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中考数学四边形专题复习试题及解题技巧

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中考数学期末复习专题 四边形

中考数学期末复习专题 四边形

期末复习作业一1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值．2、 如图，在Rt ABC ∆中，∠ACB= 090 ,AC=6,BC=8,点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于 E ，EM BD ⊥垂足为M ，EN CD ⊥垂足为N 。

（1）当AD=CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与△BDE 的面积相等？3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90º，AB<AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动。

同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ ⊥MP 。

设运动时间为t 秒（t>0）（1）△PBM 与△QNM 相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60º，AB=43厘米。

① 求动点Q 的运动速度；②设Rt △APQ 的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；（3）探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

4、如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ∆∆=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ）A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④）（写证明过程）5、已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ （写证明过程）G F ED C B AＡＢ ＥＯ ＤＣ 14ABCDS7、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）8、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG 的面积之比为（）9、已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是10、如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC 上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．11、如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．。

中考数学复习考点题型专题练习12---《四边形》(解析版)

中考数学复习考点题型专题练习12---《四边形》(解析版)

中考数学复习考点题型专题练习《四边形》1．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．2．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．（1）a＝ cm，b＝ cm；（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．3．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，∠FDM的大小为 度．【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为 ．5．如图，已知▱ABCD，E是CA延长线上一点，且∠EAB＝90°，AB＝AE，点F是BC下方一点，且FE＝FD，∠EFD＝90°，（1）求证：∠FEA＝∠FDC；（2）若AF＝3，求AC的长．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．（1）如图①，求点B的坐标：（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．7．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．8．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0） （1）用含t的代数式表示QF的长．（2）当点M落到CD边上时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值．9．如图①，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PD，△PAB 为等边三角形．（1）求点P到边AD，AB的距离之和；（2）如图②，连结BD交PA于点E，求△PBD的面积以及的值．10．如图，已知∠MON＝90°，A，B分别是边OM和ON上的点，四边形ACDB和四边形OEFC 都是正方形．（1）当OA＝2，OB＝1时，求OC的长．（2）当OB＝1，点A在直线OM上运动时，求OC的最小值．（3）设S△CDF＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式．11．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，点P，E，F分别是AB，AC，BC上的动点，且AP＝2CE＝2BF，连结PE，PF，以PE，PF为邻边作平行四边形PFQE．（1）当点P是AB的中点时，试求线段PF的长．（2）在运动过程中，设CE＝m，若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1：3的两部分，试求m的值．（3）如图②，设直找FQ与直线AC交于点N，在运动过程中，以点Q，N，E为顶点的三角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由．12．定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．（1）如图①，平行四边形ABCD中，对角线CA平分BCD．将线段CD绕点C旋转一个角度α（0°＜α＜∠B）至CE，连结AE．①求证：四边形ABCE是三等边四边形；②如图②，连结BE，DE．求证：∠BED＝∠ACB．（2）如图③，在（1）的条件下，设BE与AC交于点G，∠ABE＝3∠EBC，AB＝10，cos ∠BAC＝，求以BG，GE和DE为边的三角形的面积．13．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AB∥DC∥y轴，x轴与y轴夹角为90°，点M，N分别在xy轴上，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．（1）连接线段OB、OD、BD，求△OBD的面积；（2）若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移，经过多少秒时，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案；（3）见备用图，连接 OB，OD，OD交BC于点E，∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F．