2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案[ 高考]
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江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分﹒请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．﹒ 1. “为真且q p ”是“为真或q p ”的 ▲ ．条件。
（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要） 答案：充分不必要2.命题“2lg ,-=∈∃x x R x ”的否定是 ▲ ． 答案：2lg ,-≠∈∀x x R x3.已知),1,1(t t t a --=, ),,3(t t b =，则||b a-的最小值 ▲ ． 答案：54.若椭圆11322=++-ky k x 的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ▲ ． 答案：)1,1(-5. 双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e +=▲ ．答案：16. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ ． 答案：)1,0(-7.已知)2,1,2(-=a ，)3,3,1(--=b ，),6,13(λ=c ，若向量c b a,,共面，则λ= ▲ ．答案：38.下列命题：① 01,2>+∈∀x R x ； ② 1,2≥∈∀x N x ； ③ 1,3<∈∃x Z x ；④ 3,2=∈∃x Q x ； ⑤ 023,2=+-∈∀x x R x ⑥01,2=+∈∃x R x .其中所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①③9.椭圆125922=+y x 上的一点p 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是 ▲ ．答案：)0,3(或)0,3-(10.在长方体1111D C B A ABCD -中，2,4==BC AB ,61=DD ,则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ▲ ． 答案：70703 11. 已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是 ▲ ． 答案：(0,)c 12.下列说法：①函数63ln )(-+=x x x f 的零点只有1个且属于区间)2,1(； ②若关于x的不等式0122>++ax ax 恒成立，则)1,0(∈a ； ③函数x y =的图象与函数x y sin =的图象有3个不同的交点； ④已知函数xxa x f +-=1log )(2为奇函数，则实数a的值为1． 正确的有 ▲ ．（请将你认为正确的说法的序号都写上） 答案：①④13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ ． 答案：21-14.直线02243=+-y x 与抛物线y x 222=和圆21)22(22=-+y x ，从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则CDAB的值为 ▲ ． 答案：161 二、解答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题．．卡的指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足)0(012722><+-a a am m ，命题q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：由)0(012722><+-a a am m ，则a m a 43<< 即命题p ：a m a 43<<由12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上椭圆可得：012>->-m m ，--------------4分 ∴231<<m 即命题q ：231<<m -------------------------------------------------------------------------------8分 由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件从而有： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥23413a a ----------------------------------------------------------------------------------12分 ∴8331≤≤a -------------------------------------------------------------------------------------------14分 16.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，B(3,0)，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率,AC BCk k 满足条件49AC BC k k ⋅=-。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷解析
2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103 (B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 ）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。
【精品】2015年江苏省南通中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类．1．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．2．（5分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．3．（5分）一个圆柱的底面直径和它的高相等，且圆柱的体积为16π，则圆柱的高是．4．（理）已知空间两点A（1，2，﹣1），B（2，0，2）．x轴上存在一点P，使得PA=PB，则P点坐标为．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线过点P（1，），则该双曲线的离心率为．6．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．7．（5分）若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．8．（5分）l1，l2，l3是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是．（1）l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；（2）l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3（3）l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；（4）l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．9．（5分）设P（x，y）是椭圆上的一点，则2x﹣y的最大值是．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．11．（5分）直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为．12．（5分）设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且AC+BD=a，AC•BD=b，则EG2+FH2=．13．（5分）如图所示，等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面A′PQ⊥平面BPQC，若折叠后A′B的长为d，则d的最小值为．14．（5分）已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：x2+（y﹣2）2=1的直径，则的最大值为．15．