2019年天津市高考数学一模试题附答案
2019届天津市河西区高三一模数学(理)试题(解析版)
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合 ，
∴ ，
，
故
故选C.
2．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的方程得到焦点为 ，渐近线为： ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为
18．已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式 求出数列 的通项公式；进而列方程组求数列 的首项与公差，得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，再利用“错位相减法”求数列 的前 项和 .
因此 ，设
所以
当 时， 最小值为 选B.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
二、填空题
9． 是虚数单位，若复数 满足 ，则 ______________.
【答案】 .
17．如图，已知四边形 的直角梯形， , ， ， 为线段 的中点， 平面 ， ， 为线段 上一点（ 不与端点重合）.
（Ⅰ）若 ，
（i）求证： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在实数 满足 ，使得平面 与平面 所成的锐角为 ，若存在，确定 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（i）见解析（ii） （Ⅱ）
【考点】椭圆的定义及标准方程；椭圆的几何性质.
2019年天津市高考数学模拟试卷及参考答案
2019年天津市高考数学模拟试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C.D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log 23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. B.C. D.8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）若M为PC的中点，求证DM∥面PAB；（Ⅱ）求证：面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）求AC与面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁UA=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁UA）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.【答案】A【解析】由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.【答案】2【解析】解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【解析】解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.【答案】3【解析】解：∵loga 2+logb16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据loga 2+logb16=3即可得出，从而得出log2（ab）=可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.【答案】【解析】解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=xlnx，则f′（x）=lnx+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.【答案】解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cosB的值，利用正弦定理化简已知等式可求b的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6分），（8分），…（10分），………（11分）∴随机变量ξ的分布列为：ξ034Pξ的数学期望．………（13分）【解析】，由此利用n次（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.【答案】证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，AD∥BC且，则MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，DM⊄面PAB，AN⊂面PAB，所以DM∥面PAB．（Ⅱ）BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥面PAB，又BC⊆面PBC，所以面PAB⊥面PBC．解：（Ⅲ）AN⊥PB，AN⊥BC，PB∩BC=B，所以AN⊥面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与面PBC所成角的大小为30°．【解析】（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB．（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC．（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC 与面PBC所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k 1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN 斜率k 存在时：设MN 方程为y=k （x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k 的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM ：y=k 1（x+2）（k 1＞0），与椭圆联立，求出点M 的左边，同理求出点N 的坐标，将F 2，M ，N 坐标代入可得：（4k 1k 2+3）•（k 2-3k 1）=0，即可求证点P 在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.【答案】解：（Ⅰ），则f '（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x +y -2-2ln2=0； （Ⅱ）（-1舍去），所以f （x ）在为增函数，在（1，e ）为减函数， ∴，f （1）=-1，f （e ）=2-e 2； 所以；（Ⅲ）证明：g （x ）=2ln x -x 2-nx ，，假设g '（x 0）=0，则有，①-②得：， ∴， 由④得，∴；即； 即⑤； 令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2lnx-x2-nx，，假设g'（x）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。
2019届天津市部分区高三联考一模数学(文)试题(解析版)
2019届天津市部分区高三联考一模数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由202390x y x y +-=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得31x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．12-【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】 输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==； 第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>， 退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】00.310.3222,122<<∴<<， 22log 5log 42>=， 0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果. 【详解】()3,4在22221x y a b-=的渐近线上，43b a ∴=，① 又12PF PF ⊥，44133c c∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D【解析】利用图象求得函数()f x 的解析式，根据平移法则求得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由232x k πππ+=+可得结果.【详解】()sin 2y x ϕ=+过,06π⎛⎫⎪⎝⎭，()3k πϕπϕπ∴+=<，k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=， 又()200,3f πϕ>∴=， ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位，得()2sin 263g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令232x k πππ+=+，212k x ππ=+，k Z ∈, 0k =时，12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（ ）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+， ()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<， ()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B. 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题9．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________. 【答案】1755z i =-- 【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e【解析】利用对数函数的求导公式求出()'f x ,将1x =代入所求导函数，从而可得结果. 【详解】()log a f x x =，()()11','11ln ln f x f x a a∴===， a e ∴=，故答案为e .【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11．圆柱的体积为34π，底面半径为2，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果. 