南陵中学2019-2020学年度12月同步练习

绝密★启用前南陵中学2019-2020学年度12月同步练习高一上数学试卷考试范围：任意角的三角函数和诱导公式；考试时间：150分钟；命题人：秦朝斌第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.下列各选项中与sin2019°的值最接近的一项是（ ）A.B. C. 0 D.122. cos3 tan4的值 （ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在3. 已知2παπ<<，1sin cos 5αα+=，则tan α等于（ ）A. 34-B. 34-或43- C.34或43D.354. 已知cos （2π+α）=322，|α|＜2π，则tanα等于（ ）A ．﹣22B ．22C ．﹣42D ．425.()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f A. 0B. 3C. -1D. -26. 一个扇形的弧长与面积都为6，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．4 B ．3 C. 2 D ．327. 若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（ ） A. 1B. －1C. 3D. －38. 己知sin tan 0θθ⋅<，那么角θ是(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角9. 若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 8θθ=-，则sin cos θθ-的值为（ ）A． B ．C.D10. 对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1 ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”．“ V类三角形”一定满足（ ）． A. 有一个内角为30° B. 有一个内角为45° C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°11. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，512BC AC -=（ ）根据这些信息，可得sin234°＝ （ ）A.14- B.38+= C.14- D.48- 12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()0ααπ≤≤的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数()y f α=的图象大致是( )A. B. C. D.第II卷（非选择题）答题卷姓名：总分：一．选择题答案：1～5 6～10 11～12二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 求22222sin1sin2sin3sin88sin89︒︒︒︒︒＋＋＋＋＋的值为________．14.如图，在单位圆中，723PONS∆=，△MON为等边三角形；30°<∠POM<90°，则sin∠POM的值为。

15.已知()()324sin cosαπαπ-=-, 则221sin(2)cos(2)παπα--+的值为______16.已知α为第二象限角，则sin=______．三、解答题（本题共6道小题,共70分）17.（本题满分12分）（1）已知角α终边上一点0),3,4(≠-aaaP，求（1）)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值（2）已知0tansin,0cossin>⋅>⋅αααα且化简：2sin12sin12cos2sin12sin12cosαααααα-+⋅++-⋅18. （本题满分12分）已知sin α是方程25760x x --=的根，α 是第三象限角.（1）求()233sin cos 22tan cos sin 22ππααπαππαα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）已知()()()3sin cos 2tan 2tan sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（），若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值.19. （本题满分12分） sin α，cos α为方程4x 2﹣4mx+2m ﹣1=0的两个实根，，求m 及α的值．20. （本题满分12分）已知函数()2sin cos4([0,]) f x a x x a xπ=-+-∈．（1）求f(x)的最小值g(a)；（2）若f(x)在[0,π]上有零点，求a的取值范围．21.（（本题满分12分）1）已知角α终边经过点P（x，﹣）（x≠0），且cosα=x．求sinα+的值．（2）已知sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），α，β∈（0，π），求α，β的值．22.（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈（0，θ），﹣，sin（﹣α）= sinα﹣cosα（1）若θ=，sinα=，求cos∠POQ；（2）若θ=，求四边形OMPN面积的最大值，（3）并求取最大值时的α值．南陵中学2019-2020学年度12月同步练习数学试卷答案1.B 【分析】sin θ的周期是360,即sin 2019=-sin39︒︒，代入计算即可。

【详解】sin 2019=sin 219+5360=sin 219=sin 180+39=-sin39︒⨯︒︒︒︒（）（）所以-sin39︒与-sin 45︒最接近。

故选：B 【点睛】此题考查三角函数的周期问题，sin θ的周期T=2π,属于基础题目。

2.A3.A 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．【详解】解：∵2παπ<<，1sin cos 5αα+=，∴平方可得112sin cos 25αα+=，即12sin cos 025αα=-<， ∴sin 0α<，cos 0α>，∵22sin cos 1αα+=可得：221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：4cos 5α=，或35-（舍去），∴143sin 555α=-=-，可得：3tan 4α=-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，熟记公式即可，属于基础题．4.A 【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值． 【解答】解：∵cos （+α）=﹣sinα=，|α|＜，∴sinα=﹣，cosα==，∴tanα==﹣2．故选：A ．5.A 6.B 7.D 试题分析：原式可化为sin cos 1sin cos 2θθθθ+=-，上下同除以cos θ得tan 11tan 12θθ+=-，求得tan θ=3-，故选D ．8.B 9.D 10.B【分析】由对称性，不妨设1A 和1B 为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可． 【详解】解：由对称性，不妨设1A 和1B 为锐角，则12A π=-A ，12B π=-B ，所以：1A +1B ＝π﹣（A +B ）＝C ，于是：cos C ＝sin 1C ＝sin （1A +1B ）＝sin C ，即：tan C ＝1，解得：C ＝45°， 故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题． 11.C【结束】12.Bsin()cos 2Q BQ y παα==+= ，所以选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 13.44.5【分析】通过诱导公式sin89cos1︒=︒，得出22sin 1sin 891︒+︒=，依此类推，得出原式的值． 【详解】()sin89sin 901cos1︒=︒-︒=︒，2222sin 1sin 89sin 1cos 11∴︒+︒=︒+︒=，同理sin2sin881sin44sin461︒+︒=︒+︒=，，，222221sin 1sin 2sin 3sin 88sin 894444.52∴︒+︒+︒++︒+︒=+=，故答案为44.5. 【点睛】本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出22sin 1sin 891︒+︒=是解题的关键，属于基础题．14.15.35【分析】先由()()324sin cos απαπ-=-求出tan α，再对所求式子化简整理，即可求出结果. 【详解】因为()()324sin cos απαπ-=-，所以2sin cos αα-=，因此sin tan 2cos ααα==-， 所以222222221sin cos tan 15sin (2)cos (2)sin cos tan 13αααπαπαααα++===--+--. 故答案为35【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题，熟记公式即可，属于常考题型. 16.0本试题主要是考查了三角函数的同角关系的运算。