（5分）设短轴长为是的椭圆C：和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E为PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．18．（15分）设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=a，直线B1C与平面ABC成30°角．（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求C1到平面B1AC的距离；（3）求三棱锥A1﹣AB1C的体积．20．（15分）已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆过点p（0，﹣1），且其长轴长等于圆O的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．（Ⅰ）设直线l1的斜率为k，求弦AB长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．21．（15分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线l：y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．2014-2015学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共计70分．请注意文理科类．1．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）．【解答】解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）2．（5分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：73．（5分）一个圆柱的底面直径和它的高相等，且圆柱的体积为16π，则圆柱的高是4．【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为R，∵圆柱的底面直径和它的高相等，∴高h=2R，圆柱的体积V=πR2h=π×R2×2R=16π⇒R=2，故圆柱的高h=4．故答案是4．4．（理）已知空间两点A（1，2，﹣1），B（2，0，2）．x轴上存在一点P，使得PA=PB，则P点坐标为（1，0，0）．【解答】解：设P（x，0，0），由|PA|=|PB|，得1+4+（x﹣1）2=4+0+（x﹣2）2，解得x=1，故点P的坐标为（1，0，0），故答案为：（1，0，0）．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线过点P（1，），则该双曲线的离心率为．【解答】解：依题意可知双曲线的渐近线为y=±x把点P代入求得=±（舍负）∴a=b，∴c==b∴e==故答案为．6．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．7．（5分）若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是m﹣a2．【解答】解析：|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2a，所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF﹣2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：4PF1•PF2=4m﹣4a2，∴PF1•PF2=m﹣a2．故答案：m﹣a2．8．（5分）l1，l2，l3是空间三条直线，则下列命题中正确命题的个数是1．（1）l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；（2）l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3（3）l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；（4）l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．【解答】解：（1）由l1⊥l2，l2⊥l3可得l1∥l3、相交或为异面直线，因此不正确；（2）l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，正确；（3）l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3平行不一定共面，因此不正确；（4）l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面或不共面，不正确．综上可得：只有（2）正确．故答案为：1．9．（5分）设P（x，y）是椭圆上的一点，则2x﹣y的最大值是2．【解答】解：设2x﹣y=a，联立方程组，消去y，并整理，得40x2﹣36ax+9a2﹣36=0，∴△=﹣a2+40≥0，∴﹣2≤a≤2，故答案为：2．10．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．11．（5分）直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为2．【解答】解：∵直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于两点，∴k≠0．由，得k2x2﹣4kx﹣8x+4=0，∴．而A、B中点的横坐标为2，∴，解得k=﹣1或k=2．而当k=﹣1时，方程k2x2﹣4kx﹣8x+4=0只有一个解，即A、B两点重合，∴k≠﹣1．∴k=2．故答案为：2．12．（5分）设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且AC+BD=a，AC•BD=b，则EG2+FH2=（a2﹣2b）．【解答】解：如图，∵E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=AC，EH=BD，∴==．∴EG2+FH2=2（EF2+EH2）=（a2﹣2b），故答案为：（a2﹣2b）．13．（5分）如图所示，等边△ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起，使平面A′PQ⊥平面BPQC，若折叠后A′B的长为d，则d的最小值为．【解答】解：取BC中点为F，折叠后A′BF为一直角三角形，且∠A′FB=90°，由于BF在折叠前后长度不变，由勾股定理可以得到，折叠后A′B2=B′F2+A′F2，所以A′F的长度最短时，A′B长度取到最小值，设AF与PQ交于E，设AE长度为x，在直角△A′EF中，A′E2+EF2=A′F2 ，∴A′F2 =x2+（﹣x）2=2（x﹣）2+，∴x=时，A′F取到最小值=．∴d min==．故答案为：．14．（5分）已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：x2+（y﹣2）2=1的直径，则的最大值为23．【解答】解：=从而将求的最大值转化为求的最大值是椭圆M上的任一点，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣2y02又M（0，2），所以而y0∈[﹣2，2]，所以当y0=﹣2时，取最大值24，故的最大值为23．故答案为：23．15．（5分）设短轴长为是的椭圆C：和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为x2+y2=9．【解答】解：双曲线的离心率为，于是椭圆C：的离心率为．即，又由题意，以及b2+c2=a2，解得，椭圆C的方程为．设P（x0，y0）是⊙E上的任意一点，过P的直线l：y=k（x﹣x0）+y0，代入中，得，即（1+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2（y0﹣kx0）2﹣6=0，①若直线l与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，即16k2（y0﹣kx0）2﹣8（1+2k2）[（y0﹣kx0）2﹣3]=0，整理得关于k的方程：（6﹣x02）k2+2x0y0k﹣y02+3=0，②要使得⊙E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为﹣1，故，即x 02+y02=9，又对于点，，，，直线l1，l2中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E，方程为：x2+y2=9．故答案为x2+y2=9．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）求与双曲线：有相同焦点，且经过点（，2）的双曲线标准方程，并写出其顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程．