全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题空间点、直线、平面之间的位置关系
空间平面的概念
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 2
用两张全等的矩形纸，按下列各图所示的两个
平面的位置进行摆放．
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题型三 三种语言的相互转换 例 3 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA，平面 α 与平面 γ 交于 PB，平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD， 平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC； (3)直线 a 和 b 相交于平面 α 内一点 M.
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2 ．一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部 分？
答：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分，而 两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
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3． “线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内”这一 说法是否正确？为什么？
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全国名校高考数学优质复习学案、专题汇编（附详解）
2 ．1
空间点、直线、平面之间的位置 关系 2 ．1. 1 空间平面的概念
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要点 1 平面的特征 “平面”是平的，它无厚度，可以无限延展． 要点 2 平面的表示 平面通常用希腊字母 α，β ，γ 等表示，如平面 α、平面 β、 平面 γ 等，也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面 ABCD、平 面 AC、平面 BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如 平面 ABC.
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
2024届高考数学立体几何专项练——(3)空间点、直线、平面之间的位置关系
2024届高考数学立体几何专项练——（3）空间点、直线、平面之间的位置关系1.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面2.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为π3，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为()A.π3B.π4C.2π3D.π23.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π64.已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，则异面直线1A B ，1AC 所成角的余弦值为() A.14B.64C.104D.1545.在正四面体ABCD 中,已知,E F 分别是,AB CD 上的点(不含端点),则()A.不存在,E F ,使得EF CD ⊥ B.存在E ,使得DE CD⊥C.存在E ,使得DE ⊥平面ABC D.存在,E F ,使得平面CDE ⊥平面ABF6.下列结论中不正确的是()A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D.任意两条直线不能确定一个平面7.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于58.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A.BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为11111,,,BC CC A D C D 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π210.（多选）若a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的有()A.若//a b ，//b c ，则//a cB.若a γ⊥，b γ⊥，则//a bC.//a γ，//b γ，则//a bD.若a b ⊥，b c ⊥，则a c⊥11.（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒12.（多选）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，下列四个结论中正确的是()A.AC BD⊥B.ACD △是等边二角形C.直线AB 与平面BCD 所成的角是60°D.AB 与CD 所成的角为60°13.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为_________.14.已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确个数是__________.①,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂；②,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒⋂=；③,l A l A αα⊄∈⇒∉；④,A l l A αα∈⊂⇒∈.15.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则1DB 与CM 所成角的余弦值为___________.16.,αβ是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥，②αβ⊥，③m β⊥，④n α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________.17.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________(填序号).18.已知E，F，G，H分别是三棱锥A BCD-棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD 所成角为60°，且2==，则EG=____________.AC BD答案以及解析1.答案：B解析：设l αβ=I ，且l 与a ，b 均不重合，假设////a b c ，由//a b 可得//a β，//b α，又l αβ=I ，可知//a l ，//b l ，又////a b c ，可得//c l ，因为α，β，γ两两互相垂直，所以l 与γ相交，即l 与c 相交或异面，若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.故选B.2.答案：D解析：如图，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC .在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为π3，2AB =，所以PAB △是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又22AC =，所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为π2，故选D.3.答案：D解析：如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B AC B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=，在1BC P △中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.故选D.解析：如图，设F 是线段BC 的中点，连接1AC 交1AC 于点N ，连接NF ，AF ，由题意知，四边形11ACC A 为正方形，∴N 是1AC 的中点，1//NF A B ∴，ANF ∴∠是异面直线1A B ，1AC 所成的角或其补角，1AA ⊥ 平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1122AC A B ∴==，3AF =，1122AN AC ∴==，1122NF A B ==，222(2)(2)(3)1cos 4222ANF +-∴∠==⨯⨯，∴异面直线1A B ，1AC 所成角的余弦值为14.故选A.5.答案：D解析：为了方便解题，将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示.连接,HG OD ，对于选项A ，取,E F 分别为,AB CD 的中点，则易知EF CD ⊥，所以选项A 不正确；对于选项B ，在正方体中，易知CD ⊥平面ABHG ，因为过点D 且与平面ABHG 平行的平面不经过点E ，所以不存在E ，使得DE CD ⊥，故选项B 不正确；对于选项C ，在正方体中，易证OD ⊥平面ABC ，所以不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故选项C 不正确；对于选项D ，设OD 与平面ABC 的交点为K ，连接CK ，只要令平面CDK 与AB 的交点为E 即可得平面CDE ⊥平面ABF ，故选项D 正确.