黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二4月月考数学(文)试题Word版含答案
黑龙江高二数学4月月考试题理.doc
黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.乘积(a 1＋a 2)(b 1＋b 2＋b 3)(c 1＋c 2＋c 3＋c 4)(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)的展开式中共有不同的项的个数为( )A ．16B ．24C ．48D ．962．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝( )A.1415 B.710 C.25 D.154.已知曲线)(x f y =在点P ))(,(00x f x 处的切线方程为012=++y x ，那么（ ）A.0)(0'=x fB. 0)(0'<x fC. 0)(0'>x f D. 不能确定5．设随机变量ξ的分布列2()()3iP i c ξ==⋅，i ＝1,2,3，则c ＝( ) A.1738 B.2738 C.1719 D.27196．方程C x14＝C 2x －414的解集为( )A ．{4}B ．{14}C ．{4,6}D ．{14,2}7、设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B. 53 C ．5 D. 738．某公司的班车在7：00,8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.349.设(5nx的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则n 的值( )A ．4B ．6C ．8D ．1010.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．8711.正弦曲线x y sin =上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A.),43[]4,0[πππB.),0[πC. ]43,4[ππD. ]43,2[]4,0[πππ12.执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色：①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连的两个小圆不能涂相同的颜色。
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学期4月月考数学试卷(理科)Word版含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学期4月月考数学试卷（理科）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1．已知，，则=（ ） A ．（2，7） B ．（13，﹣7） C ．（7，﹣1） D ．（﹣1，﹣1）2．已知，且，则=（ ）A ．0B ．10C ．20D ．﹣203．已知等差数列{a n }满足a 5+a 6=28，则其前10项之和为（ ） A ．140 B ．280 C ．168 D ．564．在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则∠C=（ ） A ．60° B ．90° C ．150° D ．120°5．已知，若，则x=（ ）A ．15B ．﹣15C ．5D ．﹣56．设数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．647．若==，则△ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等边三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形8．△ABC 中，a ．b ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，如果a ．b ．c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．等比数列{a n }中a 1=2，公比q=﹣2，记πn =a 1×a 2×…×a n （即πn 表示数列{a n }的前n 项之积），π8，π9，π10，π11中值最大的是（ ）A．π8B．π9C．π10D．π1111．若=， =，与不共线，则∠AOB平分线上的向量为（）A．B．C．D．，λ由确定12．如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且，则此数列的第10项为（）A． B．C．D．二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2= ．14．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则S△ABC= ．15．已知，且x+2y=1，则的最小值是．16．数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的通项公式是a n= ．三、解答题（包括6小题，共70分）17．已知，是两个单位向量．若|3﹣2|=3，试求|3+|的值．18．等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．19．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．20．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（Ⅰ）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）已知c=2，C=，若⊥，求△ABC的面积S．21．在数列{a n}中，S n+1=4a n+2，a1=1．（1）设b n=a n+1﹣2a n，求证数列{b n}是等比数列；（2）设c n=，求证数列{c n}是等差数列；（3）在（2）的条件下设d n=，求{d n}的前n项和．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学期4月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1．已知，，则=（）A．（2，7）B．（13，﹣7）C．（7，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算即可求出．【解答】解：∵，，∴=3（1，3）﹣2（﹣2，5）=（3，9）﹣（﹣4，10）=（7，﹣1），故选：C．2．已知，且，则=（）A．0 B．10 C．20 D．﹣20【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积运算公式求解即可．【解答】解：，且，则==0．故选：A．3．已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为（）A．140 B．280 C．168 D．56【考点】85：等差数列的前n项和；8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质a5+a6=a1+a10，代入等差数列前n项和公式进行运算．【解答】解：由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10，∴其前10项之和为：==140．4．在△ABC中，若c2=a2+b2+ab，则∠C=（）A．60° B．90° C．150°D．120°【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式变形后代入，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵c2=a2+b2+ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC==﹣，又∠C为三角形的内角，则∠C=120°．故选D5．已知，若，则x=（）A．15 B．﹣15 C．5 D．﹣5【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解： =（5，﹣1），∵，则15+x=0，解得x=﹣15．故选：B．6．设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为（）A．15 B．16 C．49 D．64【考点】8H：数列递推式．【分析】直接根据a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得出结论．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故选A．7．若==，则△ABC是（）A．等腰直角三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等边三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理结合条件可得 sinB=cosB，sinC=cosC，故有B=C=45°且A=90°，由此即可判断三角形的形状．【解答】解：∵在△ABC中， ==，则由正弦定理可得： ==，即sinB=cosB，sinC=cosC，∴B=C=45°，∴A=90°，故△ABC为等腰直角三角形，故选A．8．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；%H：三角形的面积公式．【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，由S△ABC=acsinB=ac•sin30°=ac=，解得ac=6，代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选：B9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）A． B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用【解答】解：∵依题．∴．故选A10．等比数列{a n}中a1=2，公比q=﹣2，记πn=a1×a2×…×a n（即πn表示数列{a n}的前n项之积），π8，π9，π10，π11中值最大的是（）A．π8B．π9C．π10D．π11【考点】8G：等比数列的性质．【分析】等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，利用新定义，即可得到结论．【解答】解：等比数列{a n}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴π11＜0，π10＜0，π9＞0，π8＞0，∵=a9＞1，∴π9＞π8．故选：B．11．若=， =，与不共线，则∠AOB平分线上的向量为（）A．B．C．D．，λ由确定【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】以OM为对角线作平行四边形OCMD，则四边形OCMD是菱形，故OC=OD，从而得出答案．【解答】解：以OM为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形OCMD，∵OM平分∠AOB，∴平行四边形OCMD是菱形，设OC=OD=λ，则=λ， =λ，∴==λ（+）．故选：D．12．如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且，则此数列的第10项为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】把已知的递推式取倒数，得到新数列{}构成以为首项，以1为公比的等比数列．求出该等比数列的通项后利用累加法可得数列{a n }的第10项．