2020年天津市河北区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6}，则集合∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{5}B ．{1，5}C ．{2，4}D ．{1，2，3，4，6}2．已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√34．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ） A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cos ωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二.填空题10．已知复数z =1−i1+i（i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．在（2x √x）5的展开式中，x 2的系数为 ． 12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X ，则P （X ＝2）＝ ．数学期望E （X ）＝ ．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O，则OA→•OB→=．15．某同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√1010？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈R ）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值； （Ⅲ）求证：当x ＞0时，e x ﹣xlnx +2x 3﹣x 2+x ﹣1＞0．参考答案一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4，6}【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，所以A∪B＝{1，2，3，4，6}；又集合U＝{1，2，3，4，5，6}，所以集合∁U（A∪B）＝{5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解a2＞4，得出a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．解：∵a2＞4，∴a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可． 3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√3【分析】利用弦长公式表示出|MN |，求出a 的值即可． 解：易得直线斜率存在且不为0， 则圆心到直线l 的距离d =√a +3，则弦长|MN |＝2√r 2−d 2=2√4−4a 2+3=2√3，解得a ＝±1，则斜率k ＝±√3=±√33， 故选：B ．【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．4．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a ，然后求出b ．可得双曲线C 的方程与渐近线方程．解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0） 根据定义有2a ＝|√(2−2)2+(3−0)2−√(2+2)2+(3−0)2|． ∴a ＝1由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3． ∴所求双曲线C 的渐近线方程为：y ＝±√3x ．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力． 5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f （0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除选项A ，B ，D ，由此得出正确选项C ．解：由函数图象可知，f （x ）为偶函数，故可排除选项A ； f （0）＞0，故可排除选项B ；又当x ＞0时，函数图象与x 轴有两个交点，而方程e x ＝x 无解，故可排除D ． 故选：C ．【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，则有c ＜a ＜b ， 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ）A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π【分析】由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥F ﹣DCE 的外接球半径，从而得到三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积．解：由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，则正四面体所在的正方体的棱长为√22， 所以外接球的半径为12×√3×√22=√64，所以外接球体积为：43×π×(√64)3=√6π8，故选：D ．【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cosωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sin ωx 2−2√3cosωx 2）+√3=sin ωx −√3cos ωx ＝2sin（ωx −π3），（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）＝2sin ωx 的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω•π4≤π2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x ＝1是函数g （x ）的一个零点，等价于当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可． 解：由g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ＝0得f （x ）＝a （x ﹣1）， ∵f （1）＝1﹣3+2＝0，∴g （1）＝f （1）﹣a +a ＝0，即x ＝1是g （x ）的一个零点， 若g （x ）恰有1个零点，则当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，即a =f(x)x−1，没有根，当x＜1时，设h（x）=f(x)x−1=x2−3x+2x−1=(x−1)(x−2)x−1=x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x）=f(x)x−1=lnxx−1，h′（x）=1x⋅(x−1)−lnx(x−1)2＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a=f(x)x−1，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.填空题10．已知复数z=1−i1+i（i为虚数单位），则|z|＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，∴|z|＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11．在（2x 1√x）5的展开式中，x2的系数为80．【分析】利用通项公式即可得出．解：（2x 1√x）5的展开式中，通项公式T r+1=∁5r（2x）5﹣r1√x)r=（﹣1）r25﹣r∁5r x5−32r，令5−32r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23∁52=80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝15．数学期望E（X）＝1．【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．解：所选3人中女生人数为X，X＝2，就是所选3人中女生人数为2，则P（X＝2）=C41C22C63=15；随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X＝0）=C43C20C63=15，P（X＝1）=C42C21C63=35；P（X＝2）=C41C22C63=15；所有随机变量ξ的分布列为：X 012P15 3515所以ξ的期望E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1． 故答案为：15；1．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为√23 ． 【分析】由a ，b 为正实数，且a +b ＝2，变形可得a 2+2a+b 2b+1=2a+a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a+1＝f （a ），0＜a ＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 解：∵a ，b 为正实数，且a +b ＝2，∴a 2+2a+b 2b+1=a +2a +b 2−1+1b+1=2a +a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a +1＝f （a ），0＜a ＜2． f ′（a ）=−2a 2+1(a−3)2=−(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a 2−3a)2， 令f ′（a ）＞0，解得6−3√2＜a ＜2，此时函数f （a ）单调递增；令f ′（a ）＜0，解得0＜a ＜6−3√2，此时函数f （a ）单调递减．∴当且仅当a ＝6﹣3√2时函数f （a ）取得极小值即最小值， f(6−3√2)=6+2√23． 故答案为：6+2√23． 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ，则OA →•OB →=34．【分析】作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；根据已知条件得到OB →=−34BE →以及OA →=−12AD →；再代入数量积即可求解结论．解：△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ， 作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；∵GE DC=AE AC =13=OE OB；∴OB →=−34BE →；∵DF ∥BE ，D 为中点，故DC BD=EF FC=1；又因为AE →=12EC →，∴AO OD=AE EF =1；∴OA →=−12AD →；∴OA →•OB →=−12AD →•（−34BE →）=38AD →•BE →=38×12（AB →+AC →）•（BA →+AE →） =316（AB →+AC →）•（−AB →+13AC →）=316（−AB →2−23AB →•AC →+13AC →2）=316（﹣22−23×2×2×12+13×22）=34． 故答案为：34．【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．15．