解析：由基本事实3可知，如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误.7.答案：B解析：当3n =时，显然成立，排除C ，D ；当4n =时（正四面体）也满足，排除A ，故选B.8.答案：B解析：如图，连接BD ，BE .N 为正方形ABCD 的中心，N BD ∴∈.又M 是ED 的中点，M ED ∴∈，M ∴，N ∈平面BED .∴由图知BM 与EN 相交.设ED DC a ==，则2BD a =，2EB a =.在EBD △中，由中线定理得()22222124EN ED EB BD a ⎡⎤=+-=⎣⎦，EN a ∴=.又72BM a =，BM EN ∴≠.故选B.9.答案：C 解析：略10.答案：AB解析：A 项，空间中线线平行有传递性，如图1，故A 项正确；B 项，如图2，故B 项正确；C 项，如图3，故C 项错误；D 项，如图4，故D 项错误.11.答案：ABD解析：A 项，如图，易证11//A D B C ，显然11BC B C ⊥，所以11BC DA ⊥，故A 项正确；B 项，因为11BC B C ⊥，111BC A B ⊥，所以1BC ⊥平面11A B CD ，从而11BC CA ⊥，故B 项正确；C 项，如图，设1111A C BD O = ，则111C O B D ⊥，11C O BB ⊥，所以1C O ⊥平面11BB D D ，从而1C BO ∠即为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，易证11A BC △为正三角形，O 为11A C 的中点，所以130C BO ∠=︒，故C 项错误；D 项，显然1C BC ∠即为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，且145C BC ∠=︒，故D 项正确.12.答案：ABD解析：设正方形的边长为1，取BD 的中点O ，连接OA ，CO ，可得OC BD ⊥，OA BD ⊥，OC OA O = ，BD ∴⊥平面AOC .AC ⊂ 平面AOC ，BD AC ∴⊥，A 正确.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，即平面ABD ⊥平面BCD .OC BD ⊥ ，平面ABD 平面BCD BD =，OC ∴⊥平面ABD ，同理OA ⊥平面BCD ，OC OA ∴⊥.在Rt OAC △中，22OC OA ==，221AC OA OC ∴=+=，故ACD △为等边三角形，故B 正确.OA ⊥ 平面BCD ，ABO ∴∠为直线AB 与平面BCD 所成的角，而45ABO ∠=︒，故C错误.过点D 作//DE AB 且DE AB =，连接CE ，OE ，则CDE ∠或其补角为AB 与CD 所成的角.在ODE △中，1DE =，22OD =，3π4EDO ∠=，由余弦定理得2223π52cos42OE OD DE OD DE =++⋅⋅=.易知CO ⊥平面ABD ，OE ⊂平面ABD ，CO OE ∴⊥.在Rt COE △中，2223CE OE OC =+=.又1DE CD ==，由余弦定理得2221cos 22CD DE CE CDE CD DE +-∠==-⋅，120CDE ∴∠=︒，即AB 与CD 所成的角为60°，故D正确.故选ABD.13.答案：45°或135°解析：若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°.14.答案：3解析：由基本事实2知，①正确；由基本事实3知，②正确；若l A α⋂=，显然有,l A l α⊂∈/，但是A α∈，③错误；④正确.15.答案：1515解析：将正方体1111ABCD A B C D -补成一个长方体，连接1111,,//CE ME DB CE ，所以1MCE ∠是异面直线1DB 与CM 所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a .在三角形1MCE 中，11513,3,22CM a CE a ME a ===，那么222151331544cos 155232a a a MCE a a+-∠==⨯⨯.16.答案：若②③④则①或若①③④则②解析：若①m n ⊥，②αβ⊥，③m β⊥成立，则n 与α可能平行也可能相交，也可能n α⊂，即④n α⊥不一定成立；若①m n ⊥，②αβ⊥，④n α⊥成立，则m 与β可能平行也可能相交，也可能m β⊂，即③m β⊥不一定成立.若①m n ⊥，③m β⊥，④n α⊥成立，则②αβ⊥成立.若②αβ⊥，③m β⊥，④n α⊥成立，则①m n ⊥成立.17.答案：②④解析：如题干图①中，直线//GH MN ；题干图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题干图③中，连接MG(图略)，//GM HN ，因此，GH 与MN 共面；题干图④中G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以GH 与MN 异面.18.答案：1或3解析：因为E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A BCD -棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，所以EF 为ABC △的中位线，故//EF AC 且12EF AC =，同理GH 为ACD △的中位线，故//GH AC 且12GH AC =，所以EF 平行且等于GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形且112EF AC ==，同理//FG BD 且112FG BD ==，因为AC 与BD 所成角为60°，所以60EFG ∠=︒或120°，当60EFG ∠=︒时，1EG =.当120EFG ∠=︒时，3EG =.。
空间中直线与平面的位置关系
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【思路分析】 无公共点．
(1)由 α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线 a，b
(2)直线与直线可能平行、相交或异面．
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
全国名校高考数学优质复习学案、专题汇编（附详解）
2 ．1. 3 空间中直线与平面的位置关系 2 ．1. 4 平面与平面之间的位置关系
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
要点 1 直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外．
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
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2．如果平面 α 与平面 β 平行，直线 a⊂α ，直线 b⊂β ，那 么 a 与 b 的位置关系是什么？
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
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3 ．如何用图形语言及符号语言表示直线和平面与平面和平 面的各种位置关系？
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【思路分析】
结合直线与平面的位置关系的定义求解．
【解析】 对于①，∵直线 l 虽与平面α内无数条直线平行， 但 l 有可能在平面 α 内，∴l 不一定平行于 α.故①是错误的． 对于②，∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，∴a 和 α 不一定平行．故②是错误的．
③若 a、b 异面，a∥α ，则 b 与 α 的关系是________．
【答案】 b∥α 或 b⊂α 或 b 与 α 相交
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何3(空间线面关系)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（空间线面关系）（一）空间线面的平行与垂直选择题1．（2014•广东文）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ， 若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥， 故1l 与4l 的位置关系不确定， 故选：D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．2．（2014•广东理）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，1l ∴与4l 的位置关系不确定．【解答】解：12l l ⊥，23l l ⊥，1l ∴与3l 的位置关系不确定， 又43l l ⊥，1l ∴与4l 的位置关系不确定． 故A 、B 、C 错误． 故选：D ．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．3．（2014•辽宁文理）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．4．（2014•浙江文）设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论． 