【解答】解：由，得，∴，即．∴{}构成以为首项，以1为公比的等比数列．∵a 1=2，a 2=1，∴ =1﹣=．则．∴=．．…．累加得：．∴．故选：D ．二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= ﹣9 ． 【考点】8F ：等差数列的性质．【分析】由题意得（a 1+6）2=a 1（a 1+9），即a 1=﹣12，即可得出结论． 【解答】解：∵等差数列{a n }的公差为3，a 1、a 3、a 4成等比数列， ∴（a 1+6）2=a 1（a 1+9）． ∴a 1=﹣12， ∴a 2=﹣9， 故答案为：﹣9．14．在△ABC 中，a=3，b=2，cosC=，则S △ABC = 4．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；%H ：三角形的面积公式．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出sinC 的值，进而由三角形的面积公式得出答案．【解答】解：∵cosC=，C ∈（0，π）∴sinC==∴S △ABC =absinC=×=4故答案为：415．已知，且x+2y=1，则的最小值是 ．【考点】9D ：两向量的和或差的模的最值．【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果． 【解答】解：∵x+2y=1∴•===84y 2﹣72y+16∴当y=时，原式=，故答案为：，16．数列{a n }满足：，且，则数列{a n }的通项公式是a n =．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由，化为﹣=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣=2，则数列{}为等差数列，公差为2，首项为3．∴=3+2（n ﹣1）=2n+1．∴a n =．故答案为：．三、解答题（包括6小题，共70分）17．已知，是两个单位向量．若|3﹣2|=3，试求|3+|的值．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】通过向量的模，转化求解向量的数量积，然后求解向量的模．【解答】解：，是两个单位向量．若|3﹣2|=3，可得：9+4﹣12=9，可得cos=，|3+|===．|3+|的值为：．18．等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项a n可得．（2）把等差数列的求和公式代入S n=242进而求得n．【解答】解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2．所以a n=2n+10．（Ⅱ）由得方程．解得n=11或n=﹣22（舍去）．19．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．20．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（Ⅰ）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）已知c=2，C=，若⊥，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）给出两向量平行，再利用正弦定理，就可得到两边相等，即可得到是等腰三角形；（Ⅱ）由⊥，可得x1x2+y1y2=0，再利用余弦定理可求ab的值，结合C的值，即可求出△ABC的面积S．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵∥，向量=（a，b），=（sinB，sinA），∴asinA=bsinB，…3分由正弦定理可得：a2=b2，即a=b，∴△ABC为等腰三角形…5分（Ⅱ）∵⊥，∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0，可得：a+b=ab①，…7分又∵c=2，C=，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：a2+b2﹣ab=4，…9分∴（a+b ）2﹣3ab=4，把①代入可得：（ab ）2﹣3ab ﹣4=0，解得：ab=4，或﹣1．（舍去），∴△ABC 的面积S=absinC=．…12分21．在数列{a n }中，S n+1=4a n +2，a 1=1．（1）设b n =a n+1﹣2a n ，求证数列{b n }是等比数列；（2）设c n =，求证数列{c n }是等差数列；（3）在（2）的条件下设d n =，求{d n }的前n 项和．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（1）S n+1=4a n +2，n ≥2时，可得：S n =4a n ﹣1+2，相减可得：a n+1=4a n ﹣4a n ﹣1，变形为：a n+1﹣2a n =2（a n ﹣2a n ﹣1），即可证明．（2）由（1）可得：a n ﹣2a n ﹣1=3×2n ﹣1，n ≥2．可得﹣=，即c n ﹣c n ﹣1=，即可证明．（3）在（2）的条件下，c n =．可得d n ===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n +2，n ≥2时，可得：S n =4a n ﹣1+2，相减可得：a n+1=4a n ﹣4a n ﹣1， 变形为：a n+1﹣2a n =2（a n ﹣2a n ﹣1）， ∴b n =2b n ﹣1，n=1时，a 1+a 2=4a 1+2，a 1=1．解得a 2=5． ∴a 2﹣2a 1=3．∴数列{b n }是等比数列，首项为3，公比为2．（2）证明：由（1）可得：a n ﹣2a n ﹣1=3×2n ﹣1，n ≥2．∴﹣=，即c n ﹣c n ﹣1=，c 1=．∴数列{c n }是等差数列，首项为，公差为．（3）解：在（2）的条件下，c n==．d n===，∴{d n}的前n项和=++…+==．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．【考点】8G：等比数列的性质；8B：数列的应用；8H：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得a n．（2）把（1）中的a n代入b n，再利用错位相减法求得S n，再由S n+（n+m）a n+1＜0恒成立进而求得m的范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴解之得，或又{a n}单调递增，∴q=2，a1=2，∴a n=2n，（2）b n=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣S n=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2S n=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1由S n+（n+m）a n+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
黑龙江省高二数学4月月考试题理无答案8.doc
黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理一、选择题：（每题5分，共60分）1.方程241414x x C C -=的解集为 （ ）A. {4}B.{6}C.{4,6}D.{14,4}2．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）A. 12694C CB.12699C CC.3310094C C - D.3310094A A -3.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( )A. 0.93×0.1 B. 0.93C. 34C ×0.93×0.1D. 1－0.134．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.14 B.12 C.13 D.235．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.6)B ξ，则(),()E D ηη分别是 ( )A. 6，2.4B. 2，2.4C. 2，5.6D. 6，5.66.22)nx 的展开式中只有第6项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. 180B. 90C. 45D. 3607.有3位男生，3位女生和一位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A. 144 B. 216 C. 288 D. 4328.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ ） A.13 B. 25 C.12 D.359.某人根据自己爱好，希望从{,,,}W X Y Z 中选2个不同的字母，从{0,2,6,8}中选3个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z 和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 198个 B. 180个 C. 216个 D. 234个10.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折叠，连接顶点,B D 形成三棱锥B ACD -，其正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ）A.125B.1225C.7225D.1442511.在三行三列的方阵⎝⎛312111a a a 322212a a a ⎪⎪⎪⎭⎫332313a a a 中有9个数)3,2,1,3,2,1(==j i a ij ，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是（ ） A.73 B.74 C.141 D.141312.哈尔滨2018年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语外不相邻，则该生该天课表有（ ）种. A .444 B.1776 C. 547 D.2188二、填空题（每题5分，共20分）13.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相C邻出现，则这样的四位数有_________个.14.已知n 为正整数，在2(1)n x +与3(12)n x +的展开式中含3x 项的系数相同，则n 的值为_______.15.为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为_________.16. 已知点F 为双曲线)0,(,1:2222>=-b a by a x E 的右焦点，直线)0(>=k kx y 与E 交于N M ,两点，若NF MF ⊥,设θ=∠MNF ,且]6,12[ππθ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.三、计算题：（共70分）17.（共10分）二项式nx )31(-中第三项的二项式系数等于第五项二项式系数. （1）求n ；（2）求第四项的系数；（3）若nn n x a x a a x +++=- 10)31(，求：①n a a a +++ 21；② +++420a a a ； ③||||||10n a a a +++ .18.（共12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为12(1x tt y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） ，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ= . （1）若直线l的参数方程中的t =时，得到M 点，求M 的极坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,1)P ，若直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+.19. （共12分）袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个.从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13. （1）求,m n 的值；（2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列.20. （共12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面SAD ⊥平面SCD，SA SD ==（1）求证：平面SAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段SD 上一点，若二面角S BC E --的平面角的余弦值为10，求SE 的长.21.（共12分）近年来，空气质量成为人们关注的话题，空气质量指数AQI 是定量描述空气质量状况的指数。
