y m y y m +++++++--+-=把124y y n +=，124y y m ⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m -=+-， 又因为n R ∈，所以(2)(2)020m m m +-=⎧⎨-=⎩，解得2m =所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为(2,0)． 8分。
15学年上学期高二期初考试数学(理)(附答案) (1)
长春市十一高中2014-2015学年度高二上学期期初考试数 学 试 题（理）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
第一部分（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．A ．0B ．2C ．3D ．4 2．已知命题：p ∧q 为真，则下列命题是真命题的是( )A ．(p ⌝)∧(q ⌝)B ．(p ⌝)∨(q ⌝)C ．p ∨(q ⌝)D ．(p ⌝)∧q 3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )． A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝15．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．36．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点， 且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝18．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )． A.52 B.33 C.12 D.139．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且21PF PF ⊥，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．710．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b-=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定 11．若双曲线的中心为原点，F (3,0)是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于P ，Q 两点，且PQ 的中点为M (－12，－15)，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B. x 25－y 24＝1 C.x 26－y 23＝1D. x 24－y 25＝112．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0第二部分（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 14．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．15．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________．16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分12分)已知434:2≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知0c >，设p ：函数x y c =在R 上单调递减，q ：不等式21x x c +->的解集为R ，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 真命题，求c 的取值范围。
2014-2015学年吉林省长春十一中高二上学期期初考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014-2015学年吉林省长春十一中高二上学期期初考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：148分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知A 、B 在抛物线y 2＝2px(p>0)上，O 为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是（ ）A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝02、若双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于，两点，且的中点为(－12，－15)，则双曲线的方程为（ ）A. B. C D.3、已知，分别为圆锥曲线和的离心率，则的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定4、P 是双曲线上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是，且，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75、过椭圆的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）．A ．B ．C ．D ．6、若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段8、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定，若M(x ，y)为D 上的动点，点A 的坐标为，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．39、函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是（ ）． A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝110、“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11、已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是（）A．()∧() B．()∨() C．p∨() D．()∧q 12、命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）．A．0 B．2 C．3 D．4第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知以为渐近线的双曲线D：的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．14、已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为，离心率为的椭圆的标准方程为________．15、若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．16、已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．三、解答题（题型注释）17、(本小题满分10分)已知椭圆方程为，设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线斜率的取值范围．18、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线过抛物线的焦点，求·的值；（Ⅱ）如果·＝－4，证明直线必过一定点，并求出该定点．19、(本小题满分12分) 已知椭圆C：的长轴长为4.（Ⅰ）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；（Ⅱ）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为当时，求椭圆的方程．20、(本小题满分12分)已知二次曲线C k的方程：.（Ⅰ）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（Ⅱ）若双曲线C k与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程21、(本小题满分12分)已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果p∧q是假命题，p∨q真命题，求的取值范围22、(本小题满分12分)已知，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．