某同学在研究函数f （x ）=x1+|x|（x ∈R ）时，分别给出下面几个结论： ①f （﹣x ）+f （x ）＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ④函数g （x ）＝f （x ）﹣x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ①②③ ．【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确． 解：①f(−x)=−x1+|x|=−f(x)∴正确 ②当x ＞0时，f （x ）=11+1x∈（0，1） 由①知当x ＜0时，f （x ）∈（﹣1，0） x ＝0时，f （x ）＝0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）=11+1x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cos B与B的值；（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值．解：（Ⅰ）△ABC中，2c=√3a+2b cos A，由正弦定理得2sin C=√3sin A+2sin B cos A；又C＝π﹣（A+B），所以2（sin A cos B+cos A sin B）=√3sin A+2sin B cos A，所以2sin A cos B=√3sin A；又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以cos B=√32；又B∈（0，π），所以B=π6；（Ⅱ）若cos A=14，A∈（0，π），所以sin A=√1−cos2A=√154，所以sin2A＝2sin A cos A＝2×√154×14=√158，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×116−1=−78，所以sin（2A+B）＝sin2A cos B+cos2A sin B =√158×√32−78×12=3√5−716；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，由bsinB =asinA，得a sin B＝b sin A=√3，所以a=√3sinB=√312=2√3；所以b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝49+12﹣2×7×2√3×√32=19，解得b=√19．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．10【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB ∥面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量m→=（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量10n→=（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，又∵E为PD的中点，∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，∴PB∥面AEC．（Ⅱ）证明：∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，且PA ＝AB ＝3，AC ＝2，E 是棱PD 的中点． ∴以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P （0，0，3），C （2，0，0），A （0，0，0），D （2，﹣3，0），E （1，−32，32），AE →=（1，−32，32），AC →=（2，0，0），PC →=（2，0，﹣3）， 设平面AEC 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{AE →⋅m →=x −32y +32z =0AC →⋅m →=2x =0，取y ＝1，得m →=（0，1，1），设直线PC 与平面AEC 所成角为θ， 则直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为：sin θ=|PC →⋅m →||PC →|⋅|m →|=13⋅2=3√2626．（Ⅲ）假设在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010， 设M （a ，b ，c ），PM →=λPB →，B （0，3，0），则（a ，b ，c ﹣3）＝λ（0，3，﹣3）， 解得a ＝0，b ＝3λ，c ＝3﹣3λ，M （0，3λ，3﹣3λ），AC →=（2，0，0），AM →=（0，3λ，3﹣3λ）， 设平面ACM 的法向量n →=（p ，q ，t ），则{n →⋅AC →=2p =0n →⋅AM →=3λq +(3−3λ)t =0，取q ＝1，得n →=（0，1，λλ−1），∵二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010．∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1010，解得λ=13或λ=23．∴在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010，且PM →=13PB →或PM →=23PB →．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（I ）由a 2+1是a 1，a 3的等差中项，可得2（a 2+1）＝a 1+a 3，又a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14，联立解得，即可得出． （II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．利用错位相减法即可得出． 解：（I ）∵a 2+1是a 1，a 3的等差中项，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3，∴a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14， 化为2q 2﹣5q +2＝0，q ＞1，解得q ＝2，∴a 1＝2． ∴a n ＝2n ．（II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2+2•22+3•23+……+n •2n ． 2T n ＝2×2+2•23+……+（n ﹣1）•2n +n •2n +1． ∴﹣T n ＝2+22+23+ (2)﹣n •2n +1=2(2n−1)2−1−n •2n +1． 解得：T n ＝（n ﹣1）•2n +1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b 的值，再结合离心率，求出a 的值，从而可得出椭圆的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段AB 的中点Q 的坐标，并写出线段AB 中垂线l ′的方程，然后求出直线l '与y 轴的交点坐标，列关于k 的方程，求出k 的值，即可得出直线l 的方程．解：（1）由题意得e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14，即a 2=43b 2，由x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b 2相切得b =√6√2=√3，∴a ＝2．因此，椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）由题意知，直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），k ≠0，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），设线段AB 的中点为Q （x 0，y 0），联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，消去y 并整理得（4k 2+3）x 2﹣32k 2x +64k 2﹣12＝0．由韦达定理得x 1+x 2=32k24k 2+3，又△＝（﹣32k 2）2﹣4（4k 2+3）（64k 2﹣12）＞0，解得−12＜k ＜12，且k ≠0．x 0=x 1+x 22=16k 24k 2+3，y 0=k(x 0−4)=−12k 4k 2+3，得Q(16k 24k 2+3，−12k 4k 2+3)． 由直线l ′的方程y −y 0=−1k (x −x 0)，即y +12k 4k 2+3=−1k (x −16k24k 2+3)，化简得y =−1kx +4k 4k 2+3．令x ＝0得4k4k +3=413，解得k =14或k ＝3．由于−12＜k ＜12，且k ≠0，所以，k =14．因此，直线l 的方程为y =14(x −4)，即x ﹣4y ﹣4＝0．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题． 20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈一、选择题）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），得若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（−1a）−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．得到a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），结合a∈Z，可知a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，f′（x）=1x+2ax+a+2=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），①若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，由f′（x）＞0，得0＜x＜−1a；由f′（x）＜0，得x＞−1a．∴函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减；（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减．∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a，又f（x）≤0恒成立，∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（12）=ln12+12＜0，∴存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．∴0＜−1a≤x0，解得a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），又a∈Z，∴a≤﹣2．则综上a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝e x﹣2x+2．记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴h(x)min=h(ln2)=e ln2−2ln2+2=4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x﹣1＞0．∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．。