辽宁省辽阳市2020届高三一模考试数学(理)试题(图片版,含答案)
2020届辽宁省辽阳市高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省辽阳市高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（ ）A ．AB ⊆ B ．A B ⊇C ．{}0,1,2AB = D ．{}1,2A B =【答案】D【解析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】 ,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误； {}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B =，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．设0.53a =，0.5log 3b =，30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由指数函数的性质和对数函数的性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得0.531a =>，30.5(0,1)c =∈， 由对数函数的性质，可得0.5log 30b =<， 所以a c b >>. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．已知平面α，β，直线n ⊂α，直线m β⊂，则下列命题正确的是（ ） A ．////m n αβ⇒ B ．m n αβ⊥⇒⊥ C ．m ααβ⊥⇒⊥ D ．m n m α⊥⇒⊥【答案】C【解析】根据空间线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断得出答案. 【详解】选项A. 由直线n ⊂α，直线m β⊂，//αβ，则m 与n 可能异面，可能平行.则选项A 错误.选项B. 由直线n ⊂α，直线m β⊂,αβ⊥,则m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，则选项B 错误.选项C. 由直线m β⊂,m ααβ⊥⇒⊥，则选项C 正确.选项D. 由直线n ⊂α，直线m β⊂,m n ⊥,则m 与α可能平行，可能相交,则选项D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系的综合应用，属于基础题. 4．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()020.3P X ≤≤=，则()4P X >=（ ） A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()4P X >． 【详解】∵随机变量X 服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =， ∵()020.3P X ≤≤=， ∴()40.50.30.2P X >=-=.故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传.该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张.为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是（）A．104020100CCB．1010406020100C CC⋅C．101010202355C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．10102025C⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有20100C个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有10104060C C⋅个结果，由古典概率公式计算即可得结果.【详解】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有20100C个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有10104060C C⋅个结果，由古典概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率为1010406020100C CC⋅.故选：B【点睛】本题主要考查古典概率，属于基础题.6．与双曲线2213xy-=有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为（）A．2 BCD【答案】A【解析】设双曲线的方程22221(0,0)y xa ba b-=>>，根据题意，求得ab=离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线2213xy-=，可得其渐近线方程为3y x=±，又由与双曲线2213x y -=有共同的渐近线，且焦点在y 轴上，设双曲线的方程22221(0,0)y x a b a b -=>>，则a b =，所以离心率为2c e a ====. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．在()()6113x x +⋅-展开式中，含5x 的项的系数是（ ） A ．39- B ．9-C ．15D ．51【答案】A【解析】首先将()61x +利用二项式定理展开，再求含5x 的项的系数即可. 【详解】因为()()()()62345611316152015613x x x x x x x xx +⋅-=++++++⋅-所以含5x 的项的系数为631539-⨯=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，属于简单题.8．已知数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行的三个数依次成等比数列，每列的三个数也依次成等比数列，若222a =，则该数阵中九个数的积为（ ） A ．36 B ．256 C ．512 D ．1024【答案】C【解析】根据等比中项的性质计算可得； 【详解】解：依题意可得2111312a a a =，2212322a a a =，2313332a a a =，2321222a a a =，因为222a =所以()()()111213212223313233111312212322313332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =312233232a a a = 99222512a ===故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题；9．已知一个正四面体和一个正四棱锥，它们的各条棱长均相等，则下列说法： ①它们的高相等；②它们的内切球半径相等；③它们的侧棱与底面所成的线面角的大小相等；④若正四面体的体积为1V ，正四棱锥的体积为2V ，则12:1:2V V =；⑤它们能拼成一个斜三棱柱.其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】①，正四面体的高AO =PO =，所以该命题错误；②，设正四面体的内切球半径为,r 6r =.设正四棱锥的内切球半径为,R 则2R =.所以该命题不正确；③，在正四面体中，ACO ∠就是侧棱和底面所成的角，3sin 23ACO ∠==.在正四棱锥中，PAO ∠就是侧棱和底面所成的角，sin PAO ∠=≠，所以该命题不正确；④，计算得12:1:2V V =.所以该命题正确；⑤，把一个斜三棱柱分解成一个正四面体和正四棱锥，所以该命题正确. 【详解】设正四面体和正四棱锥的棱长都为2，①，23CO CE ==所以正四面体的高22222(3)633AO =-=.如图，正四棱锥的棱长都为2，它的高22222PO =-=,所以该命题不正确；②，设正四面体的内切球半径为,r 则1121122sin 606422sin 6032332r ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以66r =. 设正四棱锥的内切球半径为,R 则1111222422sin 60223323R R ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯,所以622R -=. 所以该命题不正确；③，在正四面体中，ACO ∠就是侧棱和底面所成的角，2663sin 23ACO ∠==.在正四棱锥中，PAO ∠就是侧棱和底面所成的角，26sin 23PAO ∠=≠，所以该命题不正确；④，若正四面体的体积为1V ，1112222sin 60623233V =⨯⨯⨯⨯⨯=， 正四棱锥的体积为2V ，214222233V =⨯⨯⨯=，则12:1:2V V =. 所以该命题正确；⑤，如图，是一个斜三棱柱，其中四棱锥P ABCD -是一个棱长都为2的正四棱锥，四面体E PAB -是棱长都为2的正四面体，所以它们能拼成一个斜三棱柱.所以该命题正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查几何体的体积的计算，考查几何体的内切球问题，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象计算能力. 10．设02x π<<，则2“cos ?x x <是“cos ?x x <的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据条件分别做出cos y x =和2y x ，以及y x =的图象，利用数形结合进行判断，即可得到结论. 详解：由2x x =得0x =或1x =， 作出函数cos y x =和2yx ，以及y x =的图象，如图所示，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，因为AB x x <，所以 “2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.11．在直线l ：1y x =-上有两个点A 、B ，且A 、B 的中点坐标为()4,3，线段AB 的长度8AB =，则过A 、B 两点且与y 轴相切的圆的方程为（ ） A ．()()224316x y -+-=或()()22114121x y -++= B ．()()22234x y -+-=或()()22125144x y -++= C ．()()224316x y -+-=或()()22125144x y -++= D ．()()22234x y -+-=或()()22114121x y -++= 【答案】C【解析】首先求出线段AB 的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，再利用圆的弦长性质得到圆心坐标和半径，即可得到圆的标准方程. 【详解】由题知：线段AB 的垂直平分线方程为：()34y x -=--，即7y x =-+. 设圆心(),7C a a -，因为圆C 与y 轴相切，所以r a =，如图所示：因为8AB =，所以()()22247316a a a -+--+=， 整理得：216480a a -+=，解得4a =或12a =.当4a =时，圆心为()4,3，4r =，圆:C ()()224316x y -+-=.当12a =时，圆心为()12,5-，12r =，圆:C ()()22125144x y -++=.故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数()1f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-+()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．()221,221k k ，k Z ∈B ．112,444k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．()421,421k k ，k Z ∈ D ．114,444k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【答案】C 【解析】由条件可推得函数()f x 是以4为周期的周期函数，且图象关于直线1x =对称，关于原点对称，作出函数()f x 与函数y x b =+的图象，结合图象即可得实数b 的范围. 【详解】由已知得，()()()(),11f x f x f x f x -=--=--，则()()()()1111f x f x f x f x +=---=--=-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，关于原点对称，又()()()()()()21111f x f x f x f x +=++=-+-=-， 进而有()()()42f x f x f x +=-+=，所以得函数()f x 是以4为周期的周期函数， 由()()g x f x x b =--有三个零点可知函数()f x 与函数y x b =+的图象有三个交点，当直线y x b =+与函数()f x 图象在[]0,1上相切时，即22x b x x +=-+有两个相等的实数根，即()222220x b x b +-+=，由0∆=得，12b =-±， 当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-+，作出函数()f x 与函数y x b =+的图象如图：由图知当直线y x b =+与函数()f x 图象在[]0,1上相切时，12b =-+数形结合可得()g x 在[]22-,有三个零点时，实数b 满足1212b <<-， 再根据函数()f x 的周期为4，可得所求的实数b 的范围()421,421k k +. 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化与化归的思想和数形结合的思想.二、填空题13．设x ，y 满足约束条件220240240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则z y x =-的最大值为______.