黑龙江省齐齐哈尔市2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理扫描版201801260128
齐齐哈尔市 2017-2018学年度高二上学期期末考试数学试题(理科)答案一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BDAABADCB B B D二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上. 13. -214.-415. 316. ①④⑤三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17.（本题满分 10分）解：（I ）由 (2b c ) cos A a cos C 及正弦定理，得(2sin B sin C ) cos A sin A cos C2 sin B cos A sin C cos A sin A cos C2 s in B cos A sin(C A ) sin B…………………3分∵ B (0, ) sin B 0cos 1A A (0, )2A 3…………………5分A 3(II)解：由（I ）得，由余弦定理得 4 b 2 c 2 2bc cos b 2 c 2 bc…………………6分3(b c )2 3bc 4, b c 4 bc 4…………………8分所以 ABC 的面积为1 sin 1 4 3 3 …………………10分 Sbc AABC22218.(1)设等差数列的首项为,公差为 d.aan125,25 512…………………4分计算得1 1,d 2, ……………………5分aa n2n1,n N……………………6分(2)证明: a 2n 1，n1S n n(1 2n 1) n2前n项和为………………………8分27bn11112n(n 1)n n 1n (n 1)2………………………10分T n111111b b b ... b (1 ) ( ) ... ( )1 112n3223n n1n1………12分19.解：（1）由题意知频率分布表可知：n 5 0.05 100，所以a, ……2分100 0.35 3530 b1000.3…………3分补全频率分布直方图，如图所示．………………………5分（2）第2，4，5组总人数为20 30 10 60．……………………6分20660故第2组应抽人数为2，记为1，2 ……………………7分30660第4组应抽人数为3，记为a，b，c………………………8分106 160，记为m………………………9分第5组应抽人数为从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有：m,a , m,b , m,c , m,1 , m,2 , a,b ,a,c , a,1 , a,2 , b,c , b,1 , b,2 , c,1 , c,2 , 1,共有15个，符合条件的有9故概率为0.6．………………………12分1520. 解:8（1）由双曲线定义可知 MF2 2, 1 定点 F ( 3,0), ( 3,0)可知C 31 MF a a1 F 222y2由b 2 c 2a2 可得b 2 即轨迹方程 C: x1………4分2（2）设过点 P (1,1) 的直线方程为 y k (x 1) 1或 x 1 ……………………5分(i )当 k 存在时，联立y k (x22yx21) 1 1得 (2 k 2 )x 2 (2k 2 2k )x k 2 2k 3 0 （1）………………6分当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有22223(2k 2k ) 4(2 k )( k 2k 3) 0,k2又方程(1)的两个不同的根是两交点 A (x 1, y ) 、B ( , ) 的横坐标x 2 y1 22(k 2k )x x 1 2 2k22(k k )k k22∴ ，又 P （1，1）为线段 AB 的中点 ……………7分x x1122 222kkx 1x∴ 1，22k k2即1，k=2．………………8分2 k 2∴k=2，使 2 k 2 0 但使△＜0………………9分因此当k=2时，方程（1）无实数解故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．…………11分(ii)P当x=1时，直线经过点但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．……………………12分21.（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，∵矩形OBEF EF//OB,∵G、I是中点，∴GI是∥ABD的中位线91∴GI ∥ BD 且GI BD2∵O 是正方形 ABCD 中心OB ∴1 2BD∴ EF ∥GI 且 EF =GI ∴四边形 EFIG 是平行四边形 ∴ EG ∥ FI ∵ FI 面 ADFEG 面ADF∴ EG ∥ 面 ADF………………………4分（Ⅱ）O EF C 正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系 0 xyzB 0， 2 ，0C 2 ，0，0E 0， 2 ，2，，，z EF0 0 2F ， ，设面CEF 的法向量n x ，y ，z1Hn EF x ，y ，z0， 2 ，02y 01， ， 2 ，0，2 2 2 0n CF x y z x z1BOGIAx 2 得：y 0 z 1xCDy∴ ………………………6分n ，，1201∵OC 面OEF，∴面OEF的法向量n ，，210010cosn n2612n n，123 1 3n n12………………………7分263sin n ，n 1123 3………………………8分（Ⅲ）∵2 AHHF 32 22 24∴AH AF， ， ， ， 2 0 2 0 55 5 5设 H x ，y ，z2 24 ∴AH x 2 ，y ，z，0，5 53 2x5得：y 04 z 5BH324，2，55………………………10分64BH n551cos BH n，2BH n22315721………………………12分c3ea2431a 4,b222.解：（Ⅰ）由题意得，解得…………2分a b22a b c222x y22故C1: 1 (4)164分ykx m2( 4k2x2 kmx m21)84(4)0（Ⅱ）联立x2y，化简得， (5)116411分△＞0恒成立， 设 A (x 1, y ), B (x , y )1228km x x 1 4k1224 16k m 422则 ， 得 x x (6)4 4) 2(m22114k x x1 21 4k2分4 16k m 422∴ AB 1 k， (7)21 4k2分x 2y162把直线l 2 ： y kx 代入1，得 ，12C : x16 41 4k 28CD 1 k2∴……………………8分1 4k2k m又直线l 1 与圆C 2 相切∴1，即1 k 2k1m 22mAB16k m41m2224∴……………………9分CD k21 4k21 4221m1m116244 4 4=22m 123，………14 mm22113( )21 4()2m2422m………11分26当m 2,k ， 取最小值．……………………12分4312。
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(扫描版)
齐齐哈尔市2017-2018学年度高二下学期期末数学试题（文科）答案及评分细则一、选择题13、 120 14、4π 15、 2 16、①③ 三、解答题 17、（1）解：由题意知，()()22215111,4a a a a d a a d =⋅+=⋅+即，由于0d ≠,整理得12d a =，---------2分代入414616S a d =+=，解得：11,2a d ==， -----------4分所以21n a n =------------6分（2）解法一：由()321n n n b a -=-可知，121014728b b b a a a a +++=-+-++L L 即12105330b b b d +++=⨯=L解法二：由()()()321165n n n n b a n -=-=--可知，12101713495530b b b +++=-+-+-+=L L L ----------12分18、（1）证明：取PC 的中点为G ，连接,DG FG ,∵四边形ABCD 是正方形,,,E F G 分别是线段,,AD PB PC 的中点, 1//2DE BC DE BC =且, ----------2分 1//2FG BC FG BC =且,∴//DE FG DE FG =且, ∴四边形DEFG 为平行四边形，∴//EF DG----------4分EF ⊄平面DCP ，DG ⊂平面DCP ∴//EF DCP 平面----------6分（2）解：由题意知F DCP D PCF V V --=,∵//DA PBC 平面,∴D 到平面PCF 的距离等于A到平面PCF 的距离，连接AF ，∵F PB 为中点，1PA AB ==∴AF PB ⊥,∵PA ABCD ⊥平面∴PA BC AB BC PA AB A ⊥⊥⋂，,=∴BC PAB ⊥平面∴,,BC AF PB AF PB BC B ⊥⊥⋂=又,∴AF PBC ⊥平面------10分且1=12224PCF AF S ∆=⨯=，∴11312F DCP D PCF A PCF V V V ---==== ----------12分 19、（1）解：根据条件可知喜欢游泳的人数为3100605⨯=人 -----------1分完成22⨯列联表： -----------3分根据表中数据，计算 ()221004030201016.66710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 可以在犯错误的概率不超过0. 001的前提下认为喜欢游泳与性别有关. ---------6分（2）解：设“恰有一人喜欢游泳”为事件A ，设4名喜欢游泳的学生为1234,,,a a a a ，不喜欢游泳的学生为12,b b ，基本事件总数有15种：----------7分 121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb----------9分其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种：1112212231324142,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b--------11分所以()815P A =--------12分 20、（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞， --------1分1'()2f x ax x=-， --------2分因为函数()f x 在2x =处取得极小值，所以'(2)0f =，解得18a =， --------4分此时经检验2x =是函数()f x 的极小值点，故18a =. -------5分（2）由1'()2f x ax x=-可知，①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以当1x >时，()()10f x f <=矛盾. -------7分②当0a >时，221'(),ax f xx-=令'()0,f x x >>得 令'()0,f x <得0x << 11,02a x ⎛><<∈ ⎝即时，时，'()0f x <，即()f x 递减， 所以()()10f x f <=矛盾.