【解答】解：A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥或m α⊂或//m α，故A 错误．B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故B 错误．C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥，正确．D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 5．（2015•北京理）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β “是“//αβ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；面面平行的判定定理【分析】//m β并得不到//αβ，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而//αβ，并且m α⊂，显然能得到//m β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m α⊂，//m β得不到//αβ，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到//m β；//αβ，m α⊂，m ∴和β没有公共点，//m β∴，即//αβ能得到//m β；∴ “//m β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6．（2015•福建理）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线与平面平行与垂直关系 【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“//l α”也可能l α⊂， 反之，“//l α”一定有“l m ⊥”，所以l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的必要而不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查． 7．（2015•广东理）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5【考点】棱锥的结构特征【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合， 但显然球的半径不等于棱长，故不成立； 同理5n >，不成立． 故选：B ．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．8．（2015•广东文）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与1l ，2l 都不相交 B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】可以画出图形来说明l 与1l ，2l 的位置关系，从而可判断出A ，B ，C 是错误的，而对于D ，可假设不正确，这样l 便和1l ，2l 都不相交，这样可推出和1l ，2l 异面矛盾，这样便说明D 正确． 【解答】解：A ．l 与1l ，2l 可以相交，如图：∴该选项错误；B ．l 可以和1l ，2l 中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和1l ，2l 都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与1l ，2l 中的一条相交”正确，假如l 和1l ，2l 都不相交； l 和1l ，2l 都共面； l ∴和1l ，2l 都平行；12//l l ∴，1l 和2l 共面，这样便不符合已知的1l 和2l 异面；∴该选项正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确． 9．（2015•湖北文）1l ，2l 表示空间中的两条直线，若1:p l ，2l 是异面直线，1:q l ，2l 不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【考点】空间直线的位置关系【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若1l ，2l 是异面直线，则1l ，2l 不相交，即充分性成立， 若1l ，2l 不相交，则1l ，2l 可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键． 10．（2015•浙江文）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( ) A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出A 正确；B 根据面面垂直的性质判断B 错误；C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；D 根据面面平行的性质判断D 错误．【解答】解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确； 对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误； 对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误； 对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误． 故选：A ．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．11．（2015•安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．12．（2016•浙江文理）已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则() A ．//m lB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【考点】直线与平面垂直【分析】由已知条件推导出l β⊂，再由n β⊥，推导出n l ⊥．【解答】解：互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α， //m β∴或m β⊂或m 与β相交，l β⊂， n β⊥， n l ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 13．（2016•上海文）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A ．直线1AAB ．直线11A BC ．直线11A DD ．直线11B C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线11B C 和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线1AA ，11A B ，11A D 都和直线EF 为异面直线； 11B C 和EF 在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线11B C 和直线EF 相交，即选项D 正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状． 14．（2016•山东文理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件; 空间位置关系【分析】直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”， 反之不成立．∴ “直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．15．（2017•新课标Ⅰ文）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】直线与平面平行【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 所以选项A 满足题意， 故选：A ．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（2017•新课标Ⅲ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】法一：连1B C ，推导出11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，从而1BC ⊥平面11A ECB ，由此得到11A E BC ⊥． 法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连1B C ，由题意得11BC B C ⊥， 11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A ECB ， 1A E ⊂平面11A ECB ， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(2A E =-，1，2)-，1(0DC =，2，2)，(2BD =-，2-，0)， 1(2BC =-，0，2)，(2AC =-，2，0)，112A E DC =-，12A E BD =，110A E BC =，16A E AC =， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 17．