高二数学北师大版选修1-1同步精练：4.1函数的单调性与极值第2课时 Word版含答案
北师大版数学高二选修1-1教案4.1.1函数的单调性与导数(二)教案
4．1．1函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f (3) 32)1)(12(x x y --=.（4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x– a 2)＜0.（1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；（2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；（3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；（4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的. 由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a=. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表： x1(1,)a - 1a 1(,)a +∞ f ′ (x )– 0 + f (x ) ↘ 极小值 ↗从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.。
学北师大版高中数学选修同步配套：. 函数的单调性与极值...2
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题型一
题型二
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULILeabharlann IANLITOUXI1
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 已知函数 f(x)=2ax-,x∈(0,1].若 f(x)在(0,1]上
是增加的,求 a 的取值范围.
1
解:由已知得 f'(x)=2a+2 .
∵f(x)在(0,1]上是增加的,
题型二
证明:∵b>a>e,∴要证明 ab>ba,只需证明 bln a>aln b,即证明
ln
>
ln
.
ln
1-ln
(x>e),则 f'(x)= 2 <0,
ln
f(x)= 在(e,+∞)上是减少的.
设 f(x)=
∴函数
∵b>a>e,∴f(a)>f(b),
ln
ln
> .
即
∴ab>ba.
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.当x∈[a,b]时,f'(x)>0,则f(x)在区间[a,b]上是增加的;当x∈[a,b]
时,f'(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上是减少的.
2.若f(x)在区间[a,b]上是增加的,则f'(x)≥0在[a,b]上恒成立(f'(x)不
故 a 的取值范围是 5≤a≤7.
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2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《函数的极值》同步练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极大值点和极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为________________，其函数值f(x0)为函数的________________________．2．函数的极小值点和极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_________，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的__________．3．极值和极值点极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为__________．极值是函数在一个适当区间内的局部性质．一、选择题1.函数f(x)的定义域为R ，导函数f ′(x)的图像如图，则函数f(x)( ) A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f(x)，x ∈R ，且在x ＝1处，f(x)存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x)<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x)<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<03．函数f(x)＝x ＋1x 在x>0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f(x)的定义域为(a ，b)，导函数f ′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b<1 B ．b<1 C ．b>0 D ．b<126．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a<2 B ．－3<a<2C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>6题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________. 9．函数f(x)＝x 3－3a 2x ＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是__________． 三、解答题10．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x 3－12x ； (2)f(x)＝xe －x .11．设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝(x －a)2(x －b)(a ，b ∈R ，a<b)．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)设x 1，x 2是f(x)的两个极值点，x 3是f(x)的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．1.2 函数的极值知识梳理1．函数y ＝f(x)的极大值点 极大值 2．大于x 0点的函数值 极小值 3．极值 极值点 作业设计 1．C2．C [∵f(x)在x ＝1处存在极小值， ∴x<1时，f ′(x)<0，x>1时，f ′(x)>0.]3．A [∵f ′(x)＝1－1x 2，由f ′(x)>0，得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x>0.得0<x<1，即在(0,1)内f ′(x)<0， 在(1，＋∞)内f ′(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f(x)的极小值点左边有f ′(x)<0，极小值点右边有f ′(x)>0，因此由f ′(x)的图像知只有1个极小值点．]5．A [f ′(x)＝3x 2－3b ，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b<03－3b>0，解得0<b<1.]6．D [∵f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x)的图像是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图像与x 轴的左交点两侧f ′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值． ∴4a 2－12(a ＋6)>0得a>6或a<－3.] 7．3解析 f ′(x)＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析 因为f ′(x)＝3ax 2＋b ， 所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3.9.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x)＝3x 2－3a 2(a>0)，∴f ′(x)>0时得：x>a 或x<－a ，f ′(x)<0时，得－a<x<a. ∴当x ＝a 时，f(x)有极小值，x ＝－a 时，f(x)有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a<0，－a 3＋3a 3＋a>0.a>0解得a>22.10．