参考答案1、C2、D3、B4、D5、B6、A7、D8、C9、A10、A11、C12、B13、14、15、[－3,0]；16、3317、18、（Ⅰ）-3（Ⅱ）证明略,过定点(2,0)19、（Ⅰ），（Ⅱ）20、（Ⅰ）即k<4时，方程表示椭圆．当即4<k<9时，方程表示双曲线（Ⅱ）21、22、【解析】1、试题分析：A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，|OA|＝|OB|，由抛物线的对称性得，A,B关于轴对称，设直线AB的方程是，则A B,因为△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F，所以所以所以直线AB的方程是2x－5p＝0.考点：抛物线的简单性质及三角形垂心的性质.2、试题分析：由题意可设双曲线方程为，F(3,0)是双曲线的焦点，所以设，(1)-(2)得：，的中点为(－12，－15)，,又的斜率是，即，将代入可得所以双曲线的标准方程为，答案为D考点：双曲线的标准方程及点差法解决弦的中点问题3、试题分析：由题意，，，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.4、试题分析：设，则（1），又因为，所以（2）得：，所以，又因为△F1PF2的面积是9，所以，所以双曲线的离心率是，所以所以，所以.考点：双曲线的基本性质.5、试题分析：由题意得点P的坐标为，因为所以，即，所以解得（舍去），答案为B考点：椭圆的简单性质6、试题分析：抛物线的焦点坐标为（2,0），双曲线的焦点坐标为，所以椭圆过点（2,0），且椭圆的焦距为，即，则所以，可设椭圆的方程为：，将（2,0）代入得，即所以该椭圆的方程为：.考点：求椭圆方程.7、试题分析：若点M与可以构成三角形，则,|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8,所以点M在线段.考点：点的轨迹的求法.8、试题分析：画出可行域，如图所示：，即首先做出直线：，将平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B，故z的最大值为4．故选C．考点：线性规划与数形结合.9、试题分析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴是直线，要使函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则，解得m＝－2，函数f(x)＝x2＋mx ＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2 .考点：二次函数的对称性及充要条件应用.10、试题分析：圆x2＋y2＝1圆心是（0,0），半径，当k＝1，直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的距离，直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交；当直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交时，解得，所以“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件.考点：直线与圆的位置关系及充分，必要条件的判断.11、试题分析：因为命题p∧q为真，所以命题为真，命题为真，则为假，也为假，则()∧() 为假；()∨()为假 ()∧q为假，p∨()为真，答案为C.考点：真值判断.12、试题分析：若，则所以原命题为假，因为逆否命题与原命题等价，所以逆否命题为假，若，则则，所以逆命题为真，又因为逆命题与否命题等价，所以否命题为真，综上，四个命题中，真命题的个数为2注：根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个.考点：四种命题的真假关系.13、试题分析：解答：∵双曲线D:的渐近线是，∴，可得，∵P为双曲线D右支上一点，∴|PF1|-|PF2|=2a而|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c∴0＜≤∵c=2a，可得∴的取值范围是.考点：双曲线的基本概念和不等式的基本性质.14、试题分析：由题意得解得所以，椭圆的标准方程为考点：椭圆的标准方程及性质15、试题分析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，即对于任意命题“ax2－2ax －3>0都不成立当时，不等式为-3>0,显然不成立；当时，二次函数在R上恒小于与或等于0，需满足解得综上，考点：含有字母系数的不等式恒成立问题16、试题分析：由双曲线方程得，则，P 是双曲线上一点，所以，||，|PF1|＝17，则|PF2|=1或|PF2|=33，又因为|PF2|所以|PF2|=33考点：双曲线定义17、试题分析：解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得. ①又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝.所以. ②由①②可知，故k的取值范围是．考点：直线与椭圆的综合问题.18、试题分析：解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. ----6分(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．考点：直线与抛物线综合问题.19、试题分析：（1）利用椭圆的性质求交点；（2）利用点差法可求圆锥曲线和一直线两个交点的问题，第一步，先设出直线与圆锥曲线两个交点如，，这两点是圆锥曲线上的点，代入圆锥曲线方程，然后作差，通过变形可得一个直线斜率的式子，一般情况下，知道的中点或斜率常用这种方法，但要注意必要时，对得出的答案要验证，有时会产生增根.试题解析：(1)由，又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有,.两式相减得：.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则则由a＝2得b＝1，故所求椭圆的方程为 .考点：求椭圆方程及焦点.20、试题分析：（1）椭圆双曲线标准方程的特点（2）解决直线和椭圆的问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式.第四步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（Ⅰ）当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线．（Ⅱ）解法一：由化简得，(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为.解法二：若C k表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为，联立消去y得，(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0∵C k与直线y＝x＋1有公共点，∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，∵双曲线实轴最长，应取3，此时双曲线方程为考点：椭圆双曲线标准方程的特点，求双曲线方程21、试题分析：(1)正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；(2)解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意或为真，且为假说明一真一假.试题解析：函数在上单调递减。
2016届吉林省长春市十一中高三上学期期中考试数学(理)试题
