新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算b高一第二册数学
12/13/2021
[解] 因为―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a
＋4b ＝2(a ＋2b )＝2―A→B ， 所以―A→B ∥―B→D ，―A→B 与―B→D 共线，且|―A→B |＝12|―B→D |， 即|―A→B |∶|―B→D |＝1∶2.
解：
由①×3＋②×2 得，x ＝3a ＋2b ，
－4x ＋3y ＝b ，②
代入①得 3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以 y ＝4a ＋3b .
所以 x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .
12/13/2021
题型三 向量共线的判断 [学透用活]
[典例 3] 已知向量 a ，b ，且―A→B ＝a ＋2b ，―B→C ＝－5a ＋ 6b ，―C→D ＝7a －2b ，判断―A→B 与―B→D 共线，并求|―A→B |∶|―B→D |
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[微提醒] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加 减运算，如 λ＋a，λ－a 均无法运算．
(2)λa 的结果为向量，所以当 λ＝0 时，得到的结果为 0 而不 是 0.
12/13/2021
(二)基本知能小试
1．若|a |＝1，|b |＝2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的
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(3)正确． 按照相反向量的定义可以判断． (4)不正确． ∵－(b －a )与 b －a 是一对相反向量，而 a －b 与 b －a 是 一对相反向量， ∴a －b 与－(b －a )为相等向量． 答案：(1)(2)(3)
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题型二 向量的线性运算 [学透用活]
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新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升夯实基础1.在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()A.(a+b)B.(a-b)C.a+bD.a+b答案D解析在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=a+b,故选D.2.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案A解析=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.3.下面四种说法:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=m a-m b;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=m a-n a;③对于实数m和向量a,b,若m a=m b,则a=b;④对于实数m,n和向量a,若m a=n a,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1答案C解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由m a=m b,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由m a=n a,未必一定有m=n.4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.B.C.D.答案A解析如图,=-=-)==)=.5.已知△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则=2,∴=2λ,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过△ABC的重心,故选D.6.(多选)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是()A.2a=bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案AC解析分别表示a,b的单位向量.对于A,当2a=b时,;对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;对于C,当a=2b时,;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.综上所述,使成立的条件是a=2b,2a=b.选AC.7.化简3(2a-3b)-2(2b-3a)=.答案12a-13b解析由题意,可得3(2a-3b)-2(2b-3a)=6a-9b-4b+6a=12a-13b.8.已知点P在直线AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=. 答案解析因为||=4||,所以P是四等分点,因此,故填.9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.解(1)∵)=(a+b),∴(a+b),∵b,∴=-a+b.(2)由(1)知=-a+b,=-a+b=-a+b,∴.∴共线.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.能力提升1.(多选)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中不正确的是() A. B.C. D.答案BCD解析在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.在A中,,故A正确;在B中,,故B错误;在C中,,故C 错误;在D中,,若,则=0,不合题意,故D错误.故选BCD.2.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG.正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D解析△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,选项(1)正确;对于(2),根据三角形的重心性质得=0,选项(2)正确;对于(3),∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴=2,∴AH=2OD,选项(3)正确;对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则,∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项(4)正确.故选D.3.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为.答案(1,2)解析(1)因为=,所以λ+μ=+1=.(2)=λ,λ∈(0,1),所以λ+μ∈(1,2).4.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是.答案3解析记2.∵+2-2=0,∴=2,S△ABC=S△ABN.又∵S△ABM=S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.5.如图,在△ABC中,=a,=b,AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,求向量.解∵=a,=b,则b,∴=a+b而,∴a+b.6.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.。
新教材高中数学第6章平面向量初步6.1.5向量的线性运算课时29向量的线性运算课件新人教B版必修第二册
7．设 x，y 是未知向量． (1)解方程 5(x＋a)＋3(x－b)＝0； (2)解方程组x12－ x－12yy＝ ＝ba.，
解 (1)原方程可变为 5x＋5a＋3x－3b＝0， 即 8x＝－5a＋3b， ∴x＝－58a＋38b.
