九年级数学下册第7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题7.6.1与坡度和坡角有关的问题同步练习
九下7.6锐角三角函数的简单应用(3)
§7.6 锐角三角函数的简单应用(3) (教案) 备课时间: 主备人:班级__________ 姓名__________ 学号_________【知识要点】1．斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离2．通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。
【典型例题】1．小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是( ).2．如图是一个拦水大坝的横断面图,AD ∥BC, .斜坡AB=10m,大坝高为8m, (1)则斜坡AB 的坡度 (2)如果坡度,则坡角 (3)如果坡度 ,则大坝高度为___.3．如图,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC 的坡角 为30°,背水坡AD 的坡度 为1:1.2, 坝顶宽DC=2.5米,坝高4.5米. 求:(1)背水坡AD 的坡角 (精确到0.1°); (2)坝底宽AB 的长(精确到0.1米).3．思考:在上题中,为了提高堤坝的 防洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD 加80.cos 20A m ︒80.sin 20B m ︒.80sin 20C m︒.80cos 20D m︒____.AB i =ABi =____.B ∠=1:2,8AB i AB m ==αi β宽0.5米,背水坡AD的坡度改为1:1.4,已知堤坝的总长度为5㎞,求完成该项工程所需的土方(精确到0.1米3)若把此堤坝加高0.5米，需要多少土方？4．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.课后练习：【基础演练】1.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为__________2.如图，一束光线照在坡度为,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.3．如图，小明从点A处出发，沿着坡度为10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为15°的斜坡向上走了160m到达点C。
7.6 用锐角三角函数解决问题(课件)九年级数学下册(苏科版)
01
情境引入
目标视线
仰角
水平线
01
情境引入
水平线
俯角
目标视线
02
知识精讲
【仰角与俯角的概念】
从下向上看，目标视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上向下看，目标视线与水平线的夹角叫做俯角。
仰角与俯角
03
知识精讲
典例精析
例1、如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰
(10 + )
∴PC=PA·sinA=100× =50（海里），PB= PC=50 ≈70.7（海里），
答：B处距离灯塔P约70.7海里；
C
03
知识精讲
典例精析
例2、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此
时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去
∴OC=OB·cos∠AOB=15×
C
=
（m），∴AC=OA-OC=15（m），
∴启动4min时，小明离地面的高度是：15-
+1=(16-
)m。
Hale Waihona Puke B03知识精讲
典例精析
例2、秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为120°，则秋
千摆动的最高位置与最低位置的高度差为________m。
15m，旋转1周需要24min（匀速）。小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆
(16)
时针方向旋转开始1周的观光，启动2min时，小明离地面的高度是__________m。
九下数学课件坡度和坡角有关的问题(课件)
【变式 2】如图，河 坝横断面迎水 坡 AB 的坡比为 1： 2 （坡
比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），坝高 BC＝
．
4m，则坡面 AB 的长度是
_____m
题型一 一个坡度问题
75m
【变式 4】如图，在平地上种植树木时，要求 株距（相邻两棵
树之间的水 平距离）为 10m，若在坡度为 i=1:2.5 的山坡上种
题型三 坡度修改问题
【变式 1】自开展“全民 健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众
步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜
坡 AB=200 米，坡度为 1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 AC=20 米后，斜坡 AB 改造为
【例 3】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进
行改造．已知四边形 ABCD 为矩形，DE＝10 m，其坡度为 i1＝1∶ 3，
将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为 i2＝1∶4，则斜坡 AF 的长是
20.62mຫໍສະໝຸດ ________．(结果精确到 0.01 m，参考数据： 3≈1.732， 17≈4.123)
计算判断：
3
当 sin α＝ ，木箱底部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，
5
木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽 车货厢顶部？
题型四 坡度安全问题
又∵∠EKF＝∠AHB＝90°，∴△EFK∽△ABH.
∴
EF EK
1.6 EK
＝ ，∴ ＝ .
AB AH
1 0.8
解得 EK＝1.28.
∴BJ＋EK＝0.6＋1.28＝1.88.