【详解】设圆柱的高为h ，圆柱体积为34π，底面半径为2， 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭，1h =，设球半径为R ，则()22221R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________. 【答案】()()222113x y -+-=【解析】求出()()0,4,0,2-的垂直平分线方程，与直线10x y --=联立，可得圆心坐标，从而求得圆的半径，进而可得结果. 【详解】圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，∴圆心在()()0,4,0,2-的垂直平分线上1y =，又圆心在10x y --=上，∴由110y x y =⎧⎨--=⎩得圆心坐标为()2,1，=∴圆的方程为()()222113x y -+-=，故答案为()()222113x y -+-=. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得结果. 【详解】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________. 【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥， 10AB =， 15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅- ()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅22OC OC OD =-⋅22100100200OC OC =+=+=，故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b A B A π===+. （1）求a 的值；（2）求cos 2C 的值. 【答案】（1）3；（2）79. 【解析】（1）由同角三角函数的关系可得sin A 的值，由诱导公式可得sin B 的值，利用正弦定理可得结果；（2）由2B A π=+，可得cos sin 3B A =-=-，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得sin C 的值，再利用二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】（1）cos A =，sin 3A ∴===2B A π=+，sin sin cos 23B A A π⎛⎫∴=+== ⎪⎝⎭.由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== .（2）2B A π=+，cos sin 3B A ∴=-=-. ()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B ⎛∴=+=+== ⎝⎭227cos212sin 199C C ∴=-=-=. 【点睛】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角公式以及正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”.他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）56；（2）35. 【解析】（1）根据30人中一天走路步数超过5000步的有25人，由古典概型概率公式可得结果；（2）根据分层抽样方法可得，5人中“积极型”有2人， “懈怠型”有3人，利用列举法可得，在这5人中任选2人，共10种不同的等可能结果：抽取的2人来自不同的类型”有6种不同的等可能结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56， ∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为12,A A 5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为123,,B B B . 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B .事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,.,A B A B A B A B A B A B .易得，其概率为63105=. ∴事件M 发生的概率35.【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAD ∠=∠=︒，112BC CD AD ===，PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥； （2）求证：//CM 平面PAB ； （3）求直线CM 与平面PAD 所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π. 【解析】（1）由90PAD ∠=︒，可得PA AD ⊥. 结合,PA CD ⊥利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，进而可得结果；（2）由三角形中位线定理可得//MN AD ，可证明四边形MNBC . 是平行四边形，可得//CM BN ，由线面平行的判定定理可得结果；(3)以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，先证明CD 是平面PAD 的法向量，求出()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，利用空间向量夹角公式可得结果. 【详解】（1）90PAD ∠=︒，PA AD ∴⊥.又,PA CD CD AD D ⊥⋂=，PA ABCD ∴⊥平面.又AB ABCD ⊂平面，PA AB ∴⊥.（2）取PA 中点N ，连接,MN BN .,M N 分别是,PA PD 的中点，//MN AD ∴且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，//MN BC ∴且MN BC =，∴四边形MNBC 是平行四边形，//CM BN ∴，又CM PAB BN PAB ⊄⊂平面，平面，//CM PAB ∴平面.（3）以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则(()()(,0,2,0,1,0,0,P D C M -，()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，,,CD PA CD AD PA AD A ⊥⊥⋂=，CD \^ 平面PAD . ∴CD 是面PAD 的法向量，1cos ,2CD CM CD CM CD CM⋅===⋅, 设直线CM 与平面PAD 所成的角为θ， 则1sin ,26πθθ==， ∴直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及线面角的向量法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅- ,()()()()()()23131333233213nn n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅- ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为3，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）2±. 【解析】（1，短轴长为222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得2413221APMkS AP d k ∆=⋅==+. 【详解】（1）由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+. ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12221AB x k ∴=-==+.21221AP AB k ==+. 224113222121APMkS AP d k k ∆∴=⋅=⨯=++. 3AOMS ∆=，243213k k ∴=+，解得2k =±. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞.【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-； 由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <； 由()'0f x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()xf x x e k <+，得()3xx x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0xg x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2xh x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =. 由()'0h x >，解得0ln2x <<； 由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成第 21 页 共 21 页 立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）含答案解析
第1页（共19页）页）2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（ ） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2}2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．4．在△ABC 中，b=5，∠B=，tanA=2，则a 的值是（的值是（ ）A ．10B ．2C ．D ．5．已知p ：函数f （x ）=﹣m 有零点，q ：|m |≤，则p 是q 的（的（ ）A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（ ） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值﹣1，无最大值D ．有最大值﹣1，无最小值8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，的值为（）若=15，则的值为（A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．10．的展开式中x3的系数是．的系数是11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是 ．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为 ．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为 ． 14．已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为的最大值为 ．