【解答】解：设双曲线的方程为=1，由题意得，，解得，，所求双曲线标准方程为：=1，则a=2，b=2，c==2．则有顶点（，0），焦点为（，0），离心率为e==，渐近线方程为y=x．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E为PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）取PD中点F，连接EF，AF．因为E是PC的中点，F是PD的中点，所以EF∥CD，且CD=2EF．又因为AB∥CD，CD=2AB，所以EF AB，即四边形ABEF是平行四边形．所以BE∥AF．…（5分）又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD．…（8分）（2）因为AB⊥平面PAD，PA，AD⊂平面PAD，所以Ab⊥AD，AB⊥PA…（10分）因为AD⊥AB，AD⊥PB，AB∩PB=B，所以AD⊥平面PAB．…（12分）又PA⊂平面PAB，所以AD⊥PA，因为AB∩AD=A，所以PA⊥面ABCD．…（14分）18．（15分）设A（x 1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，∴焦点为F（0，）（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b由已知得：⇒⇒⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（II）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=a，直线B 1C与平面ABC成30°角．（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求C1到平面B1AC的距离；（3）求三棱锥A1﹣AB1C的体积．【解答】解：（1）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（2）解：∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC∴A1C1∥平面B1AC∴C1到平面B1AC的距离就是求A1到平面B1AC的距离过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．从而A1C=a，又A1M=，sinA1CM==∴C1到平面B1AC的距离为（3）解：∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．可得B1C=2a，BC=，∴20．（15分）已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆过点p（0，﹣1），且其长轴长等于圆O的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．（Ⅰ）设直线l1的斜率为k，求弦AB长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意，a=2，b=1，∴椭圆的方程为=1；（2）（Ⅰ）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆O：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．∵l2⊥l1，∴直线l2的方程为x+ky+k=0，与椭圆方程联立联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得x0=﹣，∴|PC|=．∴三角形ABC的面积S=|AB|•|PC|==≤△=，当且仅当k=±时取等号，故所求直线l 1的方程为y=﹣1，此时△ABC面积的最大值为．21．（15分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（﹣2，0）、B（2，0）、三点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（﹣1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线l：y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+my2=1（m＞0，n＞0），将A（﹣2，0）、B （2，0）、代入椭圆E的方程，得解得．∴椭圆E 的方程（4分）（2）|FH|=2，设△DFH边上的高为的最大值为．当点D在椭圆的上顶点时，h最大为，所以S△DFH设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以，所以R的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为（10分）（3）将直线l：y=k（x﹣1）代入椭圆E的方程并整理．得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0．设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根系数的关系，得．直线AM 的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，同理可求得直线BN 与直线x=4的交点坐标为．下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1）， ∴=因此结论成立．综上可知．直线AM 与直线BN 的交点在直线x=4上．（16分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文理)试题
第6题图江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试高二数学（文理）试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0. 65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________． 4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的 充要条件．20. （本小题16分） 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为2 （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)n x*()n ∈N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC-中,PA ⊥底面,,60,A B C P A A B A B C B C A︒︒=∠=∠=, 点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．PEDCBA江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试答案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．1 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.213．８ 14．215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}；(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}， 则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1 2k 1－1 3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1 2k 1－1 3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2) 2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P到右焦点的最短距离为2焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．20．解：（1）由题意知22a c a c b c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ． 由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+ 222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈-- ．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得M，(1,N ． 此时12OM ON ⋅=- ．所以OM ON ⋅ 的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷解析
