第十章模态逻辑和时态逻辑

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模态逻辑资料

模态逻辑模态逻辑是哲学、数学和计算机科学领域中一个重要的研究方向，它探讨的是命题之间的必然性、可能性和真假性等概念。

模态逻辑的研究对象包括命题、语句、命题之间的关系以及其真值的运算规则等。

模态逻辑的基本概念命题是具有真假性的陈述句，模态逻辑中的命题可以分为确定命题和可能命题。

确定命题是指在任何情况下都为真或为假的陈述句，而可能命题是指在某些情况下为真，在其他情况下为假的陈述句。

可能性和必然性是模态逻辑中的重要概念。

可能性指的是在某种情况下某个命题为真的情况，而必然性则指在任何情况下某个命题都为真的情况。

模态逻辑的分类模态逻辑可以根据命题之间的关系分为不同的类型，常见的模态逻辑包括：•命题逻辑：研究命题之间的真假关系，不涉及可能性和必然性的问题。

•范式逻辑：研究命题的可能性和必然性，并通过“◇”和“□”等符号进行表示。

•世界逻辑：研究不同世界之间的命题真值关系，用以表达在不同情境下命题的真假性。

模态逻辑的应用在哲学中的应用模态逻辑在哲学中被广泛应用于形式化分析各种哲学问题，如自由意志与宿命、时间旅行等。

通过模态逻辑的形式化表达，可以清晰地展现不同命题之间的关系，帮助哲学家更准确地进行思考和讨论。

在计算机科学中的应用在计算机科学领域，模态逻辑被应用于人工智能、数据挖掘等领域。

通过模态逻辑的形式化描述，可以有效地推理出系统中各种情况下的可能性和必然性，为计算机系统的设计和优化提供了理论基础。

结语模态逻辑作为一种重要的逻辑体系，不仅在哲学和数学领域有着广泛的应用，还在人工智能、计算机科学等领域具有重要价值。

通过深入研究模态逻辑，我们可以更好地理解命题之间的关系，推动各领域的发展和应用。

愿我们在模态逻辑的世界里不断探寻新的真知，开拓思维的边界。

模态逻辑的推理规则和证明方法

模态逻辑的推理规则和证明方法模态逻辑是一种专门研究命题含有模态词的推理规则和证明方法的逻辑系统。

模态逻辑主要研究命题的可能性、必然性、推断和推理等问题，以及与经典逻辑的关系。

本文将介绍模态逻辑的基本概念和常用的推理规则和证明方法。

一、模态逻辑的基本概念1. 模态词模态词是指用于表示可能性、必然性、可能真或必然真等概念的词语，如“可能”，“必然”，“或许”等。

模态词可以分为“必然性”和“可能性”两大类别。

2. 推理规则推理规则是指用于进行命题推理的基本规则，它们描述了命题在逻辑上的相互关系和推导转换的合法性。

在模态逻辑中，常用的推理规则有必然推理规则、可能推理规则、非必然推理规则等。

3. 证明方法证明方法是指用于证明模态逻辑命题成立或推导出结论的方法。

常见的证明方法包括形式证明、条件证明、反证法等。

二、模态逻辑的推理规则1. 必然推理规则必然推理规则描述了命题在必然性逻辑上的推导关系。

其中包括必然条件推理规则和必然蕴含推理规则。

- 必然条件推理规则：如果P必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q成立。

- 必然蕴含推理规则：如果P必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P成立。

2. 可能推理规则可能推理规则描述了命题在可能性逻辑上的推导关系。

其中包括可能条件推理规则和可能蕴含推理规则。

- 可能条件推理规则：如果P可能蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。

- 可能蕴含推理规则：如果P可能蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。

3. 非必然推理规则非必然推理规则描述了命题在非必然性逻辑上的推导关系。

其中包括非必然条件推理规则和非必然蕴含推理规则。

- 非必然条件推理规则：如果P非必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。

- 非必然蕴含推理规则：如果P非必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。

三、模态逻辑的证明方法1. 形式证明形式证明是一种使用推理规则和逻辑步骤来证明模态逻辑命题的方法。

它通常基于公理系统或证明系统进行推导，以确定给定命题的正确性。

模态逻辑

7 模态逻辑马克斯韦尔·约翰·克雷斯韦尔（Maxwell John Cresswell）刘新文译模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑，或者说，是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。