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f（x）=cosx•cos（x﹣θ）﹣cosθ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f（x）取得最大值．（1）求θ的值；）在[[0，]上的最大值．（2）设g（x）=2f（x），求函数g（x）在16．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ． （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．理由．19．已知函数f （x ）=，数列，数列{{a n }满足a 1=1，a n+1=f （），n ∈N *，（1）求数列）求数列{{a n }的通项公式；（2）令T n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…﹣a 2n a 2n+1，求T n ；（3）令b n =（n ≥2），b 1=3，S n =b 1+b 2+…+b n ，若S n ＜对一切n ∈N *成立，求最小正整数m ． 20．已知函数．（1）求f （x ）的极值；（2）求证：且n ∈N *．2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（ ） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A 用列举法表示，然后求出C I B ，最后进行并集运算． 【解答】解：因为I={x ||x |＜3，x ∈Z }={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A ∪（C I B ）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}． 故选D ．2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x +2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B （1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B ．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（ ）A．9 B．10 C．11 D．棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（的值是（ ）A．10 B．2 C． D．【考点】正弦定理．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得 a=2，故选B．5．已知p：函数f（x）=﹣m有零点，q：|m|≤，则p是q的（的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】令x=2cos θ，θ∈[0，π]，g （x ）=∈．由于函数f （x ）=﹣m 有零点，可得m ∈．即可得出．【解答】解：令x=2cos θ，θ∈[0，π]，则g （x ）===∈．∵函数f （x ）=﹣m 有零点，∴m ∈．∴p 是q 的充要条件． 故选：A ．6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．双曲线的简单性质．【分析】由，可得△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得，△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ， ∴c 2﹣ac ﹣a 2=0， ∴e 2﹣e ﹣1=0， ∵e ＞1，∴e=．故选：D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（ ） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值﹣1，无最大值，无最大值 D ．有最大值﹣1，无最小值，无最小值 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】可以画出f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，的图象，根据规定分两种情况：在A 、B 两侧，两侧，||f （x ）|≥g （x ）；在A 、B 之间，从图象上可以看出最值； 【解答】解：画出y=|f （x ）|=|2x ﹣1|与y=g （x ）=1﹣x 2的图象， 它们交于A 、B 两点．由“规定”，在A、B两侧，两侧，||f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，之间，||f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若=15，则的值为（的值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，设AB∩DC=O，根据向量加法及数乘的几何意义便可得到，，从而得出，根据条件，，根据条件，两边平方即可两边平方即可求出．而，从而根据便可以得到，从而便可以求得==14．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O， =，；∴；∵，平方得，；∴；又；即=；∴=；∴=======15﹣1=14．故选B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．【考点】复数求模．然后由复数模的公式即可求出||a+bi|的值． 【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．10．的展开式中x3的系数是24 ．的系数是【考点】二项式系数的性质．【分析】求出的通项公式为 T r+1=，令，求出r 的值，即可求得x3的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T r+1==，令，解得 r=2，故 T4=24 x3，故展开式中x3的系数是24，故答案为：24．11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是 63 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值为63．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，n=2，S=7不满足条件S≥33，n=3，S=15不满足条件S≥33，n=4，S=31不满足条件S≥33，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故答案为：63．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵P A切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为 4 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：∴截得的弦长为： 2×=．故答案为：．14．已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1，则的最大值为的最大值为 ．【考点】基本不等式． 【分析】把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．【解答】解：由x ，y 满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1， 画出可行域如图所示． 则A （2，2），B （1，3）．==，令k=，则k 表示可行域内的任意点Q （x ，y ）与点P （﹣1，1）的斜率． 而k P A =，，∴，令f （k ）=k +，则≤0．∴函数f （k ）单调递减，因此当k=时，f （k ）取得最大值，．故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f （x ）=cosx •cos （x ﹣θ）﹣cos θ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f （x ）取得最大值．（1）求θ的值；（2）设g （x ）=2f （x ），求函数g （x ）在）在[[0，]上的最大值．上的最大值． 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=cos （2x ﹣θ），由三角函数的最值可得； （2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣），可得g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣），由0≤x ≤和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得： f （x ）=cosx （cosxcos θ+sinxsin θ）﹣cos θ =cos 2xcos θ+sinxcosxsin θ﹣cos θ =cos θ+sin2xsin θ﹣cos θ=cos2xcos θ+sin2xsin θ=cos （2x ﹣θ） 由[f （x ）]max =f （）=可得cos （﹣θ）=1又∵θ∈（0，π），∴θ=；（2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣）， ∴g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣） ∵0≤x ≤，所以﹣≤3x ﹣≤，∴当3x ﹣=0，即x=时，时，[[g （x ）]max =116．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求： （1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙取胜的乙取胜的概率．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ，A ，B 互斥，由此能求出比赛打满七局的概率．（3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．分布列和数学期望． 【解答】解：（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．在第一种情况下，乙取胜的概率为（）4=，在第二种情况下，乙取胜的概率为•=，所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为+=．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ．则P （A ）==，P （B ）==，又A ，B 互斥，所以比赛打满七局的概率为P （A ）+P （B ）=． （3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7P （X=4）=（）2=，P （X=5）=C （）2（）=，P （X=6）=C （）3（）+（）4=，P （X=7）=C（）4（）+C（）4•（）=，所以X 的分布列为 X 4 5 6 7P故随机变量X 的数学期望EX=4×+5×+6×+7×=．