（2018•浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m α⊂/，n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：m α⊂/，n α⊂，∴当//m n 时，//m α成立，即充分性成立，当//m n不一定成立，即必要性不成立，mα时，//则“//mα”的充分不必要条件．m n”是“//故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．αβ的充要条件是()18．（2019新课标Ⅱ文理）设α，β为两个平面，则//A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【考点】；充分条件、必要条件、充要条件；空间位置关系【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论αβ；【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B，α内有两条相交直线与β平行，//αβ；对于C，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ．对于D，α，β垂直于同一平面，αβ或//故选：B．【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．19．（2019•新课标Ⅲ文理）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM EN=，且直线BM，EN是相交直线B．BM EN≠，且直线BM，EN是相交直线C．BM EN=，且直线BM，EN是异面直线D．BM EN≠，且直线BM，EN是异面直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】推导出BM是BDE∆中BD边上的中线，从而直线BM，EN是∆中DE边上的中线，EN是BDE相交直线，设DE a≠．=，则BD，BE=，从而BM EN【解答】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD =，BE =，BM ∴=，EN a =， BM EN ∴≠，故选：B ．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】利用面面垂直的性质．画图判定【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【点评】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．填空题1．（2016•新课标Ⅱ理）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题是 ②③④ （填序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，不能得出αβ⊥，故错误；②如果//n α，则存在直线l α⊂，使//n l ，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果//αβ，m α⊂，那么m 与β无公共点，则//m β．故正确④如果//m n ，//αβ，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档． 2．（2019北京文理科12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l α⊥，l m ⊥，则//m α． 【解答】解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．（二）空间线面所成的角1．（2014•新课标Ⅱ理）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，//1112MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==，设12BC CA CC ===，1CO ∴=，AO =AN MB ==在ANO ∆中，由余弦定理可得：222cos2AN NO AO ANO AN NO +-∠===故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．2．（2014•大纲版文）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A ．16B C ．13D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F ，连接EF ，则CEF ∠为异面直线CE 与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF ∆的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值． 【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E 为AB 的中点，//EF DB ∴，则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点， CE CF ∴=．设正四面体的棱长为2a ， 则EF a =，CE CF =．在CEF ∆中，由余弦定理得：2222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠===故选：B ．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•大纲版理）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B C D ．12【考点】异面直线及其所成的角【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ， AE l ⊥ 90EAC ∴∠=︒ //CD AF又135ACD ∠=︒ 45FAC ∴∠=︒ 45EAF ∴∠=︒在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，BE =， 在Rt AEF ∆中，则EF a =，AF =， 在Rt BEF ∆中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，222cos 2AB AF BF BAF AB AF +-∴∠===． 故选：B ．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．4．（2014•四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A．，1] B．1] C．]3D．[3，1] 【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．不妨取2AB =．在1Rt AOA ∆中，111sin AA AOA AO ∠===111111sin sin(2)sin 22sin cos 2C OA AOA AOA AOA AOA π∠=-∠=∠=∠∠==>， sin12π=．sin α∴的取值范围是． 故选：B ．【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．5．（2015•浙江理）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则( )A ．A DB α∠'…B ．A DB α∠'…C ．ACB α∠'…D ．ACB α∠'…【考点】二面角的平面角及求法【分析】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可． 【解答】解：①当AC BC =时，A DB α∠'=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，AOE α=∠'，连结AA '，易得ADA AOA ∠'<∠'，A DB AOE ∴∠'>∠'，即A DB α∠'>综上所述，A DB α∠'…， 故选：B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2016•新课标Ⅰ文理）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．13【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，△11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒．则m 、n ． 故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017•新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】【解法一】设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，得出1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和MNP ∠的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为(0,])2π，可知112MN AB ==，112NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =，12MQ AC =， ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠ 141221()2=+-⨯⨯⨯-7=，AC ∴=MQ ∴=在MQP ∆中，2MP =； 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PMMNP MN NP+-+-∠===； 又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC． 