①当∠BEO的度数为n，∠BON的度数为m时，求∠OFE的度数．②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系．14．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O'．（Ⅰ）如图①，当点O'落在边BC上时，求点O'的坐标；（Ⅱ）若点O'落在边BC的上方，O'P，O'A与分别与边BC交于点D，E．①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；②当CD＝O'D时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．15．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12．（1）梯形ABCD的面积等于 ．（2）如图1，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C 点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q 点随之停止运动．当PQ∥AB时，P点离开D点多少时间？（3）如图2，点K是线段AD上的点，M、N为边BC上的点，BM＝CN＝5，连接AN、DM，分别交BK、CK于点E、F，记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S，求S的最大值．16．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF 的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝ ；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2； 【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF ∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．17．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．18．已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，连接PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上，且BP＝3时，求PC的长；（2）当点P在射线BA上，且BP＝n（0≤n＜8）时，求QC的长；（用含n的式子表示）（3）连接PQ，直线PQ与直线BC相交于点E，如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B 运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P 的运动时间为l秒．（1）①BC的长为 ；②用含l的代数式表示线段PQ的长为 ．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．20．在正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且AE＝DF，AF交BD于G．（1）如图1，求证：BE⊥AF．（2）如图2，在边AB上取一点K，使AK＝AE．过K作KS∥AF交BD于S，求证：G是SD 中点．（3）在（2）的条件下，如果AB＝8，BE是∠ABD的平分线，求△BSK的面积．参考答案 1．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，t an∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°， ∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，s in∠AEG＝，∴AG＝AE×isn∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．2．解：（1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，∴a＝3，b＝3；故答案为：3，3；（2）∵AE＝3cm，DE＝3cm，∴AD＝6cm＝BC，∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm，∵EP把四边形BCDE的周长平分，∴BE+BP＝9cm，∴点P在BC上，BP＝4cm，∴t＝＝2s；（3）解：①点P在BC上（0＜t≤3），∵S△BPQ＝×2t×4＝6，∴t＝；②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，∴t＝；③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），∵S△BPQ＝×[（（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，∴t＝5；∴综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2． 3．解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，∴AK＝5，∴DK＝＝＝12，∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，过点A作AM⊥DH于点M，由（1）知AM＝12，∴DM＝＝5，∴DH＝10，∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，∴∠DEA＝∠F，在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，∵BG∥CE，∴△FBG∽△FCE，∴，即，∴BG＝；（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，由（2）可知∠AEP＝∠EFM，在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，FM＝EP，设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，∴FN＝FM•s inα＝（10+x），MN＝FM•cosα＝（10+x）， ∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836）， 对称轴x＝﹣＝1，∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为． 4．解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；故答案为：45；（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，∵AM1∥DF∴∠MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°∵∠DFM＝90°∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合， ∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，∴＝AC•C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，故答案为：2﹣．