第4章 弯曲内力

5 Fq ( x) qa FAy q( x a) qa qx 2 5 1 M ( x) qax qa ( x a) q( x a)2 2 2
y C
§4-4 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
F=qa A
xE
q
3 a 2 2a
B x
FBy
3、作梁的剪力图和弯矩 图 3
根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象 相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是 转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b.单向受力假设：梁的所有与轴线平行的纵向纤维都是纵向 拉长和缩短的。 c. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵 向纤维即不伸长也不缩短。 定义：中性层与横截面的交线为中性轴。
(+) (-)
qa2
5 1 2 M ( x a ) qa 2 8
载荷集度、剪力和弯矩间的绘图规律
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： 2 dx dx
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变；
一、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截 面的位置而变化。
M 0 8KN.m
q=2KN/m P=2KN
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
1m 1m
D
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ ( x),
称为剪力方程和弯矩方程
13:14:27
M M ( x)
* 控制截面的概念：外力规律发生变化的截面—集中力、 集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
My Iz
M——为横截面上的弯矩 y——为横截面上欲求应 力点到中性轴z的距离 Iz ——惯性距mm4。
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
I z y 2d A
A
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
M ( x) m Pa (0 x a)
BC段:
m=Pa
P B x C x
FQ ( x) P
( a x 2a ) ( a x 2a )
A a
M ( x ) m P( x a )
2 Pa Px
3、求 FQ
FQ
max
a
2、作梁的剪力图和弯矩图
max
第四章
弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q A
P B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
M 0 8KN.m
q=2KN/m F B 1m 2m
FBy
P=2KN D 1m
A
E
1m
FAy
1m
◆因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，
各段的分界点为各段梁的控制截面。
二、剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力 和弯矩沿梁轴线的变化情况。
Q
(+) (-) x 注意：必须标明控制 截面上的内力值
3 梁的简化实例 火车轮轴简化
车削工件的简化
吊车大梁简化
4 静定梁的基本形式
FAx FAy FBy
简支梁
FAx FAy
FAx MA FAy FBy
外伸梁
悬臂梁
静定梁：梁的约束反力全部可由平衡方程直接定量计算出来的梁
§4.2 梁的内力—剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力
例 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的内力。 2 2 M 2 qa M1 2qa 2 q
M M
A
0 0
B
1 FBy qa 2 5 FAy qa 2
y
F=qa A a FAy AB段 : x
q
2、列出梁的剪力方程和弯矩 方程
B x CA段:
FBy
C x
2a
FQ ( x) qa
(0 x a)
M ( x) qax (0 x a)
(a x 3a) (a x 3a)
§4-4 纯弯曲正应力
横力 F 弯曲 a F (+)
FQ 图
纯弯曲
F
横力 纯弯曲——梁弯曲变形时， 弯曲
横截面上只有弯矩而无剪
F
L
a
F
力（ M 0, FQ 0
）。
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
Fa -F
(-)
有剪力（ M 0, FQ 0 ）。
(+)
M-图
§4.4.1 纯弯曲横截面上的正应力
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 Q 剪力 ： 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。 弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。
计算弯曲内力（剪力和弯矩）的方法概括如下：
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力
向截面形心简化所得到的主矢。 内力FQ是一个与横截面相切的分布内 力系的合力,称为剪力。
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得到 的主矩。 内力偶M是与横截面垂直的内力系的合 力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
从三方面考虑： • 变形几何关系 • 物理关系 • 静力学关系
一、变形几何关系
1、用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
a.变形后，所有横向线仍保持为直线，只是横截面间作相对 转动，但仍与纵线正交。 b. 变形后，所有纵向线变成弧线，且靠顶面的纵线缩短， 靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线保持长度不变。 c. 在梁的纵向拉长区，梁的宽度略减少，在纵向缩短区，梁 的宽度略增大。
概括起来就是： 纯弯梁变形时，所有横截面均保持为平面，只是绕各自的中 性轴转过一个角度，各拉长的纵向纤维承受拉应力，各缩短 的纵向纤维承受压应力，中性层不承力。
经几何、物理和静力关系推导（略），梁横截面上任意一点的正 应力与该点到中性轴之距离成线性关系，而中性轴上的各点的正 应力为0，正应力分布如图：
常见弯曲构件截面
§4.1.2
1 载荷的简化
受弯杆件的简化
集中力F 集中载荷 集中力偶M 均布载荷q
均布载荷是分布于单位长度上的载荷大小，称为载荷集度，单 位N/m,常用KN/m。
2 支座的简化
固定铰支座
活动铰支座
固定端
(1)固定铰支座 这种支座在支承处限定梁沿任何方向的位移，因 此，可用两个分力表示相应的约束力。 (2)活动铰支座（滑动铰支座） 这种支座只在支承处限定梁沿垂 直于支座平面方向的位移，因此，只产生一个垂直 于支座平面的约束力。 (3)固定端 这种约束既限定梁端的线位移，也限定其角位移，因 此，相应的约束力有三个：两个约束分力，一个约束 力偶矩。
1)在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开， 选其中一段为研究对象(一般选择载荷较少的部分为研究对象，
以便于计算)。
2)对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与 弯矩。 3)由平衡方程∑Fy=0计算剪力FQ。 4)以所切截面形心为矩心，由平衡方程∑MC(F)=0计算弯矩。
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
q
M 2 2qa2
B
a
By
qa
（剪力实际方向向下）
M sc
Qc
Cபைடு நூலகம்
FBy
M C FBy 2a 2qa a M 2
2qa
2
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
Ay
取右段梁为研究对象:
By
Qc F q 2a qa Qc q 2a F qa
FQ ( x a ) qa 2 1 FQ ( x 3a ) qa 2
a FAy
3 qa 2
(+) E
FQ 图
1 2 qa 8
(-) -qa
(-)
dM 5 qa qa a( x a) dx 2
1 qa 2
FQ ( x) 0
x 5 a 2
和M
(-)
FQ 图
max
-P
（在BC段的各截面） Pa P
(+)
M 图
（在AB段的各截面） M max Pa
注意：
1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原 点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用 范围（x的区间）即可。
2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反 力）作用处， FQ ( x) 应为开区间，因在该处剪力图有突变； 而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩 图有突变。