【解法二】如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D -，求1BC D ∠即可；1BC =，BD =1C D =∴22211BC BD C D +=，190DBC ∴∠=︒，1cos BC D ∴∠==故选：C ．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．8．（2017•浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α、β、γ，则( )A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【考点】二面角的平面角及求法【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，Q ，(R -，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．．可得tan OD OE α=．tan OD OF β=，tan ODOGγ=．由已知可得：OE OG OF >>．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，B 3-，0)．Q ，(R -，(PR =-，(0PD =，3，，(3PQ =6，0)，(3,0)QR =--，(QD =-．设平面PDR 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n PR n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得3030y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得(6,21)n =-，取平面ABC 的法向量(0m =，0，1)． 则cos ,||||15m n m n m n <>==，取α=同理可得：β=γ=>>．αγβ∴<<．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．设OD h =． 则tan ODOEα=． 同理可得：tan OD OF β=，tan ODOGγ=． 由已知可得：OE OG OF >>．tan tan tan αγβ∴<<，α，β，γ为锐角． αγβ∴<<．故选：B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．（2018•浙江）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则()A ．123θθθ剟B ．321θθθ剟C ．132θθθ剟D ．231θθθ剟【考点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法 【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心． 过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ， 连接SN ，取AB 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN OM =， 则1SEN θ=∠，2SEO θ=∠，3SMO θ=∠． 显然，1θ，2θ，3θ均为锐角． 1tan SN SN NE OM θ==，3tan SOOMθ=，SN SO …， 13θθ∴…，又3sin SO SM θ=，2sin SOSEθ=，SE SM …， 32θθ∴…．故选：D ．【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．10．（2018•新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【考点】直线与平面所成的角【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度． 11．（2018•新课标Ⅰ文）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为( )A ．8B ．C ．D ．【考点】直线与平面所成的角【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可． 【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==， 1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，即130AC B ∠=︒，可得1tan30ABBC ==︒可得1BB ==．所以该长方体的体积为：22⨯⨯= 故选：C ．【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．12．（2018•新课标Ⅱ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A B C D 【考点】异面直线及其所成的角。
2025版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十一空间点直线平面的位置关系
课时作业(四十一) 空间点、直线、平面的位置关系一、单项选择题1．若l 1、l 2为异面直线，直线l 3∥l 1，则l 3与l 2的位置关系是( ) A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2．[2024·山东郯城一中月考]若直线a ，b 是异面直线，且a ∥α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b 与α相交D ．以上都有可能3．[2024·河南开封模拟]在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的全部面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．若∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，OA ∥O ′A ′，且OA 与O ′A ′的方向相同，则OB 与O ′B ′( )A ．肯定平行且方向相同B ．肯定平行且方向相反C ．肯定不平行D ．不肯定平行5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定6．如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是( )7.[2024·河南扶沟二中期末]如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若AA 1＝AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1C ，AB 所成角的大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．[2024·江西南昌期末]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，假如直线EF 与GH 相交于点M ，那么( )A．点M肯定在直线AC上B．点M肯定在直线BD上C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上9．(实力题)设a，b是异面直线，那么( )A．必定存在唯一的一个平面，同时平行于a，bB．必定存在唯一的一个平面，同时垂直于a，bC．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线bD．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b10.(实力题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BD上随意一点(包括端点)，则肯定有( )A．PC1与AA1异面B．PC1与AA1相交C．PC1与平面AB1D1平行D．PC1与平面AB1D1相交二、多项选择题11.如图，是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确的是( ) A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线12.(实力题)[2024·山东潍坊一中模拟]如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，则下列选项中两异面直线所成夹角大于45°的是( ) A．BC与SD B．AB与SCC．SB与AD D．AC与SB三、填空题13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是________．14．(实力题)[2024·河南商丘一中学期末]已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为正方形且AB ＝2，AA 1＝4，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为________．四、解答题15．[2024·广东韶关期末]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．(1)求直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值； (2)求三棱锥D B 1EF 的体积． 优生选做题16．