解 (1)函数f(x)的定义域为R. f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f(x)有极大值， 且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f(x)有极小值， 且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x)＝(1－x)e －x .令f ′(x)＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x ＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝1e .11．解 (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ， 即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x<1时，f ′(x)>0； 当1<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f ′(x)>0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f(x)＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x)＝(x －1)(3x －5)， 故f ′(2)＝1，又f(2)＝0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)证明 因为f ′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b3)，由于a<b ，故a<a ＋2b3，所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f(x)的零点， 故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.。
高二数学北师大版选修1-1同步精练4.1函数的单调性与极值第2课时 Word版含答案
．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图像如图所示，则函数()在开区间(，)内的极小值点有()．个．个．个．个．函数()的定义域为，导函数′()的图像如图所示，则函数()()．无极大值点、有四个极小值点．有三个极大值点、两个极小值点．有两个极大值点、两个极小值点．有四个极大值点、无极小值点．设∈，若函数＝＋有大于零的极值点，则()．＜－．＞－．＜－．＞－．函数()＝－，给出下列命题，其中正确命题的个数是()①()是增函数，无极值；②()是减函数，无极值；③()的递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，递减区间为()；④()＝是极大值，()＝－是极小值．．．．．．若函数()＝·在处有极小值，则等于()．－．－．．设函数()＝＋＋(，，∈)．若＝－为函数()＝()的一个极值点，则下列图像不可能为＝()图像的是()．已知函数()＝＋＋＋在＝－时取极小值，则＝，＝.．设函数()＝－在＝处取得极值，则＝.．若函数()＝－＋在()内有极小值，则实数的取值范围为．．设为实数，函数()＝－＋，∈，求()的单调区间与极值．．已知函数()＝－(＞)．()当()在＝处取得极值时，求函数()的解析式；()当()的极大值不小于时，求的取值范围．参考答案.答案：.解析：设′()与轴的个交点，从左至右依次记为，，，.当＜时，′()＞，()在(－∞，)上为增加的；当＜＜时，′()＜，()在(，)上为减少的，则＝为极大值点．同理，＝为极大值点，＝，＝为极小值点．故选.答案：.解析：′＝＋.函数有极值点，则令＋＝，得＝－.又＞，则＞，故＜－.答案：.解析：′()＝－＝(－)．由′()＞，得＜或＞，由′ ()＜，得＜＜.故③④正确．答案：.解析：′＝··＋＝(·＋)．令′＝，解得＝－.答案：.解析：′()＝[′()＋()]．因为＝－是()的一个极值点，所以′(－)＝，得出′(－)＋(－)＝，在选项中，由图像观察得到(－)＞，′(－)＞，所以(－)＋′(－)＞与′(－)＋(－)＝矛盾．故选.答案：.解析：′()＝＋＋，∴′(－)＝－＋＝.①又(－)＝－＋－＋＝，②联立①②，解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝.))但当＝，＝时，′()＝(＋)≥，即＝－不是极值点，舍去．∴＝，＝.答案：.解析：′()＝－－．由题意，得′＝，∴－×－×＝.∴＝－.答案：－.解析：′()＝－，∵()在()内有极小值，∴′()＝在()内有零点．又′()＝－在()上为增加的，∴(\\(′()<，′()>.))解得＜＜.。
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.2函数的极值学案北师大版选修1-1
4.1.2函数的极值学习目标了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习重点会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习难点利用导数求函数的极值的一般步骤. 学习方法 师生共研讨、生生互助 学习过程一、自主学习 （阅读教材P81-84,完成下列问题） 1.二、新知探究.1.思考交流问题1：你能利用图象判断函数311433yx x =-+是否有极大值、极小值吗？如果有，请求出.问题2：观察下图，看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? （完成下表）图2)(x f '（符号） )(x f （单调性）问题3：请问如何判断0()f x 是极大值或是极小值？ 2.知识运用 例3:求函数311433y x x =-+的极值.3.随堂练习1．利用导数知识，求函数2()2f x x x =--的极值．2．求函数31()3f x x x =-的极值．3．函数)(x f 的定义域为R ，导函数)(x f '的图象如图所示，则函数)(x f 的图象上的极值点有 个一、 小结本节课的主要内容是会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；掌握利用导数求函数的极值的一般步骤. 二、 达标测试O1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A 、极大值5，极小值－27B 、极大值5，极小值－11C 、极大值5，无极小值D 、极小值－27，无极大值2．f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可 能是（ ）(A) （B ） (C) (D) 3．求下列函数的极值（1）242y x x =- （2）23xy x =+（3）2cos y x x =- （4）xy e ex =-4．已知函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,求)(x f 的递减区间收获与不足。
高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.3函数的极值课时作业北师大版选修1_12017