12x－y＝a，① (2)x－12y＝b.② －2×①＋②，得32y＝－2a＋b，
答案 3 －4
解析 因为 a 与 b 不共线，则58x－＝y3＝y＋4x2，7， 解得xy＝ ＝3－，4.
答案
解析
7．已知点 P，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足P→A＋P→C＝0,2Q→A ＋Q→B＋Q→C＝B→C，若| P→Q|＝λ| B→C|，则正实数 λ＝________.
答案
解析 ∵B→D＝B→C＋C→D＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝A→B，∴A→B与B→D平 行，又 AB 与 BD 有公共点 B，则 A，B，D 三点共线．
解析
6．D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且 B→C ＝a，C→A
＝b，给出下列命题：
①A→D ＝－12a－b；②B→E ＝a＋12b； ③C→F ＝－12a＋12b；④A→D ＋B→E ＋C→F ＝0.
课时29 向量的线性运算
知识对点练
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算 1.化简： (1)212a＋3b＝________； (2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________； (3)λ＋31μ(a＋b)＋12λ＋μ(a＋b)＝________________. 答案 (1)a＋6b (2)5a＋5b (3)32λ＋43μ(a＋b)
答案 1∶3
答案
解析 如图，由平行四边形法则，知O→A＋O→C＝O→D，其中 E 为 AC 的中 点．
高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课件新
□11 (λμ)a
.
数乘向量的定义说明，如果存在实数 λ，使得 b＝λa，则 b∥a.
知识点二 向量的线性运算
(1)向量的加法与数乘向量的混合运算
① 一 般 地 ， 对 于 实 数 λ 与 μ ， 以 及 向 量 a ， 有 λa ＋ μa
＝ □01 (λ＋μ)a
.
② 一 般 地 ， 对 于 任 意 实 数 λ ， 以 及 向 量 a 与 b ， 有 λ(a ＋ b)
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 数乘向量 (1)定义：一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积 是一个 □01 向量 ，记作 □02 λa .
(2)方向 ①当 λ≠0 且 a≠0 时，λa 的模为
□03 |λ||a|
，而且 λa 的方向
如下： a．当 λ>0 时，与 a 的方向 □04 相同 ； b．当 λ<0 时，与 a 的方向 □05 相反 ． ②当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝ □06 0 . 实数 λ 与向量 a 相乘的运算简称为 □07 数乘向量 ．其结果是一个向量，
6e1
＋
23e2＋4e1－8e2＝
6(2e1＋
3e2)＝
6A→B，∴向量A→D与A→B共线．又向量A→B与A→D有共同的起点 A，故 A，B，D 三
点共线．
金版点睛 解决三点共线问题的思路
先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数 λ，使得 b＝λa，则 b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出 三点共线.
题型六 证明三点共线问题
例 6 已知非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1＋3e2，B→C＝6e1＋23e2， C→D＝4e1－8e2，求证：A，B，D 三点共线．
高中数学第6章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.5向量的线性运算b高一必修第二册数学
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2．向量的线性运算结果仍为向量
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(1)定义
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向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向 结
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探
提
新 量的线性运算．
素
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(2)运算法则
合 作
向量的线性运算，总规定要先计算_数__乘_向__量__(x_iàn，glià再ng) 按从左往右的
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素 养
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向量的线性运算
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【例 1】 (1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.
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结
探
提
新 知
(2)已知向量 a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则 x＝
·
探
提
新 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 素
知
养
积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数
高中数学第六章平面向量初步6.1.5向量的线性运算课时素养评价含解析(新人教B版)必修第二册
(30分钟60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·杭州高一检测)下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m =ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有 a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
= + =-b-a, = + =b+ ×(-b-a)=- a+ b,故C正确;
= =- a,故D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(1)化简: =
________.
(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=________,y=________.(用向量a,b表示)
向量的线性运算
(15分钟30分)
1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于( )
A.10dB.-10dC.20dD.-20d
【解析】选B.2a-3b+c=2×4d-3×5d-3d
=8d-15d-3d
=-10d.