[2024·山东聊城模拟]已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线l 是底面所在平面内的一条直线，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 17．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点．求证：(1)CE 、D 1F 、DA 三线共点；(2)直线BC 和直线D 1F 是异面直线．课时作业（四十一）空间点、直线、平面的位置关系1．解析：∵l1、l2为异面直线，∴直线l1与l2所成角为锐角或直角，∵l3∥l1，∴直线l3与l2所成角为锐角或直角，由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面．答案：D2．解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD视为平面α，直线A1B1为直线a，点E，F分别为棱AA1，DD1的中点，如图，明显有a∥α，当直线b为直线AD时，直线a，b是异面直线，此时b⊂α；因EF∥AD，AD⊂平面α，EF⊄平面α，则EF∥α，当直线b为直线EF时，直线a，b 是异面直线，此时，b∥α；当直线b为直线CC1时，直线a，b是异面直线，此时，b与α相交，所以直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内．故选D.答案：D3．解析：如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC 与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满意题意，所以满意条件的面对角线共4条．故选B.答案：B4．解析：如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不肯定平行．故选D.答案：D5．解析：如图所示：连接D1C，由题意得D1C∩C1D＝E，因为D1C∥A1B，所以D1，C，A1，B共面，所以直线D1C，A1B，EF共面，因为EF∩D1C＝E，所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A.答案：A6．解析：由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点明显不共面．对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.答案：D7．解析：如图所示，连接B1C，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成角，∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝2，B1C＝2，又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝2，在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝2，∴△B1A1C是正三角形，∴∠B 1A 1C ＝π3.故选C. 答案：C 8．解析：如图，空间四边形ABCD ，因为EF ⊂平面ABC ，GH ⊂平面ACD ，所以点M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ， 所以点M ∈直线AC .因为AC 与BD 为异面直线，所以M ∈/直线BD . 答案：A9．解析：A 选项，存在平面，同时平行于a ，b ，但不唯一，如图，a ，b 是异面直线，存在平面α，β同时平行于a ，b ，A 错误；B 选项，假设存在唯一的一个平面，同时垂直于a ，b ，则可推出a ∥b ，明显这与a ，b 是异面直线冲突，故B 错误；C 选项，首先证明这样的平面存在，如图，a ，b 为异面直线，过直线b 作一个平面β，交直线a 于点F ，过点F 作直线c 平行于b ， 直线a ，c 确定平面α，所以平面α与直线b 平行，故这样的平面存在， 接下来证明唯一性，假设过直线a 存在另一平面γ，平行于直线b ， 则有α∩γ＝a ，由线面平行的性质可知，过直线b 的平面χ交γ于直线d ，则b ∥d ∥c ，且a 与d 相交，则a ，d 确定平面γ，由于c ∥d ，所以a ，c 确定的平面与a ，d 确定的平面为同一平面，即α与γ重合，证毕．C 正确．D 选项，假设过直线a 存在唯一的一个平面垂直于b ，则可推出a ⊥b ，由已知可知a ，b 是异面直线，但不肯定垂直，故这样的平面可能不存在，所以D 不肯定正确．故选C. 答案：C 10．解析：连接AC 、A 1C 1，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，所以，四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 当P 为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1相交，当P 不为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1异面，AB 选项都不肯定成立；连接BC 1、C 1D ，因为AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴BC 1∥AD 1，∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1， 同理可证C 1D ∥平面AB 1D 1，因为BC 1∩C 1D ＝C 1，BC 1、C 1D ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，∵PC 1⊂平面BC 1D ，∴PC 1∥平面AB 1D 1，C 选项肯定满意，D 选项肯定不满意． 故选C. 答案：C 11．解析：正方体的直观图如图所示：很明显，BM 与ED 不平行，A 错误；连接AN ，AC ，易知△ACN 是等边三角形，CN 与BM 的夹角即为∠ANC ＝60°，B 正确； 很明显，CN ∥BE ，C 错误； DM 与BN 是异面直线，D 正确． 故选BD. 答案：BD12．解析：对于A ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥BC ，则BC 与SD 所成角的大小为90°，A 项符合．对于B ，因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，则AB 与SC 所成的角为∠SCD ＝45°，B 项不符合．对于C ，因为AD ∥BC ，所以SB 与AD 所成的角为∠SBC ，由题知tan∠SBC ＝SC BC＝2>1，所以∠SBC >45°，C 项符合．对于D ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又因为SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD .因为SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ，则AC 与SB 所成角的大小为90°，D 项符合．故选ACD.答案：ACD 13．解析：如图，依据中位线性质可知：EH ∥FG 且EH ＝FG ＝12BD ，所以四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形14．解析：取A 1B 1中点F ，连接AE 、EF 、AF ，则EF ∥B 1C 1，又BC ∥B 1C 1，则BC ∥EF ，则∠AEF 为异面直线AE 与BC 所成的角或其补角， 又△AEF 中，EF ⊥AF ，EF ＝2，AF ＝17，则AE ＝21， 则cos∠AEF ＝221＝22121则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为22121.答案：2212115．解析：（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有AB ∥C 1D 1， 所以∠B 1EB 即为直线B 1E 与直线C 1D 1所成角， 在Rt△B 1EB 中，易知BE ＝1，BB 1＝2， 所以tan∠B 1EB ＝BB 1BE＝2， 所以直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值为2. （2）在正方形ABB 1A 1中， 有＝－S △AEF －－＝32，又DA ⊥平面ABB 1A 1. 所以＝13××DA ＝1，即三棱锥D B 1EF 的体积为1. 16．解析：设底面圆的半径为r ，母线长为R ，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以12·2πr ·R ＝3πr 2，即R ＝3r ，因为直线与直线所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当直线l 与底面圆相切时，直线l 与母线所成角最大为π2，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最小值为cos π2＝0；当直线l 过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线l与母线所成角最小，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最大值为OC AC ＝r R ＝13，即该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.故选A. 答案：A 17．证明：（1）分别延长D 1F ，DA ，交于点P ， ∵P ∈DA ，DA ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD .∵F 是AA 1的中点，FA ∥D 1D ， ∴A 是DP 的中点， 连接CP ，∵AB ∥DC ，∴CP ，AB 的交点为线段AB 的中点，即为E ， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点于P .（2）假如直线BC 和直线D 1F 不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC ⊂α，D 1F ⊂α，由于在正方体中AD ∥BC ，BC ⊂α，AD ⊄α， 因此AD ∥α，又因为AD ⊂平面ADD 1A 1，且平面ADD 1A 1∩α＝D 1F ，故AD ∥D 1F ，在正方形ADD 1A 1中，明显AD ，D 1F 不平行，故冲突，因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．。