高二上学期期中考(理科)数学试题命题： 审题：一、选择题(每小题5分,共60分)1.命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．200,11x R x ∃∈+≤ C ．200,11x R x ∃∈+< D ．200,11x R x ∃∈+≥2.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题，则( ) A.命题p 、q 均为假命题B.命题p 、q 均为真命题C.命题p 、q 中至少有一个是真命题D.命题p 、q 中至多有一个是真命题5.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．86. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件7.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）Ａ．310 Ｂ．15 Ｃ．110 Ｄ．112 8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为y ＝±33x, 若顶点到渐近线的距离为1, 则双曲线的方程为（ ）A.143422=-y xB. 144322=-y xC. 14422=-y x D.134422=-y x9.某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) A ．5?k > B ． 6?k > C ．4?k > D ．7?k > 10.在区间]2,0[上随机地取一个数x ,则事件“1)21(log 121≤+≤-x ”发生的概率为 A.32 B. 43 C.31 D.41 11. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O: x 2＋y 2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为 ( ) A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个12.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:C y 8x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.12 B.6 C.9 D.3二、填空题(每小题5分,共20分)13.如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ；第9题图14. 已知命题p:存在0],2,1[2≥-∈a x x 使得,命题q:指数函数xa y )(log 2=是R 上的增函数,若命题“p 且q”是真命题,则实数a 的取值范围是_______.15. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ；16.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若12F MF ∠为钝角，则0y 的取值范围是 ；三、解答题(共6题,共70分)17．（本题满分10分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．（本题满分12分）(1)已知关于x 的二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f(x)在区间和上分别取一个数,记为a,b,求方程+=1表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率.20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值．21．（本题满分12分）如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．22．（本题满分12分）己知⊙O：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且2PM NM =．（1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）若A(2，1)，B(3，0)，过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．Gy xBOAEFD高二上学期期中考试理科数学试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBADADAA.CBBD二、填空题(每小题5分,共20分) 13.____950_ 14.____ (2,4]___ 15._ ____ 16. 33(⋃17．满分10分解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.………………………4分化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}………………6分∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，………………8分解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.………………………10分18.满分12分19 .满分12分(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间,b∈,画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,………………………10分阴影部分的面积为,故所求的概率P==.………………………12分20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值． 20.：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px …………1分联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，……………3分所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，………5分所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . ……………6分(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，……………7分从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；……8分 设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．……………9分 又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，……………11分 解得λ＝0，或λ＝2. ………………………………12分21. （1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程， 得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………2分 （2）在方程()222x c y a -+=中，令22220x y a c b ==-=得，可知点B 为椭圆的上顶点．由（1）知12c a =，得222,3a c b a c c ==-=，所以()03B c ，. 在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -． (4)分于是可得直线AB 的斜率33AB c k ==，而直线FB 的斜率33FB ck ==.………………………7分 1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．………………………8分（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==，22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=．………………………12分22. 