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ． （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明PO⊥底面ABCD，只需证明PO⊥AC，PO⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）设=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．由△P AC是边长为2的等边三角形，，可得．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，．由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为cos =﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若使CM ∥平面BDF ，需且仅需=0且CM ⊄平面BDF ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ．此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M 代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a 2=b 2+c 2可得到a ，b ，c 的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k （x ﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y 得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k 的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出、、，再代入关系式可确定k的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2）•（16k2﹣16k﹣8）＞0．整理得32（6k+3）＞0．解得．又，，且，即，所以．即．所以，解得．所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．19．已知函数f（x）=，数列，数列{{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，的通项公式；）求数列{{a n}的通项公式；（1）求数列（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n= （n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．，进而计算可得结论；【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n ﹣a2n+1），进而计算可得结论；（a2n﹣1（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{{a n}是以为公差的等差数列，∴数列又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2019，∴最小正整数m=2019．20．已知函数．（1）求f（x）的极值；）的极值；（2）求证：且n∈N*．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的定区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据（1）取a=1，得到lnx≤x﹣1，令x=n，得到，从而证出结论． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，解得：x=e1﹣a，当f'（x）＞0时，x＜e1﹣a，f（x）在（0，e1﹣a）是增函数，当f'（x）＜0时，x＞e1﹣a，f（x）在（e1﹣a，+∞）是减函数，=f（e1﹣a）=e a﹣1，无极小值．∴f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值（2）证明：由（1）≤e a﹣1，取a=1，∴lnx≤x﹣1，当x=1时取等号，令x=n，∵n≥2，故∴=故；；…；＜∴．2019年7月30日。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(文科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，集合B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣2}B ．{0}C ．{﹣2，﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}2．（5分）设x ∈R ，则“2x ＜18”是“2x＜1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读下边的程序框图，若输入N 的值为26，则输出N 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A ．5B ．17C ．﹣3D ．95．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b6．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 212=1 B ．x 236−y 232=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=17．（5分）将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y ＝f （x ）的图象，若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[311，35) B ．(53，113] C ．（1，2] D ．(35，53)8．（5分）已知函数f(x)={x 2+4x ，−3≤x ≤02x −3，x ＞0，若方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[−23，3−2√2) B ．[−23，3+2√2)C ．(−∞，−23]D ．[−23，16]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．（5分）设a ∈R ，若a 1+i+1+i 是实数，则a ＝ ．10．（5分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ，f '（x ）是函数f （x ）的导函数，若f '（1）＝﹣2，则a 的值为 ．11．（5分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，已知四棱锥的表面积是12，则它的体积为 ．12．（5分）已知圆C 的圆心在第四象限，直线y ＝﹣2x 过圆心，且点（2，1）在圆C 上，直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则圆C 的方程为 ．13．（5分）已知a ＞2b （a ，b ∈R ），函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞），则a 2+4b 2a−2b的最小值为 ．14．（5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2，∠BAD =π3，若BA →⋅BD →=2，CE →=ED →，点F 为边BC 上的动点，则FE →⋅FA →的取值范围为 ．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，c＝3，求a和sin（2B﹣A）的值．17．（13分）如图，在多面体ABCDE中，△AEB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥AB，CE=2√2，AB＝BC＝2AD＝2，点F为边EB的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面DEC；（Ⅱ）求证：平面DEC⊥平面EBC；（Ⅲ）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值．18．（13分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）a＝6时，直线y＝﹣6x+m与f（x）相切，求m的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求此时函数（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．20．（14分）已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为√32，过点A且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于点D，与y轴交于点E．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P为AD的中点（i）若x轴上存在点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ（O为原点），求出点Q 的坐标；（ii）射线PO（O为原点）与椭圆C交于点M，满足√1+4k2tan∠AMD=6MA→⋅MD→，求正数k的值．2019年天津市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．【解答】解：根据题意，A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， 则∁R A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，又由B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝{﹣2，﹣1，1}； 故选：C ．2．【解答】解：由2x ＜18=2﹣3，得x ＜﹣3，由2x＜1得x ＜0或x ＞2，则“2x ＜18”是“2x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．3．【解答】解：若输入N 的值为26， 则N 是偶数，N ＝13，N ≤2不成立， N ＝13不是偶数，N =13−12=6，N ≤2不成立， N ＝6是偶数，N ＝3，N ≤2不成立 N ＝3不是偶数，N =3−12=1，N ≤2成立， 输出N ＝1， 故选：C ．4．【解答】解：画出约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0表示的平面区域，如图所示；根据图形知，由{5x +3y =15y =x +1，解得A （32，52）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大，z 取得最大值． 