-------9分 11,2a ≤≥即时，[)1,x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，所以 ()()10f x f ≥=满足题意.-------11分 综上可知：12a ≥-------12分21、（1）解：由题意知12c a =，右焦点()21,0F 即1c =，且222b c a +=，解得2,a b ==22143x y += ----------4分（2）解：由（1）知()2,0P -，当直线AB 的斜率不存在时，即直线AB 的方程为1x =，易知331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线()()11:2,:222PA y x PB y x =+=-+直线 令4x =，可知：()()4,3,4,3M N -,此时27PM PN ⋅=uuu r uu u r . ---------6分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，直线()11:2,2y PA y x x =++直线()22:2,2y PB y x x =++ 令4x =，可知1212664,,4,22y yM N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，----------8分联立()2213412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 整理得()22223484120k x k x k +-+-=， ∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++----------9分此时()()()()21212121212121363636362224k x x x x y y PM PN x x x x x x -++⎡⎤⋅⎣⎦⋅=+=++++++uuu r uuu r 22936362736k k -=+=----------11分综上所述，27PM PN ⋅=uuu r uu u r ----------12分22、（1）解：直线1l的直角坐标方程为3y x =，直线2l的直角坐标方程为y =--------- 2分曲线C 的直角坐标方程为()()22215x y -+-= --------- 4分 曲线C的参数方程为()21x y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数--------- 5分（2）解：联立=6=4cos 2sin πθρθθ⎧⎪⎨⎪+⎩，得到1,OM =同理2ON = --------- 7分 又,6MON π∠=所以根据余弦定理可得MN =--------- 9分所以周长3l =+---------10分23、（1）因为()3,f x m x =--所以不等式()2f x >，即32,m x -->所以51m x m -<<+，因为不等式解集为()2,4，所以52m m -=且+1=4,解得 3m =. ----------5分（2）关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，等价于33≥-+-x a x 恒成立， 等价于33a -≥恒成立，解得60a a ≥≤或 ---------10分。
黑龙江省校高二数学4月月考试题文3(1)
哈师大青冈实验中学2017—2018学年度4月份考试高二学年数学（文科）试题一、选择题：（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）．1.34.34.43.(.4,433)z A iB iC iiz i D i =-------（ ）已知复数则复数的共轭复数为 2．曲线2y x =在1x =处的切线方程为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．y x =D ．2y x =- 3.在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的距离为（ ）A.22B. 1C. 2D. 24.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85,平均数为85.5，则x ＋y ＝( ) A ．12 B ．13C ．14D ．155、将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0) 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.23 B. 13 C.1 D. 127.在回归分析中，通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精度高低，利用2R (2R =1-^2121()()ni i i niii y y y y =-=--∑∑）来刻画回归效果，以下关于分析残差和2R 不正确的是（ ）A ． 通过分析残差有利于发现样本中的可疑数据B ． 根据获取的样本数据计算21()nii i yy -=-∑若21()ni i i y y -=-∑越小，则模型的拟合效果越好C ． 根据获取的样本数据计算^21()nii i yy =-∑若^21()ni i i y y =-∑越大，则模型的拟合效果越差D ． 根据获取的样本数据计算2R ，若2R =0.85则表明解释变量解释了85%的预报变量的变化 8. 一组数据的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是，方差为，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A. 81.2 4.4B. 78.8 4.4C. 81.2 84.4D. 78.8 75.6 9.给出20个数：1,2,4,7,11，……，要计算这20个数的和，现已给出了 该问题的程序框图如图所示，那么框图中①处和执行框图②处应分别 填入（ ）A. i ≤20? ; p=p+i-1B. i ≤21 ？p=p+i+1C. i ≤21? ; p=p+iD. i ≤20? ; p=p+i 10.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）A ．4πB ．22π- C ．6πD ．44π-11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是 ( )12．已知点P 在曲线y=41x e +上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) (A)π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (B)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (C)π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦(D)3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二．填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.复数11i i+-的值等于 .14．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}， 则y ＝________.15．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个 容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为________．16.已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换214x xy y'='=⎧⎨⎩ 后,曲线C 变为曲线 224116x y ''+=，求曲线C 的方程并说出其表示的图形．18.（本小题满分12分）某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a b 、的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19. （本小题满分12分） 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下： （Ⅰ）请把列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 参考公式与临界表：20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，且PA=PB=AB=4，．（Ⅰ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅱ） 求三棱锥A ﹣PBD 的体积．21．（本小题满分12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2cos θ，过点p （﹣3，﹣5）的直线（t 为参数）与曲线C 相交于点M ，N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）求的值．22. （本小题满分12分） 直角坐标系XOy 和极坐标系ox 的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为{4cos 2sin ,x y φφ==()φ为参数（1）在极坐标系下，曲线C 与射线 和 射线4πθ=-分别交于A,B 两点，求AOB ∆ 的面积；（2）在直角坐标系下，直线L 参数方程为{2x t y t ==，（为参数），求曲线C 与直线L 的交点坐标．哈师大青冈实验中学2017—2018学年度4月份考试 高二学年数学（文科）试题答案一、选择题：（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）． 1----5 ABCBA 6---10 BBADD 11---12 DD 二．填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 13. i 14. 58.5 15. 100 16. 2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解: 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y 216＝1，∴x 2＋y 2＝4. 因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆18.解：（I ） 35,0.30a b ==……………………………………………………………12分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：630360⨯=人， 第4组：620260⨯=人，第5组：610160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.