当然，必然性和可能性有不同的解释。

真势模态逻辑把必然解释为必然真；道义逻辑（见第8章）则把必然解释为道义必然性或规范必然性。

必然也可以指知道或相信为真，这是认知逻辑（见第9章）的解释；如果指总是为真或从此总是为真，则是时态逻辑（见第10章）的解释。

另外也可以把“必然p”解释为“p是可证的”。

本章以真势模态逻辑为重点概述适用于所有这些咯机的模态逻辑的一般框架。

本章的符号“L”表示必然性算子，“L p”读作“必然p”。

与此相关的是可能性算子M，“M p”读作“可能p”。

（“L”常以“□”代替，有时也以“N”代替，“M”则常以“◇”代替。

）两个算子可以互相定义。

这样，如果一个模态语言以“L”为初始算子，那么对于任意公式α，“Mα”可以定义为“~L~α”。

类似地，不可能性可以表示为“~M”（或“L~”）；偶然命题是既非必然也非不可能的命题。

7.1. 模态命题逻辑本节讲述由经典逻辑（见第1章）扩张而得的那些模态命题逻辑，而由直觉主义逻辑（见第11章）和相干逻辑（见第13章）等经过扩张也可以得到非经典模态逻辑。

下一节则考察模态算子在一阶谓词逻辑中的位置。

经典命题演算的语言PC由命题变元p，q，r，…，以及表示否定的~和表示析取的∨组成，其它真值函项算子按通常方式定义。

模态命题逻辑的语言在PC的基础上加一个新的一元算子L扩充而得；PC公式的形成规则适用于扩充后的语言，另加一条新的形成规则：如果α是公式，那么Lα也是公式。

（命题的）模态逻辑系统可以定义成一个公式类S。

一个公式α是S的定理（或├Sα）当且仅当α∈S。

这里研究的逻辑都是从极小的正规系统K经过扩充而得的正规模态逻辑。

K被公理化定义成由如下五条公理及变形规则得到的所有公式的类：PC 如果α是一个PC有效公式，则α是K的一个公理K L(p⊃q)⊃(L p⊃L q)US（联立置换规则）把一个定理中的变元p1，…，p n中的一个或多个都分别联立置换成任意的公式β1，…，βn的结果仍是一个定理。

模态逻辑的概念与研究

模态逻辑的概念与研究模态逻辑是哲学和数理逻辑研究中的一个重要分支，主要研究与特定语义标记有关的命题逻辑推理模式。

在逻辑学中，模态逻辑是一种扩展了传统命题逻辑的形式系统，通过引入一种或多种模态操作符来表示可能性、必然性、知识和信念等概念。

本文将讨论模态逻辑的定义和基本原理，以及其在哲学和人工智能领域的应用。

一、模态逻辑的定义模态逻辑是一种通过添加模态操作符来扩展命题逻辑的形式系统。

模态操作符表示的是一种特定的语义标记或陈述的修饰。

常见的模态操作符包括可能性操作符（◊）、必然性操作符（□）和信念操作符（B）。

这些操作符可以用来表示可能性、必然性、知识、信念、时间和行动等概念。

二、模态逻辑的基本原理模态逻辑的基本原理可以总结为以下几点：1. 可能性公理：模态逻辑中的可能性操作符（◊）满足可靠性、反自反性和传递性等性质。

可靠性表示任何命题都可能是真的；反自反性表示任何真命题都是可能的；传递性表示如果一个命题可能是真的，那么它的逻辑后继也可能是真的。

2. 必然性公理：模态逻辑中的必然性操作符（□）满足真可排序和保真性等性质。

真可排序表示任意两个真命题可以同时成立；保真性表示必然性操作符的后继必然是真的。

3. 知识公理：模态逻辑中的知识操作符（K）满足真可排序、保真性和知识的传递性等性质。

知识的传递性表示如果一个命题是已知的，那么它的逻辑后继也是已知的。

三、模态逻辑的应用1. 哲学领域：模态逻辑在哲学领域中被广泛应用，特别是在形而上学和认识论方面。

模态逻辑的概念可以帮助人们分析和理解世界的可能性和必然性。

比如，人们可以用模态逻辑来探讨自由意志和宿命论之间的关系，以及道德责任和道德义务的逻辑基础。

2. 人工智能领域：模态逻辑在人工智能领域中有广泛应用。

通过使用模态逻辑，人工智能系统可以表示和推理关于世界的不同可能状态和必然性。

比如，人工智能系统可以使用模态逻辑来推理和规划机器人的行动，以及模拟和理解人类的信念和知识。

模态逻辑概述

模态逻辑概述Ps：本文整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986）：毕业论文写作与发表模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如“可能”、“或许”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的逻辑。