新人教版九年级数学下册《锐角三角函数应用举例——坡度问题》教学设计
教学难点
利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题。对于坡度 i 表示成 1∶m 的形 式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。 一．引入 山坡陡峭程度、梯子倾斜度描述。 二、新授。
教学过程
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（1） h ：铅垂高度。 （2） l ：水平长度。
（3）坡角 ：坡面与水平面的夹角。
（4）坡度（坡比）:坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比。 记作： i ，即： i h tan
l
注意：
i h 1 1 tan llm h
显然，坡度 i 越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
练习：
1、如图是一个拦水大坝的横断图,AD∥BC.,
(1)如果斜坡 AB=10m,大坝高为 8m,则 斜坡 AB 的坡度为________
锐角三角函数应用举例
——坡度问题教学设计
知识与技能：巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。 过程与方法：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与 教学目标 坡度有关的实际问题。 情感、态度与价值观：培养学生用数学的意识，渗透数形结合的数学思想和 方法。
教学重点 理解坡度和坡角的概念。
练习提高 下图是一座人行天桥的示意图,其高是 8m,原 坡面的倾斜角为 45°现在要降低坡度,使新坡 面的倾斜角为 30°,若新坡角前需留 3m 的人行 道,问原距底 A 点 10 m 的建筑物是否需要拆除？ 请说明理由. 课堂小结 学习了本堂课，回答下列问题： 1.有哪些量可以反映斜坡的陡峭程度？如何反映？ 2.坡度是角度吗？坡度指的是什么？ 3.坡度与坡角有什么关系？ 课后作业 1.课本 77 页练习 2 2.课本 79 页第 9 题
的高度为 米.
九年级下册数学锐角三角函数知识点
九年级下册数学锐角三角函数知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
第7章-专题16用锐角三角函数解决问题-同步学与练(含解析)-数学苏科版九年级下册
专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）知识点2．仰角、俯角问题（重点）知识点3．方向角问题知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题题型2．利用锐角三角函数解航线问题题型3．利用锐角三角函数进行方案设计题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题考法2．方向角问题考法3．坡度问题【方法四】成果评定法【学习目标】1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）1．如图，坡面的铅垂高度（A）和水平宽度（B）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作A，即B．坡度通常写成DC的形式，如i=1︰1.5．2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作B．坡度C与坡角B之间的关系：B．【例1】．（2023秋•盘州市期中）1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数坡角ADC据：sin430.68cos430.73ta430.93，，】︒=︒=︒=n，，；sin310.52cos310.86tan310.60︒=︒=︒=知识点2．仰角、俯角问题（重点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例2】．（2023秋•成都期中）2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠= ，求小李到古塔的水平距离即BC的长. （结果精确到1m，参考数据：75AOC≈≈）1.73知识点3．方向角问题1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位 ．角A的取值范围为0360θ≤<【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）3．如图，海岸边上有三个观测站,,A B C ，观测站B 在观测站A 的东北方向，观测站C 在观测站B 的正东方向，观测站,B C 之间的距离为30海里．某天，观测站,,A B C 同时收到一艘轮船在D 处发出的求救信号，经分析，D 在观测站C 的南偏东15︒方向，在观测站B 的东南方向，在观测站A 的正东方向．(1)求CD 的长度．（结果精确到个位）(2)目前只有观测站A 与B 配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B 的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C 处，才能再去D 处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A 的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D 处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 处？（参考数据：1.732≈≈）知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）【例4】．（2023•秦都区校级模拟）4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【例5】．（2023秋•大东区期末）5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈，1.732)≈【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题（2023秋•长春期末）6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E C A 、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 27 1.7︒==】．（2023秋•闵行区月考）7．小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．题型2．利用锐角三角函数解航线问题（2023上·山东东营·九年级统考期中）8．如图，灯塔A 周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C 处，测得灯塔A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan 320.625︒≈，sin 580.848︒≈，cos580.530︒≈，tan 58 1.6︒≈）（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）9．嘉淇看到这样一道题目：如图，某巡逻船在A 处测得一艘敌舰在北偏东31︒的B 处，卫星测得AB 相距6海里，巡逻船静止不动，6分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东57.6︒的C 处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为30海里/小时．（结果保留整数，参考数据：tan310.6︒≈，tan 57.6 1.6︒≈，tan 26.60.5≈° 2.236≈）嘉淇过点C 作CD AB ⊥于D ，设CD x =海里，请你帮她接着解决以下问题：(1)BD =______里（用含用x 的代数式表示）；(2)求敌舰在C 处时与巡逻船的距离．题型3．利用锐角三角函数进行方案设计（2023•东台市一模）10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道120AB cm = ,两扇活页门的宽60OC OB cm == ,点B 固定，当点C 在AB 上左右运动时，OC 与OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若50OBC ∠=︒,求AC 的长；(2)当点C 从点A 向右运动60cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长.