5．（1）证明：设AC与DF交于点O，如图1所示：∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF＝3．6．解：（1）∵点A（5，0），OB＝OA， ∴OA＝OB＝5，∵S▱OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，∴DB＝＝＝3，∴点B（3，4）；（2）∵点P的纵坐标为t，∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；（3）如图，由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，∴C（﹣2，4），∴CD＝2取OD的中点E，则DE＝OD＝2，∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，∴∠OCE＝∠CBP，过点E作EF⊥OC于F，∴∠CFE＝90°＝∠BDP，∴△CFE∽△BDP，∴，在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，∴OC＝2，∵CE是△OCD的中线，∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2∵S△OCE＝OC•EF＝×EF＝2，∴EF＝，在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝， ∴，∴DP＝1，∴OP＝OD﹣DP＝3，∴t＝3，∴P（0，3），设Q（m，0），∵B（3，4），∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m﹣3）2+16，∵四边形PQBR为菱形，∴PQ＝BQ，∴m2+9＝（m﹣3）2+16，∴m＝，即Q（，0）．7．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；（2）存在最小值，最小值为10，如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴＝＝，由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴＝＝，∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；（3）存在最小值，最小值为（n+4），如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K， ∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，∴∠QHC＝∠ADQ，∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，∴∠PAD＝∠QBH，∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，过点D作DM⊥BC于M，又∠DAB＝∠ABM＝90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，∴∠DCM＝45°，∴∠HCK＝45°，∴CK＝CH•cos45°＝（2n+8）＝（n+4）， ∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．8．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC，AD＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴∠DAB＝120°，∠D＝60°，∵AE平分∠DAB，∴∠DAQ＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝AD＝6，∵PQ⊥AD，∴∠APQ＝90°，∴AQ＝2AP＝2t，∴FQ＝AF﹣AQ＝6﹣2t；（2）如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠DAB＝60°，∵PM∥AE，MQ∥AD，∴∠DPM＝∠DAQ＝60°，四边形APMQ是平行四边形， ∴△DPM是等边三角形，PM＝AQ＝2PA＝2t，∴DP＝PM，∴6﹣t＝2t，∴t＝2．（3）①当0＜t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S＝AP•PQ＝t2． ②如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分五边形APSTQ，S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+9t﹣9；③如图4中，当3＜t≤6时，重叠部分是四边形PSFA．S＝S△DAF﹣S△DSP＝×62﹣•（6﹣t）2＝﹣t2+3t．综上所述，S＝；（4）如图5中，当GO∥AB时，∵AG＝GM，∴点M在线段CD上，此时t＝2s．如图6中，当GO∥AD时，则B、C、Q共线，可得△ABQ是等边三角形，AB＝AQ＝BQ＝8，∴AQ＝2t＝8，∴t＝4s，综上所述，t＝2s或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线． 9．解：（1）如图①，过P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴∠PMA＝∠DAB＝∠PNB＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴PM＝AN，AM＝PN，∵△ABP是等边三角形，∴AN＝AB＝1，PN＝，∴PM＝AN＝1，∴PM+PN＝+1，即点P到边AD，AB的距离之和为+1；（2）S△PBD＝S四边形ABPD﹣S△ABD＝AD（PM+PN）﹣AD•AB＝×2×（1+）﹣×2×2＝﹣1；如图②，过P作PG⊥BD于G，过A作AH⊥BD于H，∴∠PGE＝∠AHE＝90°，∵∠PEG＝∠AEH，∴△PGE∽△AHE，∴＝，∵＝＝＝＝+1，∴＝+1．10．解：（1）如图1所示，过点C作CG⊥OM于点G，∵四边形ACDB是正方形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠MON＝90°，∠AGC＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠ABO＝∠CAG，∴△AOB≌△AGC（AAS）．∵OA＝2，OB＝1，∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝3，∴在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC＝＝．（2）如图2所示，由题意可得点C在直线l：y＝x﹣1上运动，∴OC的最小值为当OC与直线l垂直时，此时OC＝，∴OC的最小值为．（3）如图3所示，延长OC至点H，使CH＝OC，连接AH，过点C作CG⊥OM，∵CD＝CA，CH＝CF，∠DCF＝∠ACH＝90°+∠ACF， ∴△DCF≌△ACH（SAS），由（1）知△AOB≌△AGC（AAS），∴CG＝OA，∵C是OH的中点，∴S△ACH＝S△OAC，∵S△CDF＝y，OA＝x，∴y＝S△OAH＝S△OAC＝x2．∴y关于x的函数关系式为y＝x2．11．