模态逻辑可以用语义的“内涵性”来描述其特征: 复杂公式的真值不能由子公式的真值来决定的。

允许这种决定性的逻辑是“外延性的”，经典逻辑就是外延性的例子。

模态算子不能使用外延语义来形式化: “乔治·布什是美国总统”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“乔治·布什必然是美国总统”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。

形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。

基本的模态算子是和。

(有时分别使用“L”和“M”)。

它们的意义依赖于特定的模态逻辑，但它们总是以相互定义的方式来定义:真势模态在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中表示必然性，而表示可能性。

所以Jones 有兄弟是“可能的”，当且仅当Jones “没”有兄弟是“非必然的”。

句子被认定为∙可能的如果它“可能”为真(不管实际上是真是假);∙必然的如果它“不可能”为假;∙偶然的如果它“不是”必然为真，就是说，可能为真可能为假。

偶然的真理是“实际上”为真，但“可能曾经不是”的真理。

其他模态认识模态逻辑最经常用来谈论所谓的“真势模态”: “...是必然的”或者“....是可能的”，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语episteme, 知识):“...确实是真的” 和“...(对给定的可获得的信息)或许是真的”。

在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助:一个人Jones 可以合理的“同时”说出: (1)“我确信大脚怪不可能存在”，还有(2)“大脚怪存在的确是可能的”。

Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，大脚怪存在与否是没有疑问的。

模态逻辑公理系统

模态逻辑公理系统在形式逻辑中，模态逻辑是一种对于命题逻辑进行扩展的方法，它能够处理命题的可能性、必然性、可能性和不可实现性等概念。

模态逻辑公理系统是用来推导模态逻辑命题的一组规则和原则。

本文将探讨模态逻辑公理系统的基本原理和应用。

模态逻辑公理系统是多个公理和推理规则的集合，用于推导命题逻辑中的模态命题。

其中，公理是模态逻辑中的基本命题，而推理规则是用来推导新的命题的规则。

在模态逻辑中，有许多不同的公理系统，它们基于不同的原则和规则。

其中最著名的是K系统、T系统和S系统。

K系统是最基本的模态逻辑公理系统，它包含了几个基本的公理和推理规则。

它的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性和命题的传递性。

基于这些公理，K系统可以推导出许多模态命题的有效性。

T系统是对K系统的扩展，它引入了命题的必然性概念。

T系统的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性、命题的传递性和必然性的可重述性。

基于这些公理，T系统可以推导出更多关于必然性的命题。

S系统是对K系统和T系统的更进一步扩展，它引入了命题的可能性概念。

S系统的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性、命题的传递性、必然性的可重述性和可能性的可重述性。