长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试数 学（理）试 题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合{}0)3(<-=x x x A ，{}21<-=x x B ，则“A x ∈”是“B x ∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件2．如图，在复平面内，若复数21,z z 对应的向量分别是,，则 复数i z z z z z ---=2121所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若向量b a ,的夹角为3π12==，则向量a 与向量b a 2-的夹角为（ ） A.6π B.3π C.32π D.65π4. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12113=+a a ，则=13S （ ） A ．60 B ．78 C ．156 D ．不确定5．已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ） A ．3 B. 52C ．25- D. 3-6. 已知关于x 的不等式)0(03422><+-a a ax x 的解集为),(21x x ，则2121x x ax x ++的最小值是（ ） A.36 B.332 C. 362D.3347. 函数14)625sin(2-+=xx x y π的图象大致为（ ）8．如图所示程序框图中，输出=S （ ）A. 1-B. 0C. 1D.39.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为1的圆弧，则这个几何体的体积是（ ） A. 48π- B. 28π- C. π-8 D. π28-10.由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21-11.已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. )1,(2ee +--∞ B. ),(2e -∞ C. )1,1(2e - D. )1,2(22e e -- 12．已知点P 是椭圆181622=+y x 上非顶点的动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是21PF F ∠的平分线上一点，且01=⋅MP M F ，（ ） A ．[)3,0 B ．)22,0( C ．[)3,22 D ．(]4,01212121俯视图侧视图正视图9题图二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则=)4(πf .14. 已知点)1,1(-P 在曲线ax x y +=2上，则曲线在点P 处的切线方程为_____________.15.定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 .16.给出下列四个命题： ① R ∈∃α，57cos sin =-αα； ② 函数x x x f 2cos 2sin 3)(+=图像的对称中心是)0,62(ππ-k Z k ∈； ③ 函数xxx f cos 3sin )(-=是周期函数， π2是它的一个周期；④ )129)(tan 116(tan )131)(tan 114(tan +︒+︒=+︒+︒ 其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）数列{}n a 满足：31=a ，1111=+-++n n a a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设na b n n -=1，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，设函数a x b a x f +--=)621sin()()(π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,27.D 1C 1B 1A 1EDCBA（1）求b a ,的值；（2）若8<+b a ，且1872cos =C ，C 为锐角，求ABC ∆的AB 边上高h 的值．19. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，AB ∥DC ，AD AB ⊥，2,11====AB AA CD AD ，E 为棱1AA 中点.（1）证明：CE C B ⊥11；（2）求二面角11C CE B --的正弦值20．(本小题满分12分）已知抛物线)0(22>=p px y 上点),3(t T 到焦点F 的距离为4． （1）求p t ,的值；（2）设B A ,是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5=⋅（其中 O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标；21.（本小题满分12分）设函数ax xxx f -=ln )(. （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围.22．(本小题满分10分)选修4——1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O于点D ，若BC MC =. （1）求证：△APM ∽△ABP ;（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.23．（本小题满分10分）选修4——4：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-πθρ．（1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y at x （t 为参数，R t ∈），求b a ,的值．C24.（本题满分10分）选修4——5：不等式选讲 设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式4)(≤x f ； （2）若)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围.长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试数 学 试 题 （理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 1 14. 43+=x y 15. 1-<m 或30<<m 16. ①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解析： （1）由条件知数列{}1+na 是首项为211=+a ，公差1=d 的等差数列，………3分所以：1121+=-+=+n n a n ，解得：n n a n 22+= ………………6分 （2）由111112+-=+=-=n n n n n a b n n ………………9分 所以：111111312121121+-=+-++-+-=+++=n n n b b b S n n ………………12分 18.解析：（1）由条件当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,6621πππx ，所以：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-1,21)621sin(πx ………2分（ⅰ）当b a >时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--5)(27)(21a b a a b a ，解得：3,4==b a ………………4分（ⅱ）当b a <时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--27)(5)(21a b a a b a ，解得：211,29==b a ………………6分（2）若8<+b a ，由（1）知：3,4==b a ，由1872cos =C ，即：1871cos 22=-C ，所以：65cos =C （C 为锐角）且611sin =C ………………8分 由余弦定理：5cos 2222=-+=C ab b a c ，所以5=c ………………10分ch C ab S ABC 21sin 21==∆，5552sin ==c C ab h ………………12分19.解析（1）由已知条件，以A 为原点，AB AA AD ,,1所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，……1分则：)1,2,1(),1,0,1(),2,2,0(),0,2,0(111C C B A ，E 是1AA 中点， 则)0,1,0(E …………3分)1,0,1(11-=C B ，)1,1,1(--=CE ………5分所以：010111=++-=⋅C B ，故C B ⊥11，即：CE C B ⊥11……………6分（2）由已知条件：111CC C B ⊥结合（1）知⊥11C B 平面1CEC ，故平面1CEC 的一个法向量为)1,0,1(11-=C B …………3分由条件：)1,2,1(1--=B ，)1,1,1(--=，设平面CE B 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=--=⋅021z y x z y x B ，取1,2,3-===z y x 得)1,2,3(-=…………10分 所以11C CE B --的余弦值722144cos ===θ故二面角11C CE B --的正弦值为721sin =θ…………12分 20．