将坐标代入求得z 的最大值为3×32+5×52=17． 故选：B ．5．【解答】解：根据题意，函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， a ＝f （2cos2π3）＝f （2cos π3）＝f （1），b ＝f （log 124.1）＝f （log 24.1）c ＝f （20.8），又由函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log 24.1， 则a ＜c ＜b ； 故选：A ．6．【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F 为（2，0）， 可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0）， 抛物线的准线为x ＝﹣2，由△OAB 的面积为6，可得12•2|AB |＝6，即|AB |＝6，可设A （2，3），可得A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 |√(2+2)2+32−3|＝2， 即2a ＝2，可得a ＝1，由b =√c 2−a 2=√4−1=√3， 可得双曲线的方程为x 2−y 23=1． 故选：D ．7．【解答】解：将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝sin （x +π6）的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），可得f （x ）＝sin（ωx +π6）的图象．在区间（0，π2）上，ωx +π6∈（π6，ωπ2+π6），若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点， 则ωπ2+π6∈（π，2π]，ω∈（53，113]，故选：B ．8．【解答】解：设h （x ）＝f （x ）+|x ﹣2|={x 2+3x +2，(−3≤x ≤0)x −1，(0＜x ≤2)3x −5，(x ＞2)，方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象有三个交点，又y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象如图所示， 求得k 1=−23，k 2=3−2√2，即实数k 的取值范围是−23≤k ＜3−2√2， 故选：A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．【解答】解：∵a 1+i+1+i =a(1−i)(1+i)(1−i)+1+i =a+22+2−a 2i 是实数，∴2﹣a ＝0，即a ＝2． 故答案为：2．10．【解答】解：∵函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ， ∴f '（x ）＝2xlnx +x 2−ax， ∴f '（1）＝2ln 1+1−a1=1﹣a ＝﹣2， ∴a ＝3， 故答案为：311．【解答】解：设正四棱锥的斜高为h ′，则2×2+4×12×2ℎ′=12，解得h ′＝2， 则正四棱锥的高PO =2−12=√3． ∴正四棱锥的体积V =13×4×√3=4√33． 故答案为：4√33．12．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线y ＝﹣2x 上，设圆心的坐标为（a ，﹣2a ），（a ＞0）；又由直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且点（2，1）在圆C 上且在直线x ﹣2y ＝0上，则点A 或点B 的坐标为（2，1），又由直线y ＝﹣2x 与直线x ﹣2y ＝0垂直，则A 、B 关于原点对称，则A 、B 的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1），又由△ABC 为等腰直角三角形，则|CO |＝|AO |=√5，即a 2+（﹣2a ）2＝5， 解可得：a ＝1，即圆心C 的坐标为（1，﹣2），半径r ＝|AC |=√10， 则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝10， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝10．13．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞）， 则有a ＞0且1＝4a ×（2b ）＝8ab ，即8ab ＝1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=（a ﹣2b ）+12(a−2b)，又由a ﹣2b ＞0，则（a ﹣2b ）+12(a−2b)≥2√(a −2b)×12(a−2b)=√2，即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为：√2．14．【解答】解∵CE →=ED →，∴E 为CD 的中点， 过D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，则BA →⋅BD →=AB •BD •cos ∠ABD ＝2BD cos ∠ABD ＝2， ∴BD cos ∠ABD ＝1，即BM ＝1， ∴M 为AB 的中点．又BM ∥CD ，BM ＝CD ＝1，DM ⊥AB ， ∴四边形MBCD 是矩形．∵∠BAD =π3，AM =12AB ＝1，∴DM =√3，以D 为原点，以DC ，DM 为坐标轴建立平面直角坐标系， 则E （12，0），A （﹣1，√3），设F （1，m ），则0≤m ≤√3，∴FE →=（−12，﹣m ），FA →=（﹣2，√3−m ），∴FE →⋅FA →=m 2−√3m +1＝（m −√32）2+14， ∴当m =√32时，FE →⋅FA →取得最小值14，当m ＝0或m =√3时，FE →⋅FA →取得最大值1． 故答案为：[14，1]．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】解：（ I ）设高一参加会议的同学x 名，由已知得：728+21=x35，解得x ＝5∴高一参加会议的同学5名，（II ）（ i ）由已知，高二抽取28×17=4人，高三抽取21×17=3人， 设高二的4人分别表示为A ，B ，C ，D ，高三的3人分别表示为E ，F ，G则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }{E ，F }，{E ，G }{F ，G }共21种． （ ii ）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }共9种 所以事件M 发生的概率为P(M)=37， 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得：b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2， 由余弦定理，得：b 2+c 2−a 22bc=√33sinA ，………………（1分） cosA =√33sinA ，………………（2分） 即tanA =√3， 又A ∈（0，π），所以A =π3．………………（4分） （Ⅱ）a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ， ∴a 2=4+9−2×2×3×12=7， ∴a =√7，………………（6分） 又a sinA =b sinB ，∴√7√32=2sinB，∴sinB =√217，………………（7分） ∵b ＜a ， ∴B ∈(0，π3)，∴cosB =√1−sin 2B =2√7，………………（9分）∴sin2B =2sinBcosB =47√3，cos2B =17，………………（11分） ∴sin （2B ﹣A ）＝sin2B cos A ﹣cos2B sin A =47√3×12−17×√32=3√314．…………（13分）17．【解答】（本小题满分13分）（I ）证明：取EC 中点M ，连结FM ，∵AD ∥BC ∥FM ，AD =12BC =MF ∴AF ∥DM ；………………（2分）∵AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ，∴AF ∥平面DEC ．………………（4分）（II ）证明：∵EB 2+CB 2＝EC 2∴CB ⊥BE ………………（5分）又∵CB ⊥AB ，AB ∩BE ＝B ，∴CB ⊥平面ABE ，∵AF ⊂平面ABE ，∴AF ⊥CB ………………（6分）又∵ABE 为等边三角形，F 为边EB 的中点，∴AF ⊥BE ，∵CB ∩BE ＝B ，∴AF ⊥平面EBC ，由（ I ）可知，AF ∥DM ，∴AF ∥平面DEC ………………（7分）∵AF ⊂平面DEC ，∴平面DEC ⊥平面EBC ………………（8分）（ III ）解：取BC 的中点H ，∴直线AB 与平面DEC 所成角即为直线DH 与平面DEC 所成角，过N 作NH ⊥EC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面DEC ∩平面EBC ＝EC ，NH ⊂平面EBC ，NH ⊥EC ，∴NH ⊥平面DEC ．DN 为DH 在平面CDE 的射影，∴∠HDN 为直线DN 与平面DEC 所成角…………（11分）在Rt △DNH 中，HN =√22，DN =2，∴sin ∠HDN =HN DN =√24，∴直线AB 与平面DEC 所成角的正弦值为√24⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．则：6S3＝4S2+2S5，整理得：4（S3﹣S2＝2（S5﹣S3），即：2a3＝a4+a5，整理得：2＝q+q2，解得：q＝1或﹣2，①当q＝1时，a n＝a1＝2．②当q＝﹣2时，a n=2⋅(−2)n−1．（Ⅱ）由于数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，故：a n2⋅b n=2n−1，整理得：b n=2n−1 a n2，①当a n＝2时，b n=2n−14，故：T n =14+34+⋯+2n−14=n 24②当a n =2⋅(−2)n−1时，b n =(2n −1)⋅(14)n ，所以：T n =1⋅14+3⋅(14)2+⋯+(2n −1)⋅(14)n ，①，则：14T n =(14)2+3⋅(14)3+⋯+(2n −1)⋅(14)n+1②， ①﹣②得：34T n =14+2⋅116(1−(14)n−1)1−14−(2n −1)⋅14，解得：T n =59−6n+59⋅4n． 19．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）＝6x 2﹣12x ，………………（1分）则6x 2﹣12x ＝﹣6，所以，x ＝1，当x ＝1，y ＝﹣3，所以﹣3＝﹣6×1+m ，解得m ＝3．