解：（1）如图①，作PH⊥BC于点H，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，∴AC＝6．∵AP＝2CE＝2BF，∵点P是AB的中点，∴PA＝PB＝5．∴CE＝BF＝，PH＝3，BH＝CH＝4，∴FH＝．∴PF＝＝．（2）如图②，平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC分成1：3的两部分时，则EM＝PF．∵PH⊥BC，∴∠PHF＝90°＝∠ACB，∴PH∥AC，∴△CEM∽△HPF，△PBH∽△ABC，∴PH＝2CE＝2m，＝．∴＝，∴m＝．如图③，平行四边形PFQE的面积恰好被线段AC分成1：3的两部分时，则FD＝QD，QN ＝PG，∴CF＝PG．∵△APG∽△ABC，∴＝．∴＝，∴m＝．∴m的值为或．（3）如图④，当∠QNE＝90°时，则点N与点C重合，设CE＝x，∵△PBH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝．如图⑤，当∠QNE＝90°时，则点P与点B重合，则2x＝10，∴x＝5．如图⑥，当∠QNE＝90°时，∵△FPR∽△PES，∴＝，∴＝，∴x＝．经检验，x值符合题意．综上，CE的长为或5或． 12．解：（1）①证明：如图①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，∵CE＝CD，∴AB＝BC＝CE，∴四边形ABCE是三等边四边形．②证明：如图②，延长EC至点H，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED，∴∠HCD＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠HCB＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，∴∠HCD﹣∠HCB＝2（∠CED﹣∠CEB）， 即∠BCD＝2∠BED，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝2∠ACB，∴∠BED＝∠ACB．（2）如图③，连接BD，DG，BD与AC交于点O，过点G作GP⊥BC于点P，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝AC，BD＝2BO，∠DBC＝∠ABC，在Rt△ABO中，AB＝10，cos∠BAC＝，∴AO＝AB＝6，∴OC＝AO＝6，BO＝＝8，∴BD＝2BO＝16，∵∠ABE＝3∠EBC，∴∠ABC＝4∠EBC，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠DBC＝2∠EBC，∴∠DBE＝∠EBC，∵GO⊥BD，GP⊥BC，∴GO＝GP，BP＝BO＝8，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣8＝2，在Rt△GPC中，GC2﹣GP2＝PC2，∴（OC﹣OG）2﹣OG2＝PC2，即（6﹣OG）2﹣OG2＝4，∴OG＝，GC＝，∴BG＝＝，∵∠BED＝∠ACB，∠DBE＝∠EBC，∴△BED∽△BCG，∴，∴BE＝＝16×10÷＝6，DE＝＝16×＝2，∵AC垂直平分BD，∴DG＝BG＝，∴∠GDB＝∠GBD，∴∠GDE＝∠BDE﹣∠GDB＝∠BGC﹣∠GBD＝∠GOB＝90°，∴S△GDE＝DG•DE＝＝，∴以BG，GE和DE为边的三角形的面积是．13．解：（1）如图1，延长DA交y轴于H，如图1所示：则AH⊥y轴．∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）∴OH＝8，DH＝7，AH＝1，AD＝6，AB＝2，∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝×OH×DH﹣×AB×AD﹣×（AB+OH）×AH＝×8×7﹣×2×6﹣×（2+8）×1＝17；（2）∵S长方形ABCD＝2×6＝12，∴S△OBD＝S△ODH﹣S△ABD﹣S梯形AHOB＝12，∴×（8﹣0.5t）×7﹣×2×6﹣×（2+8﹣0.5t）×1＝12，∴t＝；（3）①如图2，延长CB交y轴于P，延长EF交y轴于点G，∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，∴∠GOF＝∠NOB＝m，∠BEF＝∠BEO＝n，∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝m+n+90°；②∵EF平分∠BEO，OF平分∠NOB，∴∠GOF＝∠NOB，∠BEF＝∠BEO，∵∠EFO＝∠GOF+∠FGO，∠FGO＝∠GPE+∠BEF，∴∠EFO＝∠GOF+∠GPE+∠BEF＝90°+∠NOB+∠BEO，∵∠BOE＝90°﹣∠BON﹣∠BEO，∴2∠EFO+∠BOE＝270°．14．解：（Ⅰ）∵点A（8，0），点C（0，6），OABC为矩形， ∴AB＝OC＝6，OA＝CB＝8，∠B＝90°．根据题意，由折叠可知△AOP≌△AO'P，∴O'A＝OA＝8．在Rt△AO'B中，BO'＝＝2．∴CO'＝BC﹣BO'＝8﹣2．∴点O'的坐标为（8﹣2，6）．（Ⅱ）①∵∠OAP＝30°，∴∠OPA＝60°，∵∠OPA＝∠O'PA，∴∠CPD＝180°﹣∠OPA﹣∠O'PA＝60°．∵OA＝8，∴OP＝OA•t an30°＝．∴CP＝6﹣OP＝6﹣．∴CD＝CP•t an60°＝6﹣8．∴点D的坐标为（6﹣8，6）．②连接AD，如图：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，O'D＝CD＝x，根据折叠可知AO'＝AO＝8，∠PO'A＝∠POA＝90°，∴在Rt△ADO'中，AD2＝AO'2+DO'2＝82+x2＝x2+64；在Rt△ABD中，AD2＝BD2+AB2＝（8﹣x）2+62＝x2﹣16x+100； ∴x2+64＝x2﹣16x+100，解得：x＝，∴CD＝，∴D（，6）．15．解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则AE∥DF， ∵AD∥BC，AE⊥BC，∴四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AD＝EF＝6，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF，∴BE＝CF＝＝3，由勾股定理得，AE＝＝＝4，梯形ABCD的面积＝×（AD+BC）×AE＝×（12+6）×4＝36，故答案为：36；（2）如图3，过D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE＝AD＝6，∴EC＝6，当PQ∥AB时，PQ∥DE，∴△CQP～△CED，∴，即＝，解得，t＝；（3）如图2，过G作GH⊥BC，延长HG交AD于I，过E作EX⊥BC，延长XE交AD于Y，过F作FU⊥BC于U，延长UF交AD于W，∵BM＝CN＝5，∴MN＝12﹣5﹣5＝2，∴BN＝CM＝7，∵MN∥AD，∴△MGN～△DGA，∴＝，即＝，解得，HG＝1，设AK＝x，∵AD∥BC，∴△BEN～△KEA，∴＝，即＝，解得，EX＝，同理：FU＝，S＝S△BKC﹣S△BEN﹣S△CFM+S△MNG＝×12×4﹣×7×﹣×7×+×2×1 ＝，当x＝3时，S的最大值为25﹣＝5.4．16．解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，∴△ADF∽△FEC，∵△ADF、△EFC的面积分别为3，1，∴，∴，∵△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2， ∴；故答案为：．