4.1.3 函数的极值一、选择题1．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()A. 极大值点x＝－1B. 极大值点x＝0C. 极小值点x＝0D. 极小值点x＝1解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.答案：C2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A. 有极小值B. 有极大值C. 既有极大值又有极小值D. 无极值1 2x x－1 2解析：∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，1＋x2 x2＋1 x2＋1令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值．答案：D13．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是()3A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图像如右图．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，∴x＝－1时取极小值．答案：C4．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A. 当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B. 当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C. 当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D. 当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：当k＝1时，f(x)＝(e x－1)(x－1)，f′(x)＝x e x－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(e x－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)e x－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)e x－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.答案：C二、填空题5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－196．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad ＝__________.解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且当x>1时，y′<0，当－1≤x≤1时，y′≥0，当x<－1时，y′<0，故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.答案：27．已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；1③函数f(x)在x＝－处取得极大值；2④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法是__________．解析：题号正误原因分析①由图像知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增②当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数1③f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点2f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1 ④处取得极小值答案：①④三、解答题8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，6故f′(x)＝2a(x－5)＋.x令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程1为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.21 6 x－2x－3(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.2 x x令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．9由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.2a9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.3(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．a解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，3得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以Error!(*)(1)当a＝3时，由(*)式得Error!故f(x)＝x3－3x2＋12x.a(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．解Error!得a∈[1,9]．即a的取值范围是[1,9]．。
41函数的单调性与极值(第二课时)课件(北师大选修1-1)
3 3
y + 0
0+
3 3
,
y f (x) 极
极
大
小
根据上表 x1可 3知 3为函f(数 x)3x33x1的极大 值点 ,函数在该点的: f极 大 33值 1为 233;
x2
3为函f数 (x)3x33x1的极小 3
值点 ,函数在该点的:极 f 大 33值 1为 233;
函数的图像如下页图:
y
注：导数为0的点不一定是极值点．
用图表示如下:
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递增 极大 递减
值
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递减 极小 递增
值
y
( x0 , b)
O a x0 b x
y
( x0 , b)
O a x0 b x
例题讲解
例 2求函 f(x) 数 2x33x23x65的极 . 值
例 3求函 f(x)数 3x33x1的极 . 值
解:首先求出导,由函导数数公式表和则求可导得 : 法 f(x)9x2 3.
解方程 : f(x)0,得:x1
3, 3
x2
3. 3
根x1据 ,x2列出 ,分 下 f析 (x表 )的符 ,f(x)的 号单调
极值 . 点
x ,
北师大版数学高二选修1-1 4-1.2函数的极值 同步测试
4-1.2函数的极值(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么，f (x 0)是极大值解析： 导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A ，C ，D 项错．答案： B2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π在区间[－π，π]上取极大值时x 的值为( ) A.π2 B ．0 C ．－πD ．π解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π＝cos x ＋π，y ′＝－sin x ，令y ′>0， 则－π<x <0，因此在区间[－π，π]上，当x ∈[－π，0]时，函数为增函数，当x ∈[0，π]时，函数为减函数，根据极值定义，当x ＝0时函数在区间[－π，π]取得极大值．答案： B3．下面对于函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的判断正确的是( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值D ．极小值为－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)，令y ′＝0，可得x ＝3或x ＝－1.当－2<x <－1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0，故当x ＝－1时y 取得极大值． 答案： C4．若函数f (x )＝x ·2x 在x 0处有极小值，则x 0等于( ) A.1ln2 B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2解析： ∵y ＝x ·2x ，∴y ′＝2x ＋x ·2x ·ln2＝2x ·(1＋x ·ln2)． 令y ′＝0可得：x ＝－1ln2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1ln2时，y ′<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1ln2，＋∞时，y ′>0. ∴x ＝－1ln2为极小值点．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝2x 3－15x 2＋36x －24的极大值为__________，极小值为________． 解析： y ′＝6x 2－30x ＋36，即y ′＝6(x －2)(x －3)， 令y ′＝0得x ＝2或x ＝3.经判断有极大值为f (2)＝4，极小值f (3)＝3. 答案： 4 36．