………………（3分）（Ⅱ）∵f （x ）＝2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ，x ∈（0，+∞））∴由f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ＝2x （3x ﹣a ）＝0，得到x 1＝0，x 2=a 3，………………（4分） 当a ≤0时，f ′（x ）＝2x （3x ﹣a ）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，即函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又因为函数f （x ）的图象过点（0，1），即f （0）＝1＞0，………………（5分） 所以函数f （x ）在（0，+∞）内没有零点，不合题意，………………（6分） 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得x ＞a 3，即函数f （x ）在区间（a 3，+∞）上单调递增， 由f ′（x ）＜0得0＜x ＜a 3，即函数f （x ）在区间在（0，a 3）上单调递减，………………（7分）且过点（0，1），要使函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则须f （a 3）＝0， 即2a 327−a 39+1＝0，解得a ＝3，………………（8分）综上可得函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点时a ＝3，此时函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）………………（9分）（Ⅲ）当a ＞0时，函数f （x ）在（﹣∞，0），（a 3，+∞）上单调递增，在（0，a 3）上单调递减，此时函数f （x ）有两个极值点，极大值为f （0）＝1，极小值为f （a 3）＝1−a 327， 且f （﹣1）＝﹣a ﹣1，f （1）＝3﹣a ．……………（9分）①当a 3≥1即a ≥3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f （x ）max ＝f （0）＝1，又f （﹣1）＝﹣1﹣a ，f （1）＝3﹣a ，即f （﹣1）＜f （1），f （x ）min ＝﹣1﹣a所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（11分）②当a 3＜1即0＜a ＜3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在(0，a 3)上单调递减，在(a 3，1)上单调递增f （﹣1）＝﹣1﹣a ＜0，即f(a 3)=1−a 327＞0，所以f （x ）min ＝﹣1﹣a ．………（12分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2≥0，即2≤a ＜3时，f （x ）max ＝f （0）＝1，所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（13分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2＜0，即0＜a ＜2时，f （x ）max ＝f （1）＝3﹣a ，所以（3﹣a ）+（﹣1﹣a ）＝1，解得a =12．综上，a =12．……………（14分）20．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a ＝2，又∵e =c a =√32， ∴c =√3∴b 2＝a 2﹣c 2＝1∴椭圆方程为：x 24+y 2=1（Ⅱ）：（ i ）假设x 轴上存在着点Q （m ，0）使得OP ⊥EQ ，设AD 所在的直线方程为：y ＝k （x +2），点D （x 1，y 1）由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)， 消y 得（4k 2+1）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0，△＝16＞0，∴−2+x 1=−16k 24k 2+1，∴x p =−2+x 12=−8k 21+4k 2，∴P(−8k 21+4k 2，2k1+4k 2)，∵E （0，2k ），∴k EQ =2k −m ，k op =−14k ， ∵OP ⊥EQ ，∴k EQ •k op ＝﹣1， 解得m =−12，∴x 轴上存在着点 Q(−12，0)使得 OP ⊥EQ 成立． （ ii ）设PO 所在直线方程为y =−14k x ， 则{y =−14k x x 2+4y 2=4⇒x 2=16k 24k 2+1， ∴M(√1+4k √1+4k )，M 到直线l 的距离：d =√2√k +1，∴|AD|=4√1+k24k 2+1，∵√1+4k 2tan∠AMD =6MA →⋅MD →， ∴√1+4k 2sin∠AMD cos∠AMD =6|MA||MB|cos∠AMD ∴12√1+4k 2sin∠AMD|MA||MB|=3， ∴S △AMD =3√1+4k ，∴S △AMD =12√2√k +1⋅4√1+k 24k 2+1=3√1+4k 解得√1+4k 2=4k ， ∵k ＞0，∴k =√36。
【天津卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)真题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
【精品高考数学试卷】2019年天津市河西区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S＝{x|x＞﹣2}，T＝{x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．（5分）若变量x，y满足约束条件{y≤2xx+y≤1y≥−1，则x+2y的最大值是（）A．−52B．0C．53D．523．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．95B．116C．137D．1584．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“x﹣1＜12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a＝log3e，b＝e1.5，c＝log1314，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）以下关于函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（）A．函数f（x）在区间(0，23π)上单调递增B ．直线x =π8是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴 C ．点(π4，0)是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心D ．将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin2x 的图象7．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （1，m ）（m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（ ） A ．19B ．125C ．15D ．138．（5分）如图梯形ABCD ，AB ∥CD 且AB ＝5，AD ＝2DC ＝4，E 在线段BC 上，AC →⋅BD →=0，则AE →⋅DE →的最小值为（ ）A ．1513B ．9513C ．15D ．−1513二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i 是虚数单位，若复数z 满足（3﹣4i ）z ＝5，则z ＝ ． 10．（5分）二项式（√x −1√x3）5的展开式中常数项为 （用数字作答）11．（5分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．12．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为（2，2π3），则CP 的长度为 ．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且2x +8y ﹣xy ＝0，则xy 的最小值为 ．14．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）={x 2+2，0≤x ＜12−x 2，−1≤x ＜0，且f （x +2）＝f（x），g（x）=2x+5x+2，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，A，B，C对应的边为a，b，c，已知a cos C+12c＝b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b＝4，c＝6，求cos B和cos（A+2B）的值．16．（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响，我国PM2.5标准如表所示，我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．PM2.5日均值（微克/立方米）范围空气质量级别（1，35]Ⅰ（35，75]Ⅱ大于75超标（1）求这15天数据的平均值；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（13分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝4，DC＝BC ＝2，G为线段AD的中点，PG⊥平面ABCD，PG＝2，M为线段AP上一点（M不与端点重合）．（1）若AM＝MP．①求证：PC∥平面BMG；②求直线PB 与平面BMG 所成的角的大小；（2）是否存在实数λ满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3，若存在，确定λ的值，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n +b n +1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．（1）若点C 的坐标为（43，13），且BF 2=√2，求椭圆的方程；（2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝e x +x 2﹣x ，g （x ）＝x 2+ax +b ，a ，b ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调区间；（2）若曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线l 与曲线y ＝g （x ）切于点（1，c ），求a ，b ，c 的值；（3）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．2019年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合S ＝{x |x ＞﹣2}， ∴∁R S ＝{x |x ≤﹣2}，T ＝{x |x 2+3x ﹣4≤0}＝{x |﹣4≤x ≤1}， 故（∁R S ）∪T ＝{x |x ≤1} 故选：C ．2．