【答案】2【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合平面区域确定目标函数的最优解，代入，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件220240240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数z y x =-，可化为直线y =x+z ，当直线y =x+z 过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由220240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)A ，所以目标函数z y x =-的最大值为max 2z =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．14．已知i 是虚数单位，则20201nn n i=⋅=∑______．【答案】10101010i -【解析】根据虚数n i 的计算规律，合理利用数列的求和，即可求解. 【详解】由题意，2020234567820201123456782020nn n ii i i i i i i i i =⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅∑23456782020i i i i =--++--+++(135720172019)(246820182020)i =-+-++-+-+-+--+10101010i =-故答案为：10101010i -. 【点睛】本题主要考查了复数的运算性质的应用，其中解答中合理利用复数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．对数是简化繁杂运算的产物.16世纪时，为了简化数值计算，数学家希望将乘除法归结为简单的加减法.当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的. 比如，利用以下2的次幂的对应表可以方便地算出16256⨯的值.首先，在第二行找到16与256；然后找出它们在第一行对应的数，即4与8，并求它们的和，即12；最后在第一行中找到12，读出其对应的第二行中的数4096，这就是16256⨯的值.用类似的方法可以算出4096128的值，首先，在第二行找到4096与128；然后找出它们在第一行对应的数，即12与7，并求它们的______；最后在第一行中找到______，读出其对应的第二行中的数______，这就是4096128值. 【答案】差 5 32【解析】题设中给出的是第一行数的加法与第二行数的乘法的对应关系，类比到所求的问题中就是第一行数的减法与第二行数的除法之间的对应关系，从而可求规定的值. 【详解】题设中给出的计算方法是：第一行数中两数的和与与第二行数的对应的两数的乘积是匹配的， 因此，若在在第二行找到4096与128，要求它们的商，可以找出它们在第一行对应的数，即12与7，它们的差（5）在第二行中对应的数（32）即为4096128. 故答案为：差，5，32. 【点睛】本题考查类比推理，一般地，类比推理有结论的类比、公式定理的类比，也有解题方法的类比，解题中注意寻找两类问题的相似之处.16．在ABC 中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于E ，F .若AE xAB =，AF y AC =，()0,0x y >>，则3x y +的最小值为______. 【答案】4【解析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，在ABC ∆中，,BP BA AP PC PA AC =+=+，点P 满足3BP PC =，所以3()BA AP PA AC +=+，即3()AB AP AP AC -+=-+， 可得3144AP AC AB =+， 因为,A AE F y A x AB C ==，()0,0x y >>， 所以3144AP AF AE y x=+， 因为,,E P F 三点共线，所以13144x y+=，()0,0x y >>，所以1333553444442193(3)()4422y x x y x y x y x y ++≥+=+=+⋅=++=+， 当且仅当3344y xx y=，即1x y ==时等号成立， 所以3x y +的最小值为4.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到,x y 的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题17．已知函数()()22cos2sin cos 10f x x x x ωωωω=-->且当()()()12120f x f x x x ==≠时，12x x -最小值为2π. （1）求函数()f x 的单调减区间；（2）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足2a =712ABC π∠=，()1f A =-，求ABC 的面积.【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈；（231+. 【解析】（1）先将函数()f x 化简得()224x f x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()()()12120f x f x x x ==≠时，12x x -的最小值为2π，得函数()f x 的周期T π=，从而求出1ω=，再求函数的单调减区间. （2）由()1f A =-可得4A π=，又712ABC π∠=，所以6C π=，根据正弦定理可得c 边长，再由面积公式求三角形面积. 【详解】解：（1）()1cos 2sin 21224f x x x x πωωω⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭，∵()()()12120f x f x x x ==≠时，12x x -的最小值为2π， ∴周期T π=，∴22πωπ=，∴1ω=，∴()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令2224k x k ππππ≤+≤+，k z ∈，得388k x k ππππ-≤≤+，k z ∈， 单调递减区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈. （2）()1f A =-，得2cos 242A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴3244A ππ+=，∴4A π=，∴6C π=，由sin sin c a C A=得12sin 21sin 22a C c A ⨯===， 7321262sinsin 123422224πππ+⎛⎫=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭， 116231sin 212244S ca B ++==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的图像性质，考查正弦定理和三角形的面积，属于中档题.18．多面体ABC DEF -中，△DEF 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，//BE 平面ACFD ，//AD 平面BCFE .（1）求证：//AD BE ；（2）若1AD BE AC BC ====，2FC =，求平面ABC 与平面DEF 所成的较小的二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）利用线面平行的性质定理，分别证得//BE FC 和//AD FC ，即可证； （2）分别证得,,CA CB CF 两两垂直，建立空间直角坐标系即可求解. 【详解】解：（1）证明：因为//BE 平面ACFD ，BE ⊂平面BEFC ，平面BEFC ⋂平面ACFD FC =，所以//BE FC ， 同理可证，//AD FC ， 所以//AD BE .（2）因为△ABC 为等腰直角三角形，1AC BC ==，所以90ACB ∠=︒，AB = 又//AD BE ，=1AD BE =，所以四边形ABED 为平行四边形，所以DE AB ==因为△DEF 为等边三角形，所以DE EF FD ===取FC 的中点H ，连结DH 、EH ， 因为2FC =，则1FH CH ==， 又//AD HC ，且AD HC =， 所以四边形ACHD 为平行四边形， 所以1DH AC ==，在DHF △中，222DH FH DF +=，所以90DHF ∠=︒，即DH FC ⊥，进而AC FC ⊥， 同理可证EH FC ⊥，进而BC FC ⊥，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1D ，()0,1,1E ，()0,0,2F ，()1,1,0DE =-，()1,0,1DF =-， 设平面DEF 的一个法向量为(),,n a b c =，则00n DE a b n DF a c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1a =，则1b =，1c =， 所以()1,1,1n =，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos,331n m n m n m⋅<>===⋅⋅， 所以平面ABC 与平面DEF 所成的较小的二面角的余弦值为3.【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.19．已知圆锥曲线221x y m n+=过点(2A -，且过抛物线28x y =的焦点B ．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P 在该圆锥曲线上，点D 的坐标为),0m ，点E 的坐标为(n ，直线PD 与y 轴交于点M ，直线PE 与x 轴交于点N ，求证：DN EM ⋅为定值．【答案】（1）22142y x +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解； （2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且)2,0D ，()0,2E ，设椭圆上一点()00,P x y ，表示出直线PD ，直线PE ，得到0022M y x -=-，0022N x x y -=-；所以222DN EMxy=⋅+-⋅计算可得；【详解】解：（1）抛物线28x y=的焦点()0,2B，将点(A-，()0,2B代入方程得121041m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24mn=⎧⎨=⎩，所以圆锥曲线的标准方程为22142y x+=．（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且)D，()0,2E，设椭圆上一点()00,P x y，则直线PD：y x=，令0x=，得My=．∴2EM=+，直线PE：022yy xx-=+，令0y=，得022Nxxy-=-．∴022xDNy=-．所以222DN EMxy=⋅+-⋅===因为点P在椭圆上，所以2200142y x+=，即220024y x+=，代入上式得D MN E=⋅==故DN EM⋅为定值．【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，直线与圆锥曲线中的定值问题，属于中档题. 20．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同.某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.①请用4、5、6周的数据求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？ 【答案】（1）29；（2）填表见解析，有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；（3）① 2.514.5y x =+；②可靠.【解析】（1）列举出基本事件的总数和事件“他恰好能收集齐这三种样式”所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（2）根据题意，得出22⨯的列联表，利用公式求得2χ的值，结合附表，即可得到结论；（3）①求得,x y 的值，根据公式求得ˆˆ,ba 的值，求得回归直线方程；②当1x =和3x =时，比较即可得到结论. 【详解】（1）由题意，基本事件空间为{}(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A C B A B B B C C A C B C C Ω=，其中基本事件的个数为9个，设事件D 为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则()(){},,,D B C C B =，其中基本事件的个数为2，所以他恰好能收集齐这三种样式的概率29P =. （2）则22200(40702070) 4.7141109060140χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.又因为4.714 3.841>，故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （3）①由数据，求得5x =，27y =. 由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5(45)(55)(65)2b --+--+--==-+-+-，527514.52a =-⨯=.所以y 关于x 的线性回归方程为 2.514.5y x =+. ②当1x =时， 2.5114.517y =⨯+=，17162-<； 同样，当3x =时， 2.5314.522y =⨯+=，22232-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，以及回归直线方程的求解及应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21．已知函数()2ln f x ax x =+.（1）若()0,x ∃∈+∞使()0f x >成立，求a 的取值范围； （2）若1a =，证明不等式()xf x e <.【答案】（1）1,2e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）当0a ≥时，可由()0f e >知命题成立，当0a <时，利用导数可求()min f x ，由()min 0f x >可得1,02a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，故可求实数a 的取值范围. （2）()xf x e <成立等价于22ln 1x x e x x +<成立，令2ln ()1xg x x =+，2()xe h x x=，利用导数可证3()2g x <，3()2h x >，从而可知原不等式成立.