解：(1)设()y x N ,,()00,y x P ,则()0,0x M ,()00,PM y =,()0,NM x x y =--由2PM NM =,得()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yy x x 22000,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y xx 200 ……………………3分由于点P 在圆6:22=+y x O 上,则有()6222=+y x ,即13622=+y x . ∴点N 的轨迹C 的方程为13622=+y x ………………………4分(2) 设()11,y x D ,()22,y x E ,过点B 的直线DE 的方程为()3-=x k y ,由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=136322y x x k y 消去y 得: ()061812122222=-+-+k x k x k ,其中0>∆ 12618,121222212221+-=+=+∴k k x x k k x x ;………………………6分()()213213212122112211-+-+-+-=--+--=+∴x k kx x k kx x y x y k k AE AD ()()()4212415221212121++-++++-=x x x x k x x k x kx()4121221261812412121512618222222222++⋅-+-+++⋅+-+-⋅=k kk k k k k k k k k 2224422-=-+-=k k AE AD k k +∴是定值2-.………………………12分。
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(及答案)
．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1, 0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．
评卷人 得分
三、解答题
试卷第 2页，总 4页
17．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B
在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
所以 DE AC ，于是 DE A1C1 ， 又因为 DE 平面 A1C1F , A1C1 平面 A1C1F ， 所以直线 DE//平面 A1C1F . （2）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面A1B1C1
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题及答案
第 I 卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题
1．设 x R，则“ x ＞1”是“ x2 ＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）
1
A．
5
2
17．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何 的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明， 而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
试题解析：证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1C1 AC，
1, 3 2
，过点 M
作直线 l 与圆
C
交于
A, B 两点，若
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二(上)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．(★★★★)“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件条件．（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）2．(★★★★)命题“∃x∈R，lgx=x-2”的否定是∀x∈R，lgx≠x-2 ．3．(★★★★)已知，则的最小值． 4．(★★★★)若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（-1，1）． 5．(★★★★)双曲线与双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则= 1 ．6．(★★★★)抛物线y=ax 2的准线方程为y=1，则焦点坐标是（0，-1）．7．(★★★★)已知=（2，-1，2），=（-1，3，-3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ= 3 ．8．(★★★★)下列命题：①∀x∈R，x 2+1＞0；②∀x∈N，x 2≥1；③∃x∈Z，x 3＜1；④∃x∈Q，x 2=3；⑤∀x∈R，x 2-3x+2=0⑥∃x∈R，x 2+1=0其中所有真命题的序号是①③．9．(★★★)椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是（-3，0）或（3，0）．10．(★★★★)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=2，DD 1=6，则AC与BD 1所成角的余弦值为．11．(★★★)已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F 1（-c，0）、F 2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（0，c）．12．(★★★)下列说法：①函数f（x）=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax 2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log 2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有①④．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．13．(★★)已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A，B关于原点对称，则k 1•k 2的值为．14．(★★)直线3x-4y+2 =0与抛物线x 2=2 y和圆x 2+（y- ）2= 从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(★★★)已知命题p：实数m满足m 2-7am+12a 2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．16．(★★★)在直角坐标系xOy中，已知A（-3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．(★★★)已知命题p：方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x 2-2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．(★★)已知椭圆C：x 2+2y 2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．19．(★★★★)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120o，点N在线段PB上，且PN= ．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A-PC-B的余弦值．20．(★★)已知椭圆的左、右焦点分别为 F 1、F 2，短轴两个端点为A、B，且四边形F 1AF 2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