【补偿训练】
化简下列各式
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足 + + = ,则点P与△ABC的关系为( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上
D.P是AC边的三等分点
【解析】选D.因为 = - ,
所以 + + = - ,
即2 + =0,
高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算学案 新人教B版必修
6．1.4 数乘向量 6．1.5 向量的线性运算考点学习目标核心素养数乘向量了解数乘向量的概念并理解数乘向量的几何意义数学抽象向量的运算律理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算数学运算问题导学预习教材P145－P150的内容，思考以下问题：1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？1．数乘向量一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝(λμ)a．数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a．■名师点拨(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．一般地，对于任意实数λ，以及向量a 与b ，有λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． (2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的向量a ，总有0·a ＝0.( ) (2)当λ＞0时，|λa |＝λa .( )(3)若a ≠0，λ≠0，则a 与－λa 的方向相反．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×已知点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A.AB →＝3BC →B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB →解析：选D.由题意可知，AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确． 设四边形ABCD 中，有DC →＝12AB →且|AD →|＝|BC →|，则这个四边形是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形答案：C如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又因为O 是AC 的中点，所以AC ＝2AO ， 所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →， 所以λ＝2. 答案：2向量的线性运算(1)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________． (2)化简下列各式：①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12[(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ]－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .【解】 (1)由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .故填4b －3a .(2)①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.解：原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b . 2．已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .利用已知向量表示相关向量(1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.【解】 (1)选D.DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)由三角形中位线定理，知DE 綉12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .[变条件，变问法]在本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.解：因为DG ∥AB ， 所以△DFG ∽△BFA ，又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD ，所以DG AB ＝DF BF ＝13，所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM → ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .利用向量判断三点共线已知非零向量e 1、e 2 不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．【证明】 因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．利用向量判断三点共线的方法一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →＝λAB →等)即可．如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．证明：因为D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点， 所以AB →＝AM →＋AC →， 所以AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理可证明AN →＝AC →－AB →＝BC →.所以AM →＝－AN →. 所以AM →，AN →共线且有公共点A ， 所以M ，A ，N 三点共线．1．下列命题中正确的个数是( ) ①AB →＋BA →＝0；②AB →－AC →＝BC →；③0·AB →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选A.由两相反向量的和为零向量知①正确； 由向量的减法运算法则知，AB →－AC →＝CB →，②错； 由数乘向量的意义知0·AB →＝0，③错，即正确的个数是1，故选A.2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：选A.法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3．对于向量a ，b 有下列表示： ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④解析：选A.对于①，b ＝－a ，有a ∥b ； 对于②，b ＝－2a ，有a ∥b ； 对于③，a ＝4b ，有a ∥b ； 对于④，a 与b 不共线．4．若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：由题意知a ＝－57b .答案：－57[A 基础达标]1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B.原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b )＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B.①正确．②正确．③错误．由m a ＝m b 得m (a －b )＝0，当m ＝0时也成立，推不出a ＝b .④错误．由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0，当a ＝0时也成立，推不出m ＝n .3．若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．等腰梯形解析：选D.由5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，故此四边形为梯形，又|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 为等腰梯形．4．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．②D ．③④解析：选A.对于①，可解得a ＝27e ，b ＝－87e ，故a 与b 共线；对于②，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa －μb ＝0得a ＝μλb ，故a 与b 共线；对于③，当x＝y ＝0时，a 与b 不一定共线；对于④，梯形中没有AB ∥CD 这个条件，也可能AD ∥BC ，故a 与b 不一定共线．5．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → 解析：选D.EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.6．已知A ，B ，C 是三个不同的点，OA →＝a －b ，OB →＝2a －3b ，OC →＝3a －5b ，则A ，B ，C 三点________．(填写“共线”或“不共线”)答案：共线7．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________．(用OA →，OB →表示) 解析：AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 答案：(1－t )OA →＋tOB →8．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝________．