2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (Word 含解析)

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ） A ．M ∩N B ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝﹣x 2+1B ．y =1xC ．y ＝2﹣xD ．y ＝lnx3．方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（ ） A ．（0.5，1）B ．（1，1.5）C ．（1.5，2）D ．（2，2.5）4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π46．在△ABC 中，“A ＞π3”是“cos A ＜12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ） A ．95B ．185C ．65D ．2458．已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =09．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则AB→⋅AE→的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．i是虚数单位，则21+i=．11．函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（2√x−√x）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin(2B−π4)的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b 2a 2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（∁U M）∩N＝{1，2}，M∩（∁U N）＝{3，4}，（∁U M）∩（∁U N）＝∅，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．y=1x C．y＝2﹣x D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=1x，为反比函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于C，y＝2﹣x＝（12）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．3．方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【分析】判断f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解：设f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）＝0+1﹣2＝﹣1＜0，f （1.5）＝log 21.5﹣0.5＝log 21.5﹣log 2√2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内 ∴方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（1，1.5） 故选：B ．4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，∴该圆柱的体积：V ＝Sh =π×(√32)2×1=3π4．故选：B ．5．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω＝2，现将y ＝sin （2x +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个g （x ）＝sin （2x +π4+φ）为偶函数，则φ+π4=kπ+π2（k ∈Z ），整理得φ＝k π+π4（k ∈Z ），当k＝0时，φ=π4．故选：B．6．在△ABC中，“A＞π3”是“cos A＜12”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．解：在三角形内0＜A＜π，由cos A＜12，则π3＜A＜π，则“A＞π3”是“cos A＜12”的充要条件，故选：C．7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．95B．185C．65D．245【分析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率P．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p=C31C21C52=35．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P（ξ＝0）＝（25）3=8125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝3）＝（35）3=27125．∴ξ的分布列为：ξ0 1 23P8125361255412527125∴E ξ＝0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8．已知双曲线x 2−y 2m=1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =0【分析】根据抛物线y 2＝8x 上的点P 满足|PF |＝5，可得P （3，±2√6），代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程． 解：∵点P 在抛物线y 2＝8x 上，|PF |＝5，∴P （x 0，y 0）满足x 0+p 2=5，得x 0＝5−p2=5﹣2＝3 因此y 02＝8x 0＝24，得y 0＝±2√6∴点P （3，±2√6）在双曲线x 2−y 2m=1上可得9−24m=1，解之得m ＝3 ∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3，渐近线方程为y ＝±bx a，即y ＝±√3x故选：C ．9．如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，E 为CD 的中点，则AB →⋅AE →的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】利用平面向量的加法运算可知，AE →=AD →+12AB →，代入AB →⋅AE →，并结合数量积的运算即可得解．解：∵菱形ABCD ，∴AD ＝AB ＝1，AB →⋅AE →=AB →⋅(AD →+DE →)=AB →⋅(AD →+12AB →)=AB →⋅AD →+12|AB →|2=1×1×cos60°+12×1=1．故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．i 是虚数单位，则21+i= 1﹣i ．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式． 解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1﹣i ，∴21+i=1﹣i ，故答案为：1﹣i11．函数f （x ）＝x 2e x 的单调减区间是 （﹣2，0） ．【分析】先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间．解：函数f （x ）＝x 2e x 的导数为y ′＝2xe x +x 2e x ＝xe x （x +2）， 令y ′＜0，解得﹣2＜x ＜0，故函数的单调减区间是 （﹣2，0）， 故答案为 （﹣2，0）．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为 2√3 ．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长． 解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，圆心为（0，2），半径r ＝2 圆心到直线的距离为|2+0|2=1，则l2=√4−1=√3；∴弦长l ＝2√3 故答案为：2√313．（2√x −√x）6的二项展开式中的常数项为 ﹣160 （用数字作答）．【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项． 解：（2√x 1√x ）6展开式的通项为T r +1＝C 6r •（2√x ）6﹣r •（1√x）r ＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r •x 3﹣r ，令3﹣r ＝0，可得r ＝3，其常数项为T 4＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r ＝﹣160；故答案为﹣160．14．若4x +4y ＝1，则x +y 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．【分析】由4x +4y ＝1，得（2x ）2+（2y ）2＝1，利用三角代换设2x ＝sin α，2y ＝cos α，所以2x+y =12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x +y 的范围． 解：∵4x +4y ＝1，∴（2x ）2+（2y ）2＝1， 设2x ＝sin α，2y ＝cos α，∴2x ⋅2y =2x+y =sinα⋅cosα=12sin2α ≤12，∴0＜2x+y ≤12， ∴x +y ≤﹣1，∴x +y 的取值范围是：（﹣∞，﹣1]， 故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f （x ）与g （x ）在[a ，b ]上是“关联函数”．若f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是 [32，103） ．