（1）由抛物线定义得，2423=⇒=+p p.....................2分 所以抛物线方程为x y 42=，.........3分 代入点),3(t T ，可解得32±=t . (5)分（2）设直线AB 的方程为n my x +=，),4(121y y A ，),4(222y y B 联立⎩⎨⎧+==nm y x xy 42消元得：0442=--n my y ，则：m y y 421=+，n y y 421-= (8)分由5=⋅得：516)(21221=+y y y y ，所以：2021-=y y 或421=y y （舍去） 即5204=⇒-=-n n ，所以直线AB 的方程为5+=my x ， 所以直线AB 过定点)0,5(P ………… 12分 21.解析：（1）函数定义域为：{}1,0≠>x x x 且，对函数)(x f 求导：a xx x f --='2ln 1ln )(， 若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，则0ln 1ln )(2≤--='a xx x f 在),1(+∞恒成立 所以：0)(max≤'x f ………2分 由a x a xx x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当21ln 1=x ，即2e x =时，041)(m a x ≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41………………5分（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：当[]221,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(maxmin 由（1）知：)(x f '在[]2,e e x ∈的最大值为a -41，所以41)(max=+'a x f 所以问题转化为：41)(min ≤x f ………………7分（ⅰ）当41≥a 时，由（1）知：)(x f 在[]2,e e 是减函数， 所以)(x f 的最小值是412)(222≤-=ae e e f ，解得：24121e a -≥ （ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]2,e e 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41, ①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[]2,e e 是增函数，于是：41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性和值域知：存在唯一的[]20.e e x ∈，使得0)(0='x f且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()20,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数所以：)(x f 的最小值为41ln )(0000≤-=ax x x x f ， 即：41412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾 综上有：24121ea -≥22. 证明：（1）∵PM 是圆O 的切线， NAB 是圆O 的割线， N 是PM 的中点，∴NB NA PN MN ⋅==22， ∴PNNABN PN =， 又∵BNP PNA ∠=∠， ∴△PNA ∽△BNP ， ∴PBN APN ∠=∠， 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =， ∴BAC MAC ∠=∠， ∴PAB MAP ∠=∠， ∴△APM ∽△ABP . ………5分（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠，即CPM PCD ∠=∠， ∴CD PM //， ∵△APM ∽△ABP ，∴BPA PMA ∠=∠， ∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC //， ∴四边形PMCD 是平行四边形. ………10分C23.解析：（1）由极直互化公式得：4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ， 化参数方程为普通方程：122+-=ab x b y ， 对比系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b，2,1=-=b a ………10分24.解析（1）1=a ，4313)(≤++-=x x x f ，即：x x -≤-113x x x -≤-≤-1131，解得：210≤≤x ，所以解集为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 ………5分 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=31,4)3(31,2)3()(x x a x x a x f ，)(x f 有最小值的充要条件为：⎩⎨⎧≤-≥+0303a a ，即：33≤≤-a ………10分。
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2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60°C．90°D．不存在2．（5分）抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A．B．C．D．3．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．4．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．（5分）点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．（5分）已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条 B．2条 C．4条 D．无数条7．（5分）经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．210．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线上x﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N，使得∠NMO=，则x0的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．（0，3） C．[2，4]D．（﹣1，3）11．（5分）已知点A（4，3），P是双曲线x2﹣y2=2右支上一点，F为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）抛物线y2=5x上的两点A，B到焦点的距离之和是10，则线段AB的中点到y轴的距离是．14．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为．15．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积为．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．（10分）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，1），B（3，2），C（5，4）（1）求边AB上的高所在直线的方程；（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．（12分）已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．19．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y0）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．20．（12分）直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．（12分）如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．（12分）已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B 两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．2015-2016学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60°C．90°D．不存在【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．2．（5分）抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D．3．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选：B．