…………6分设第3组的3位同学为1A 、2A 、3A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：()12,,A A ()13,,A A ()11,,A B ()12,,A B ()11,,A C ()23,,A A ()21,,A B ()22,,A B ()21,,A C ()31,,A B ()32,,A B ()31,,A C ()12,,B B ()11,,B C ()21,,B C …………10分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为53159=…………12分 19.解：（Ⅰ）列联表如下：（Ⅱ）观察值. ∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.20.证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO，又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD．（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，由PA=PB得PH⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PH⊥平面ABCD．∵△PAB是边长为4的等边三角形，∴．又∵=，∴V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD=．21.解：（1）由ρsin2θ=2cosθ，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．即曲线C的直角坐标方程为y2=2x．消去参数t，得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x，得．由韦达定理，得，t1t2=62，所以t1，t2同为正数，则=．22.解（Ⅰ）曲线C在直角坐标系下的普通方程为＋＝1，将其化为极坐标方程为分别代入θ＝和θ＝－，得|OA|2＝|OB|2＝，因∠AOB＝，故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝． 6分（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－2)2＝0，∴t＝2，代入l的参数方程，得x＝2，y＝，所以曲线C与直线l的交点坐标为(2，)． 12分。
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷(文科)Word版含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x+△x时，函数值的改变量△y等于（）A．f（x0+△x）B．f（x）+△x C．f（x）•△x D．f（x+△x）﹣f（x）2．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=13．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（）A．B．πC．2π D．3π4．已知f（x）=+4x，则f′（3）=（）A．2 B．C．4 D．﹣5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B． C．D．6．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3+）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，π] B．[0，）∪[，π）C．[，） D．[0，）∪（，）7．已知函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（）A ．3B ．C ．2D ．8．设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则（ ）A ．a ＜﹣1B ．a ＞﹣1C ．D ．9．函数的最大值为（ ）A ．B ．e 2C ．eD ．e ﹣110．2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为（ ）A ．3B ．C ．D ．111．已知f （x ）=ax 3，g （x ）=9x 2+3x ﹣1，当x ∈[1，2]时，f （x ）≥g （x ）恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤B ．a ≤11C ．a ≥D ．a ≥1112．已知定义在R 上的奇函数f （x ），设其导函数为f′（x ），当x ∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x ）＜f （﹣x ），令F （x ）=xf （x ），则满足F （3）＞F （2x ﹣1）的实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣1，）C ．（，2）D ．（﹣1，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知函数f （x ）=sinx•cosx，则f′（）= ．14．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．15．若函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a ﹣1）x+1在区间（7，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是 ．16．函数f （x ）=上的点到直线y=﹣x ﹣1的最短距离是 ．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线y=﹣x 2+4x ﹣3及其上两点A （0，﹣3），B （3，0）， （1）分别求抛物线在A ，B 两点处的切线方程；（2）求由抛物线及其在A ，B 两点处的切线共同围成的图形的面积．18．已知f（x）=x3+2x2﹣4x+5（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[﹣3，4]上的最值．19．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．20．在极坐标系中，已知圆C经过点（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点（1）求圆C的圆心坐标；（2）求圆C的极坐标方程．21．已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x+△x时，函数值的改变量△y等于（）A．f（x0+△x）B．f（x）+△x C．f（x）•△x D．f（x+△x）﹣f（x）【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据题意函数y=f（x），我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x 0和x+△x分别代入函数y=f（x），然后相减求出△y．【解答】解：∵自变量x由x0改变到x+△x，当x=x0，y=f（x），当x=x0+△x，y=f（x+△x），∴△y=f（x0+△x）﹣f（x），故选D．2．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．3．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（）A．B．πC．2π D．3π【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．【解答】解：∵，∴，∴=sin2x′，即y′=3sin2x′，∴变换后的曲线周期为=π．故选B．4．已知f（x）=+4x，则f′（3）=（）A．2 B．C．4 D．﹣【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=+4x，∴f′（x）=﹣+4，∴f′（1）=﹣f′（1）+4，∴f′（1）=2，∴f′（3）=﹣+4=，故选：B．5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据函数y=f（x）的图象得到它的三个单调区间，从而得到导数在（﹣∞，0）上先正后负，在（0，+∞）上导数为负数，由此对照各个选项，可得正确答案．【解答】解：如图，设函数图象上位于第二象限上的最大值点是x=x，根据y=f（x）的图象，可得当x∈（﹣∞，x）时函数为增函数，当x∈（x，0）和x∈（0，+∞）函数为减函数∴x=x0是函数的极大值，可得f'（x）=0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，当x∈（x，0）和x∈（0，+∞）时f'（x）＜0由此对照各个选项，可得函数y=f′（x）的图象只有A项符合故选：A6．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3+）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，π] B．[0，）∪[，π）C．[，） D．[0，）∪（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3+=3（x﹣1）2+≥，∴tanα≥，又 0≤α＜π，∴≤α＜，故选 C ．7．已知函数f （x ）=mx 3+3（m ﹣1）x 2﹣m 2+1（m ＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（ ）A ．3B ．C ．2D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f （x ）求导数f'（x ），由题意令f'（x ）＜0，根据条件得0和4是方程f'（x ）=0的两根，由根与系数的关系得到m 的值．【解答】解：函数f （x ）=mx 3+3（m ﹣1）x 2﹣m 2+1（m ＞0） 则导数f'（x ）=3mx 2+6（m ﹣1）x ， 令f'（x ）＜0即3mx 2+6（m ﹣1）x ＜0， ∵m ＞0，f （x ）的单调递减区间是（0，4）， ∴0，4是方程3mx 2+6（m ﹣1）x=0的两根， ∴0+4=，0×4=0，∴m=． 故选：B ．8．设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则（ ）A ．a ＜﹣1B ．a ＞﹣1C ．D ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a 的范围． 【解答】解：∵y=e x +ax ， ∴y'=e x +a ．由题意知e x +a=0有大于0的实根，令y 1=e x ，y 2=﹣a ，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得﹣a ＞1⇒a ＜﹣1， 故选A ．9．函数的最大值为（）A．B．e2C．e D．e﹣1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；【解答】解：∵函数，（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，当x＞e时，y′＜0，f（x）为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）==e﹣1，故选D．10．2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为（）A．3 B．C．D．1【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】先将极坐标方程化为直角坐标系方程，联立求出其交点，再使用两点间的距离公式即可．【解答】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．联立解得x=，y=±，∴直线与圆相交的弦长=．故选：B．11．