【详解】解：定义域()0,∞+，（1）①0a ≥时，()210f e ae =+>，∴()0,x ∃∈+∞使()0f x >成立. ②0a <时，()21212ax f x ax x x+'=+=， 由2210ax +>得0x <<2210ax +<得x > ∴函数()f x在区间⎛ ⎝单调递增，函数()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎭单调递减， 故()x2ma f a f x ==+1ln 02=-+>， 得12a e >-，∴1,02a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， ∴由①②得1,2a e ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. （2）1a =时，由()xf x e <得2ln xx x e +<需证22ln 1xx e x x+<，令2ln ()1x g x x =+，2()xe h x x =，312ln ()x g x x '-=, 令12ln 0x ->得0x <<，令12ln 0x -<得x >∴函数()g x在区间(单调递增，在区间)+∞单调递减，()()2max 11l 31112n 22g x ge ==+=+<+=， ()()32x e x h x x-'=，0x >，令()0h x '<得02x <<，令()0h x '>得2x >.函数()h x 在区间()0,2单调递减，在区间()2,+∞单调递增，()22min2.763(2)4442h x e h ==>>=，∴()0,x ∈+∞时，()()h x g x >成立， ∴()xf x e <成立.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，前者依据导数的符号，注意合理的分类讨论，后者需变形后构建新函数，通过导数求出新函数的最值，通过最值的关系来证明不等式.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建极坐标系． （1）求C 的极坐标方程；（2）直线1l ，2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()3R πθρ=∈，直线1l 与曲线C的交点为O 、M ，直线2l 与曲线C 的交点为O 、N ，求线段MN 的长度． 【答案】（1）2sin ρθ=-；（2）1．【解析】（1）先根据三角函数平方关系消元得普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==化为极坐标方程；（2）根据直线与曲线C 极坐标方程可得M N 、极坐标，再根据余弦定理求MN 的长度． 【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩得曲线C 的直角坐标方程为：()2211x y ++=，所以极坐标方程为2222cos sin 2sin 0ρθρθρθ++=即2sin ρθ=-． （2）将6πθ=代入2sin ρθ=-中有1M ρ=-，即1OM =，将3πθ=代入2sin ρθ=-中有N ρ=ON =，366MON πππ∠=-=，余弦定理得2222cos16MN OM ON OM ON π=+-⋅=，1MN ∴=． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.23．设函数()234f x x x =-+-． （1）解不等式()2f x >；（2）若()f x 最小值为m ，实数a 、b 满足343a b m +=，求()222a b -+的最小值．【答案】（1）{|1x x <或2}x >；（2）1625． 【解析】（1）分类讨论2x ≥，423x <<，43x ≤三种情况，解不等式得到答案. （2）计算342a b +=，所求可看作点()2,0到直线3420x y +-=的距离的平方，计算得到答案. 【详解】（1）()46,2423422,23446,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，由()2f x >得2462x x ≥⎧⎨->⎩或423222x x ⎧<<⎪⎨⎪->⎩或43462x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩， 得2x >或∅或1x <，∴不等式解集{|1x x <或2}x >．（2）根据图象知：()min 4233f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴342a b +=， 所求可看做点()2,0到直线3420x y +-=的距离的平方，223224534d ⨯-==+． ∴()222a b -+的最小值为1625．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.。
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足(3−4i )z =25，则z =( )A. −3+4iB. −3−4iC. 3+4iD. 3−4i3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。
甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )A. 360种B. 288种C. 240种D. 192种5. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 106. 双曲线x 216−y 29=1的离心率为______A. 54B. 53C. 45D. 357.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是()0347438636164780456911141695366146986371623326367797742467624281145720425332373227073607522452798973A. 14B. 16C. 20D. 268.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√29.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 4510.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，AB=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. 12B. √1010C. √105D. 1511.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx12.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a+bb+c=_____ ．14.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2√3，球O的体积为______.15.函数y=√4−2−x的值域是________________．16.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右焦点，P是直线l：y=x+m(m∈R)上一点，若|PF1|+|PF2|的最小值是4，则实数m=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD于点M．(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．18.某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为p(0<p<1)，且各件是否合格相互独立．(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)以(1)中确定的p0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．(i)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；(ii)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)19.数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，S n为其前n项和，a1,a2,a5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；(Ⅱ)设a1=1,b n=a2n,求数列{b n}的前n项和T n．(x−1)2−x+lnx(a>0)20.设函数f(x)=a2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B ={x|x >2}； ∴A ∩B ={3,4}． 故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题． 由复数的运算法则求解即可． 解： 因为(3−4i )z =25， 所以z =253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i ． 故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入． 解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元， 则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元．故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果． 解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况； 再排甲，也有4种情况；剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有A 44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，所以“丙得分比丁高”的情况有12A 44种，所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12A 44=192种， 故选D ．5.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题． 化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解． 解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9． 故选：A ．6.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：ca=54．故选A．利用双曲线方程求出离心率，渐近线方程，然后求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于或等于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20．故选C．8.答案：D解析：本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．9.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，连接AD 1，B 1D 1，则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成角， 由已知可得：AB 1=AD 1=√5，B 1D 1=2√2． ∴cos∠B 1AD 1=2×5×5=15． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为15． 故选：D ．由已知画出图形，找出异面直线AB 1与BC 1所成角，再由余弦定理求解． 本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．11.答案：D解析：本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题． 由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论． 解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后， 得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象， 故选：D ．12.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e 12x ，则g′(x)=f′(x)e 12x −12f(x)e 12x(e 12x )2=2f′(x)−f(x)2e 12x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：36π解析：本题考查三棱锥外接球问题，及球的体积，属于基础题．其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，∴(2R)2=PA2+PB2+PC2=36，∴R= 3，所以V=43πR3=43π×33=36π．故答案为36π．15.答案：[0,2)解析：本题考查函数值域，属于基础题．解：根据指数函数性质可知2−x∈(0,+∞)，所以−2−x∈(−∞,0)所以4−2−x∈(−∞,4)因为y=√4−2−x≥0，所以值域为[0,2)．故答案为[0,2)．16.答案：±√7 解析： 本题考查椭圆的概念与性质及直线与椭圆位置关系，属于中档题． 设P 点坐标，由椭圆方程得出F 1、F 2的坐标，由椭圆的性质可知当直线l 与椭圆C 相切时符合题意，联立方程组求出m 的值即可..解：∵|PF 1|+|PF 2|=√(x 0+1)2+y 02+√(x 0−1)2+y 02≥4，∴当P 点为直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1的切点时|PF 1|+|PF 2|最小， 将y =x +m 代入x 24+y 23=1得7x 2+8mx +4m 2−12=0，∴△=64m 2−28(4m 2−12)=0，解得m =±√7．