（2）证明：如图①，设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，∵EF∥AB，DF∥BC，∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD＝EF＝b，由（1）知△ADF∽△FEC，∴，∵S1＝ah，∴S2＝，∴S1S2＝，∴bh＝2，∵S＝bh，∴S＝2．（3）如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMF＝∠ECG，∵DE∥BC，DF∥BG，∴四边形DFGE为平行四边形，∴∠DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，∴△DFM≌△EGC（AAS），∴S△DFM＝S△EGC＝5，∵S△DBF＝7，∴S△BDM＝7+5＝12，∵DE∥BM，DM∥AC，∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，∴△DAE∽△BDM，∴＝，∴，∴，同理，△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27． 17．解：（1）当PQ∥AD时，∵DC∥AB， ∴四边形APQD是平行四边形，∴AP＝DQ，即2t＝4+t，解得，t＝4，∴当t为4s时，PQ∥AD；（2）过点D作DF⊥AB于F，过点E作EM⊥AB于M，延长ME交CD的延长线于点N， ∴∠DFA＝∠DFB＝90°，∠EMA＝∠EMB＝90°，∵AB∥CD，∴∠CDF＝90°，∠CNM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形DFBC、NMFD是矩形，∴BF＝DC＝4，∴AF＝6，∴DF＝＝8，∴MN＝BC＝DF＝8，∵PE∥BD，∴，∵AB＝AD，∴AE＝AP＝2t，∵∠A＝∠A，∠EMA＝∠DFA，∴△AEM∽△ADF，∴，即，∴，∴，∴y＝S四边形PBQE＝S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED＝＝＝﹣t2+t+40，∴y与的函数关系式为：y═﹣t2+t+40（0＜t＜5）；（3）假设存在某一时刻t，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，则﹣t2+t+40＝××（4+t+10）×8，解得，t1＝4，t2＝﹣（不合题意，舍去），答：当t＝4时，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的； （4）若存在某一时刻t，使EQ⊥BD，垂足为O，∴∠DOE＝∠DOQ＝90°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA，∵AB＝AD，∴∠BDA＝∠DBA，∴∠BDC＝∠BDA，∴DE＝DQ，∴4+t＝10﹣2t，∴t＝2，∴当t为2s时，EQ⊥BD．18．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•s in60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC═＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O． ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴，∴，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝QC，∴PC＝QC，在Rt△PHB中，BP＝n，∴BH＝n，PH＝n，∵PC2＝PH2+CH2，∴3QC2＝（n）2+（4﹣n）2，∴QC＝（0≤n＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧的点E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于点C右侧的点E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°， ∴PF＝CF＝2，此时BP＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△CBE与△CBP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠CBP＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCB＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴BP＝2﹣2．综上所述，满足条件的BP的值为2+2或2﹣2． 19．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵s in B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∴t＝，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴t an B＝t an∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣； （4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴t an B＝t an∠MQN，∴，∴＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴t an A＝t an∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝或时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边． 20．（1）证明：设BE与AF交于点H，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AHE＝90°，∴BE⊥AF；（2）证明：∵KS∥AF，∴，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∵AK＝AE，AE＝DF，∴AK＝DF，∴＝，∴GS＝DG，∴G是SD中点；（3）解：作EP⊥BD于P，如图2所示：∵BE是∠ABD的平分线，EA⊥AB，∴AE＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝8，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BD＝AB＝8，∵EP⊥BD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，DE＝PE＝PD，∴AE＝PE＝PD，∵AE+DE＝AD＝8，∴AE+AE＝8，解得：AE＝8﹣8，∴DF＝AE＝AK＝8﹣8，∴BK＝AB﹣AK＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∴＝＝＝+1，∴DG＝＝＝8﹣8，∴BS＝BD﹣2DG＝8﹣2（8﹣8）＝16﹣8， 作SN⊥AB于N，则△BNS是等腰直角三角形，∴SN＝BN＝BS＝8﹣8，∴△BSK的面积＝BK×SN＝×（16﹣8）×（8﹣8）＝96﹣128．。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

