2008年四川省高考数学试卷(文科)答案与解析

2008年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）（2008•四川）函数的反函数是（）A．B．y=e2x﹣1（x∈R）C．D．【考点】指数式与对数式的互化；反函数．【分析】反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰【解答】解：∵由y=ln（2x+1）反解得∴从而淘汰B、D、又∵原函数定义域为∴反函数值域为故选C．【点评】此题重点考查求反函数的方法，考查原函数与反函数的定义域与值域的互换性3．（5分）（2008•四川）设平面向量，则=（）A．（7，3）B．（7，7）C．（1，7）D．（1，3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算法则即可解题．【解答】解：∵∴故选A．【点评】此题重点考查向量加减、数乘的坐标运算；应用向量的坐标运算公式是解题的关键；4．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．【解答】解：∵=故选D；【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．5．（5分）（2008•四川）不等式|x2﹣x|＜2的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】可由绝对值的意义去绝对值，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法【解答】解：∵|x2﹣x|＜2∴﹣2＜x2﹣x＜2即，，∴x∈（﹣1，2）故选A【点评】此题重点考查绝对值不等式和二次不等式的解法，属基本题．准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键6．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．7．（5分）（2008•四川）△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．8．（5分）（2008•四川）设M是球心O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（）A．B．C．D．【考点】球面距离及相关计算．【分析】可通过数形结合的方法，画出图形，再利用勾股定理进行求解．【解答】解：设分别过M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，球半径为R，则：∴∴这两个圆的面积比值为：故选D【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系．9．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．【考点】函数的值．【专题】压轴题．【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2∴，，，，∴，∴故选C．【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．10．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；11．（5分）（2008•四川）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．96【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的额性质求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选C．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．12．（5分）（2008•四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积．【解答】解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，则∴∴∴故选B．【点评】此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为﹣6．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（2x）2•C4014（﹣x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】数形结合．【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．15．（4分）（2008•四川）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有140种．【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求甲、乙中至少有1人参加的对立事件是甲和乙都不参加，所以从事件的反面入手来解，从10个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数．【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法，从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法故答案为：140．【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，由题目中的“至少”知道从反面排除易于解决，这和概率中的对立事件考虑方法一样，正难则反原则．16．（4分）（2008•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1=故答案为；【点评】此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1]中的最大值为z max=（﹣1﹣1）2+6=10最小值为z min=（1﹣1）2+6=6故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．【考点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．设出事件，知事件之间是相互独立的和互斥的，根据概率公式得到结果．（2）进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品包括进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品和进入商场的2位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品．根据事件之间的关系，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，A与B 是相互独立的，且A与B是互斥的，∵C=A+ B∴===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）记A2表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；D表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；E表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；∵=，∴P（）=P（）•P（）=0.5×0.4=0.2P（A1）=C32×0.22×0.8=0.096P（A2）=0.23=0.008P（E）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.096+0.008=0.104【点评】此题重点考查相互独立事件有一个发生的概率，分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；19．（12分）（2008•四川）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】综合题；转化思想．【分析】解法1：（Ⅰ）直接证明GH BC推出四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．推出EF∥CH，就是EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．（Ⅲ）连接EC，证明BG⊥EA．BG⊥ED，ED∩EA=E，推出BG⊥平面ADE，然后证明平面ADE⊥平面CDE．解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz（Ⅰ）通过，又点G不在直线BC上，说明四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．利用，又C∉EF，H∈FD，证明C，D，E，F四点共面．（Ⅲ）通过，即CH⊥AE，CH⊥AD，说明平面ADE⊥平面CDE 【解答】解法1：（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH又BC，故GH BC所以四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE，G是FA的中点知，BE GF，所以EF∥BG由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．（Ⅲ）连接EG，由AB=BE，BE AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形故BG⊥EA．由题设知FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE由（Ⅰ）知CH∥BG，所以CH⊥平面ADE．由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz（Ⅰ）设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），G（0，0，c），H（0，b，c）所以于是又点G不在直线BC上所以四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：由题设知F（0，0，2c），所以又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．（Ⅲ）由AB=BE得，所以又，因此即CH⊥AE，CH⊥AD又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE【点评】此题重点考查立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考查了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键．20．（12分）（2008•四川）设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．（Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2﹣1）（x4﹣4）=5（x+1）（x+2）（x﹣1）（x﹣2）当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＜0因此f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，1），（2，+∞）f（x）的单调减区间是（﹣2，﹣1），（1，2）【点评】本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．21．（12分）（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出a n，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（Ⅱ）由已知得a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；（Ⅲ）a n=（a n﹣2a n﹣1）+2（a n﹣1﹣2a n﹣2）+…+2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2，由2a n=S n+2n知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n+2n+1，得a n+1=s n+2n+1①，则a2=S1+22=2+22=6，S2=8；a3=S2+23=8+23=16，S2=24，a4=S3+24=40；（Ⅱ）由题设和①式知a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n所以{a n+1﹣2a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）a n=（a n﹣2a n﹣1）+2（a n﹣1﹣2a n﹣2）+…+2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．22．（14分）（2008•四川）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点F2到右准线为l的距离为（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，证明：当|MN|取最小值时，．【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先根据离心率求得a和c的关系，进而根据F2到右准线为l的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而根据a，b和c的关系气的b．（Ⅱ）根据（1）中的椭圆方程求得可知椭圆的焦点坐标，则l的方程可得，设出M，N的坐标，根据求得得y1y2的值，代入到|MN|的表达式中，根据均值不等式求得|MN|的最小值，根据等号成立的条件求得y1和y2的值，进而求得，证明原式．【解答】解：（Ⅰ）因为，F2到l的距离，所以由题设得解得由b2=a2﹣c2=2，得（Ⅱ）由得，l的方程为故可设由知知得y1y2=﹣6，所以当且仅当时，上式取等号，此时y2=﹣y1所以，=（0，y1+y2）=【点评】此题重点考查椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量与椭圆的综合应用；要熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的应灵活应用．。