已知f（x）=ax3，g（x）=9x2+3x﹣1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤11 C．a≥D．a≥11【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】利用函数的恒成立，分离变量求出a的不等式，然后利用函数的导数求解函数的最值即可．【解答】解：f（x）=ax3，g（x）=9x2+3x﹣1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，可得a≥+﹣，令=t，则t∈[，1]．a≥9t+3t2﹣t3．t∈[，1]恒成立，y=9t+3t2﹣t3．t∈[，1]，可得y′=9﹣6t﹣3t2=3[4﹣（t+1）2]≥0，函数y是增函数，最大值为：f（1）=11．可得a≥11．故选：D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）=xf（x），∴F′（x）=xf′（x）+f（x），即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即实数x的取值范围是（﹣1，2），故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知函数f（x）=sinx•cosx，则f′（）= ﹣1 ．【考点】导数的运算．【分析】由求导法则可得：f′（x）=cos2x，代入值即可的答案．【解答】解：由导数的求导法则结合题意可得：f′（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f′（）=cosπ=﹣1，故答案为：﹣114．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为： =1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．15．若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（7，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是a≤8 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（7，+∞）上为增函数，则a﹣1≤7，解得：a≤8，故答案为：a≤8．16．函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的最短距离是．【考点】曲线与方程．【分析】函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的距离是d=≥=，即可得出结论．【解答】解：设f（x）=上的点（x，），则函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的距离是d=≥=，当且仅当x=﹣1时取等号，∴函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的最短距离是．故答案为：．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3及其上两点A（0，﹣3），B（3，0），（1）分别求抛物线在A，B两点处的切线方程；（2）求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求导数，确定抛物线在A，B两点处的切线的斜率，即可求抛物线在A，B两点处的切线方程；（2）由得，利用定积分求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．【解答】解：（1）因为y'=﹣2x+4，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为4和﹣2，其切线方程分别为：y=4x﹣3和y=﹣2x+6（2）由得故==．18．已知f（x）=x3+2x2﹣4x+5（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[﹣3，4]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）令f'（x）＞0，得函数f（x）的单调增区间；令f'（x）＜0，得函数f（x）的单调减区间；（2）判断函数的单调性，求出函数的极值以及端点值．由此能求出函数在[﹣3，4]上的最值．【解答】解：（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5，可得f'（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），令f'（x）=（3x﹣2）（x+2）＞0，得x＜﹣2或x＞，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（，+∞）；令f'（x）=（3x﹣2）（x+2）＜0，得﹣2＜x＜，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣2，）．（2）x∈[﹣3，4]，因为在[﹣3﹣2）上，f'（x）＞0，在（﹣2，）上，f'（x）＜0，x∈（，4]，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣2，）单调递减，x∈[﹣3﹣2），x∈（，4]，函数是增函数，f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=，f（4）=85所以x=时，[f（x）]=f（）=．min=85．当x=4时，[f（x）]max19．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知（﹣∞，），，所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．20．在极坐标系中，已知圆C经过点（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点（1）求圆C的圆心坐标；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线ρsin（θ﹣）=﹣展开： =﹣，利用互化公式可得直角坐标方程，再令y=0，可得x．（2）点（，），化为（1，1），可得r，圆的标准方程，利用互化即可得出．【解答】解：（1）直线ρsin（θ﹣）=﹣展开： =﹣，可得直角坐标方程：y﹣x+=0，令y=0，可得x=1，∴圆C的圆心坐标（1，0）．（2）点（，），化为（1，1），∴r=1，∴圆的方程为：（x﹣1）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣2x=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，∴ρ=2cosθ．21．已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由“f（x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数”，则有f'（0）=f'（1）=0，再由．求解．（Ⅱ）首先将“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”转化为“x（2x﹣1）（x﹣1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，即解得∴f'（x）=3ax2﹣3ax，∴，∴a=﹣2，∴f（x）=﹣2x3+3x2．（Ⅱ）令f（x）≤x，即﹣2x3+3x2﹣x≤0，∴x（2x﹣1）（x﹣1）≥0，∴或x≥1．又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，∴．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g （x ）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x 2﹣x 1＞0，即证，令（t ＞1），即证（t ＞1）①，令（t ＞1），则＞0，∴h （t ）在（1，+∞）上单调递增，∴h （t ）＞h （1）=0，即（t ＞1）②综合①②得（t ＞1），即．证法二：依题意得，令h （x ）=lnx ﹣kx ，则，由h'（x ）=0得，当时，h'（x ）＜0，当时，h'（x ）＞0，∴h （x ）在单调递增，在单调递减，又h （x 1）=h （x 2），∴，即．证法三：令，则，当x ＞x 1时，h'（x ）＜0，∴函数h （x ）在（x 1，+∞）单调递减，∴当x 2＞x 1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h （x ）=x ﹣x 1lnx+x 1lnx 1﹣x 1，则，当x ＞x 1时，h'（x ）＞0，∴函数h （x ）在（x 1，+∞）单调递增，∴当x 2＞x 1时，h （x 2）＞h （x 1）=0，即x 1lnx 2﹣x 1lnx 1＜x 2﹣x 1令m （x ）=x ﹣x 2lnx+x 2lnx 2﹣x 2，则，当x ＜x 2时，m'（x ）＜0，∴函数m （x ）在（0，x 2）单调递减，∴当x 1＜x 2时，m （x 1）＞h （x 2）=0，即x 2﹣x 1＜x 2lnx 2﹣x 2lnx 1； 所以命题得证．。
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学期4月月考数学试卷Word版含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年下学期4月月考高一数学试卷一．选择题（每小题5分）：1．已知向量，满足=（1，﹣3），=（3，7），则•=（）A．﹣18 B．﹣20 C．18 D．202．在等差数列{an }中，已知a3+a5=2，则a4=（）A．B．1 C．D．33．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．4．已知平行四边形ABCD满足=（﹣2，4），，则=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，c=5，则a为（）A．13 B． C．17 D．6．设向量满足，则与的夹角为（）A．B． C． D．7．数列{an }中，若an+1=an﹣n，（n∈N+）且a1=1，则a5的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣98．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．9．如图，已知，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则=（）A ．B ．C ．D ．10．在△ABC 中AC=6，AC 的垂直平分线交AB 边所在直线于N 点，则•的（ ）A ．﹣6B ．﹣15C ．﹣9D ．﹣1811．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b 为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量•（+2）=0，||=||=1，且|﹣﹣2|=1，则||的最大值为（ ）A ．2B ．4C ． +1D ． +1二．填空题（每小题5分）：13．若平面向量=（1，x ）和=（﹣2，1）互相平行，其中x ∈R ，则x= ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，已知a=5，b=6，C=30°，则= ．15．如图，从一架飞机上观察前下方河流两岸P 、Q 两点的俯角分别为75°、45°，已知河的宽度|PQ|=20m ，则此时飞机的飞行高度为 m ．16．在△ABC 中，AB=AC ，E 为AC 边上的点，且AC=3AE ，BE=2，则△ABC 的面积的最大值为 ．三、解答题：17．等差数列{a n }满足a 3=﹣2，a 7=﹣10，求该数列的通项公式．