中考数学四边形求解题技巧

中考数学四边形求解题技巧

中考数学四边形求解题技巧中考数学中，四边形是一个非常重要的知识点，也是考试中常出现的题型之一。

四边形题目涉及到求解角度、边长、面积等方面的知识，掌握一些解题技巧能够有效提高解题速度和准确性。

下面我将介绍一些中考数学四边形求解题的技巧。

1. 利用图形性质分析题目在解决四边形问题时，首先要观察给出的图形，分析各个角的大小关系以及边长的关系。

根据图形的特点，我们可以推导出一些性质，这些性质可以帮助我们解决问题。

例如，互补角的性质：如果两个角的和等于90度，则它们是互补角。

利用这个性质，我们可以求解出两个互补角中的一个。

2. 利用角的性质在解四边形题时，经常需要求解各个角的大小。

对于平行四边形和矩形来说，对角线之间的夹角都是相等的；对于菱形来说，它的所有内角都是直角；对于等腰梯形来说，它的两个底角是相等的。

利用这些角的特点，我们可以通过已知条件求解出其他角的大小。

同时，还需要掌握计算角度的方法，如180度减去一个角的度数可以求出另一个角的度数。

3. 利用截线性质在解四边形问题时，有时会用到线段的截线性质。

截线性质是指当一条直线截断两条平行线时，所得截线与平行线之间的对应角是相等的。

利用这个性质，我们可以推导出两条平行线之间的一些角的大小关系，然后通过已知条件求解其他角的大小。

4. 利用边长的性质在解决四边形问题时，有时需要求解各个边的长度。

根据已知条件和图形的特点，我们可以列方程，然后求解出未知边长。

例如，如果题目已知一个矩形的长和宽之比为3:2，并且矩形的周长为40，我们可以设矩形的长为3x，宽为2x，列出方程3x + 2x + 3x + 2x = 40，然后解方程求解出x 的值，进而求解出长和宽的值。

5. 利用面积的性质在解决四边形问题时，有时需要求解图形的面积。

对于矩形、正方形、菱形来说，我们可以利用边长或对角线的性质求解出面积。

例如，对于矩形来说，我们可以用长和宽的乘积求解出面积；对于菱形来说，我们可以用对角线的乘积除以2求解出面积。

九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)

九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)

九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案一、平行四边形1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG⊥BE．过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．（2）S的最大值为，此时x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．（3）本题要分类讨论：①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，有题意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣x）．（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值为，此时x=2．（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，则CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．综上所述，x=，或x=，或x=．考点：二次函数综合题．3．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．4．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S 30334+【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22=4，AD AC∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=17，5∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-342）=303344-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．7．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)

四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)

四边形综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆题型预测解答题☆☆☆①三角形全等的判定考向预测②特殊四边形的判定四边形综合题是全国中考常考题型。

好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。

1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主，除了考查四边形的性质和判定外，还会结合三角形的全等进行考查。