故答案为±√7．17.答案：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．∵AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM =B ，∴PD ⊥平面ABM ．∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD ．(2)解：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0，0)，P(0,0，4)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)．∵AM ⊥PD ，PA =AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2，2)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y +z =0，且x +2y =0，令z =1，得x =2，y =−1.∴n⃗ =(2,−1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√63． ∴cos α=√33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，由此能证明AM ⊥PD ．(2)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，由此能求出直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．18.答案：解：(1)由题意得，f(p)=C 501p(1−p)49， 所以. 因为0<p <1，所以令f ＇(p)=0，得p =150=0.02因为当0<p <0.02时，f ＇(p)>0，当0.02<p <1时，f ＇(p)<0，所以f(p)的最大值点p 0=0.02.(2)(i)由(1)可知产品合格的概率为1−0.02=0.98，所以该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C 31×0.982×0.02×0.98≈0.998 ，(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3 000，4 000，则P(ξ=3000)=0.983+C 31×0.98×0.022+0.023≈0.942，P(ξ=4000)=C 32×0.982×0.02≈0.058所以ξ的分布列为ξ 3000 4000P 0.942 0.058所以E(ξ)=3 000×0.942+4 000×0.058=3 058(元).解析：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C501p(1−p)49，所以，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0．(2)(i)由p=0.02，由题意，该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C31×0.982×0.02×0.98计算可得．(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3000，4000，分别计算概率，列出分布列，得到期望．19.答案：(Ⅰ)证明：因为数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即为(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简可得d=2a1，所以S1S9=a1(9a1+36d)=81a12，S3=3a1+3d=9a1，所以S1S9=S32，所以S1，S3，S9成等比数列；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，(Ⅱ)解：a1=1，则b n=a 2n所以数列{b n}的前n项和T n=(4+8+⋯+2n+1)−n−n=2n+2−4−n．=4(1−2n)1−2解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，再由分组求和，结合等比数列的(Ⅱ)求出b n=a 2n求和公式，计算即可得到所求和．(x−1)2−x+lnx(a>0)，定义域(0,+∞)，20.答案：解：(1)∵f(x)=a2∴f′(x)=a(x−1)−1+1x =a(x−1a)(x−1)x，①当0<a<1时，令f′(x)>0可得，x>1a或x<1，令f′(x)<0可得，1<x<1a，∴函数f(x)单调递增区间(1a ,+∞)，(0,1)，单调递减区间(1,1a)；②a=1时，f°(x)>0恒成立，故函数在(0,+∞)上单调递增；③当a>1时，令f′(x)>0可得，x<1a或x>1，令f′(x)<0可得，1a<x<1，∴函数f(x)单调递增区间(1,+∞)，(−∞,1a )，单调递减区间(1a,1)；(2)若1<a<e，由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，∵f(1)=−1<0，f(1a )=a2−12a−lna−1，令g(a)=a2−12a−lna−1，1<a<e，则g′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0恒成立，∴g(a)在(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(a)<g(e)<0，即f(1a )=a2−12a−lna−1<0，∵x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f(x)的零点个数为1．解析：(1)先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；(2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，然后判断出f(1)=−1<0，f(1a)=a 2−12a−lna−1<0及x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，所以p=4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0， 所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)， 消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0， 根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]， 所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1， ∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年高考辽宁卷(理)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）含答案数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22（C ）2 （D ）2 2．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π7．使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b aa=+C ．()3310b a b aa ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．3172B ．210 C ．132D ．310 11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）1612．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 的离心率e = .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。
辽宁省辽阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析
辽宁省辽阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D 【解析】 【分析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】题目.2．tan570°=（ ）A ．3B ．-3C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30° 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 3．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6C ．5D ．5-【答案】A 【解析】 【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A 【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题. 4．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z+化简，得到(2222a ab b i a b ++-+，由复数为实数，可得220a b b +-=，解方程即可求解 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则()(2222222222a ab b i za b a bi a bi i i z a bia ba b ++-+-++=+=+=+++.由题意有2200a b b a +-=⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题5．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 6．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.7．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题．【详解】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 8．已知4sin πα+=，且，则tan πα⎛⎫-的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A 【解析】 【分析】 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C. 【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．11．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B 【解析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈， 设2()23g t t at a =-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.12．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A 21- B 21+【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d=-=，而截面到球体最低点距离为31-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛⎫---=⎪⎪⎝⎭.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（理科）1.已知集合A={−3,−2,2,4,6}，B={x|x2−3x−10<0}，则A∩B=()A. {2,4}B. {−2,2,4}C. {−2,2}D. {−3,−2,2}2.已知复数z满足(2−3i)z=13i3，则z的虚部是()A. 3B. −2iC. 2D. −23.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院(含A医院)，每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A医院的总派法数为()A. 48B. 60C. 72D. 965.设非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=16，则|b⃗ |=()A. √2B. √3C. 2D. √56.设双曲线x2−y23=1,x22−y25=1,y22−x27=1的离心率分别为e1，e2，e3，则()A. e3<e2<e1B. e3<e1<e2C. e1<e2<e3D. e2<e1<e37.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数(下表为随机数表的第8行和第9行)，33211234297864560782524207443815510013429966027954则抽取的第11个个体是()A. 38B. 13C. 42D. 028.若log2x+log4y=1，则x2+y的最小值为()A. 2B. 2√3C. 4D. 2√29.若tanα+1tanα=3，则cos4α=()A. −79B. −19C. 79D. 1910.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.已知函数f(x)=sin2x+acos2x，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到g(x)的图象．若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则f(π)=()A. −√33B. √33C. −√3D. √312.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对x∈R都有f(1+x)=−f(1−x)，当x>1且x≠2时，f′(x)x−2>0，则()A. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)<0B. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)<0C. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)>0D. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)>013.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a=5bsinA，则sinB=______．14.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为．2x16.设A(−2,0)，B(2,0)，若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6，且△PAB的内心到x轴的距离为3√30，则a=______．2017.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE，AE=1，PD=3，PC=√13．(1)证明：AD⊥平面PCD．(2)求DA与平面PCE所成角的正弦值．18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．(1)设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．19.设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，且S n+1=2S n+n−1．(1)证明：数列{S n+n}为等比数列，并求a n．}的前n项和T n．(2)求数列{a n2n20.已知函数f(x)=x3+ax．(1)讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)若a≥−3，求不等式f(2x2−4x+3)<x4+6x4+12x2+8+a(x2+2)的解集．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．(1)若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明：点G在定直线上．(2)若p=2，点M在曲线y=√1−x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2=M ，证明：a +2b ≥4ab ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为B={x|x2−3x−10<0}={x|−2<x<5}，所以A∩B={2,4}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(2−3i)z=13i3=−13i，得z=−13i2−3i =−13i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=3−2i，∴z的虚部是−2．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】C【解析】解：先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院有C31种选法，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，有A44种选法，所以总派法数为C31A44=72，故选：C．先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，最后利用乘法原理求出结果．本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =9|b⃗ |2−3|b⃗ |2×13=8|b⃗ |2=16，∴|b⃗ |=√2．故选：A．由于a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可．本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√1+b2a2，e1=21=√8√2e2=√7√2，e3=√2=√9√2，所以e2<e1<e3．故选：D．利用双曲线的离心率公式，求出3个双曲线的离心率，然后判断大小即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解析】【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题．【解答】解：随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02．故选：D．8.【答案】C【解析】解：因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log(x2y)=1，∴x2y=4(x>0,y>0)，则x2+y≥2√x2y=4，当且仅当x2=y=2时等号成立，则x2+y的最小值为4．故选：C．由对数的运算法则可求x2y=4(x>0,y>0)，再用均值不等式可求x2+y的最小值．本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3，∴sin2α=23，∴cos4α=1−2sin22α=19．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=3+6−52×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：g(x)=f(x−π6)=sin(2x−π3)+acos(2x−π3)，因为g(x)的图象关于直线x=π4对称，所以g(π4)=sinπ6+acosπ6=±√1+a2，即12+√32a=±√1+a2，解得a=√3，故f(π)=a=√3．故选：D．先求出平移后的函数式g(x)，然后根据g(x)关于x=π4对称，则x=π4函数取得最大值，构造方程即可．本题考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称中心与函数的零点关联列方程求解．属于较简单的中档题．12.【答案】A【解析】解：当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，则x ∈(1,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．∵log 1.53.5>log 1.51.53=3>log 25，∴f(log 25)<f(log 1.53.5)． ∵f(1+x)=−f(1−x)，∴f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).∴f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)<0．故选：A ．当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，对x 分类讨论：x ∈(1,2)时，f′(x)<0；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0.可得其单调性．比较log 25与log 1.53.5的大小关系．即可得出f(log 25)与f(log 1.53.5)大小关系．根据f(1+x)=−f(1−x)，转化f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).利用单调性可得f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)与0的关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】15【解析】解：∵a =5bsinA ， ∴由正弦定理可得sinA =5sinBsinA ， 又∵sinA >0， ∴sinB =15． 故答案为：15．由正弦定理化简已知可得sinA =5sinBsinA ，结合sinA >0，即可解得sinB 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.【答案】114π【解析】【分析】本题考查了四面体与球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球的直径即为长方体的对角线即可得出．【解答】解：∵AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，∴四面体ABCD的体积=13×12×1×2×3=1，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．设球O的半径为r，则(2r)2=12+22+32=14．其表面积S=4πr2=14π．故答案为：1；14π．15.【答案】(13,1 2 )【解析】解：f(x)=12+2−x，∵x>0，∴−x<0，0<2−x<1，∴2<2+2−x<3，∴13<f(x)<12，即函数的值域为(13,12)．故答案为：(13,12 )．f(x)=12+2−x ，由x>0可得0<2−x<1，进而得到2<2+2−x<3，则13<f(x)<12，由此得出答案．本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属于基础题．16.【答案】√3【解析】解：∵A(−2,0)，B(2,0)，P 满足|PA|+|PB|=6>|AB|， ∴P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为x 29+y 25=1，若直线直线y =ax(a >0)与椭圆方程为x 29+y 25=1联立，可得，x 2=459a 2+5，y 2=45a 29a 2+5△PAB 的内心到x 轴的距离为3√3020，所以三角形的内切圆的半径为：r =3√3020，三角形的面积为：12⋅|AB|⋅|y|=12×r ×(|AB|+|PA|+|PB|)，可得|y|=52r ，y 2=45a 29a 2+5 =54r 2=254×2740，解得a =3，因为a >0，所以a =√3．故答案为：√3．根据条件得到P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可．本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：(1)证明：∵四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，AE =1，PD =3，PC =√13．∴AD ⊥CD ，AB =2AE =2，∴PD 2+CD 2=PC 2，∴PD ⊥CD ， ∵PD ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵CD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PCD ． (2)解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,3)，C(0,2,0)，E(2,1,0)， DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)， 设平面PCE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −3z =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −3z =0，取z =2，得n⃗ =(32,3,2)， 设DA 与平面PCE 所成角为θ，则DA 与平面PCE 所成角的正弦值为： sinθ=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2×√614=3√6161．【解析】(1)推导出AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，PD ⊥CE ，从而PD ⊥平面ABCD ，进而AD ⊥PD ，由此能证明AD ⊥平面PCD ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DA 与平面PCE 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)X 的可能取值为8，20，P(X =8)=0.84+0.24=0.4112，P(X =20)=1−0.4112=0.5888， 则X 的分布列为(2)由(1)知，EX =8×0.4112+20×0.5888=15.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元． 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元， 且16000>15065.6， 所以应该选择人工检验．【解析】(1)X 的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． (2)求出EX =15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元．再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元，得到应该选择人工检验．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：依题意，由S n+1=2S n +n −1两边同时加上n +1，可得S n+1+n +1=2S n +n −1+n +1=2(S n +n)，又∵S 1+1=a 1+1=2，∴数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列， 则S n +n =2n ，即S n =2n −n ，n ∈N ∗，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −n −[2n−1−(n −1)]=2n−1−1， ∵当n =1时，a 1=1不满足上式， ∴a n ={1,n =12n−1−1,n ≥2．(2)解：由(1)知，当n ≥2时，a n 2n=2n−1−12n=12−12n，则T n =a 121+a 222+a 323+⋯+an2n=12+(12−122)+(12−123)+⋯+(12−12n ) =n 2−(122+123+⋯+12n ) =n 2−14−12n+11−12=12n +n−12，∵当n =1时，T 1=a121=12也满足上式， ∴T n =12n+n−12．