【分析】由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；作函数的图象求解．解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点； 即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；∵k ′（x ）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x +1）（x ﹣2）； ∴k （x ）在[0，2]上递增，在[2，3]上递减； 且k （0）＝0，k （2）=103，k （3）=32； 故实数m 的取值范围是：[32，103）．故答案为：[32，103）．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝4，C ＝2B ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2B −π4)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c ＝2b cos B ，结合已知可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin （2B −π4）的值． 解：（Ⅰ）因为C ＝2B ， 所以sin C ＝sin2B ， 可得sin C ＝2sin B cos B ， 可得c ＝2b cos B ， 因为b ＝3，c ＝4， 所以cosB =23．（Ⅱ）由cosB =23，可得sinB =√53，因为sin2B =2sinBcosB =4√59，cos2B ＝cos 2B ﹣sin 2B =−19，故sin （2B −π4）＝sin2B cos π4−cos2B sinπ4=4√10+√218． 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ＝2AD ，PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：PA ∥平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M ﹣NC ﹣D 的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明MN ∥PA ，然后证明PA ∥平面MNC ．（Ⅱ）以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），求出平面MNC 的法向量，设直线PB 与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． （Ⅲ）求出平面NCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PN ＝ND ，DM ＝MA ，所以MN ∥PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA ∥平面MNC ． （Ⅱ）解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），设AD ＝2，可得A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），N （0，0，2），M （1，0，0），P （0，0，4）．向量PB →=(2，2，−4)，NC →=(0，2，−2)，MN →=(−1，0，2)．设n →=(x ，y ，z)为平面MNC 的法向量， 则{NC →⋅n →=0MN →⋅n →=0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y ＝1，可得n →=(2，1，1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有sinα=cos〈n →⋅PB →〉=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=16． （Ⅲ）解：因为AD →=(1，0，0)为平面NCD 的法向量， 所以cos〈DA →⋅n →〉=DA →⋅n→|DA →|⋅|n →|=√63．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b2a2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【分析】（Ⅰ）求出右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离解得c ＝2，利用离心率，求出a ，然后求解b ，即可得到椭圆方程． （Ⅱ）设l AB ：y ＝kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD=−b2a2，结合S ABCD ＝4S △AOB ，转化求解即可． 解：（Ⅰ）因为右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离为d =√2=2√2， 解得c ＝2，e =√22=c a ，a 2＝b 2+c 2，a =2√2，b =2，所以x 28+y 24=1．（Ⅱ）证明：设l AB ：y ＝kx +m ，代入x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1⋅x 2=2m 2−81+2k2，因为k AC ⋅k BD=−b2a2，得x 1•x 2＝﹣2y 1•y 2，即x 1•x 2＝﹣2（kx 1+m ）（kx 2+m ）， 解得m 2＝4k 2+2， 因为S ABCD ＝4S △AOB ， 且S △AOB =12|AB|d ，又|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，d =√1+k，整理得S △AOB=12|m|√16k 2m 2(1+2k 2)2−8(m 2−4)1+2k 2=2√2， 所以S ABCD =4⋅2√2=8√2为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n bn，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7．∴a 1＝﹣1，b 1＝2，﹣1+2d +2q ＝﹣1，3×（﹣1）+3d +2×2×q 2＝7， 解得d ＝﹣2，q ＝2．∴a n ＝﹣1﹣2（n ﹣1）＝1﹣2n ，b n ＝2n ． （2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．①n ＝2k （k ∈一、选择题*）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ＝（c 1+c 3+…+c 2k ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2k ） ＝2k +（32+723+⋯+4k−122k−1），令A k =32+723+⋯+4k−122k−1， ∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1，∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1， 可得A k =269−12k+139×22k−1． ∴T n ＝T 2k ＝2k +269−12k+139×22k−1． ②n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ﹣2+a 2k ﹣1＝2（k ﹣1）+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2＝2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1，n =2k 2k +269−12k+19×22k−3，n =2k −1，k ∈N *． 20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由f （x ）＝x 2+2x +alnx （a ∈R ），知f′(x)=2x 2+2x+a x，设g （x ）＝2x 2+2x +a ，由函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围． （2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1），即2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1），令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞） ∵f （x ）＝x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x（x ＞0），设g （x ）＝2x 2+2x +a ，则g （x ）=(x +12)2−12+a ，∵函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g （0）≥0，或g （1）≤0， ∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥0，或a ≤﹣4}．（2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1） ∴2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1）令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），则问题可化为h （t 2）≥h （2t ﹣1） ∵t ≥1，∴t 2≥2t ﹣1要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可即h ′（x ）＝2−ax ≥在[1，+∞）上恒成立，即a ≤2x 在[1，+∞）上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．。