2．从题型角度看，以解答题为主，分值8-12分左右！平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，每一条菱形对边平行，四边相等对角相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分、相等，正方形对边平行，四边相等四个角都是直角每一条对角线平分一组对角平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形1：四边都相等的四边形是菱形。

2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形典例1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，根据平行线的性质可得ABE CDF ∠=∠，结合已知条件根据SAS 即可证明ABE CDF △≌△；（2）根据ABE CDF △≌△可得,AE CF AEB CFD =∠=∠，根据邻补角的意义可得AEF CFE ∠=∠，可得AE CF ∥，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF ∠=∠，又BE DF =，∴ABE CDF △≌△（SAS ）；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴,AE CF AEB CFD=∠=∠AEF CFE∴∠=∠∴AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．典例2．如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，EF 过点O 且分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接DE 、BF ．求证：(1)△DOF ≌△BOE ；(2)DE =BF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，利用ASA 即可证明△DOF ≌△BOE ；（2）证明四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB =OD ，∴∠OBE =∠ODF ．在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB OD BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）；（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO =FO ，∵OB =OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∴DE =BF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．典例3．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG ．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，∴BC =EG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．典例4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CD PDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴PDE CDF △≌△（ASA ）；（2）如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴223GF EF EG =-=cm,设AE =x cm ，∴EP =x cm ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x cm ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =，∴BC =BG +GC =77163663++=(cm ）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．典例5．如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)若AE =4，CF =2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用AAS 即可证明△ABE ≌△ADF ；（2）设菱形的边长为x ，利用全等三角形的性质得到BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD （菱形的四条边相等），∠B =∠D （菱形的对角相等），∵AE ⊥BC AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF (AAS)；（2）解：设菱形的边长为x ，∴AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE ≌△ADF ，∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例6．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE∠=，即可求解．【详解】（1）证明： AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解： 14BE EC =，设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形；4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE a∠===，故答案为：15．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．典例7．如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．【答案】证明见解析【分析】先根据正方形的性质可得,90BC CD BCD =∠=︒，从而可得90BCE DCF ∠+∠=︒，再根据垂直的定义可得90BEC CFD ∠=∠=︒，从而可得CBE DCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理证出BCE CDF ≅ ，根据全等三角形的性质可得,BE CF CE DF ==，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】证明： 四边形ABCD 是正方形，,90BC CD BCD ∴=∠=︒，90BCE DCF ∴∠+∠=︒，,CE BG DF CE ⊥⊥ ，90BEC CFD ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，CBE DCF ∴∠=∠，在BCE 和CDF 中，90BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CDF AAS ∴≅ ，,BE CF CE DF ∴==，CE CF EF BE EF ∴=+=+，DF BE EF ∴=+．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．典例8．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。

人教版初中数学四边形技巧及练习题附答案

人教版初中数学四边形技巧及练习题附答案

人教版初中数学四边形技巧及练习题附答案一、选择题∆绕点A顺时针旋转90︒到1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）ABFA．4 B．25C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】∆绕点A顺时针旋转90︒到ABFADE∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴==，AD DC25DE=，2∴∆中，2226Rt ADEAE AD DE=+=故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．4．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是( )A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数． 解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A ．考点：多边形内角与外角．6．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m ．连接BE ，将BCE 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）A ．33B ．3C 3D ．4【答案】A【解析】【分析】设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.【详解】解：设AC′=x ，∵AB=m ，BC=6，23CEm ， 根据折叠的性质可得：BC′=6，EC′=23CE m ， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，在△ABC ′中，AB 2+AC′2=BC′2，即2226x m +=，在△DEC ′中，C′D 2+DE 2=C′E 2，即()22212633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()2236x m -=，代入2226x m +=中，得：()222366x x -=-，解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，可得：当x=3时，m=33或33-（舍），当x=6时，m=0（舍），故m 的值为33，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=2234+=5，作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是AB 的中点，∴E ′在AD 上，且E′是AD 的中点，∵AD=AB ，∴AE=AE ′，∵F 是BC 的中点，∴E ′F=AB=5．故选C ．8．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ，∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cmA ．4B 2C ．22D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到:42+x 2=（8﹣x ）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD 折纸，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ），∴AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，AB=8，AF=10，∴226AF AB -=∴CF=BC ﹣BF=4．设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中，∵CF 2+CE 2=EF 2，∴42+x 2=（8﹣x ）2，解得x=3∴EC 的长为3cm ．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，∴点D的坐标为（33∵点A的坐标为（﹣1，0），∴22+=(3)419故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．11．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．12．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCDS S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．13．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB，∵AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质14．如图，在ABCD 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=，即AC BD ⊥，得出ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=，即AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，∴ABCD 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD ，并在A 与C 、B 与D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC ，用左手向右推动框架至AB ⊥BC （如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）A ．∠BCA ＝45°B ．AC ＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A．35B．23C．38D．45【答案】A【解析】试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，∴MD=MB=2a-b=53 b，∴3553AM b MD b ==. 故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．17．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A的坐标，从而求得菱形周长.18．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//EF BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8PF=，则图中阴影部分的面积为（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．考点：多边形内角与外角．。