基于这些公理，S系统可以推导出更多关于可能性和必然性的命题。

模态逻辑公理系统的应用非常广泛。

在人工智能领域，模态逻辑被用于描述不确定性和推理过程。

在哲学中，模态逻辑被用于研究命题的可能性和必然性。

在计算机科学中，模态逻辑被用于推理系统和形式验证。

模态逻辑公理系统是一种用于推导模态命题的规则和原则的集合。

它能够处理命题的可能性、必然性、可能性和不可实现性等概念。

模态逻辑公理系统在人工智能、哲学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

通过研究和应用模态逻辑公理系统，我们可以更好地理解和处理命题的复杂性和不确定性。

模态逻辑与事实逻辑的基本概念和应用案例

模态逻辑与事实逻辑的基本概念和应用案例引言：逻辑作为一门哲学分支，研究的是思维和推理的规则。

在逻辑学中，模态逻辑和事实逻辑是两个重要的概念。

本文将介绍这两种逻辑的基本概念，并通过一些应用案例来说明它们的实际应用。

一、模态逻辑的基本概念模态逻辑是研究命题表达了某种模态（即情态）的逻辑。

它关注的是命题所表达的可能性、必然性、可能性和不可能性等情态。

常见的模态逻辑有可能性逻辑、必然性逻辑和不可能性逻辑。

1. 可能性逻辑可能性逻辑研究的是命题的可能性。

它引入了“可能”和“不可能”的概念，用来描述命题的真值在不同情境下的可能性。

例如，命题“明天会下雨”可以用可能性逻辑表示为“可能下雨”。

2. 必然性逻辑必然性逻辑研究的是命题的必然性。

它引入了“必然”和“不必然”的概念，用来描述命题在所有情境下都为真的情况。

例如，命题“所有人都会死亡”可以用必然性逻辑表示为“必然死亡”。

3. 不可能性逻辑不可能性逻辑研究的是命题的不可能性。

它引入了“不可能”的概念，用来描述命题在所有情境下都为假的情况。

例如，命题“1+1=3”可以用不可能性逻辑表示为“不可能等于3”。

二、事实逻辑的基本概念事实逻辑是研究命题的真值和推理的逻辑。

它关注的是命题的真假和推理的正确性。

事实逻辑是最常用的逻辑形式，它包括命题逻辑和谓词逻辑。

1. 命题逻辑命题逻辑研究的是命题的真值和命题之间的逻辑关系。

它将命题表示为真或假，通过逻辑运算符（如与、或、非）来描述命题之间的逻辑关系。

例如，命题“今天是星期一”可以表示为真或假，通过与其他命题的逻辑运算来推理。

2. 谓词逻辑谓词逻辑研究的是命题中的谓词和量词。

它引入了谓词和量词的概念，用来描述命题中的属性和关系。

谓词逻辑可以更准确地描述现实世界中的命题，例如，“所有人都会死亡”可以用谓词逻辑表示为“对于所有x，x会死亡”。

三、模态逻辑和事实逻辑的应用案例模态逻辑和事实逻辑在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些应用案例：1. 法律案例在法律领域，模态逻辑和事实逻辑被用来分析证据和推理法律结论。

模态逻辑的基本概念

模态逻辑的基本概念模态逻辑是一种扩展传统命题逻辑的形式，它引入了模态词来描述命题的性质。

模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍模态逻辑的基本概念，并探讨其在不同领域中的应用。

一、命题逻辑与模态逻辑的区别命题逻辑是研究命题之间的关系，它使用逻辑运算符（如与、或、非）来表示命题之间的连接。

而模态逻辑则引入了模态词，用于描述命题的性质或状态。

常见的模态词有必然（necessity）、可能（possibility）、不可能（impossibility）等。

例如，在命题逻辑中，我们可以表示“P与Q都成立”；而在模态逻辑中，我们可以表示“必然P与必然Q都成立”。

二、模态词的语义解释在模态逻辑中，模态词的语义解释有多种方式。

其中一种常见的解释方式是基于Kripke语义。

Kripke语义认为，命题的真值取决于它在不同世界中的真假情况。

每个世界都有一个可能性分布，用来描述不同命题在该世界中的真值。

通过这种方式，我们可以定义模态词的含义，例如“必然P”可以表示在所有可能的世界中，P都是真的。

三、模态逻辑的公理系统模态逻辑也有自己的公理系统，用于推导命题之间的关系。

其中，最常用的公理系统是S5系统。

S5系统包括一组公理和一组推理规则，可以用来推导出模态逻辑中的命题。

这些公理和规则可以保证模态逻辑的一致性和完备性。

四、模态逻辑的应用模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。

在哲学中，模态逻辑被用来研究命题的可能性和必然性，以及时间和空间等概念。

在数学中，模态逻辑被用来研究证明论和模型论等领域。

在计算机科学中，模态逻辑被用来描述系统的性质和约束条件，例如形式化验证和人工智能等领域。

五、模态逻辑的拓展除了基本的模态逻辑，还有其他形式的模态逻辑，如时序逻辑（temporal logic）、动态逻辑（dynamic logic）等。

时序逻辑用于描述时间序列中的命题关系，动态逻辑用于描述命题的变化和演化过程。

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- 218 - 模态逻辑和时态逻辑第10章模态逻辑和时态逻辑在本章中，我们研究模态逻辑和时态逻辑。

10.1模态逻辑(Modal Logic)模态逻辑涉及到必然性和可能性概念。

一阶模态逻辑语言L ML由一阶谓词演算Ｌ加上两个新的算子Ｌ(或□必然算子)和Ｍ(或◇可能算子)得到,更精确地说L ML由Ｌ加上下列子句组成：如果Ａ是Ｌ的wff(合式公式)，则ＬＡ和ＭＡ也是wff。