【解析】第(1)题先将S n+1=2S n +n −1转化变形并加以计算可证得数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列，再计算出数列{S n +n}的通项公式，以及S n 的表达式，然后运用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{an2n }的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n 项和T n ．本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2+a ，当a ≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(a,+∞)上单调递增， 当a <0时，f′(x)=0，得x =±√−a3．①当a =−13时，−√−a3=a ，令f′(x)<0，得a <x <−a ， 令f′(x)>0，得x >−a ，所以f(x)的单调递减区间为(a,−a)，单调递增区间为(−a,+∞)． ②当a <−13时，−√−a3>a ， 令f′(x)<0，得−√−a3<x <√−a3，令f′(x)>0，得a <x <−√−a3或x >√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(−√−a3,√−a3)，单调递增区间为(a,−√−a3)，(√−a3,+∞) ③当−13<a <0时，−√−a3<a ， 令f′(x)<0，得a <x <−√−a3或x >√−a3 令f′(x)>0，得，x <√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(a,√−a3)，单调递增区间为(√−a3,+∞)．(2)因为a ≥−3，所以f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3， 当x ≥1时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递增．因为x 6+6x 4+12x 2+8+a(x 2+2)=(x 2+2)3+a(x 2+2)=f(x 2+2)， 所以原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)， 因为2x 2−4x +3=2(x −1)2+1≥1，x 2+2>1， 所以2x 2−4x +3<x 2+2， 解得2−√3<x <2+√3，故所求不等式的解集为(2−√3,2+√3).【解析】(1)先求导f′(x)=3x 2+a ，分当a ≥0时，a <0时，两种情况讨论，而当a <0内再分类讨论，得到单调递性，(2)当a ≥−3，f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3，可得f(x)在[1,+∞)上单调递增．原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)，因为2x 2−4x +3≥1，x 2+2>1，所以2x 2−4x +3<x 2+2，可解不等式，进而得出答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题．21.【答案】(1)证明：易知F(0,p 2)，设P(x 1,x 122p)，Q(x 2,x 222p)． 由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为y =kx +p2． 由{y =kx +p2x 2=2py ，得x 2−2pkx −p 2=0，所以x 1x 2=−p 2．由x 2=2py ，得y =x 22p ，y′=xp ，则k PG =x 1p ，直线PG 的方程为y −x 122p=x 1p (x −x 1)，即x1p x −y −x 122p=0，①同理可得直线QG 的方程为x2p x −y −x 222p=0，② 联立①②，可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p ．因为x 1≠x 2，所以y =x 1x 22p=−p2，故点G 在定直线y =−p2上．(2)解：设M(x 0,y 0)，MP ，MQ 的中点分别为(x 1+x 02,x 124+y02)，(x 2+x 02,x 224+y02)．因为MP ，MQ 得中点均在抛物线C 上，所以x 1，x 2为方程(x+x 02)2=4×x 24+y 02的解，即方程x 2−2x 0x +8y 0−x 02=0的两个不同的实根，则x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=8y 0−x 02，△=(2x 0)2−4(8y 0−x 02)>0， 即x 02>4y 0，所以PQ 的中点N 的横坐标为x 0，则|MN|=18(x 12+x 22)−y 0=18[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−y 0=34x 02−3y 0，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2(x 02−4y 0)， 所以△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32．由y 0=−√1−x 02，得x 02=1−y 02(−1≤y 0≤0)， 所以x 02−4y 0=−y 02−4y 0+1=−(y 0+2)2+5，因为−1≤y 0≤0，所以1≤−(y 0+2)2+5≤4， 所以△MPQ 面积的取值范围为[3√24,6√2]．【解析】(1)设P(x 1,x 122p )，Q(x 2,x 222p ).根据条件分别求出直线PG 的方程，QG 的方程，联立可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p.故点G 在定直线y =−p2上．(2)设M(x 0,y 0)，表示出△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32.结合M 在曲线y =√1−x 2上，即可求出面积的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．22.【答案】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3， 由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t (t 为参数)， 代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【解析】(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6，即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3， ∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2， ∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2， 即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷(理)含答案解析
2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y=}，则 A ∩?R B 等于（ ）3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ． p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧q5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54于（ ） A ．3B ．2C ．﹣ 2D ．﹣ 37．若（ x 2﹣a ）（x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（ ）2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1B ．｛x|﹣ ｝C ．｛x| ﹣1｝D ．｛x|a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的D ．（￢ p ）∧（￢ q ） ）则输出的结果是 6．设 x ， y 满足约束条件，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等4．执行如图所示的程序框图，D ．A．B．C．1 D．25 ，则俯视图中线段的长度x的8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为值是（）A ．6B ．4C ．5D ．29．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）、填空题13．已知函数 f （x ）=，若 f （x ）≤2，则x 的取值范围是的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 ．15．在△ ABC 中， ∠C=90 °，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 ． 16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ． 三、解答题17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．B．C ．D ． ．．．A ．10．若函数 f （ x ） =4sin （ 2x+φ）（ | φ| <）的图象关于直线 x= 对称， 且当 x 1，x2∈（﹣ ）， x 1≠x 2 时， f （x 1）=f x 2），则 f （ x 1+x 2）等于（ ）A ．11． 4 已知点 B ．2 C ．2 D ． 2 A 是抛物线 y 2=2px （ p> 0）B ，C 两点， 上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（A ． 12y 2=12x 设函数222 B ． y 2=14x C ． y 2=16x D ．y 2=18x 在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ）， f （x ）当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时， f ′（ x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ +∞）B ．［﹣，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线=1（a>0，b>0） 的一个焦点，且与双曲线，则实数 m 的取（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有 a n的和：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除． 18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的300 人进行问卷访谈，问应在持所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形，为等边三角形，AD=DF=2AF=2 ，C为 DF的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC折起，使得平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF⊥平面 ABCD ，连接 EF、DF，设 G为 AE上任意一点．（1）证明： DG∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．原点 O 向圆 M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP， OQ 的斜率分别记为 k1， k2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 M 的方程；（2）若 r= ，21．已知函数 f（x）=mlnx+2nx2+x（x>0，m∈R，n∈R）．（1）若曲线 y=f（ x）在（ 1，f（1））处的切线方程为 2x+y﹣1=0，求 f（x）的20．如图，在平面直角坐标系xOy，设点 M（x0， y0）是椭圆C：=1 上一点，从① 求证： k1k2 为定值；② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．递增区间；（2）若 m=1，是否存在 n ∈R ，使 f （x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，请说明理由．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ] 22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长； ，求 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π） [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a的取值范围．x 轴的正半轴为2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y= }，则 A ∩?R B 等于（ ）考点】 交、并、补集的混合运算．【分析】 根据题意，求出集合 B 以及 B 在 R 中的补集，再求 A ∩?R B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x ≥﹣ 1}， B={x|y= }={x|3x 2+5x ﹣2≥0}={x| x ≤﹣2，或 x ≥ }， ∴?R B={x| ﹣2<x< }，∴A∩?R B={x| ﹣1≤x< } ． 故选： A ． 考点】 复数求模．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得解：∵ z= = ， ∴| z|=∴|z|=又 a< 0 ， 解得 a=﹣ ． 故选： D ．3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧qD ．（￢ p ）∧（￢ q ） 【考点】 复合命题的真假．