解析：因为OA →－3OB →＋2OC →＝0，所以OB →－OA →＝2(OC →－OB →)，所以AB →＝2BC →， 所以|AB →||BC →|＝2.答案：29.如图在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB＝13OB ，DC 与OA 的交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →. 解：因为AC ＝BA ，所以A 是BC 的中点， 所以OA →＝12(OB →＋OC →)，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 所以DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．设两个非零向量e 1，e 2 不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线．因为DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2. 又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λDB →， 所以2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，所以k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．[B 能力提升]11．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上解析：选D.因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →， 所以2AP →＋PA →＋PC →＝3AP →，所以(AP →＋PA →)＋(AP →＋PC →)＝3AP →，即AC →＝3AP →， 所以点P 在AC 边上，且为AC 的三等分点．12.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1) AC →＝OC →－OA →＝c －a .(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.13．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 分别表示向量AE →，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )， 所以AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， 因为AF →＝12AC →＝12b ， 所以BF →＝AF →－AB →＝－a ＋12b . (2)证明：由(1)知BF →＝－a ＋12b ， BE →＝－23a ＋13b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ， 所以BE →＝23BF →.所以BE →与BF →共线． 又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．[C 拓展探究]) 14.如图，在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示OC →.解：由题意得，OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，由BC CA＝λ(λ>0)， 所以BC BA ＝λ1＋λ，所以BC →＝λ1＋λBA →， 即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.。
新教材高中数学第六章平面向量初步：向量的线性运算ppt课件新人教B版必修第二册
方法二：因为A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， 即：a＋B→C＋(－12a)＋(－b)＝0，所以B→C＝b－12a， 又因为在四边形 ADMN 中，有A→D＋D→M＋M→N＋N→A＝0，即：b＋14a＋
M→N＋(－12a)＝0，所以M→N＝14a－B．
题型 三 典例剖析
向量平行、三点共线问题
典例 3 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点，AE＝
23AD，A→B＝a，A→C＝B．
(1)用 a，b 分别表示向量A→E，B→F； (2)求证：B，E，F 三点共线．
[解析] (1)∵A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)， ∴A→E＝23A→D＝13(a＋b)， ∵A→F＝12A→C＝12b，
＋(1－15＋7)b＝13a－7B．
(2)由已知得－3x4－x＋2y＝3y＝a，b① .② ①×3＋②×2 得 x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得 y＝4a＋3B． ∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．
• 规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结 合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a＝λ(μa)；②
• 思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因 是什么？
• (2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
• 提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．
• (2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时， 运算律才成立．
知识点 二
向量的线性运算
• 向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 线性运算．
对点训练
• 3．(1)已知非零向量e1，e2不共线． • 如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)， • 求证：A，B，D三点共线； • (2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求
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6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算
课后篇巩固提升
夯实基础
1.在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()
A.(a+b)
B.(a-b)
C.a+b
D.a+b
ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,
所以=a+b,故选D.
2.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则()
A.A,B,D三点共线
B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线
D.A,C,D三点共线
=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.
3.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=m a-m b;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=m a-n a;
③对于实数m和向量a,b,若m a=m b,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若m a=n a,则m=n.
其中正确说法的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1
,得①②均正确.对于③,若m=0,由m a=m b,未必一定有a=b.对于④,若a=0,
由m a=n a,未必一定有m=n.
4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()
A.B.
C.D.
,=-
=-)
=
=)=.
5.已知△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的()
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
D为BC中点,则=2,
∴ =2λ,即P点在中线AD上,
可知P点轨迹必过△ABC的重心,
故选D.
6.(多选)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是()
A.2a=b
B.a∥b
C.a=2b
D.a∥b且|a|=|b|
分别表示a,b的单位向量.
对于A,当2a=b时,;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时;
对于C,当a=2b时,;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.
综上所述,使成立的条件是a=2b,2a=b.选AC.
7.化简3(2a-3b)-2(2b-3a)= .
a-13b
,可得3(2a-3b)-2(2b-3a)=6a-9b-4b+6a=12a-13b.
8.已知点P在直线AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ= .
||=4||,所以P是四等分点,
因此,故填.
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
∵ )=(a+b),
∴ (a+b),
∵ b,∴ =-a+b.
(2)由(1)知=-a+b,
=-a+b=-a+b,。