他们的语义解释为若Ａ在某些可能世界中为真则Ｍ真,如果Ａ在每一个可能世界为真则ＬＡ为真。

更精确形式定义为：定义1一个模态框架(Model Frame)M是一个四元组＜W, D, R, F＞,其中①W是一个(可能世界的) 非空集合；②D是一个‘个体’非空域;③R是W上的一个二元‘可达性’关系；④F是一个映射，它赋给每一个由一个ｎ(ｎ≥0)元函数符号f和ｎ个W的元素w所组成的对（f，w），以一个D n到D的函数，以及赋给每一个由ｎ(n > 0)元关系符号r和ｎ个W的元素w的对(r, w)以2Dn一个元素。

在这样一个模态框架中L ML的解释不同于谓词演算中的演算, 这里域W起一个关键作用。

但是解释仍旧给定一个赋值函数g，它赋予D的元素到单个变量。

为方便起见我们写wRw’表示<w, w'>满足关系R。

记号M|==w,g A表示在框架M中在w世界g满足合式公式A。

R的形式性质决定了模态逻辑(公理和推理规则)。

我们称一个合式公式关于一个特殊框架类C为真,当且仅当它对C中每个框架的每个赋值函数和可能世界所满足。

因此，如果我们取C为所有使R是自反的框架，则得到熟知的逻辑T。

如果R是传递的，则得到S4，如果R是自反，传递和对称的(即等价关系)，则得到模态逻辑S5。

模态逻辑T由谓词逻辑公理系统加上公理LA→AL(A→B)→(LA→LB)得到。

推理规则ALA表示必要性。

S4在T的公理系统中加上公理LA→LLA。

S5在S4公理系统中加上公理MA→ LMA。

由于使单个的域保持固定，Baican公式∀x(LA)→ L(∀x A)对所有框架都为真。

10.2时态逻辑(Temporal Logic)时态逻辑, 在不同时间, 同一个语句可以有不同的真值。

时态逻辑语言L T由通常逻辑语句加上时态算子F, P, G , H组成。

其中FA表示在将来(Future)某个时间A为真；PA表示在过去(Past)某个时间A为真;GA表示在所有将来时间A都为真;HA表示在过去时间A总归为真。

定义2一个时态框架T由时间非空点集T,一个时间优先次序关系R以及一个函数h：T×L T的原子集合→{0, 1}所组成。

T = (T, R, h)。

函数h给每一个原子语句在全部时间点上赋予真假值。

h在整个L T上的语义由下列方式规定：⑴h(t, A ∧ B)=1当且仅当h(t, A)=1且h(t, B)=1⑵h(t, ~A)=1当且仅当h(t, A)=0⑶h(t, FA)=1当且仅当(∃t')(R(t, t')&h(t', A)=1)⑷h(t, PA)=1当且仅当(∃t')(R(t', t)&h(t', A)=1)其中R(t, t')表示按时间优先次序t优先于t’。

由GA和HA的意义知GA↔~F~AHA↔~P~A因此h(t, GA)=1当且仅当(∀t’)(R(t, t’)→h(t’, A)=1)h(t, HA)=1当且仅当(∀t’)(R(t’, t)→h(t’, A)=1)如果一个语句在任何时间点都取值为1，我们称它在这样一个框架中为真，。

对R的不同限制导致不同的时态逻辑变种。

第-219 - 页- 220 - 模态逻辑和时态逻辑最小时态逻辑K为不对R加任何限制。

我们称一个语句为K-valid当且仅当它在全部时态框架中都真。

最小时态逻辑精确地是K-valid语句集合，并且有下列公理系统(A1-A7)为特征，以及MP(modus ponens)作为推理规则：(A1) A，其中A是永真式。

(A2)G(A → B) → (GA → GB)(A3)H(A → B) → (HA → HB)(A4)A → HFA(A5)A → GPA(A6)GA，如果A是一个公理(A7)HA，如果A是一个公理(MP)若A及A → B，则B可以证明(见McArthur11976或Rescher & Urquhart21971)这个系统的定理精确地是K-valid语句(完全性结果)分支时间(Branching Time)是在R上加上下面两个限制：(R1)(∀t∀s∀r)(R(t, s) ∧ R(s, r) → R(t, r))(R2) (∀t∀s∀r)((R(t, r) ∧ R(s, r) → R(t, s)) ∨ (t = s) ∨ R(s, t))传递性(R1)表示时间优先次序的传递性，(R2)表示反向线性性，即下列形式的时间分支：分支时间因此坚持仅存在一个过去，但允许将来保持分开。