【解答】解：作出不等式组{y ≤2x x +y ≤1y ≥−1表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （−12，﹣1），B （13，23），C （2，﹣1）设z ＝F （x ，y ）＝x +2y ，将直线l ：z ＝x +2y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝F （13，23）=53故选：C ．3．【解答】解：当k ＝4时，k ＞4不成立， 当k ＝5时，k ＞4成立，即程序功能是计算S ＝1+11×2+12×3+13×4+14×5 ＝1+1−12+12−13+⋯+13−14+14−15 ＝2−15=95， 故选：A ．4．【解答】解：由|x +1|＜1得﹣1＜x +1＜1，得﹣2＜x ＜0， 由x ﹣1＜12得1x＜12，得x ＜0或x ＞2，则“|x +1|＜1”是“x ﹣1＜12”的充分不必要条件，故选：A ．5．【解答】解：0＝log 31＜log 3e ＜log 33＝1，e 1.5＞e ＞2，1=log 1313＜log 1314＜log 1319=2；∴a ＜c ＜b 故选：D ．6．【解答】解：函数f （x ）＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4），在区间(0，23π)上，2x −π4∈（−π4，13π12），故函数在区间(0，23π)上不单调，故排除A ；令x =π8，求得f （x ）＝0，不是函数的最值，故直线x =π8不是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴，故排除B ；令x =π4，求得f （x ）＝1≠0，故点(π4，0)不是函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心，故排除C ；将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π8个单位，可得到 y =√2sin[2（x +π8）−π4═√2sin2x 的图象， 故D 正确． 故选：D ．7．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x =−p2， 由抛物线的定义可得5＝1+p2，可得p ＝8， 即有y 2＝16x ，M （1，4）， 双曲线x 2a−y 2＝1的左顶点为A （−√a ，0），渐近线方程为y ＝±√ax ， 直线AM 的斜率为1+√a，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行， 可得√a=1+√a，解得a =19，故选：A ．8．【解答】解：在梯形ABCD ，AB ∥CD ，则向量AD →与AB →的夹角和向量AD →与DC →的夹角相等，不妨设为θ．由AC →⋅BD →=0可知，(AD →+DC →)⋅(AD →−AB →)=0，整理得16﹣20cos θ+8cos θ﹣10＝0，解之得cosθ=12，∴θ＝60°，即∠DAB ＝60°，过点D 向AB 作垂线垂足为O ，建立如图所示直角坐标系，则A （﹣2，0），B （3，0），D （0，2√3），C （2，2√3），则BE →=λBC →=(−λ，2√3λ)，∴E(3−λ，2√3λ)．所以AE →=(5−λ，2√3λ)，DE →=(3−λ，2√3(λ−1)）． AE →⋅DE →=(5−λ)(3−λ)+12λ(λ−1)=13λ2﹣20λ+15， 又知0≤λ≤1，当λ=1013时，取得最小值9513．故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．【解答】解：由（3﹣4i ）z ＝5，得z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i ． 故答案为：35+45i ．10．【解答】解：二项式（√x −1√x3）5的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r•（﹣1）r •x 15−5r 6，令15−5r 6=0，求得r ＝3，可得展开式中常数项为−C 53=−10，故答案为：﹣10．11．【解答】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO =3×332=3√22， 所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V =13×2×3√2×3√22=6． 故答案为：6．12．【解答】解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，得x 2+y 2＝4x ，即（x ﹣2）2+y 2＝4，其圆心（2，0），点P 的极坐标为（2，2π3），其直角坐标为（﹣1，√3），|CP |=√(−1−2)2+(0−√3)2=2√3 故答案为：2√3．13．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，2x +8y ﹣xy ＝0， ∴xy ＝2x +8y ≥2√16xy =8√xy ，∴√xy ≥8，∴xy ≥64．当且仅当x ＝4y ＝16时取等号． 故xy 的最小值为64． 故答案为：6414．【解答】解：由题意知g(x)=2x+5x+2=2(x+2)+1x+2=2+1x+2，函数f （x ）的周期为2，则函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f （x ），g （x ）在区间[﹣5，1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为﹣3，若设C 的横坐标为t （0＜t ＜1），则点A 的横坐标为﹣4﹣t ，所以方程f （x ）＝g （x ）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t ）+t ＝﹣7． 故答案为：﹣7．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵a cos C+12c＝b．∴由正弦定理可得：sin A cos C+12sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C），可得：sin A cos C+12sin C＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin C≠0，∴可得：cos A=1 2，∵A∈（0，π），∴A=π3⋯6分（Ⅱ）∵b＝4，c＝6，A=π3，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+36﹣2×4×6×12=28，可得：a＝2√7，∴由b sin A＝a sin B，可得：sin B=√3 7，∵b＜a，∴cos B=√1−sin2B=7，∴sin2B＝2sin B cos B=4√37，cos2B＝2cos2B﹣1=17，∴cos（A+2B）＝cos A cos2B﹣sin A sin2B=−1114⋯13分16．【解答】解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：x=115(25+28+31+⋯+92)=55（3分）（2）依据条件，ξ的可能值为0，1，2，3，当ξ＝0时，P(ξ=0)=C50C103C153=2491，（4分）当ξ＝1时，P(ξ=1)=C51C102C153=4591（5分）当ξ＝2时，P(ξ=2)=C52C101C153=2091，（6分）当ξ＝3时，P(ξ=0)=C53C100C153=291（7分）所以其分布列为：ξ0123P249145912091291（8分）数学期望为：Eξ=4591+2×2091+3×291=1（10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P=515=13，（11分）一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B(360，13 )，∴Eη=360×13=120（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．（13分）17．【解答】（1）①证明：∵AM＝MP，即M为AP的中点，G是AD的中点，∴MG∥PD，又MG⊂平面BMG，PD⊄平面BMG，∴PD∥平面BMG．∵AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2，DG=12AD＝2，∴四边形BCDG是正方形，∴CD∥BG，又BG⊂平面BMG，CD⊄平面BMG，∴CD∥平面BMG．又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴平面PCD∥平面BMG，又PC⊂平面PCD，∴PC∥平面BMG．②解：∵PG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG，由①知BG⊥AD，PG∩AD＝G，∴BG⊥平面P AD，又P A⊂平面P AD，∴BG⊥P A，∵PG＝AG，M是P A的中点，∴MG⊥P A，又BG∩MG＝G，∴P A⊥平面BMG，∴∠PBM为PB与平面BMG所成的角．∵PG ＝AG ＝BG ＝2，PG ⊥AG ，PG ⊥BG ，∴AP ＝BP ＝2√2，故PM =12AP =√2，∴sin ∠PBM =PM PB =12， ∴直线PB 与平面BMG 所成的角为30°．（2）解：以G 为原点，以GB ，GD ，GP 为坐标轴建立空间直接坐标系如图所示， 则A （0，﹣2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴DB →=（2，﹣2，0），BA →=（﹣2，﹣2，0），AP →=（0，2，2），∴BM →=BA →+AM →=BA →+λAP →=（﹣2，2λ﹣2，2λ），设平面BDM 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=0n →⋅BM →=0，即{2x −2y =0−2x +(2λ−2)y +2λz =0， 令x ＝λ可得n →=（λ，λ，2﹣λ），又BG ⊥平面ADP ，故m →=（1，0，0）为平面ADP 的一个法向量，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=λ√3λ−4λ+4，令√3λ2−4λ+4=12，解得λ＝2√2−2或λ＝﹣2√2−2（舍）． ∴存在实数λ＝2√2−2满足AM →=λAP →，使得平面BMD 与平面ADP 所成的锐角为π3．18．【解答】解：（1）由题意当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝3n 2+8n ﹣3（n ﹣1）2﹣8（n ﹣1）＝6n +5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；所以a n ＝6n +5，n ∈N *；（2）设数列{b n }的公差为d ，由{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3， 即{11=2b 1+d 17=2b 1+3d， 解之得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n +1，n ∈N *；（3）由（1）知c n =(a n +1)n+1(b n +2)n =(6n+6)n+1(3n+3)n =3（n +1）•2n +1， 又T n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，即T n =3[2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)2n+1]，所以2T n =3[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)2n+2]，以上两式两边相减得﹣T n ＝3[8+23+24+…+2n +1﹣（n +1）•2n +2]＝3[8+8(1−2n−1)1−2−（n +1）•2n +2]，化简可得T n ＝3n •2n +2．