4．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．5．（5分）点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．6．（5分）已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条 B．2条 C．4条 D．无数条【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选：A．7．（5分）经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．8．（5分）已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．9．（5分）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选：A．10．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线上x﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N，使得∠NMO=，则x0的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．（0，3） C．[2，4]D．（﹣1，3）【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=，则∠OMR≥．∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02 +4x0+4，∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0．∴x0的取值范围是[﹣2，0]，故选：A．11．（5分）已知点A（4，3），P是双曲线x2﹣y2=2右支上一点，F为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得右焦点F（2，0），左焦点为F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2，故选：B．12．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为，∴C1的离心率为：，双曲线C2的方程为，∴C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C2的离心率：=，故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）抛物线y2=5x上的两点A，B到焦点的距离之和是10，则线段AB的中点到y轴的距离是．【解答】解：∵F是抛物线y2=5x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=10，解得x1+x2=，∴线段AB的中点横坐标为：．∴线段AB的中点到y轴的距离是．故答案为：．14．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为﹣6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，∴k=6，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，即，即A（﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣615．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．16．（5分）已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积为8．【解答】解：椭圆16x2+25y2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F2（3，0），由P在x轴上方，且直线PF2的斜率为，可得P的横坐标小于3，由直线PF2的方程：y=﹣2（x﹣3），代入椭圆方程可得，27x2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF1F2的面积为•|F1F2|•y P=3•=8．故答案为：8．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．（10分）已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，1），B（3，2），C（5，4）（1）求边AB上的高所在直线的方程；（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【解答】解：（1）∵，∴边AB上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C（5，4），∴直线的方程为：y﹣4=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣14=0．（2）设直线l的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l的方程为：．∴直线l过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．18．（12分）已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（6分）（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．（6分）19．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y0）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p＜4，所以p=2，y0=4．所以抛物线标准方程为x2=4y．（5分）（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y，得x2﹣4kx﹣4=0，显然△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k①，x1x2=﹣4②又，所以，即x2=﹣2x1③由①②③消去x 1，x2，得，由题意，故直线l的方程为．（7分）20．（12分）直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以，即，所以l方程为：x+y﹣3=0．（Ⅱ）因为F（﹣2，0），M（2，1），所以l斜率，所以l方程为：x﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y2﹣8y﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，，x1x2=（4y1﹣2）（4y2﹣2）=16y1y2﹣8（y1+y2）+4，所以=x1x2+y1y2=17y1y2﹣8（y1+y2）+4=．21．（12分）如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由，解得，所以=≤b2+1﹣b2=1．当且仅当时，S取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k2﹣b2+1，=．②设O到AB的距离为d，则，又因为，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是或或，或．22．（12分）已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B 两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设Q（x，y），根据题意得，…（2分）整理得y2=4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x．…（4分）（Ⅱ）设存在符合题意的定点G．设直线的方程为x=ny+m（n≠0且n∈R），则G（m，0）．…（5分）将x=m+ny代入y2=4x，整理得y2﹣4ny﹣4m=0．由题意得△=16n2+16m＞0，即n2+m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4n，y1y2=﹣4m，，，，由题意得k PA+k PB=2k PG，即k PA+k PB﹣2k PG=0，所以，…（7分）即…（9分）把y1+y2=4n，y1y2=﹣4m代入上式，整理得（m﹣2）n=（m+2）（2﹣m），…（11分）又因为n∈R，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为（2，0）．…（13分）。