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四边形专题复习注意：1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2， 3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

2．矩形的判定和性质6．梯形中的常用辅助线：7.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．8．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．典型例题：例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：∠AOB=∠COB．解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是∠AOB=∠COB．例2.如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF 为平行四边形．证明略．例3. 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC； (2)EG=EF。

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中点，∴BE⊥AC．(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中点，∴∵EF是△OCD的中位线，∴又，∴例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G 分别为DO，AO，BC的中点．求证：△EFG是等边三角形。

证明：连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°．在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。

同理．在△OAD中，∵E，F分别为OD，OA的中点．∴，故△EFG为等边三角形．例5．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF． (1)当DG=2时，求△FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．解：(1)∵正方形ABCD中，AH=2，∴DH=4．又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=，∴△AHE≌△DGH。

∴∠AHE=∠DGH。

∵∠DGH+∠DHG=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHC=90°，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG．因此∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE。

∴∠AEH=∠MGF。

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG。

∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。

因此(3)若，由，得，此时，在△DGH 中，。

相应地，在△AHE 中，，即点E 已经不在边AB 上。

故不可能有。

另法：由于点G 在边DC 上，因此菱形的边长至少为DH=4， 当菱形的边长为4时，点E 在AB 边上且满足，此时，当点E 逐渐向右运动至点B 时，HE 的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。

此时，，故。

而函数的值随着的增大而减小， 因此，当时，取得最小值为。

又因为，所以△FCG 的面积不可能等于1。

巩固练习：1、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．DC ABGH F E3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．挑战自我：1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．44、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 。

5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．6题FEDC B A6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为A B C D E F D ′第5题图FA E BCD7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ． 已知：在四边形ABCD 中， ， ；求证：四边形ABCD 是平行四边形．8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）周长为__________ 周长为__________9、（2007天津市）在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，求梯形中位线的长。

10、（2007·山东）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm10题ACC C C （图2） （图1） （图3） （图4） ABCDABCOE11题11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o，且AE+AF=ABCD 的周长是 ．直击中考：1. （2011安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）【答案】D A ．7 B ．9 C ．10 D ．112. （2011山东威海）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．2：5 【答案】A3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C……图① 图② 图③ 图④ A ．55 B ．42 C ．41 D ．294. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 75. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】ＢA ．120°B ．135°C ．140°D ．144° 6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（ ）【答案】C（A ）2n（B ）4n（C ）12n + （D ）22n +7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）【答案】BA.17B.17C.18D.198. （2011山东泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为（ ）【答案】A A.2 3 B.332C. 3D.69. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C图1图2图3……… A 1AA 2 A 3 BB 1 B 2B 3C C 2 C 1 C 3D 2 D 1 D 3A ．1B ．2C ．3D ．410. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12+n abA.①②B.②③C.②③④D.①②③④12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：（ ） 【答案】D①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG =43CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论A ．只有①②．B ．只有①③．C ．只有②③．D ．①②③．（第10题）FABCDH EG①②③④⑤13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是. 【答案】214. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.2第12题图15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

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