2016届云南省玉溪市第一中学高三下学期第一次月考考试理科数学试卷 word版

玉溪一中2015——2016学年下学期高三年级月考（一）（理科数学）试题 命题人：第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}23{<-∈=x Zx A ，则集合=A C U （ ）A ．{1, 2, 3, 4}B ．{2, 3, 4}C ．{1,5}D ．{5}2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. “1-=k ”是“直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”的（ ）条件．A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．在等差数列{n a }中，621129+=a a ，则数列{n a }的前11项和11S 等于（ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．1325．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）6.定积分dx x ⎰+494)4cos(2πππ的值为（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．17．已知ααααα2222cos sin 22cos sin ,2tan ++-=则等于（ ） A ．913B ．911 C ．76 D ．748. ()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（）9．已知点),(y x P 的坐标满足条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩记2y x +的最大值为a ，22)3(++y x 的最小值为b ，则b a +＝( )A ．4B ．5C ．347+D ．348+10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）A.144种B.150种C.196种D.256种11．抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 ( )A.B. 1C. D. 2 12.已知函数e x ex a x g ≤≤-=1()(2，e 为自然对数的底数)与x x h ln 2)(=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A.]21,1[2+e B.]2,1[2-e C.]2,21[22-+e eD.),2[2+∞-e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ．14.已知5)1)(11(x x+-的展开式中3x 项的系数为___ _____． 15．半径为1的球面上有四个点D C B A ,,,，球心为点O ，AB过点DB DA CB CA O ==,,，1=DC ，则三棱锥BCD A -的体积为 .16.设O 点在ABC ∆内部，且有32=++，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22()(2ab c bc --=，2sin sin cos 2CA B =.（1）求角B 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且B a 2cos 1=1，且842a a a 、、成等比数列，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如右图：（1）求T 的分布列与数学期望ET ；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．（第13题图）19． (本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）设1CE CC λ=(01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，右焦点F（1,0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M,且OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.21. (本小题满分12分) 已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (1)当2a =时，求函数()f x 的极值； (2)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(3)若对任意的()[]3,1,,2,321∈--∈x x a 恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．A 1C 1B ACB 122.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心(3,)6C π，半径r ＝3.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若点Q 在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x x R =-∈，（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <．玉溪一中2015——2016学年下学期高三年级月考（一）（理科数学）试题答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的13. 35 14. 5 15. 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 【解】：（1）由22222()(2,a b c bc a b c --=--=所以222cos 2b c a A bc +-==，又0,6A A ππ<<∴=由211cos sin sin cos ,sin 222c CA B B +==，sin 1cos B C =+，cos 0C ∴<，则C 为钝角。

56B C π+=，则5sin()1cos ,cos()163C C C ππ-=+∴+=- 解得2,36C B ππ=∴=。

…6分(2)设{}n a 的公差为d ， 由已知得112cos a A==， 且2428a a a = .∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++ ．又0d ≠, ∴2d =. ∴2n a n =. ……9分 ∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++.∴1111111(1)()()()223341n S nn =-+-+-++-+ 1111n n n =-=++ …………12分18. 试题解析：（I ）由统计结果可得T 的频率分步为从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.．．．．．．．．．．．．．．．．12分二：121212(A )P (70)P (35,40)P (40P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.．．．．．．．．．．．．．．．．12分19. 解：（Ⅰ）因为侧面11AB BB C C ⊥,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥,在1BCC ∆中, 1111,2,60BC CC BB BCC ︒===∠= 由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC = 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥,而BC AB B = ，1C B ∴⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（Ⅰ）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),A(0,1,0),(B B -.所以1(CC =- ,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则(1,)AE λ=--，1(1,AB =-- . 设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z = ，则1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,1-)00x y z x y λ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩（，令z =，则333,22x y λλλ-==--，333(,22n λλλ-∴=-- 是平面1AB E 的一个法向量.AB ⊥ 平面11BB C C ,(0,1,1)BA =是平面1BEB 的一个法向量，cos ,n 〈∴ 两边平方并化简得22530λλ-+=，所以1λ=或32λ=（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．12分20. 解.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==121c a c …………2分∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13422=+y x …………4分（2）法一：①当PM ⊥x 轴时，P )23,3(，Q ),3(t 或),3(t -，由0=⋅OQ OP 解得32±=t②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx∵PQ 与圆O 相切，∴31||200=+-k y kx ，∴33)(2200+=-k y kx∴002y kx 33220202--+=k y x k … 又),(0t kkx y t Q +-，所以由0=⋅得00000)(ky x kx y x t +-=∴=+-=200200202)()(ky x kx y x t =++-0020220200202)(y kx y k x y kx x 33)33(22020220220220--++++k y x k y k x k x =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴32±=t ……12分法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(00t t x yQ -， ∵OP ⊥OQ ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴∴)(33)(2202220220222020202022220t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴)(3)(22022020t x t y x +=+，∴332020202-+=y x x t …∵1342020=+y x ，∴4332020x y -=，∴1241320202==x x t ，∴32±=t ……………12分21. 21.(1)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x'=-+， 得112x =；212x =-（舍去）． 2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：4分（2) 221)()2 f x a x x x '=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递减； 5分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分(3)由(2)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减；所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++ 10分问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立，即a am 432->，因为a<0，432-<∴a m ，min )432(-<∴a m 所以，实数m 的取值范围是]313,(--∞． 12分22【解析】(1)设M (ρ，θ)为圆C 上任一点，OM 的中点为N ，∵O 在圆C 上，∴△OCM 为等腰三角形，由垂径定理可得|ON |＝|OC |cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴|OM |＝2×3cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6为所求圆C 的极坐标方程．-------------5分 (2)设点P 的极坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫35ρ，θ，由于点Q 在圆上，所以35ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.-------------10分23..解（1）（0,2）（2）证明：16561321y 22-2y -x 21)y 22-2y -x 21-x 2<=+=++≤++=（。