质点的动量定理
质点系动量定理
③
在碰撞、打击、 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的 过程中， 过程中，由于系统内部相互作用力远大于合 外力，往往可忽略外力， 外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似 成立。 成立。 定律中的速度应是对同一惯性系的速度， 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 量和应是同一时刻的动量之和。
dp ′= = − ρ ′v′2 − ρ v 2 F dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回 则 若水流完全反射 因而
v′ = 0
F = ρv
2
′v′2 = ρ v 2 ρ
F = 2ρ v
2
实际的情况介于这两个极 端情况之间。 端情况之间。工业上的水力采 煤技术就是基于这个原理。 煤技术就是基于这个原理。
讨论 ①
应用动量守恒定律要注意以下几点： 应用动量守恒定律要注意以下几点： 要注意以下几点
r r d ∑ pi = ∑ Fi dt
将上式写成分量式，其中 方向的分量式为： 将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为： r r d ∑ pix = ∑ Fix dt r 若： ∑ Fix = 0 则有： 则有：
r F1
r f12
m1
r f 21
r F2
m2
对质点1 对质点 对质点2 对质点
∫
t
t0
r r r r ( F1 + f12 )dt = m1v1 − m1v10
∫
t
t0
r r r r ( F2 + f 21 )dt = m2 v 2 − m2 v 20
由牛顿第三定律，内力等大小、反方向） 两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）
质点的动量定理
质点的动量定理质点的动量定理是指在不受外力作用时质点的动量守恒，在受到外力作用时质点的动量会随时间发生改变。
例如在弹性碰撞中，两个质点碰撞前后的总动量相等，但是各自的动量会发生改变，其中一个质点的动量增加，另一个质点的动量减小。
质点的动量定义为质点的质量与速度的乘积。
在物理学中，质点的动量具有很重要的物理量度作用，通过动量可以描述质点的运动状态，其中动量的变化量与质点所受到的外力大小成正比，变化量的方向与外力方向相同，可以用公式表示为：F = Δp / Δt其中F表示所受到的外力，Δp 表示质点的动量变化，Δt 表示时间变化量。
从上述公式中可以看出，外力可以改变一个物体的动量，对于无穷小的时间变化量，可以简化为：其中dp表示时间Δt内质点动量的变化量。
根据牛顿第二定理，可以得到外力大小等于动量变化率，因此，如果一个物体所受到的外力是恒定的，那么物体的动量就会均匀地改变。
在质点的动量定理中，只有在不受外力作用时，动量才守恒。
当一个物体在不受外力作用的情况下运动，它的动量将保持不变，可以用下面的公式来表示：p = mv其中p为动量，m为质量，v为速度。
在物理学中，这种守恒定律被称为动量守恒定律，它是描述宏观物理现象的关键定律之一。
除了动量守恒定律之外，质点的动量定理还包括完整的动量定理，它描述了在受到外力作用时动量如何改变，可以表示为：其中Δp表示质点的动量变化，I表示所受到的冲量。
冲量是力随时间的积分，可以用下面的公式表示：I = ∫Fdt其中∫表示积分操作，F表示力。
这个公式告诉我们，如果一个质点所受到的力是时间的函数，那么运用积分，我们就可以计算出它的冲量。
总之，质点的动量定理在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述不同物体在不同情况下的运动状态，为研究物理现象提供了重要的工具和方法。
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
3.2质点系的动量定理动量守恒定律
t2
内力冲量之和
fidt
同样，由于每个质点的
i t1
受力时间dt 相同,
t2
t2
fidt ( fi )dt
因为内力之和为零：
i t1
t1 i
fi 0
fi
mi
质点系
Fi
i
所以有结论：
t2
fidt 0
i t1
内力的冲量 之和为零
质点系的重要结论之二
则，质点系的动量定理
t2
F外dt P P0 （积分形式）
第2步，对所有 质点求和：
i
(
t2 t1
Fidt
t2 t1
fidt)
i
(Pi Pi0 )
第3步，化简上式： 外力冲量之和 内力冲量之和
先看外力冲量之和
由于每个质点的受力
时间dt 相同,所以：
i
t2 t1
Fidt
( t2
t1
i
Fi )dt
t2 t1
F外dt
2
第三章动量与角动量
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时,
Lm
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，
地面所受链条的作用力。
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
h
dm dl dt
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
f'
地面受力
F
f
' ml g
m (3l L
2h)g
10
第三章动量与角动量
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
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质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
1
质点系质心与质心运动定律
F1
F21
F31
m1
d2r1 dt 2
F2
F12
F32
m2
d2r2 dt 2
F3
F13
F23
m3
d 2 r3 dt 2
上述三式相加有：
动画演示
F1
F2
F3
m1
d2r1 dt 2
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