（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）图1 图2（2023•洪泽区二模）11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10cm AB =，5cm =BC ．求零件的截面面积．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈）（2023•滨湖区一模）12．如图，某工程队从A 处沿正北方向铺设了184米轨道到达B 处．某同学在博物馆C 测得A 处在博物馆C 的南偏东27︒方向，B 处在博物馆C 的东南方向．（参考数据：sin 270.45︒≈︒，cos270.90︒≈︒，tan 270.50︒= 2.45=．）(1)请计算博物馆C 到B 处的距离；（结果保留根号）(2)博物馆C 周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B 处时，只需沿北偏东15︒的BE 方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）（2023•苏州）13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题（2023•建湖县三模）14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧AB ，弦AB 为水平面，设弧AB 所在圆的半径为r ，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A 处测得桥拱上点C 处的仰角为30︒，BC a =，则r = ．（用含a 的代数式表示）(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：50B ∠=︒，8.8AC =米，求半径r （结果精确到0.1）．（参考数据：sin 200.34cos 200.94tan 200.36sin 500.77,cos500.64tan 50 1.19︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，）(3)如图④，在弧AB 上任取一点C （不与A B 、重合），作CD AB ⊥于点D ，若2CD =，3BD =，8AD =，求r 的值．【方法三】 仿真实战法考法1．仰角、俯角问题（2023•南通）15．如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（ ）A．B．C．D．（2023•淮安）16．根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量 说明：点Q 为古塔底面圆圆心，测角仪高度15m AB CD ==.，在B D 、处分别测得古塔顶端的仰角为3245,9m BD ︒︒=、，测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离12.9m DG =．点B D G Q 、、、在同一条直线上．参考数据sin320.530,cos320.848,tan320.625︒≈︒≈︒≈项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．（2023•泰州）17．如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）考法2．方向角问题（2022•南京）18．如图，灯塔B 位于港口A 的北偏东58︒方向，且A ，B 之间的距离为30km ，灯塔C 位于灯塔B 的正东方向，且B ，C 之间的距离为10km ．一艘轮船从港口A 出发，沿正南方向航行到达D 处，测得灯塔C 在北偏东37︒方向上，这时，D 处距离港口A 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）考法3．坡度问题（2023•淄博）19．如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为 米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625（2023•深圳）20．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30° 1.732≈ 1.414≈）（ ）A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J（2023•辽宁）21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）（2023•大庆）22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）【方法四】 成果评定法一、选择题（共5小题）（2023•苏州一模）23．如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（ ）A ．30tan α米B ．30tan α米C ．30sin α米D ．30sin α米（2023秋•沛县校级月考）24．如图，滑雪场有一坡角20︒的滑雪道，滑雪道AC 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（ ）米．A ．200cos 20︒B ．200sin 20︒C ．200cos 20︒D ．200sin 20︒（2023秋•淮阴区期中）25．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC a =米，35PCA ∠=︒，则小河宽PA 等于（ ）A ．sin 35a ⋅︒米B ．sin 55a ⋅︒米C ．tan 35a ⋅︒米D ．tan 55a ⋅︒米（2023•梁溪区校级二模）26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角120BAD ∠=︒，当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90︒的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离为（ ）A B ．200厘米C D ．170厘米（2023秋•江阴市月考）27．如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为)1海里．观测站B 到AC 的距离BP 是（ ）AB ．1C ．2D 二、填空题（共5小题）（2023秋•通州区校级月考）28．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2m BC =， 5.8m CD =，30DCF ∠=o ，则车位所占的宽度EF 为 米． 1.7≈，结果精确到1m)（2023秋•靖江市期中）29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．（2023•靖江市模拟）30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．（2023秋•无锡月考）31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．（2023秋•海门市校级月考）32．已知B港口位于A观测点北偏东45︒方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75︒方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 km ．三、解答题（共7小题）（2023秋•通州区校级月考）33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，E ，D 三点共线且头部到斜坡的距离GD 为1.05m ，上身与大腿夹角53GFE ∠=︒，膝盖与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，30EMD ∠=︒(1)求此滑雪运动员的小腿ED 的长度；(2)求此运动员的身高．（运动员身高由GF EF DE 、、三条线段构成；参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）（2023•灌云县校级模拟）34．