为了公理化这个逻辑(在所有满足(R1)，(R2)框架上语句为真)我们需要在公理系统(A1)-(A7)加上两个公理：(A8) FFA → FA(A9)(PA ∧ PB) → (P(A ∧ B) ∨ (P(A ∧ PB) ∨ (P(PA ∧ B)))其中(A8)对应于传递性，(A9)对应于反向线性性。

Reschen&Urguhant称之为K b逻辑。

经典时间图是一个线性序列，这样的概念来源于物理，例如牛顿的绝对时间是一维线性连续统，甚至相对物理中局部时间序列也是线性的。

为了使将来和过去都分支，我们在R上加上限制：(R3)(∀s∀t)(R(s, t) ∨ (s = t) ∨ R(t, s))显然(R3)等价于(R2)和向前线性性限制(R4)的合取：(R4) (∀s∀t∀r)(((R(r, t) ∧ R(r, s)) → R(s, t)) ∨ (s = t) ∨ R(t, s))为了使所有满足(R1)和(R3)框架上的语句为真，需要在公理系统(A1) (A9)上添加公理(A10)(A10)(FA ∧ FB) → (F(A ∧ B) ∨ (F(A ∧ FB)) ∨ (F(FA ∧ B)))公理(A10)对应于向前线性性。

由(A1)-(A10)所定义的时态逻辑称为K1，由Nino Cocchiarella所引入。

这个逻辑仍然留下许多关于时间性质的未知基本问题。

例如：是否有一个时间的开始和终止时刻？是否在任何两个时刻之间存在一个时刻？时间的连续性是否象实数一样？对这些问题的不同回答导致不同的时态逻辑。

对第一个问题的肯定回答导致在关系R上的两个进一步限制：(R5) (∀s)(∃t)(R(t, s))1McArthus , J.(1979) Tense logic , Reidel2Rescher ,J.& Urquhant , A (1971) temporal logic , Springer Verlag(R6) (∀s)(∃t)(R(s, t))(R5)保证时间无开始，(R6)保证时间无结束。

它的公理系统为附加公理(A11)，(A12)到(A1)－(A10)上。

(A11) GA → FA(A12) HA → PA相应的时态逻辑由Dana Scoff所引用，记为K ss任何两个时刻之间是否存在一个时刻？肯定的回答导致时间象有理数一样稠密，否定的回答强迫时间具有自然数一样的机构。

一个肯定的回答强迫时间线在下列意义下稠密。

(R7) (∀s)(∀t)(∃r)(R(s, t) → (R(s, r) ∧ R(r, t)))要求在K s公理系统中增加一个公理(A13) FA → FFA这个线性时态逻辑由A. N. Prior所建立，记为K p最后一个问题涉及时间的稠密度象有理数还是象实数。

若我们将一个稠密有序线性序列T分成两个非空集合T1和T2，使得T1中每个点优先于T2中的点，则可能存在三种情况：⑴T1有一个最后元素，但T2无第一个⑵T1没有最后一个元素，但T2有第一个⑶T1没有最后元素，T2也没有第一个若仅允许⑴和⑵，则T的次序是连续的。

限制为：(R8) (∀T1，T2)(((T＝T1∪T2) ∧ (∀s∈T1)(∀t∈T2)(R(s, t))) → (∃s') ((∀s∈T1)(R(s, s') ∧ (∀t∈T2)(R(s', t)))) 上面的全线性连续性反映在公理：(A14) □(GA → PGA）→ (GA → HA)其中□B定义为GB ∧ HB ∧ B。

我们称满足(A11)－(A14)公理的时态逻辑为K c10.3模态框架（modal framework）一般的模态框架考虑一个由许多类似的状态（state）（或世界world）组成的一个宇宙(universe),以及状态之间可访问的关系R(s, s')组成。

关系R(s, s')规定了从一个状态s转变成另一个状态s'的可能性。

例如：在宇宙中的每个状态是一个日子，一个可能的可访问关系可以是两天s, s'之间的关系。

若s'是s'的将来。

主要记号想法是避免明显控制或状态参量（日子）或可访问关系。

而引入两个特殊算符来指出从宇宙中一个状态到可访问状态的性质。

引入两个模态算子□（称为必然算子necessity operator）和◇（称为可能算子possibility operator）。

我们用∣w∣s表示公式w在状态s的真值，则□和◇的意义由下列解释规则来定义：∣□W∣s = (∀s')(R(s, s') →∣W∣s')∣◇W∣s = (∃s')(R(s, s') ∧∣W∣s')即如果公式w在从状态s的所有R-可访问的状态下都为真，则□W在此状态s下为真。