【分析】 命题 p ：取 c=0 时是不成立， 因此是假命题； 命题 q ：取 x 0=1 ，满足 x 0﹣1﹣ lnx 0=0， 即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】 解：命题 p ：若 a< b ，则 ac 2<bc 2，c=0 时是不成立，因此是假命题；2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1C ．a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的值为（a 值．分析】 A ．{x|B ．{x| ﹣} C ．{x| ﹣1}命题 q ：取 x 0=1，满足 x 0﹣ 1﹣ lnx 0=0，因此是真命题． 则下列命题为真命题的是（￢ p ）∧ q ， 故选： C ．值，用裂项法即可计算得解．解答】解：模拟执行程序， 可得程序框图的作用是计算并输出5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54 【考点】 系统抽样方法．【分析】 根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】 解：因为采取系统抽样，每 15人随机抽取一个人，在 1～15 中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，所以在 k 组抽到的是 6+15（ k ﹣ 1），所以 46～60这 15个数中应抽取的数是 6+15× 3=51 故选： C ．，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m等=1+⋯+=的值， 而故选： A ．4．执行如图所示的程序框图， 则输出的结果是（D ．分析】 模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出⋯⋯6．设 x ， y 满足约束条件 考程序框的于（）A．3 B．2 C．﹣ 2 D．﹣ 3【考点】 简单线性规划．【分析】 作出不等式对应的平面区域， 利用线性规划的知识， 通过平移即可求 z 的最大值和 最小值．建立方程关系进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域，距最大，此时 z 最大． z=1+4×4=17 ﹣3．∵z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5 ∴17﹣（ 5m ﹣3）=20﹣5m=5． 得 m=3 ． 故选： A ．7．若（ x 2﹣a ）（ x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（考点】 二项式系数的性质．分析】 根据题意求出（ x+ ） 10展开式中含 x 4项、 x 6项的系数，得出（ 的展开式中 x 6 的系数，再列出方程求出 a 的值．平移直线 y=﹣ ，由图象可知当直线 y = ﹣经过点 A 时，直线 y=的截当直线 y=﹣经过点 此时 z 最小．z=m ﹣3+4m=5mx 2﹣ a ）（x+ ） 10 由 z=x+4y ，得 y= ﹣B 时，直线y= ﹣的截距最小，【解答】 解：（x+ ）10 展开式的通项公式为： T r+1=?x 10﹣r ?=?x 10﹣2r； 令 10﹣2r=4，解得 r=3，所以 x 4 项的系数为 ； 令 10﹣2r=6，解得 r=2，所以 x 6项的系数为 ； 所以（ x 2﹣a ）（x+ ）10的展开式中 x 6的系数为：﹣a =30 ， 解得 a=2． 故选： D ．C ．5D ．2 由三视图求面积、体积． 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 h ，利用体积计算公式解得 利用勾股定理即可得出．【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 ∴x= =6， 故选： A ．9．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5 ，则俯视图中线段的长度 x 的 h ，再则=× h ，解得 h= ．h ， 考点】【分析】 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设 出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得 a ，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】 解：如图，10．若函数 f （ x ）=4sin （ 2x+φ）（ | φ| < ）的图象关于直线 x= 对称，且当 x 1，x2∈（﹣，﹣ ），x 1≠x 2时， f （x 1）=f （ x 2），则 f （x 1+x 2）等于（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ． 2 【考点】 正弦函数的图象．【分析】 由正弦函数的对称性可得 sin （ 2× +φ） =±1，结合范围 | φ| < ，即可解得 φ的值，得到函数 f （ x ）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得 解析式利用诱导公式即可计算求值． 【解答】 解：∵ sin （2× +φ）=± 1， ∴φ=k π+ ，k ∈ Z ， 又∵ | φ| < ，∵三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等， 6 个顶点都在球 O 的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为 O ，再设球的半径为 r ，由球 O 的表面积为 36π，得 4πr 2=36π，∴ r=3 ．a ，且球心 O 到上底面中心 设三棱柱的底面边长为 a ，则上底面所在圆的半径为 H 的距x 1+x 2=﹣，代入函数离OH=a ，．∴x 1+x 2=故选： B ．11．已知点 A 是抛物线 y 2=2px （p>0）上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于 B ， C 两点，△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（ ） 2222A ．y =12xB ．y =14xC ． y =16xD ．y =18x 【考点】 抛物线的简单性质．计算即可得到 p=8，进而得到抛物线方程．解得 p=8，则抛物线的方程为 y 2=16x ． 故选： C ．+） =2 ．∴f (x 1+x 2) =4sin( =k， k ∈ Z ，可得其对称轴方程为：==， ﹣ ，﹣， ﹣ ，﹣0）关于点（﹣ ，0）对称，分析】 由等边三角形的性质可得 | BF| =| AF| ，由抛物线的定义和三角形的面积公式，解答】 解：由题意可得 =cos30°且| DF| =p ，由抛物线的定义可得 A 到准线的距离也为∴f(x)=4sin( 2x∴由，k ∈Z ，），x 1≠x 2时， f （x ） ∵x 1， x ∈(﹣ ），且（ x 1， 0），（ x ，∴x 1， x ∈(﹣ 可得 |BF|，从而 | AF|在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），考点】 利用导数研究函数的单调性．x 2，推出 g （ x ）为奇函数，判断 g （x ）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】 解：∵ f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），2设 g （ x ）=f （ x ）﹣ x 2，则 g （x ）+g （﹣ x ）=0， ∴函数 g （x ）为奇函数．∵x ∈（﹣ ∞， 0）时， f ′（x ）+ <3x ， g ′（x ）=f ′（ x ）﹣ 3x<﹣ ，故函数 g （x ）在（﹣ ∞， 0）上是减函数， 故函数 g （x ）在（ 0， +∞）上也是减函数，即 g （m+3）< g （﹣ m ）， ∴m+3≥﹣ m ，解得： m ≥﹣ ， 故选： B ． 、填空题当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时，f ′（x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ ，+∞） B ．[﹣ ，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 分析】 利用构造法设 g （ x ）=f （x ） ∴f （x ）2+f （﹣x ）x 2=0，若 f （m+3） f （﹣ m ） ≤ 9m 12．设函数 f （ x ），则实数 m 的取则 f （m+3）m+3）2≤f （﹣m ）13．已知函数 f （x ）= ，若 f （x ）≤2，则 x 的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ∪[ ﹣1，4] ．【考点】 函数单调性的判断与证明．【分析】 在每段上解不等式 f （x ）≤2，然后所得 x 的范围求并集即可得出 x 的取值范围．【解答】 解：（1）当 x ≥0 时，由 f （x ）≤2得， ； ∴0≤x ≤4；（2）当 x<0时，由 f （x ）≤ 2得，﹣ x 2﹣3x ≤2； 解得 x ≤﹣ 2，或﹣ 1≤x< 0；综上得， x 的取值范围是（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4] ． 故答案为：（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4]．14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线 ﹣ =1（ a> 0，b>0） 的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 2 考点】 双曲线的简单性质．【分析】 求得直线 x ﹣ y+2=0 在 x 轴上的交点，可得 c=2 ，再由两直线垂直的条件：斜率 之积为﹣ 1，可得 b= a ，解方程可得 a=1，进而得到实轴长 2a ． 【解答】 解：直线 x ﹣ y+2=0 过 x 轴上的交点为（﹣ 2， 0），由题意可得 c=2 ，即 a 2+b 2=4，可得双曲线的实轴长为 2． 故答案为： 2．15．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 12 ． 【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 由直角三角形的余弦函数可得 cosA ，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ， AC=1， 可得 cosA= = ， 由 =2 ﹣ ，可得 + =2 ，即 =2 ， 即为 = ，则 ? =（ ﹣ ） ?（ ﹣ ）的一个焦点，且与双曲线 由直线 x ﹣ y+2=0 与双曲线的一条渐近线垂直， 可得即为 b= a ， 解得 a=1， b= ，=（﹣） ?（﹣）22=2+2﹣ ? =故答案为： 12．16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 2 2 2 2且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ±2 ． 【考点】 两角和与差的正切函数．a 2+b 2=3c 2．结合sin 2A+sin 2B=(m 2+1)sin 2C ，可得 m 的值．【解答】 解：在△ ABC 中，若 tanAtanC +tanBtanC=tanAtanB即 tanC( tanA +tanB ) =tanAtanB ，即22∴ sin 2C=cosC ?sinAsinB ，利用正弦定理可得 c 2=ab?cosC ， cosC=再根据 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，可得 a 2+b 2=（m 2+1）c 2． ∴m 2+1=3 ，∴ m= ± ， 故答案为：± ．三、解答题 17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求同时满足下列条件的所有 a n 的和： ① 20≤n ≤116；② n 能够被 5 整除．【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的性质．【分析】（1）根据题意，列出方程组，求出首项 a 1 和公差 d ，写出通项公式即可； （2）得出满足条件的 n 组成等差数列 { b n } ，求出 { b n }的所有项的和，即可求出满足条件的 所有 a n 的和．【解答】 解：（1）根据题意，等差数列 {a n } 中， a 4=2a 2，且 a 1，4，a 4成等比数列， 即，解得 a1=2， d=2； ∴数列 {a n } 的通项公式为 a n =a 1+（ n ﹣ 1）d=2 +2（ n ﹣ 1）× 3× 1× =12 分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ==，再根据=+==，==再根据 cosC= ，可得 =∴ a 2+b 2=3c 2．× 9+1再利用正弦定求即=2n；（2）∵ a n=2n，且 n 同时满足：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除，∴满足条件的 n 组成等差数列 { b n}，且 b1=20，d=5， b n=115，∴项数为 +1=20 ；∴ { b n} 的所有项的和为S20=20×20+ × 20×19×5=1350，∴满足条件的所有 a n 的和为2S20=2×1350=2700．18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300 人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（ 1）由，先求出持“无所谓”态度的人数，由此能求出应在持“无所谓态度的人中抽取的人数．（2）由持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生人数为 4，社会人士人数为 2，第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1， 2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX ．【解答】解：（ 1）∵在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06，∴ ，解得 x=60 ，∴持“无所谓”态度的人数为： 3000﹣2100﹣500﹣120﹣60=220，∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 220×=22 人．（2）由（ 1）知持“应该保留”态度的一共有 180 人，∴在所抽取的 6 人中，在校学生人数为，社会人士人数为，于是第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1，2， 3，∴X 的分布列为：EX= =2 ．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形， 为等边三角形， AD=DF=2AF=2 ，C 为 DF 的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC 折起，使得 平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF ⊥平面 ABCD ，连接 EF 、DF ，设 G 为 AE 上任意一点． （1）证明： DG ∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ ）推导出 CD ⊥平面 AED ，CD ⊥平面 BCF ，从而平面 AED ∥平面 BCF ，由此 能证明 DG ∥平面 BCF ．（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过O 的垂线 为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 BCF 所 成锐二面角的余弦值． 【解答】 证明：（Ⅰ）由题意知 BC ⊥DC ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ， 又 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 AED ， 同理， CD ⊥平面 BCF ， ∴平面 AED ∥平面 BCF ，又 DC? 平面 AED ，∴ DG ∥平面 BCF ． 解：（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ，===P（ X=3 ） P P2∴OE ⊥平面 ABCD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过 O 的垂线为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立 空间直角坐标系， ∵OE= ，CF=1 ，则 O （ 0， 0，0）， =（ 0， 1，1）， =（ 0，﹣ 设平面 DEF 的法向量 =（ x ， y ， z ）， 则 ，取 z=1 ，得 =（ ，又 = （0，﹣ 1，0）是平面 BCF 的一个法向量，∴平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为分析】（ 1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x= ﹣2 ，代入 + =1，可得 y=±1， 求出圆的圆心，然后求圆 M 的方程；1，0）， ﹣ 1， 1），cos< >==20．如图，在平面直角坐标系 xOy ，设点 M （x 0，y 0）是椭圆 C ： 原点 O 向圆 M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P 、 Q ，直线 OP ， OQ 的斜率分别记为 k 1， k 2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 （2）若 r= ，M 的方程；=1 上一点，从② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．考点】 椭圆的简单性（2）① 因为直线 OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，与圆 R 相切，推出 k 1，k 2 是方程（ 1+k 2）x 2﹣（ 2x 0+2ky 0） x+x 02+y 02﹣ =0 的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出 k 1k 2．结合点M （x 0， y 0）在椭圆 C 上，得出 k 1k 2=﹣ ．② （ i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），通过 4k 1k 2+1=0， 推出 y 12y 22= x 12x 22，利用 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），在椭圆 C 上，推出 OP 2+OQ 2=20， 即可求出 |OP|?| OQ|的最大值．【解答】 解：（1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x=﹣2 ，代入 + =1，可得 y= ±1，∴M （﹣ 2 ，±1）∴圆 M 的方程：（ x+2 ） 2+（y ± 1） 2=1；（2）①因为直线 OP ： y=k1x ， OQ ： y=k 2x ，与圆 R 相切，2 2 2 2所以直线 OP ：y=k 1x 与圆 M ：（x ﹣ x 0）2+（y ﹣y 0）2= 联立， 可得（1+k 12）x 2﹣（2x 0+2k 1y 0）因为点 M （x 0，y 0）在椭圆 C 上，所以 y 02=1﹣ ② （i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）， 因为 4k 1k 2+1=0，所以 y 12y 22= x 12x 22，因为 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 y 12y 22=（ 4﹣ 整理得 x 12+x 22=16， 所以 y 12+y 22=4 所以 OP 2+OQ 2=20．（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有 OP 2+OQ 2=20，22x+x 0+y=0同理（ 1+k 22）x 2﹣由判别式为 =0 的两个不相等的实数根，22 x 1 x 2 ，222x 0+2k 2y 0) x+x 0 +y 00，可得 k 1，k 2 是方程 k 2﹣2x 0y 0k+y 02﹣k 1k 2所以 k1k 2=综上： OP2+OQ2=20所以 | OP| ?| OQ| ≤ （OP 2+OQ 2） =10， 所以 | OP| ?| OQ| 的最大值为 10． 21．已知函数 f （x ）=mlnx +2nx 2+x （x>0，m ∈R ，n ∈R ）．（1）若曲线 y=f （ x ）在（ 1，f （1））处的切线方程为 2x+y ﹣1=0，求 f （x ）的递增区间； （2）若 m=1，是否存在 n ∈ R ，使 f （ x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若 不存在，请说明理由．【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于 m ，n 的方程组，求出 m ，n 的值，从而求出 f （x ） 的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；【解答】 解：（ 1）由题意得： f ′（x ）= +4nx+1，f ′（1） =1+m+4n ， 由 f （1） =﹣1，得： k=﹣ 2，，解得： m=1，n=﹣1，∴f （x ） =lnx ﹣2x 2+x ， ∴f ′（x ）=（x>0），令 f ′（x ）> 0，解得： 0<x< ， ∴f （x ）在（ 0， ）递增；（2）由题意得： f （ x ）=lnx +2nx 2+x ，f ′（x ）= （x>0），① n ≥0时， f ′（x ）> 0在（ 0，+∞）恒成立，故无极值，2② n< 0 时，令 f ′（ x ）=0，得： 4nx 2+x+1=0，则△ =1﹣ 16n>0， x 1x 2= <0， 不妨设 x 1<0，x 2>0，则 f ′（x ）= ，即求使 f （x 2）> 0的实数 m的 取值范围，∴g （x ） 在（ 0， +∞）递增，（2）求出 f （x ）的导数，通过讨论 n 的范围，得到 化为求使 f （ x 2）>0的实数 m 的取值范围，构造函数 调性，从而求出 n 的范围即n ≥0 时，不合题意，g （ x ）=lnxn<0 时，问题转求出 g （x ）的构造函数 g （ x ）=lnx lnx 2+> 0，g ′（x ） =+ >0，由 g （ 1）=0，由 g （x ）> 0，解得： x>1， 即 x 2=>1，解得：﹣ < n<0，由①② 得： n ∈（﹣ ， 0）．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长；【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段 股定理的线段的关系可求得 CE 的长度即可． AE 的长，再根据勾，由△ ABD ∽△ AEC ，能求出 【解答】解：（1）∵⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ，BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ， ∴由割线定理得 AB ?AC=AD ?AE ， ∴ AE==2）由已知 AC=2AB ， AE=3AD ，从而 AD= 的值．=8，DE=AE ﹣ AD=8 ﹣ 3=5，又 BD ⊥ AE ，∴ BE 为直径，∴∠ C=90°， 在 Rt △ACE 中，由勾股定理得 CE 2=AE 2﹣ AC 2=28， ∴CE=2 ． （2）∵∠ AEC= ∠ABD ，∠A= ∠A ， ∵，的∴ AC=2AB ， AE=3AD ，∵AD ?AE=AB ?AC ，∴△ ABD ∽△ AEC ，=[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π）【考点】 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ ）对于曲线 C 1利用三角函数的平方关系式 sin 2t+cos 2t=1 即可得到圆 C 1的普通 方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ ）先求出曲线 C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C 1 与 C 2 交点的极坐标． 【解答】 解：（Ⅰ）曲线 C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25 即为圆 C 1的普通方程，即 x 2+y 2﹣ 8x ﹣ 10y +16=0 ．将 x= ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得． ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ）曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：∴C 1与 C 2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a 的取值范围． 【考点】 绝对值不等式的解法．【分析】（ Ⅰ ）当 a=﹣ 1时，不等式为 |x+1|﹣|x+3|≤1，对 x 的取值范围分类讨论，去掉上 式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ ）依题意知， | x ﹣a| ≤x+7，由此得 a ≥﹣7且 a ≤2x+7，当 x ∈[0，3]时，易求 2x+7 的 最小值，从而可得 a 的取值范围． 【解答】 解：（Ⅰ）当 a=﹣1时，不等式为 | x+1|﹣| x+3|≤1．当 x ≤﹣ 3 时，不等式化为﹣（ x+1）+（x+3）≤ 1，不等式不成立；当﹣ 3<x<﹣ 1时，不等式化为﹣（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，解得﹣ ≤x<﹣1； 当x 2+y 2﹣2y=0 ，x≥﹣ 1时，不等式化为（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，不等式必成立．综上，不等式的解集为 [ ﹣，+∞）．⋯（Ⅱ）当 x∈[0，3]时，f（x）≤4即| x﹣a|≤x+7，由此得 a≥﹣7且 a≤2x+7．当 x∈[ 0，3] 时， 2x+7的最小值为 7，所以 a的取值范围是 [ ﹣7，7] ．⋯2020 年 8 月 20 日。
2020届辽宁省辽阳市普通高中高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省辽阳市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,2,4,6A =--，{}2|3100B x x x =--<，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}2,2,4-C. {}2,2-D. {}3,2,2--【答案】A【解析】【分析】 先求出集合{}|25B x x =-<<，再求A B .【详解】因为{}{}2|3100|25B x x x x x =--<=-<<。
所以{}2,4A B =.故选：A【点睛】本题考查解二次不等式和集合求交集，属于基础题.2.已知复数z 满足3(23)13i z i -=，则z 的虚部是（ ）A. 3B. 2i- C. 2 D. 2-【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法运算求出复数z32i=-，得到其虚部.【详解】因为1313(23)13(23)32 23(23)(2313)i i i iz ii i i--+--====---+.所以z的虚部是2-.故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的基本概念，属于基础题.3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25% 250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.4.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含A医院），每所医院派1名护。