如图，建筑物BC 的顶部有一个广告牌AB ，从距离建筑物15米的D 处测得广告牌的顶部A 的仰角为39︒，测得广告牌的底部B 的仰角为30︒，求广告牌AB 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.73≈．（2022秋•高邮市期末）35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为n ︒时，箱盖DCE 落在DC E ''的位置（如图2），100cm DC =，20cm CE =，40cm EB =．(1)若72n =，求点C 、C '两点之间的距离；（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈）(2)若60n =，求E 、E '两点之间的距离．（2023•阜宁县二模）36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈ ，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos 665︒≈，9tan 664︒≈）（2023秋•泰兴市期中）37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l 旁设一个菜鸟驿站点P ，使驿站到公路同侧的A 、B 两个小区的距离相等．(1)如图 1，当A 小区到公路l 的距离300m AC =， B 小区到公路l 的距离400m BD =，且700m CD =时，求驿站点P 到A 小区的距离；(2)如图2，若A 、B 两个小区到公路l 的距离均为a ，CD 的长度为2a ，求APB ∠的度数；(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A 小区到公路l 的距离a 与B 小区到公路l 的距离b 之和等于CD 的长度时，APB ∠始终是直角． 请利用图3加以说明．（2023秋•启东市期中）38．如图，上午8时，一条船从A 处测得灯塔C 在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C 的正东方向D 处?（2023•栖霞区校级三模）39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈参考答案：1．2.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在Rt ABC △中，求出AC 的长，再在Rt ADC ，由tan AC ADC CD ∠=，即可求出CD 的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【详解】解：在Rt ABC △中，sin AC ABC AB∠=，()sin4320.68 1.36m AC AB ∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC 中，tan AC ADC CD ∠=， ∴()1.36 2.3m tan 310.60AC CD ==≈︒，∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．2．21【分析】过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据题意可得：40AO =米，20OC =米，OE BD =，OE BD ∥，从而可得45EOC OCD ∠=∠=︒，进而可得30AOE ∠=︒，然后在Rt OCD △中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，再在Rt AOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，从而求出BD 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，由题意得：8540AO =⨯=（米），4520OC =⨯=（米），OE BD =，OE BD∥∴45EOC OCD ∠=∠=︒，∵75AOC ∠=︒，∴30AOE AOC EOC ∠=∠-∠=︒，在Rt OCD △中， cos 4520CD OC =⋅︒==（米），在Rt AOE 中，cos3040OE AO =⋅︒==，∴OE BD ==，∴21BC BD CD =-=-≈（米），∴小李到古塔的水平距离即BC 的长约为21米．3．(1)42（海里）；(2)A 观测站搜救艇可以更快到达D 处．【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理15︒是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以90B Ð=°，15C ∠=︒，1AB =的Rt ABC △中，作AD BC =．∵15C DAC ∠=∠=︒∴30ADB C DAC ∠=∠+∠=︒∴在Rt △ABD 中，1AB =，∴由锐角三角函数可得BD =2AD CD ==，∴2BC =+，在Rt ABC △中，tan tan152AB C BC ∠=︒===．如图，过点D 作ED BC ⊥于点E ，由题意可得，45A HBD BDH ∠=∠=∠=︒，15FCD DC ∠=∠E =︒30BC HF ==．设CE x =，则30BE BH ED x ===+，∴在Rt EDC 中，tan tan152CE CDE ED∠=︒==∴(2CE ED =⋅∴(30)(2x x =+1)x =-，∴1)CE =，301)1)ED =+=．由勾股定理得，222CE ED CD +=∴42CD ==≈（海里）．（2）由（1）知，1)BH ED ==，∴从A 观测站行驶距离：21)AD BH ==（海里）时间：11) 2.732t ==≈（小时）；从B 观测站行驶距离1)BC CD +=（海里）时间：20.5 1.5 2.914t ==≈（小时）∵12t t <，∴A 观测站的搜救艇可以更快到达D 处．4．约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒（米），∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．(1)车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m(2)没有碰头的危险．理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E ''⊥于点F ，根据题意求出60C B F ''∠=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt AB E '△中，1m AB AB '==，27B AD '∠=︒，sin B E B AE AB ''∠='，()sin 1sin 270.454m B E AB B AE '''∴=⋅∠=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：()0.454 1.7 2.154 2.15m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E ''⊥于点F ，在Rt AB E '△中，27B AD '∠=︒，则902763AB E '∠=︒-︒=︒，123AB C ABC '∠=∠=︒ ，60C B F ''∴∠=︒，0.6m B C BC ''== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠⨯''=''='，∴点C '到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m -=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．6．塔AB 的高度约为11.1m【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设m AB h =，根据题意得：()m,3m DF EA h DE FA ====则()3m BF h =-，然后在Rt BDF △中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【详解】由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC △中，90,30DEC DCE ∠=︒∠=︒，3m DE =，CE ∴==BA EA ⊥ ，在Rt ABC △中，m,45AB h BCA =∠=︒，m tan45AB AC h ∴=︒=()mAE EC AC h ∴=+=+过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由题意得：()m,3m DF EA h DE FA ==+==，m AB h = ，()3m BF AB AF h ∴=-=-，在Rt BDF △中，27BDF ∠=︒，()tan270.5m BF DF h ∴=⋅︒=()30.5h h ∴-=，解得：611.1h ==11.1m AB ∴=∴塔AB 的高度约为11.1m ．