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，已知a=3，求c ．19．已知，求与夹角的余弦值，并求在方向上的投影．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，已知cosC+cosB=2，（1）求；（2）若C=，c=2，求△ABC的面积．21．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinC﹣sin（2A），1）．（I）如果，求a的值；（II）若，请判断△ABC的形状．22．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知a≠b，c=， B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学期4月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分）：1．已知向量，满足=（1，﹣3），=（3，7），则•=（）A．﹣18 B．﹣20 C．18 D．20【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，计算即可．【解答】解：向量=（1，﹣3），=（3，7），所以•=1×3﹣3×7=﹣18．故选：A．2．在等差数列{an }中，已知a3+a5=2，则a4=（）A．B．1 C．D．3 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列{an }的性质可得：a3+a5=2a4，即可解出．【解答】解：由等差数列{an }的性质可得：a3+a5=2a4=2，则a4=1．故选：B．3．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】利用D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，及向量的减法三角形法则，可得结论．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点∴∴==∵D、F分别是△ABC的边AB、CA的中点∴∵E是△ABC的边BC的中点∴∴故选D．4．已知平行四边形ABCD满足=（﹣2，4），，则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】根据平行四边形边的关系，利用平面向量的线性运算法则，即可求出结果．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，=（﹣2，4），，==﹣=（﹣2+，4+）=（，）．故选：A．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=，b=2，c=5，则a为（）A．13 B． C．17 D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：a2=22+52﹣2×2×5×cosA=13，解得a=．故选：B．6．设向量满足，则与的夹角为（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥（+），得数量积为0，列出方程求出向量与的夹角．【解答】解：∵向量||=1，||=，且⊥（+），设与的夹角为θ，则有•（+）=0，即+•=12+1××cosθ=0，cosθ=﹣，又0≤θ≤π，∴θ=，∴与的夹角为．故选：C．7．数列{an }中，若an+1=an﹣n，（n∈N+）且a1=1，则a5的值为（）A．0 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣9【考点】数列递推式．【分析】根据数列的递推关系，利用累加法进行求解即可．【解答】解：∵an+1=an﹣n，∴an+1﹣an=﹣n，即a2﹣a1=﹣1，a 3﹣a2=﹣2，a 4﹣a3=﹣3，a 5﹣a4=﹣4，等式两边同时相加得a5﹣a1=﹣1﹣2﹣3﹣4=﹣10，即a5=﹣10+1=﹣9，故选：D8．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】法一：用余弦定理在三角形CED 中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED 中用正弦定理直接求正弦．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED 中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos ∠CED=，∴sin ∠CED==．故选B ．法二：在△CED 中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B ．9．如图，已知，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则=（）A ．B ．C ．D ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由已知得AB 是△MSN 的中位线，从而=2，由此能求出结果．【解答】解：∵，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ， ∴AB 是△MSN 的中位线，∴=2=2（）=2．故选：D．10．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则•的（）A．﹣6B．﹣15C．﹣9 D．﹣18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据条件画出图形，并设AC的垂直平分线交AC于M，从而得出，这样进行数量积的运算便可求出的值．【解答】解：如图，设AC垂直平分线交AC于M，则：===﹣18+0=﹣18．故选D．11．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b为（）A．B．C．D．【考点】数列与三角函数的综合．【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为，且∠B=30°，=acsinB=ac•sin30°=ac=，故由S△得ac=2，∴a2+c2=4b2﹣4．由余弦定理cosB====．解得b2=．又∵b为边长，∴b=．故选C．12．已知向量•（+2）=0，||=||=1，且|﹣﹣2|=1，则||的最大值为（）A．2 B．4 C． +1 D． +1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量， +2对应点分别为A、B 向量对应点C，利用向量的几何意义得到坐标运算得到由=1知点C在以B为圆心，半径为1的圆上，由最大距离为d+r即可得到．【解答】解：设向量， +2对应点分别为A、B 向量对应点C，由=1知点C在以B为圆心，半径为1的圆上．=|OB|+1=+1∴max∵2=2+2+4，又∵•（+2）=0，∴2+2•=0∴2•=﹣1，∴4•=﹣2，∴2=1+4﹣2=3，∴=∴=，max故选：D二．填空题（每小题5分）：13．若平面向量=（1，x）和=（﹣2，1）互相平行，其中x∈R，则x= ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（1，x）和=（﹣2，1）互相平行，可得﹣2x=1，解得x=﹣．故答案为：．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，已知a=5，b=6，C=30°，则= ﹣15．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得、的夹角为150°，再根据=﹣•，计算求得结果．【解答】解：由题意可得，、的夹角为180°﹣30°=150°，且=a=5、=b=6，∴=﹣•=5•6•cos=﹣15，故答案为：．15．如图，从一架飞机上观察前下方河流两岸P、Q两点的俯角分别为75°、45°，已知河的宽度|PQ|=20m，则此时飞机的飞行高度为m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由正弦定理求出AP，利用三角函数求出飞机的飞行高度．【解答】解：设飞机所在位置为A，则∠PAQ=30°．由正弦定理可得，∴AP=20，∴飞机的飞行高度为APsin75°=20×=．故答案为：．16．在△ABC中，AB=AC，E为AC边上的点，且AC=3AE，BE=2，则△ABC的面积的最大值为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据余弦定理和同角的三角函数的关系以及三角形的面积公式和二次函数的性质计算即可．【解答】解：如图：设AB=AC=3x，∵AC=3AE，∴AE=x，在三角形ABE中，根据余弦定理可得，cosA===﹣∴sinA==，=AB•AC•sinA=×9×=3≤∴S△ABC故答案为：三、解答题：17．等差数列{a n }满足a 3=﹣2，a 7=﹣10，求该数列的通项公式．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．【解答】（本小题满分10分）解：∵等差数列{a n }满足a 3=﹣2，a 7=﹣10，∴，解得a 1=2，d=﹣2，∴a n =2+（n ﹣1）×（﹣2）=﹣2n+4，∴该数列的通项公式为a n =﹣2n+4，n ∈N +．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，已知a=3，求c ． 【考点】正弦定理．【分析】由余弦定理可得：a 2=c 2+b 2﹣2bccosA ，代入解出即可得出．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理可得：a 2=c 2+b 2﹣2bccosA ，∴18=36+c 2﹣6c ，化为：c 2﹣6c+18=0，解得c==33．19．已知，求与夹角的余弦值，并求在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别根据向量的夹角公式和投影的定义求出即可．【解答】解：∵，∴||==2，||==， =4×1+2×2=8，∴cos＜，＞===，∴+=（5，4），∴（+）•=5×4+4×2=18，∴在方向上的投影为==．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，已知cosC+cosB=2，（1）求；（2）若C=，c=2，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）由（1）可得=2，即a=2b．再利用余弦定理可得b，a，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵cosC+cosB=2，由正弦定理可得：cosC+cosB=2，∴==2．（2）由（1）可得=2，即a=2b．由余弦定理可得：c2=12=a2+b2﹣2abcosC=4b2+b2﹣，解得b=2，∴a=4．∴△ABC的面积S==2．21．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinC﹣sin（2A），1）．（I）如果，求a的值；（II）若，请判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理．【分析】（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a2+b2﹣ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得a．（II）根据）可推断出sinC﹣sin2Asin（B﹣A）=0．化简整理求得A为90°判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形．【解答】解：（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2﹣ab=4，∵，∴．∴ab=4．联立方程组得．∴a=2．（II）∵，∴sinC﹣sin2A+sin（B﹣A）=0．化简得cosA（sinB﹣sinA）=0．∴csoA=0或sinB﹣sinA=0．当，此时△ABC是直角三角形；当sinB﹣sinA=0时，即sinB=sinA，由正弦定理得b=a，此时△ABC为等腰三角形．∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．22．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知a≠b，c=， B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）利用两角和与差的公式和三角形的内角和化简，即到得角C的大小；（2）由题意c=，由（1）得角C的大小，利用正弦定理求出a，再利用余弦定理求出b，即可求△ABC 的面积．【解答】解：（1）由B=sinAcosA﹣sinBcosB⇔（）﹣（）=⇔=⇔cos（2A+）=cos（2B+）∵a≠b，即A≠B，△ABC是锐角三角形，∴90°＜A+B＜180°，∴cos（2A+）=cos（2B+）⇔cos[2π﹣（2A+]=cos（2B+），即：2π﹣（2A+）=2B+），解得：A+B=，所以：C=π﹣A﹣B=，（2）由（1）可知C=，c=，sinA=，则：cosA=根据正弦定理：，可得：，解得：，sinB=sin（）=sin cosA﹣cos sinA=×+=△ABC的面积S==××=。