因为α为第二象限角，则cos sin cos 1sin 110sec sin αααα=+=-+=0。

解决该试题的关键是理解22221111tan ,1cos tan sin αααα+=+=，进行化简。

17.（1）43- （2） 2α第一象限 原式=2；2α第三象限 原式= -2； 18.（1）916-；（2）5.【分析】（1）先求出sin cos tan ααα，，的值，再利用诱导公式化简原式求值得解；（2）先化简得()cos f αα=-，再求1sin =5α-，即得解.【详解】(1)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为35-或2，又α是第三象限角，∴sin α＝35-，∴cos α45-，3sin 35tan 4cos 45ααα-∴===-， ∴原式22cos (sin )9tan tan sin cos 16αααααα-=⋅=-=-⋅. (2)3sin cos tan 22()tan sin 2f παααπαπαα⎛⎫⋅⋅-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭sin cos tan 2cos tan sin 2πααααπαα⎡⎤⎛⎫⋅⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.311cos sin ,sin 255πααα⎛⎫-=-=∴=- ⎪⎝⎭， 又α是第三象限角，cos 5α∴==-.故()5f α=. 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.（1）()23,03,20442a a ag a a a a ->⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪<-⎪⎩；（2）3a ≥.【分析】（1）化简函数()22(sin )324a a f x x a =+-+-，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；（2）由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，利用单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()222sin cos 4(sin )324a a f x a x x a x a =-+-=+-+-，因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当2a-<0时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-； 当012a ≤-≤时，即20a -≤≤时，则sin 2ax =-时，所以()f x 取得最小值()234a g a a =-+-；当12a->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =． 综上可得，()23,03,20442a a a g a a a a ->⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪<-⎪⎩． （2）∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．故有sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，显然函数a 在[0,1)t ∈上单调递增，故当0t =时，3a =；当t 趋于1时，a 趋于正无穷大，故3a ≥． 20.考点：根与系数的关系；同角三角函数间的基本关系．专题： 计算题．分析： 通过根与系数的关系，得到正弦和余弦之间的关系，又由正弦和余弦本身有平方和为1的关系，代入求解，注意角是第四象限角，根据角的范围，得到结果． 解答： sin α，cos α为方程4x 2﹣4mx+2m ﹣1=0的两个实根 ∴，且m 2﹣2m+1≥0代入（sin α+cos α）2=1+2sin α•cos α，得，又，∴，，∴，又∵，∴．答：，点评：本题考查根与系数的关系与同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是需要自己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式，然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置求出结果，本题是一个中档题目．21.考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由于cos =x ．可解得x=，r=2，由三角函数的定义，即可求出sinα+的值．（2）由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，可解得cosβ=，由α，β∈（0，π），从而可求α，β的值．解答：（1）（满分14分）∵P（x，﹣）（x≠0），∴点P到原点的距离r=又cosα=x．∴cos=x．∵x≠0，∴x=，∴r=2…（6分）当x=时，P点坐标为（，﹣），由三角函数的定义，有sin α=﹣，，∴sinα+=﹣﹣=﹣；…（10分）当x=﹣时，同样可求得sin α+=…（14分）．（2）∵sin（3π﹣α）=﹣cos（﹣β），sin（﹣α）=﹣cos（π+β），∴由诱导公式化简可得sinα=sinβ，cosα=sinβ，∴两边平方后相加可得：1=2，可解得cosβ=∵α，β∈（0，π），∴可解得：，β=或，β=．点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数的定义，解题时要注意讨论，不要丢值，属于基本知识的考察．22.考点：三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意求出sinα和cosα的值，再根据cos∠POQ=cos（﹣α）．利用两角差的余弦公式计算求得结果．（2）根据S OMPN =S △OMP +S △OPN=cos αsinα+（sinα﹣cos α）．令sin α﹣cos α=t ，根据 S OMPN =﹣+，利用二次函数的性质求得四边形OMPN面积的最大值．（3）由（2）可得t=时，S OMPN有最大值，此时，cos（α+）=，根据α+的范围，可得α的值．解答：解：（1）由题意，∠MOQ=，∠POQ=∠MOQ﹣∠MOP=﹣α，∵sinα=，，∴cosα=．所以cos∠POQ=cos（﹣α）=cos cosα+sin sinα=．（2）∵S OMPN=S△OMP+S△OPN=cosαsinα+sin（﹣α）=cosαsinα+（cosα﹣sinα）．令cosα﹣sinα=t，∵α∈（0，），则t∈（0，1），∴S OMPN=（1﹣t2）﹣=﹣+，当t=时，S OMPN有最大值．（3）当S OMPN有最大值时，cosα﹣sinα=，有cos（α+）=，由于α+∈（，），所以α=为所求．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，属于中档题．。