【全国百强校】江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的 条件．（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）【答案】充分不必要考点：复合命题真假【名师点睛】充分、必要条件的判定方法． (1)定义法． (2)传递法．(3)集合法：若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件； ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．2.命题“x R ∃∈，lg 2x x =-”的否定是 ． 【答案】,lg 2x R x x ∀∈≠- 【解析】试题分析：因为命题“x p ∃，”的否定是“x p ∀⌝，”，因此命题“x R ∃∈，lg 2x x =-”的否定是,lg 2x R x x ∀∈≠-考点：命题的否定3.已知(1,1,)a t t t =--，(3,,)b t t =，则a b -的最小值 ．考点：空间向量模4.若椭圆22131x y k k+=-+的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ．【答案】(1,1)- 【解析】试题分析：由题意得：31011k k k ->+>⇒-<< 考点：椭圆几何性质5.双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e += ．【答案】1 【解析】试题分析：由题意得：22222:1y x C b a -=，12e e ==所以2222222212111a b e e a b a b +=+=++ 考点：双曲线离心率6.抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则焦点坐标是 ． 【答案】(0,1)- 【解析】试题分析：22114y ax x y y a a =⇒=⇒=-，所以111,(0,)(0,1)44F F a a-=-即 考点：抛物线焦点及准线7.已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ． 【答案】3 【解析】试题分析：由题意可设：c ma nb =+，则1329635233m n m m n n m n λλ=-=⎧⎧⎪⎪=-+⇒=⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩考点：向量共线8.下列命题：①2,10x R x ∀∈+>；②2,1x N x ∀∈≥；③3,1x Z x ∃∈<；④2,3x Q x ∃∈=；⑤2,320x R x x ∀∈-+=；⑥2,10x R x ∃∈+=．其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③考点：命题真假判定9.椭圆221925x y +=上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是．【答案】(3,0)或(3,0)- 【解析】试题分析：设(,)P x y ，则2222225252525||||[()]()4444m e y e y e y e =-⋅+=-≤，当且仅当0y =时取等号，此时点P 的坐标是(3,0)或(3,0)- 考点：椭圆定义10.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，16DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ．【解析】试题分析：以D 为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则(2,4,0)AC =-，1(2,4,6)BD =--，则AC 与1BD所成角的余弦值为(2,4,0)(2,4,6)|||(2,4,0)||(2,4,6)|-⋅--=-⋅--考点：空间向量求异面直线所成角11.已知点P 是椭圆22221x y a b+=(0,0)a b xy >>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则OM 的取值范围是 ． 【答案】(0,)c考点：椭圆定义【名师点睛】圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路： (1)构造关于所求量的函数,本题利用椭圆定义构造函数，通过求函数的值域来获得问题的解；(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等． 12.下列说法：①函数()ln 36f x x x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)； ②若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈； ③函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点； ④已知函数2()log 1a xf x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1． 正确的有 ．（请将你认为正确的说法的序号都写上） 【答案】①④ 【解析】试题分析：①(1,2)x ∈时1()30,(1)30,(2)ln 20f x f f x'=+>=-<=>，因此函数()ln 36f x x x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)；②当0a =时关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，所以不对；③函数y x =的图象与函数sin y x =的图象只有1个交点；④已知函数2()log 1a xf x x-=+为奇函数，且在0x =时有意义，因此2log 0,1a a ==，选①④考点：函数性质，不等式恒成立13.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率是，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为 ． 【答案】12-考点：点差法【名师点睛】在给出的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0.两式相减，结合x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，可求出k AB ＝2121y y x x --从而由点斜式写出直线AB 的方程．这种方法我们称为点差法．本题利用点差法表示直线斜率.14.直线340x y -+=与抛物线2x =和圆221(2x y +=，从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则ABCD的值为 ． 【答案】116【解析】试题分析：直线340x y -+=过圆心，设圆心为M,则M ⎛ ⎝,也是抛物线的焦点(0F ,由直线340x y -+=与抛物线2x =联立方程组得A D A D x x y y ====,因此AB AM r =-==CD DM r =-=+=,从而1.16AB CD =考点：抛物线定义【名师点睛】“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >，命题q ：实数m 满足方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】1338a ≤≤∴1338a ≤≤……………………………………………………14分 考点：充要关系，椭圆标准方程 16.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，(3,0)B ，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率AC k ，BC k 满足条件49AC BC k k ⋅=-． （1）求动点C 的轨迹方程；（2）已知12(F F ，问：曲线C 上是否存在点P 满足120PF PF ⋅=？若存在求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22194x y +=(3)x ≠±（2），⎛ ⎝，，⎛ ⎝（2）设曲线C 上存在点(,)P x y 满足120PF PF ⋅=1(,)PF x y =-- 2(5,)PF x y =-- ∴221250PF PF x y ⋅=-+= ………………………………9分联立方程组22225194x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2295165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………12分 ∴存在四个点满足条件，它们是：，⎛⎝，，⎛ ⎝ ……………………14分考点：直接法求轨迹方程，向量数量积【名师点睛】高考题中求轨迹问题的主要有以下方法：(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系f (x ，y )＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．