xc
mA xA mB xB mD xD mA mB mD
4mD 3 2mD (1) mD (3) 4mD 2mD mD
1
yc
mA yA mB yB mD yD mA mB mD
4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc
mA zA mB zB mD mA mB mD
zD
4mD (0) 2mD (4) mD (6) 4mD 2mD mD
2
系统质心的坐标: (1, 2, 2) 6
y 0 的一侧。
解：如例4.1.2-2图所示，设质心坐标为（ XC ,YC ），平板
的质量为 m ,密度为 。因为平板质量分布均匀，且圆心在
原点，由对称性知 XC 0 。对于板边缘上 的每一点有，x边2 y边2 R2 。
8
将半圆形板分割成无数个平行于x 轴的细条，每细条
的质心为 0, yC y边 ，则系统的质心为：
如图4.1.3-1所示，坐标原点始终跟随质心，坐 标轴保持平行。
13
例4.1.3-1 质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为
l 的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然伸长
状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度 v0 ，求此
时绳中的张力。
m1
c
v0 m2
解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以 m2 获得初速度的瞬时，并不绕 m1 作圆周运动，而是绕二 者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1
,m2 分别应用牛顿第二定律：
14
FT
m1
v1'2 xC1
m2
l
v2'2 xC1
其中，xC1
m10 m2l m1 m2
是
m1 相对质心的距离，v1' , v2' 分别
是 m1 和 m2 相对质心的速度，分别为：
相对质心速度：
v1' 0 vC , v2' v0 vC
mi zi
xC
i
m
, yC
i
m
, zC
i
m
5
例4.1.2-1 A 、B 、D 三质点在某一时刻的位置坐标
分别为: (3, 2, 0) 、(1,1, 4) 、(3, 8, 6) , A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由
此三质点组成的体系的质心的位置。
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 m
R
0 y边 (2
R2
y边2 dy边
)
4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为
0,
4R 3π
。
9
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
2
心之和应为原点处，即
0
m
'
xC
m
''
R 2
xC
m ' m ''
其中 m ' m m '' 3 m 4
m '' π( R)2 m 1 m 2 πR2 4
解得所求质心位置为： xC
R 6
11
质点系的质心运动
质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
12
质心系
m2
d2r2 dt 2
m3
d2r3 dt 2
2
推广多个质点组成的质点系：
0
N
质心运动定律： m mi
i 1
F
i
Fi
m
d 2 rC dt 2
maC
N
质心位置矢量:
miri
rC
i
m
ac
Fi i
应用：
质心速度:
N
vC
drC dt
mi vi
i
m
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
17
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
N
质心加速度:
aC
d 2 rC dt 2
mi ai
i
m
F 0 ，自然界如没摩擦力
的情形设想……
3
质点系的质心运动
质点系质心运动
质心与质心运动定律 质心的特点与求法
质心系
4
质心的求法
(1) 分立质点系的质心
N
miri
rC
i1
m
在直角坐标系下可以表示为：
mi xi
mi yi
水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与
原来方向成 135 角，大小为 v 50m/s 。 如果棒与
例4.1.2-3 如例4.1.2-3图所示，半径为 R 、质量为 m 、
质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为 R 的小圆
2
盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
10
解：由对称性可知，所求剩余部分质心在 x 轴上，设
在（xC , 0 ）处。挖去的小圆盘（设质量为 m'' ）原来的
质心位置为( R ,0) ，与所求剩余圆盘（设质量为 m' ）质
(2) 连续质点系的质心
rC
lim
N
i miri 1 mm
rdm
mi 0
在直ห้องสมุดไป่ตู้坐标系下可以表示为：
xC
1 m
xdm,
yC
1 m
ydm, zC
1 m
zdm
7
(3) 规则形状、密度均匀的物体的质心 例4.1.2-2 求半径为 R ,质量分布均匀的半圆形薄板 的质心位置。设圆心在原点，薄板位于 xOy 平面中的
质心速度：
vC
m10 m2v0 m1 m2
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
FT （mm1 1mm2v2）02 l
15
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理
质点系运动定理 与守恒定律
质点系动量定理 质心动量定理 质点系动量守恒
质心系下质点系动量
16
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：