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黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二4月月考数学（文）试题一、选择题：1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为 （ ） A ．11 B ．12 C ．13 D. 14 2、已知函数()()x e f x x f ln 2+'=，则()=e f （ ）A 、e -B 、eC 、1-D 、13．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（ ） A ．4件都是正品 B ．至少有一件次品 C ．4件都是次品 D ．至少有一件正品4、函数a ax x y +-=23在()1,0内有极小值，则实数a 的取值范围（ ）A 、()3,0B 、()3,∞-C 、()+∞,0D 、)23,0( 5．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.56、已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则()=2f （ ） A 、11或18 B 、11 C 、18 D 、17或187.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和 不小于10的概率为( )A ．31 B ．185 C ．92D ．168．设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为（ ） A ．1316 B ．78 C ．34 D ．5810、某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（ ） A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定11、已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)1f =，且()f x 的导函数()1f x x '>-，则不等式）A ．{|2x x <-或2}x >12、已知函数()c bx ax x x f +++=221323的两个极值分别为()1x f 和()2x f ，若1x 和2x 分别在区间()0,2-与()2,0内，则12--a b 的取值范围为（ ） A 、)32,2(- B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2 C 、),32()2,(+∞⋃--∞ D 、),32[]2,(+∞⋃--∞二、填空题：13.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.41，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是14．已知函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y= x+3，则：f （1）+f ′（1）= ．15．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为 16. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，0)2(=f ，,0)()('02<->xx f x xf x 时， 则不等式0)(<x xf 的解集__________三、解答题：17、（本小题满分10分）已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈．若()f x 在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x 在1[,]e e上的极值．18. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1221,ni ii nii x y nx yb a y b x xnx∧∧∧==-==--∑∑）（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？19．已知f （x ）=e x﹣ax ﹣1． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若f （x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．20.（本小题满分12分）在我校进行的选修课结业考试中，所有选修 “数学与逻辑”的同学都同时也选修了“阅读与表达”的课程，选修“阅读与表达”的同学都同时也选修了“数学与逻辑”的课程.选修课结业成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人，（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）现在从“数学与逻辑”科目的成绩为A 和D 的考生中随机抽取两人，则求抽到的两名考生都是成绩为A 的考生的概率.21.某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从 文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析， 得到下面的成绩频数分布表：（1）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）； （2）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？（本题可以参考独立性检验临界值表：）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.22. (本小题满分12分)已知函数2ln )(x x a x f += (R a ∈) . (1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当()e x ,1∈时,0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二4月月考数学（文）试题答案一、选择题：BCDDD CDDAD CC 二、填空题：13. 0.32 14. 5 15 2 16 ()2,0(2,)-+∞三、解答题：17、（1）'()2af x bx x=-． 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得'(1)01(1)2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩． （2）由（1）得：21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞． 此时，2'11()x f x x x x -=-=，令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，得1x >．所以()f x 在1(,1)e上单调递增，在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在1[,]e e上的极大值为1(1)2f =-．无极小值。
18. （1）0.70.35y x ∧=+（2）19．6519解：（1）f ′（x ）=e x﹣a ，令f ′（x ）≥0，解得e x≥a ．当a ≤0时，有f ′（x ）＞0在R 上恒成立，此时函数f （x ）在R 上单调递增； 当a ＞0时，x ≥lna ，此时函数f （x ）在[lna ，+∞）上单调递增． （2）f （x ）在定义域R 内单调递增，∴f ′（x ）=e x ﹣a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R ，∴e x∈（0，+∞），∴a ≤0． 当a=0时，f ′（x ）=e x ＞0在R 上恒成立． 故当a ≤0时，f （x ）在定义域R 内单调递增．20.解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= 人 ………4分（2）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人，则成绩为A 的考生有400.0753⨯=人 …………6分成绩为D 的考生有40(10.20.3750.250.075)4⨯----=人 …………8分 设成绩为A 的考生为a 、b 、c ，成绩为D 的考试为d 、e 、f 、g.随机抽取两人进行访谈，基本事件共有21个，分别为（a,b ）(a,c)(a,d)(a,e)(a,f)(a,g)（b,c)(b,d)(b,e)(b,f)(b,g)（c,d)(c,e)(c,f)(c,g)（d,e)(d,f)(d,g)（e,f)(e,g)(f,g) 设事件N ：抽到的两名考生都是成绩为A 的考生 则事件N 包含（a,b ）(a,c)（b,c) 则31()217P N ==21.解: （1）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ∴估计文科数学平均分为76.5. 5 ∴理科考生有560人及格.（2）（i ）()22701520530 1.4 2.70620502545k ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.22. 解:(1))0(42)(2>-='x xx x f ,当)2,1[∈x 时,0)(<'x f .当(]e x ,2∈时,0)(>'xf ,又014)1()(2>-+-=-e f e f ,故4)()(2max -==e e f x f ,当e x =时,取等号(2))当()e x ,1∈时,0ln >x ,0)(≥x f 恒成立，等价于x x a ln 2-≥()x g 设=xx ln 2-()e x ,1∈,xx x xx x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(--=--='当()e x ,1∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递增, 当),(e e x ∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减 又e e g 2-)(=,所以e a 2-≥时, 0)(≥x f 恒成立。