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )<0，得－a <x <a ，∴f (x )在(－∞，－a )内递增，在(－a ，a )内递减，在(a ，＋∞)内递增， 极大值为f (－a )＝2a 3＋a ＝a (2a 2＋1)>0， 极小值为f (a )＝a (1－2a 2)<0，由此解得a >22. 答案： ⎝⎛⎭⎫22，＋∞三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解析： 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝⎛⎭⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )4e －2当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2.8．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．解析： (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时， y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ， 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1. ∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0.9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况列表如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－113－113 ⎝⎛⎭⎫－113，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， ∴f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意．综上可知f (2)＝18.。
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1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )( )
A ．无极大值点、有四个极小值点
B ．有三个极大值点、两个极小值点
C ．有两个极大值点、两个极小值点
D ．有四个极大值点、无极小值点
3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1
B ．a ＞－1
C ．a ＜－1
e
D ．a ＞－1
e
4．函数f (x )＝x 3－3x 2，给出下列命题，其中正确命题的个数是( ) ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；
③f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若函数f (x )＝x ·2x 在x 0处有极小值，则x 0等于( ) A.1ln 2
B ．－1
ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2
6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数F (x )＝f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是( )
7．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时取极小值0，则m ＝______，n ＝______. 8．设函数f (x )＝m cos x －12sin x 在x ＝π
4
处取得极值，则m ＝______.
9．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围为______．
10．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 11．已知函数f (x )＝1
3
x 3－m 2x (m ＞0)．
(1)当f (x )在x ＝1处取得极值时，求函数f (x )的解析式； (2)当f (x )的极大值不小于2
3
时，求m 的取值范围．
参考答案
1. 答案：A
2. 解析：设f ′(x )与x 轴的4个交点，从左至右依次记为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x ＜x 1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，x 1)上为增加的；
当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，f (x )在(x 1，x 2)上为减少的，则x ＝x 1为极大值点． 同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点．故选C. 答案：C
3. 解析：y ′＝e x ＋a .函数有极值点，则令e x ＋a ＝0，得a ＝－e x .又x ＞0，则e x ＞1，故a ＜－1.
答案：A
4. 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 由f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2， 由f ′ (x )＜0，得0＜x ＜2.故③④正确． 答案：B
5. 解析：y ′＝x ·2x ·ln 2＋2x ＝2x (x ·ln 2＋1)． 令y ′＝0，解得x ＝－1ln 2.
答案：B
6. 解析：F ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]．因为x ＝－1是F (x )的一个极值点，所以F ′(－1)＝0，得出f ′(－1)＋f (－1)＝0，在选项D 中，由图像观察得到f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，所以f (－1)＋f ′(－1)＞0与f ′(－1)＋f (－1)＝0矛盾．故选D.
答案：D
7. 解析：f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， ∴f ′(－1)＝3－6m ＋n ＝0.① 又f (－1)＝－1＋3m －n ＋m 2＝0，②
联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，
n ＝9.
但当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，即x ＝－1不是极值点，舍去．∴m ＝2，n ＝9.
答案：2 9
8. 解析：f ′(x )＝－m sin x －1
2cos x ．由题意，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝0， ∴－m ×
22－12×22＝0.∴m ＝－1
2
. 答案：－1
2
9. 解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有零点．
又f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)上为增加的，
∴⎩⎨⎧
f ′(0)<0，f ′(1)>0.
解得0＜b ＜12
.
答案：⎝⎛⎭
⎫0，12 10. 解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.
于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
故f (x )的递减区间是(－∞，ln 2)，递增区间是(ln 2，＋∞)；且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．
极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )，无极大值． 11. 解：(1)∵f (x )＝1
3x 3－m 2x (m ＞0)，
∴f ′(x )＝x 2－m 2.
∵f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝1－m 2＝0(m ＞0)．
∴m ＝1.∴f (x )＝1
3
x 3－x .
(2)f ′(x )＝x 2－m 2.令f ′(x )＝0，∴x ＝±m . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
∴[f (x )]极大值＝f (－m )＝－m 33＋m 3＝23m 3≥23.
∴m ≥1.
∴m 的取值范围是[1，＋∞)．。