(4)相关点法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，首先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．(5)交轨法：动点P (x ，y )是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．(6)参数法：当动点P (x ，y )的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f (x ，y )＝0. 17.（本小题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根；命题q ：关于x 的不等式22(1)(1)0x m x m m -+++>对任意的实数x 恒成立． 若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围． 【答案】2m >或21m -≤<-．考点：一元二次不等式恒成立，复合命题真假 18.（本小题满分16分） 已知椭圆22:24C x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）c e a ==2） 【解析】试题分析：（1）研究椭圆性质，一般先将方程化为标准方程，再根据标准方程对应量的几何意义确定性质：椭圆22:24C x y +=化为标准方程为22142x y +=，因此2,a b c ===，从而椭圆C的离心率c e a ==2）求线段AB 长度的最小值，一般需先根据两点间距离公式列出参数关系式，再根据参数间关系，转化为一元函数关系式，最后根据函数关系特点，利用基本不等式求最值. 设(,2)A t ，00(,)B x y 且00x ≠，则线段AB 长度中有三个参数，而由题意有两个条件：一是0OA OB ⋅=，可得0020tx y +=；二是点B 在椭圆C 上，即22024x y +=，因此先消去t ，再消去0y ，即得220208||42x AB x =++，最后利用基本不等式求最值，注意参数取值范围试题解析：解：（1）椭圆22:24C x y +=化为标准方程为22142x y +=，∴考点：椭圆离心率，直线与椭圆位置关系【名师点睛】1.求椭圆的离心率的方法．①直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值；②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2.圆锥曲线中最值的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．19.（本小题满分16分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，且PN =（1）求证：BD PC ⊥；（2）求证：MN ∥平面PDC ；（3）求二面角A PC B --的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3（3）∵90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，∴AB AD ⊥．故分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，∴(4,0,0)B，(2,C，D ，(0,0,4)P ．…………………10分 由（2）可知，(4,DB =为平面PAC 的法向量．…………………11分(2,4)PC =-，(4,0,4)PB =-．设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3z =，得3x =，y =PBC 的一个法向量为(3,3,3)n =，………………13分 设二面角A PC B --的大小为θ，则7cos ||||n DB n DB θ⋅==⋅．…………………………15分 ∴二面角A PC B --．………………………………………………………16分 考点：线面垂直判断与性质定理, 线面平行判定定理, 利用空间向量求二面角【名师点睛】判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；20.（本小题满分16分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）详见解析（3）(0,0)Q（2）(2,0),(2,0)C D -，设011(2,),(,)M y P x y ，则110(,),(2,)OP x y OM y == 直线0:(2)4y CM y x =+，0042y y y x =+即代入椭圆方程2224x y +=， 得222200011(1)40822y x y x y +++-=……………………………………6分 ∵201204(8)2(8)y x y -=-+ ∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+， ∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++…………………………………………8分 ∴220022004(8)8488y y OP OM y y -⋅=-+=++（定值）……………………………………10分 （3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥…………………………12分0(2,)MQ m y =--，200220048(,)88y y DP y y =-++…………………………14分 则由0MQ DP ⋅=得2200220048(2)088y y m y y ---=++，从而得0m = ∴存在(0,0)Q 满足条件………………………………………………16分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.：。
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2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）“p且q”为真是“p或q”为真的条件．（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）2．（5分）命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是．3．（5分）已知，则的最小值．4．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为．5．（5分）双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=．6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是．7．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=．8．（5分）下列命题：①∀x∈R，x2+1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2=3；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0⑥∃x∈R，x2+1=0其中所有真命题的序号是．9．（5分）椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是．10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，DD1=6，则AC与BD1所成角的余弦值为．11．（5分）已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是．12．（5分）下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．13．（5分）已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．（5分）直线3x﹣4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y﹣）2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．16．（14分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x 的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．19．（16分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件条件．