7．31.5+【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B ' 和Rt MN B ' 中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan β=)210BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,在Rt MM B ' 中，()1·tan 2103BM MM x α==+'；在Rt MN B ' 中，·tan BM MN β'=，∵sin 13β=，∴cos β=，∴tan β=∴)210BM x =+，∴())12202103x x +=+，解得：35x =，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m ．8．渔船没有触礁的危险．【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点A 作AD BC ⊥，分别解Rt ADC 和Rt ADB ，求出AD 的长，即可得出结论．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，8BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴8BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6258AD x ABD BD x ∠==≈+，∴13x ≈，∴13AD ≈，∵1312>，∴渔船没有触礁的危险．9．(1)()62x -；(2)敌舰在C 【分析】(1)在Rt ADC 中运用1tan 2CD CAD AD ∠==，可求出2AD x =，再根据线段的和差即可求解； (2)运用勾股定理求出3CD =或95，再根据勾股定理求出AC 的长即可求解；本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．【详解】（1）解：根据题意得， 57.63126.6CAB ∠=︒-︒=︒，630360BC =⨯=(海里)， 在Rt ADC 中，CD x =海里，∴1tan 2CD CAD AD ∠==，∴2AD x =，∴()62BD AB AD x =-=-海里，故答案为：()62x -；（2）解：∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴222BD CD BC +=，即()222623x x -+=，解得13x =，295x =，∵CD BC <，∴13x =不合，舍去，∴95x =，又222AD CD AC +=，即()2222x x AC +=，∴AC =(负值舍去)，∴AC =海里) ，答：敌舰在C 10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.【详解】【分析】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △OBH 中， 由cos ∠OBC=BH OB，求得BH 的长，再根据AC=AB －2BH 即可求得AC 的长；（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧OC 的长，即点O 在此过程中运动的路径长.【详解】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，∵OC=OB=60，∴CH=BH ，在Rt △OBH 中，∵ cos ∠OBC=BH OB，∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB －2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC 的长约为43.2cm ；（2）∵AC=60，∴BC=60 ，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60 ，∴△OBC 是等边三角形，∴ OC 的长=6060180π⨯=20 3.14⨯ =62.8，∴点O 在此过程中运动的路径长约为62.8cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.11．截面的面积为250cm ．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得AE ，BE 的长，再解直角三角形求解BF ，FC 的长，进而可求解四边形EFDA ，ABE ，BCF △的面积，根据截面的面积ABE BCF EFDA S S S =-- 四边形计算可求解．【详解】解： 四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，∴AD EF ∥，90E F ∠=∠=︒，53BAD EBA ∴∠=∠=︒，在Rt ABE △中，90E ∠=︒，10cm AB =，53EBA ∠=︒，sin 0.80AE EBA AB∴∠=≈，cos 0.60BE EBA AB ∠=≈，8AE ∴=，6BE =，90ABC ∠=︒ ，9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒，9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCF 中，90F ∠=︒，6BC cm =，sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC BCF BC∠=≈，4BF ∴=，3=FC ，6410EF ∴=+=，()281080cm EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯=四边形，()2118624cm 22ABE S AE BE =⋅=⨯⨯= ，()211436cm 22BCF S BF CF =⋅=⨯⨯= ，∴截面的面积()28024650cm ABE BCF EFDA S S S =--=--= 四边形．答：截面的面积为250cm ．12．(1)博物馆C 到B 处的距离约为(2)博物馆C 周围至少225米内不能铺设轨道【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C 作CG AB ⊥于点G ，证明BCG 是等腰直角三角形，得到CG BG =，设CG BG x ==，则BC =，再由锐角三角函数定义得2AG x =，再由2184x x =+，问题可解；（2）过点C 作CH BE ⊥于点H ，根据题意得60CBE CBG DBE ∠=∠+∠=︒，利用锐角三角函数的定义求出CH 的长即可．【详解】（1）解：如图1，过点C 作CG AB ⊥于点G ，在Rt BCG 中，45CBG ∠=︒，。
苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题