专题5 空间点、直线、平面的位置关系【高考文科数学】立体几何 含答案
第二讲空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1 ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．(3)公理3 ∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(4)公理4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析B、C、D选项是公理．2． (2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．3． (2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.5． (2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P .则PQ 1≠PQ 2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.题型一 空间点、线、面的位置关系例1 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．审题破题 可以画出四面体ABCD 的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤解析 若AB 与CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对； 若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；设垂足为O ，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接AE ，则OE <AE .∴S △COD ＝12CD ·OE <S △ACD＝12CD ·AE . 同理可得S △ABD >S △BOD ，S △ABC >S △BOC ， ∴S △ACD ＋S △ABC ＋S △ABD >S △BCD .故④对．如图，点E 、F 、G 、H 、M 、N 为各边中点，这样可得到▱EFGH 和 ▱ENGM 它们的对角线EG 和FH 互相平分，EG 和MN 也互相平分． 因此，三条线段EG ，FH ，MN 交于一点，故⑤对．反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中假命题的序号是__________．答案④解析命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面．(2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．答案①③④解析可以利用模型进行判断．题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F 分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA . 又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交， ∴平面EFG ∥平面PMA .(2)证明 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(3)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2. ∵DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，∴DA 即为点P 到平面MAB 的距离，∴V P －MAB ∶V P －ABCD ＝13S △MAB ·DA ∶13S 正方形ABCD ·PD＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)平面PAD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD . 又∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，则PA ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD ， 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . ∴平面BEF ⊥平面PCD . 题型三 空间线面关系的综合问题例3 如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE . 审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直．(2)这是一道探索性问题，先确定点N 的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN ∥平面DAE 成立． (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF ，∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3 (2013·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ，且AC ∩PA ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ， 则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.典例 (12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 规范解答(1)解 令PA ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，[4分] 由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233(负值舍去)．[5分]当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． [7分]所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′－PBCD 最大时，PA ＝233.[8分](2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC . [10分]所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF . 又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[12分]评分细则 (1)从已知条件得到A ′P ⊥平面PBCD ，得2分；(2)f (x )的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分．阅卷老师提醒(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；③若a∥b，b∥M，则a∥M；④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是( ) A．①③B．②③C．①④D．②④答案 C解析②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.3． (2012·四川)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N 是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案 C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有________．答案②③解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．专题限时规范训练一、选择题1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.3．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A 1D ⊥面AD 1C 1B ，又C 1E ⊂面AD 1C 1B ，故A 1D ⊥C 1E .故选B.5． 如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F －HC 1G 所得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是()A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ， ∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ， ∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形， ∵BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1DCGH 为上下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确． 6． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G .现在沿AE 、EF 、FA把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有 ()A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变． ∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF . 7． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②③不成立，故选A. 二、填空题9． 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.10．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG＝3，GK ＝32，PK ＝ 12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝32＋⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23. 即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.11．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .12．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案 33解析 如图，作PM ⊥面ABC ，设PA ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ，PM ＝33a . 设球的半径为R ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫33a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.三、解答题13．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由AS ＝AB ，AF ⊥SB 知F 为SB 的中点， 则EF ∥AB ，FG ∥BC ，又EF ∩FG ＝F ，因此平面EFG ∥平面ABC . (2)由平面SAB ⊥平面SBC ，且AF ⊥SB ， 知AF ⊥平面SBC ，则AF ⊥BC .又BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，则BC ⊥平面SAB ， 又SA ⊂平面SAB ，因此BC ⊥SA .14．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC .(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2)若AB 1⊥A 1C ，求线段AC ⊥AA 1长度之比；(3)若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 由于ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以B 1C 1⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，所以B 1C 1⊥A 1C 1， 又CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1C 1⊥平面AC 1.由于B 1C 1⊂平面AB 1C 1，从而平面AB 1C 1⊥平面AC 1. (2)解 由(1)知，B 1C 1⊥A 1C .所以，若AB 1⊥A 1C ，则可得：A 1C ⊥平面AB 1C 1， 从而A 1C ⊥AC 1.由于ACC 1A 1是矩形，故AC 与AA 1长度之比为1∶1.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1. 设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1.。
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空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础题组
1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
3.(优质试题河北唐山3月模拟)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有
条.
7.如图为正方体表面展开图的一种,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有对.
8.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为60°,点M,N
分别是BC,AD的中点,则异面直线AB和MN所成的角为.
9.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.
(1)求证:BC与AD是异面直线;
(2)求证:EG与FH相交.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
B组提升题
组
1.(优质试题河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是DD1、AB的中点,平面B1EF交棱AD于点P,则PE=( )
A. B. C. D.
2.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知
∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
4.如图所示,平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
(1)若四点F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
(2)求证:平面CBE⊥平面EDB.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,此时a∥b,与a,b异面矛盾.
2.D 若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.
3.A 取AC的中点O,连接OM,ON,则ON∥AP,ON=AP,OM∥BC,OM=BC,所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角),在△ONM中,OM=2,ON=2,MN=4,由勾股定理的逆定理得OM⊥ON,则∠ONM=30°.故选A.
4.C 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,
又D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面ABC与平面β的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
5.C 取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ(或其补角)即为所求,
设BC=CA=CC1=2,
则AQ=,AN=,QN=,
∴cos∠ANQ=-
===,
故选C.
6.答案 5
解析与AB和CC 1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.
7.答案 3
解析将展开图还原为正方体,如图所示,
显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.
8.答案60°或30°
解析如图,取AC的中点P,连接PM,PN,
则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB 与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°.
因为PM∥AB,所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角.
①若∠MPN=60°,
因为AB=CD,所以PM=PN,
则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形,所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
综上,异面直线AB和MN所成的角为60°或30°.
9.证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α, 所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC 与AD是异面直线.
(2)如图,连接AC,BD,EF,FG,GH,EH,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG,同
理,EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG、FH是平行四边形EFGH的对角线,则EG与FH相交.
10.解析(1)如图所示,连接B 1C,AB1,。