（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）【解答】解：由“p且q”为真可知命题P，q都为真命题由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题∴当“p且q”为真时“p或q”一定为真，但“p或q”为真是“p且q”不一定为真故“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件故答案为充分不必要条件2．（5分）命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是∀x∈R，lgx≠x﹣2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，lgx=x﹣2”的否定是：∀x∈R，lgx≠x﹣2．故答案为：∀x∈R，lgx≠x﹣2．3．（5分）已知，则的最小值．【解答】解：==，∴当t=﹣1时，|AB|有最小值，故答案为：．4．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（﹣1，1）．【解答】解：∵椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得﹣1＜k＜1．∴k的取值范围为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）5．（5分）双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=1．【解答】解：由题意知：e1=，e2=，∴=+=1，故答案为：1．6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是（0，﹣1）．【解答】解：将抛物线化成标准方程得x2=y，可得它的顶点在原点．∵抛物线的准线方程为y=1，∴抛物线的开口向下，它的焦点为F（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）7．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=3．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．8．（5分）下列命题：①∀x∈R，x2+1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2=3；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0⑥∃x∈R，x2+1=0其中所有真命题的序号是①③．【解答】解：①∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，因此①正确；②∀x∈N，x2≥0，因此②不正确；③∃x∈Z，例如x=0，满足x3＜1，故③正确；④由x2=3，解得x=±，为无理数，因此不存在x∈Q，满足x2=3，因此④不正确；⑤∀x∈R，x2﹣3x+2=0，不正确，例如x=0时，x2﹣3x+2=0不成立；⑥∵x2+1=0在R范围内无实数根，∴不存在实数x满足x2+1=0，因此⑥不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为：①③．9．（5分）椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是（﹣3，0）或（3，0）．【解答】解：记椭圆的二焦点为F1，F2，有|PF1|+|PF2|=2a=10则知m=|PF1|•|PF2|≤=25当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25．∴点p的坐标为（﹣3，0）或（3，0）故答案为：（﹣3，0）或（3，0）10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，DD1=6，则AC与BD1所成角的余弦值为．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．∵AB=4，BC=2，DD 1=6，∴A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），D1（0，0，6）．∴=（﹣2，4，0），=（﹣2，﹣4，6）．∴===．∴AC与BD1所成角的余弦值为．故答案为：．11．（5分）已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（0，c）．【解答】解：如图所示．∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，∴点M是底边F1N的中点，又点O是线段F1F2的中点，∴|OM|=，∵|PF1|=|PN|，∴∠F2NM＞∠F2F1N，∴|F1F2|＞|F2N|，∴0＜|OM|=c．∴则|OM|的取值范围是（0，c）．故答案为：（0，c）．12．（5分）下列说法：①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）；②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1．正确的有①④．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．【解答】解：对于①：函数f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正确；对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0⇒0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确；对于③：令函数y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确；④由奇函数得：，，a2=1，因为a ≠﹣1，所以a=1．故④正确．故答案为：①④．13．（5分）已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．（5分）直线3x﹣4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y﹣）2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．．【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y﹣）2=，抛物线x2=2y的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，直线3x﹣4y+2=0过（0，）点，由，有8y2﹣17y+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1=，y2=2，所以AB=y1=，CD=y2=2，故=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a由表示焦点在y轴上椭圆可得：2﹣m＞m﹣1＞0，∴即命题由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：∴16．（14分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（1）（x≠﹣3），（x≠3）又，∴（3分）化简整理得（x≠±3）（6分）（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足∴（9分）联立方程组，解得（12分）∴存在四个点满足条件，它们是：，，，（14分）17．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x 的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，∴或，解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．18．（16分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．19．（16分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（Ⅱ）在正△ABC中，BM=．在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴，∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴，∴，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．，．设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）。