7.6用锐角三角函数解决问题同步习题一．选择题1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（）m．A．40B．45C．30+D．302．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD ＝2CD，设斜坡AC的坡度为i AC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为i AB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（）A．i AC＝2i AB B．∠ACD＝2∠ABD C．2i AC＝i AB D．2∠ACD＝∠ABD 4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE 平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A．11.1米B．11.8米C．12.0米D．12.6米5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣56．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．2.7B．3.4C．2.5D．3.17．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（）A．3米B．3米C．（3﹣2）米D．（3﹣3）米8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A 处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）A．27米B．31米C．48米D．52米9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20二．填空题11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为m．12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．三．解答题16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E 的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，求大楼AB的高．17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠BDE＝30°，BD＝30m，∴BE＝BD＝15m，∵AD＝30m，∴CE＝30m，∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．故选：B．2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．3．解：斜坡AC的坡度i AC＝，斜坡AB的坡度i AB＝，∵BD＝2CD，∴i AC＝2i AB，A正确，C错误；∠ACD≠2∠ABD，B错误；2∠ACD≠∠ABD，D错误；故选：A．4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15，在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D．5．解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．6．解：根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．7．解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，则AH＝AB•sin∠ABH＝6×＝3，∵∠E＝45°，∴AE＝AH＝×3＝3，故选：A．8．解：设CE＝x米，∵斜坡BC的坡度为2：1，∴BE＝2x米，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，则＝0.7，解得，x＝21，∴DE＝39+x＝60，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE＝69，∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），故选：A．9．解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴BC＝AB＝12，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），故选：B．10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．二．填空题11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，∵cos∠A＝，∴AB＝＝＝6（m），故答案为：6．12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，故答案为：15．13．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠P AC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△P AC中，＝tan∠P AC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．三．解答题16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度，∴BG：CG＝3：4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．∵在Rt△BCF中，，∴设BF＝k，则，．又∵，∴k＝8，∴BF＝8，．∵DF＝DC+CF，∴．∵在Rt△ADF中，，∴（米）．∵AB＝AF﹣BF，∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．18．解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝16，∴BE＝x﹣16，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣16），∴2（x﹣16）＝x，解得：x＝32（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝32×＝，∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．。
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[7.6 第1课时 与坡度、坡角有关的问题]
一、选择题
1．图K －32－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h ＝6 m ，迎水斜坡AB ＝10 m ，斜坡AB 的坡角为α，则tan α的值为( )
图K －32－1
A.35
B.45
C.43
D.34
2．2017·温州如图K －32－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝12
13
，则小车上升的高度是链接听课例1归纳总结( )
图K －32－2
A ．5米
B ．6米
C ．6.5米
D ．12米
3．如图K －32－3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为( )
图K －32－3
A ．5cos α米 B.5
cos α米
C ．5sin α米 D.5
5sin α
米
4．某水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD ＝6 m ，坝高为24 m ，斜坡AB 的坡角是45°，斜坡CD 的坡比i ＝1∶2，则坝底BC 的长是( )
A ．(30＋8 3)m
B ．(30＋24 3)m
C ．42 m
D ．78 m 二、填空题
5．如图K －32－4，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°
图K－32－4
6．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 5米，则这个坡面的坡度为________．
7．2017·天门为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图K－32－5，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12 3米，∠B＝60°，
加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3 3
13
，则CE的长为________
米.链接听课例2归纳总结
图K－32－5
三、解答题
8．2018·徐州如图K－32－6，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝
高和坝底宽(精确到0.1 m．
图K－32－6
9．某学校校园内有一小山坡，如图K－32－7所示，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB的长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC 的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
图K－32－7。