19．【解答】解：（1）∵C 的坐标为（43，13）， ∴169a 2+19b 2=1，即16a 2+1b 2=9，∵BF 22=b 2+c 2=a 2，∴a 2＝（√2）2＝2，即b 2＝1，则椭圆的方程为x 22+y 2＝1．（2）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∵B （0，b ），∴直线BF 2：y =−b c x +b ，代入椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）得（1a +1c ）x 2−2c x =0， 解得x ＝0，或x =2a 2c a 2+c 2， ∵A （2a 2c a +c ，−b(c 2−a 2)a 2+c 2），且A ，C 关于x 轴对称， ∴C （2a 2c a 2+c 2，b(c 2−a 2)a 2+c 2），则k F 1C =−b(c 2−a 2)a 2+c 22a 2c a 2+c 2+c =a 2b−bc 23a 2c+c 3， ∵F 1C ⊥AB ，∴b(a 2−c 2)3a 2c+c 3⋅×（−b c ）＝﹣1， 由b 2＝a 2﹣c 2得c 2a =15， 即e =√55．20．【解答】解：（Ⅰ）F （x ）＝e x ﹣2x ﹣b ，则F '（x ）＝e x ﹣2．令F '（x ）＝e x ﹣2＞0，得x ＞ln 2，所以F （x ）在（ln 2，+∞）上单调递增．令F '（x ）＝e x ﹣2＜0，得x ＜ln 2，所以F （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减．…（4分） （Ⅱ）因为f '（x ）＝e x +2x ﹣1，所以f '（0）＝0，所以l 的方程为y ＝1．依题意，−a 2=1，c ＝1．于是l 与抛物线g （x ）＝x 2﹣2x +b 切于点（1，1），由12﹣2+b ＝1得b ＝2．所以a ＝﹣2，b ＝2，c ＝1．…（8分）（Ⅲ）设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ，则h （x ）≥0恒成立． 易得h '（x ）＝e x ﹣（a +1）．（1）当a +1≤0时，因为h '（x ）＞0，所以此时h （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．①若a +1＝0，则当b ≤0时满足条件，此时a +b ≤﹣1；②若a +1＜0，取x 0＜0且x 0＜1−b a+1，此时ℎ(x 0)=e x 0−(a +1)x 0−b ＜1−(a +1)1−b a+1−b =0，所以h （x ）≥0不恒成立． 不满足条件；（2）当a +1＞0时，令h '（x ）＝0，得x ＝ln （a +1）．由h '（x ）＞0，得x ＞ln （a +1）；由h '（x ）＜0，得x ＜ln （a +1）．所以h （x ）在（﹣∞，ln （a +1））上单调递减，在（ln （a +1），+∞）上单调递增． 要使得“h （x ）＝e x ﹣（a +1）x ﹣b ≥0恒成立”，必须有：“当x ＝ln （a +1）时，h （x ）min ＝（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣b ≥0”成立． 所以b ≤（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）．则a +b ≤2（a +1）﹣（a +1）ln （a +1）﹣1． 令G （x ）＝2x ﹣xlnx ﹣1，x ＞0，则G '（x ）＝1﹣lnx ．令G '（x ）＝0，得x ＝e ．由G '（x ）＞0，得0＜x ＜e ；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x＝e时，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的最大值为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1．…（14分）。
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6．为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 5 6
7．已知全集U {1,3,5,7}，集合 A {1,3} ， B {3,5}，则如图所示阴影区域表示的集合
（）
A． (2 ，2)
B． (， 2) (2， )
C． (2，2]
D． ( ，2]
10．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x 对称的函数是（ ） 3
A．
y
2
sin
2
x
3
B．
y
2
sin
2
x
6
C．
y
2
sin
x 2
3
D．
y
2
sin
2
x
3
11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系为 ( )
22．已知函数 f x m x 2 ， m R ，且 f x 2 0的解集为1,1
（1）求 m 的值； （2）若 a,b,cR ，且 1 1 1 m ，求证 a 2b 3c 9
a 2b 3c
23．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a3 4 ， a4 S3 ，数列{bn}满足：对每 n N, Sn bn , Sn1 bn , Sn2 bn 成等比数列.
y 0
18．函数 f x sin2x
3cosx
3 4
（
x
0,
2
）的最大值是__________．
19．已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6 ，上、下底面的半径分别为
2 ， 4 ，则球 O 的表面积为__________．
20．在平行四边形 ABCD 中， A ，边 AB，AD 的长分别为 2 和 1，若 M，N 分别是 3
（1）求数列{an},{bn} 的通项公式；
（2）记 Cn
an , n N, 2bn
证明： C1 C2 +
Cn 2 n, nN.
x 2t
24．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
1
at
（
t
为参数，
a
R
），以
坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线 C 的极坐标方程是
2019 年天津市高考数学一模试题附答案
一、选择题
1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化
学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是
A．24
B．16
C．8
D．12
2．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3
4
5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 ( )
A． y 2x 2
B． y ( 1 )x 2
C． y log2 x
D． y 1 x2 1 2
4． 1
1 x2
1
x6 展开式中
x2
的系数为（
）
A．15
2
2
sin
4
.
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）己知直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，且 AB 7 ，求实数 a 的值.
25．已知函数 f (x) m x 1 x 1 .
（1）当 m 5 时，求不等式 f (x) 2 的解集； （2）若二次函数 y x2 2x 3 与函数 y f (x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
，则此山的高度______ Nhomakorabea_ m.
14．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
15．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
数字是________．
16．在区间[1,1]上随机取一个数 x， cos x 的值介于[0, 1 ]的概率为 ．
2
2
2x y 4 17．已知实数 x ， y 满足 x 2 y 4 ，则 z 3x 2y 的最小值是__________．
B．20
C．30
D．35
5．已知函数 f x Asinx A 0, 0 的图象与直线 y a0 a A 的三个
相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 f x 的单调递减区间是（ ）
A．6k,6k 3， k Z
B．6k 3,6k ， k Z
C．6k,6k 3， k Z
D．6k 3,6k， k Z
为（ ）
A．{3}
B．{7}
C．{3, 7}
D． {1, 3, 5}
8．设集合U {1,2,3,4,5,6}， A {1, 2, 4} ， B {2,3,4}，则 CU A B 等于（ ）
A． {5, 6}
B．{3,5, 6}
C．{1, 3, 5, 6}
D．{1, 2,3, 4}
9．若不等式 ax2 2ax 4 2x2 4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是
BM CN
边 BC，CD 上的点,且满足
，则 AM AN 的取值范围是_________．
BC CD
三、解答题
21． 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概 率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲 先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
围.
26．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD ， PAD 是等边
A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直
12．在同一直角坐标系中，函数
y
1 ax
,
y
loga
x
1 2
(a
0
且
a
1)
的图象可能是
（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在
西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为